Funcao - Const - Linear-01

O que é uma função?

A função é a abstração da abstração da abstração.

Explicando melhor, a 1º abstração que o estudante faz é trocar quantidade de objetos ( 2 lápis, 3 borrachas, 4 cadeiras, etc...), pelo número ( 2, 3, 4, ...) após esta etapa é solicitado ao estudante que passe a um novo nível de abstração. O estudante passa abstrair mais ainda com a incógnita da equação, o tradicional “x”. Avançando mais ainda nos estudos é colocado aos alunos uma nova fase da abstração matemática, o estudante deve ser capaz de encontrar algo em FUNÇÃO de outro algo, ou seja; em matemática dizemos encontre “y” em função de “x” . Já na nossa vida cotidiana encontramos situações tais como: A demanda de carne, pode depender do preço corrente que esta apresenta no mercado ou o preço total pago pela gasolina que colocamos no automóvel é uma função do número de litros comprados, etc....

Um pouco da história

Dois grandes matemáticos foram os percursores do estudo das funções: Gottgriend Wilhelm Leibnitz pode ser considerado como o primeiro matemático a estudar profundamente o assunto (1606 – 1716).

O segundo foi Leonhard Euler, sua formação foi abrangente, estudou Matemática, Teologia, Medicina e Astronomia. Foi o responsável pela adoção do símbolo f(x) para representar função ( 1707 – 1783).

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CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS

Vamos construir gráficos de função determinadas por leis de formação y = f(x). Para isso, em primeiro lugar, construiremos uma tabela onde aparecem valores de x e os correspondentes valores de y, da seguinte forma:

1. Atribuímos a x uma série de valores do domínio;2. calculamos para cada um deles o correspondente valor de y através da lei y = f(x).3. A partir desta tabela obtemos o gráfico da função da seguinte forma:

Representamos dois eixos perpendiculares com origem comum; Em um deles representamos valores de x, a este eixo costumamos chamar de

eixo das abscissas. No outro, serão representados os correspondentes valores de y = f(x); este eixo

é chamado de eixo das ordenadas; Cada par ordenado (x,y), sendo o primeiro elemento do par sempre o valor da

variável independente, x, e o segundo elemento o valor da variável dependente, determina o ponto P do plano, no sistema de eixos escolhidos.

Exemplo.

Seja o ponto P definido pelo par ordenado ( 2,4), onde x = 2 e y = 4.

Representando este ponto P no sistema cartesiano teremos:

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Função Constante

Seja b um número real. Uma função constante é uma função f:R R que para cada x em R, associa f(x) = b.

Exemplos: As funções f:R R definidas por:

a. f(x) = 1 b. f(x) = -7 c. f(x) = 0

O gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo das abscissas (eixo horizontal).

f(x) = 2

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Função Linear

Seja a um número real. Uma função linear é uma função f:R R que para cada x em R, associa f(x)=mx + n.

Exemplos: As funções f:R R definidas por:

a. f(x) = -3 xb. f(x) = 2 x

c. f(x) = x/2

d. f(x) = 2x + 4

e. f(x) = -3x - 1

O gráfico de uma função linear é uma

f(x) = x

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http://www.nosachamos.com/educacao/matematica/materias/funcoestipos.htm#Função%20Linear

Exemplo 2

f(x) = x –1 podemos representar como y = x –1.

O gráfico da função é:

Coeficiente linear e coeficiente angular da função linear ( reta).

Coeficiente linear

Indica onde o gráfico corta o eixo das ordenadas (y).

Se observarmos os exemplos anteriores poderemos concluir facilmente que é o valor de n da função f(x) = mx + n.

Assim seja as funções

a) f(x) = 3x + 2 o coeficiente linear é 2.b) f(x) = 3x o coeficiente linear é zeroc) f(x) = -2x –3 o coeficiente linear é –3.

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Coeficiente angular

Como o próprio nome indica, coeficiente angular esta relacionado ao ângulo, ou seja: determina a inclinação da reta.

Exemplo.

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Exemplo

Seja f(x) = 2x + 1

Construir o gráfico da função e determinar o seu coeficiente angular a partir do gráfico.

Exercícios práticos.

1) A média de pontos obtidos em um teste psicotécnico aplicado em determinada empresa vem decrescendo constantemente nos últimos anos. Em 1990 a média foi de 582, enquanto que em 1995, foi de 552 pontos.

a) Qual é a função que representa a média de pontos em relação ao tempo?b) Se a média se mantiver qual deverá se a média em 2005?

2) Na fabricação de um determinado artigo verificou-se que o custo total obtido é através de uma taxa fixa de $ 4.000,00, adicionada ao custo de produção que é de $ 50,00 por unidade. Determinar:

a) a função que representa custo total em relação à quantidade produzida;b) o gráfico dessa função;c) o custo de fabricação de 15 unidades.

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3) Seja f(x) = mx + n uma função. Sabe-se que f(-1) = 4 e a f(2) = 7. Qual o valor de f(8)?

Funções Custo, Receita e Lucro do 1º Grau

Custo

Seja x a quantidade produzida de um produto. O custo total de produção ( ou simplesmente custo) depende de x, e a relação entre eles chamamos de função custo total ( ou simplesmente função custo), e a indicamos por C.

Existem custos que não dependem da quantidade produzida, tais como aluguel, seguros, e outros. A soma desses custos que não dependem da quantidade produzida chamamos de custo fixo e indicamos por Cf. A parcela do custo que depende de x chamamos de custo variável, indicamos por Cv.

Assim podemos escrever: C = Cv + Cf

Verificamos também que, para x variando dento de certos limites ( normalmente não muito grandes), o custo variável é geralmente igual a uma constante multiplicada pela quantidade x. Essa constante é chamada de custo variável por unidade.

Receita

Seja x a quantidade vendida de um produto. Chamamos de função receita ao produto de x pelo preço de venda e a indicamos por R.

Lucro

A função lucro é definida como a diferença entre a função receita R e a função custo C. Assim, indicando a função lucro por L, teremos:

L(x) = R(x) – C(x).

Exemplo(a)

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O custo fixo mensal de fabricação de um produto é $ 5.000,00 e o custo variável por unidade é $ 10,00. Então a função custo total é dada por:

Se o produto em questão for indivisível ( por exemplo, número de rádios), os valores de x serão 0, 1, 2, 3, 4, ..., e o gráfico será um conjunto de pontos alinhados (figura 1) . Caso o produto seja divisível ( como toneladas de aço produzidas), os valores de x serão reais positivos, e o gráfico será a semi reta da figura 2, pois trata-se de uma função do primeiro grau.

Quando nada for dito a respeito das características do produto, admitiremos que o mesmo seja divisível , sendo o seu gráfico uma curva contínua.

Exemplo (b).

Um produto é vendido a $ 15,00 a unidade a função receita será:

O gráfico dessa função será uma semi-reta passando pela origem ( pois trata-se de uma função do primeiro grau com coeficiente linear igual a zero). Assim, o gráfico dessa função é :

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Se colocarmos o gráfico da função receita exemplo (b) e o gráfico da função custo do exemplo (a) num mesmo sistema de eixos teremos o gráfico mostrado na figura 4 mostrada abaixo. Nessa figura, podemos observar que os gráficos interceptam-se num ponto N; nesse ponto a receita e o custo são iguais e conseqüentemente o lucro é zero. A abscissa desse ponto é chamada de ponto de nivelamento ou ponto crítico.

Observemos que:

Se x > ponto critico, então R(x) > C(x) e portanto L(x) > 0 ( lucro positivo)Se x < ponto critico, então R(x) < C(x) e portanto L(x) < 0 ( prejuízo)

Exemplo (c)

Suponhamos que a função custo seja C(x) = 5000 + 10x e a função receita sejaR(x) = 15x, qual é o ponto crítico ou ponto de nivelamento?

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Exercícios.

1) determine o ponto de nivelamento ( ou ponto crítico), e esboce os gráficos da função receita e custo em cada caso:

a) R(x) = 4x e C(x) = 50 + 2xb) R(x) = 200 x e C(x) = 10.000 + 150xc) R(x) = ½ x e C(x) = 10 + ¼ x

2) Obtenha as funções lucro em cada caso do exercício anterior, esboce seu gráfico e faça um estudo do sinal.

3) Um editora vende certo livro $ 60,00 a unidade. Seu custo fixo é $ 10.000,00 por mês, e o custo variável por unidade é $ 40,00. Qual o ponto de nivelamento?

4) Em relação ao exercício anterior, quantas unidades a editora deverá vender por mês para ter um lucro mensal de $ 8.000,00?

5) O custo fixo de fabricação de um produto é $ 1.000,00 por mês, e o custo variável por unidade é $ 50,00. Se cada unidade for vendida por $ 7,00:

a) Qual o ponto de nivelamento?b) Se o produtor conseguir reduzir o custo variável por unidade em 20 %, à custa do

aumento do custo fixo na mesma porcentagem, qual o novo ponto de nivelamento?

c) Qual o aumento no custo fixo necessário para manter inalterado o ponto de nivelamento ( em relação ao item a) quando o custo variável por unidade é reduzido em 30 %?

6) O custo fixo mensal de uma empresa é $ 30.000,00, o preço unitário de venda é $ 8,00 e o custo variável por unidade é $ 6,00.

a) Obtenha a função lucro mensal.b) Obtenha a função lucro líquido mensal, sabendo-se que o imposto de renda é 30 %

do lucro.

7) O custo fixo mensal de uma empresa é $ 5.000,00, o custo variável por unidade produzida é $ 30,00, e o preço de venda é $ 40,00.Qual a quantidade que deve ser vendida por mês para dar um lucro líquido de $ 2.000,00 por mês, sabendo-se que o imposto de renda é igual a 35 % do lucro ?

8) Sabendo que a margem de contribuição por unidade é $ 3,00, o preço de venda é $10,00 e o custo fixo é $ 150,00 por dia, obtenha:

a) A função receita.b) A função custo total diário.c) O ponto de nivelamento.d) A função lucro diário.e) A quantidade que deverá ser vendida para que haja um lucro de $ 180,00 por dia.

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Obs: A diferença entre o preço de venda e o custo variável por unidade é chamada e margem de contribuição por unidade.

9) O preço de venda de um produto é $ 25,00. O custo variável por unidade é dado por:

a) Matéria prima: $ 6,00 por unidade.b) Mão-de-obra direta: $ 8,00 por unidade.

Sabendo-se que o custo fixo mensal é de $ 2.500,00:

a) Qual o ponto crítico ( ponto de nivelamento)?b) Qual a margem de contribuição por unidade?c) Qual lucro se a empresa produzir e vender 1.000 unidades por mêsd) De quanto aumenta percentualmente o lucro, se a produção aumentar 1.000 para

1.500 unidades por mês?

10) Para uma produção de 100 unidades, o custo médio é $ 4,00, e o custo fixo, $ 150,00 por dia. Sabendo-se que o preço de venda é $ 6,00 por unidade, obtenha:

a) O lucro de 100 unidades vendidas.b) O ponto crítico (nivelamento)

11) Uma editora pretende lançar um livro e estima-se que a quantidade vendida será 20.000 unidades por ano. Se o custo fixo de fabricação for $150.000,00 por ano, e o variável por unidade $ 20,00, qual o preço mínimo que deverá cobrar pelo livro para não obter prejuízo?

Respostas esperadas

1)

2)

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3) 500 unidades

4) 900 unidades

5) a) 50 unidade b) 40 unidades c) 75 %

6) a) L = 2x - 30000 b) LL = 1,4 x – 21000

7) 807,7 unidades

8) a) R = 10x b) C = 150 + 7x c) 50 d) L = 3x – 150 e) 110

9) a) 227, 3 unidades b) $ 11,00 c) $ 8 500,00 d) 64,7 %

10) a) 50 b) 75

11) $ 27,5

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Funções Demanda e Oferta do 1º Grau

A demanda de um determinado bem é a quantidade desse bem que os consumidores pretendem adquirir num certo intervalo de tempo ( dia, mês, ano e outros).

A demanda de um bem é função de várias variáveis: preço por unidade do produto, renda do consumidor, preços de bens substitutos, gostos e outros. Supondo-se que todas as variáveis mantenham-se constantes, exceto o preço unitário do próprio produto (p), verifica-se que o preço p relaciona-se com a quantidade demandada (x). Chama-se função de demanda à relação entre p e x, indicada por p = f(x).

Existe a função de demanda para um consumidor individual e para um grupo de consumidores ( nesse caso, x representa a quantidade total demandada pelo grupo, a um nível de preço p). Em geral, quando nos referirmos à função de demanda, estaremos nos referindo a um grupo de consumidores e chamaremos de função demanda de mercado.

Normalmente, o gráfico de p em função de x ( que chamaremos de curva demanda) é o de uma função decrescente, pois quanto maior o preço, menor a quantidade demandada. Cada função de demanda depende dos valores em que ficaram fixadas as outras variáveis (renda, preço de bens substitutos e outros). Assim, se for alterada a configuração dessas outras variáveis, teremos nova função de demanda.

O tipo e os parâmetros da função de demanda são geralmente determinados por métodos estatísticos. Consideraremos neste item a função demanda do primeiro grau.

Exemplo. O número de sorvetes (x) demandados por semana numa sorveteria relaciona-se com

preço unitário (p) de acordo com a função de demanda p = 10 – 0,002x.Assim, se o preço por unidade for $ 4,00, a quantidade x de demanda por semana será

dada por:Solução:

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O gráfico de p em função de x é o segmento de reta da figura abaixo. Pois tanto p como x não podem ser negativos.

Solução:

Analogamente, podemos explicar o conceito de função oferta. Chamamos de oferta de um bem, num certo intervalo de tempo, à quantidade do bem que os vendedores desejam oferecer no mercado. A oferta é dependente de várias variáveis: preço do bem, preços dos insumos utilizados na produção, tecnologia utilizada e outros. Mantidas constantes todas as variáveis exceto o preço do próprio bem, chamamos de função oferta à relação entre o preço do bem ( p) e quantidade ofertada (x) e a indicamos por p = g(x).

Normalmente, o gráfico de p em função de x é o de uma função crescente, pois quanto maior o preço, maior a quantidade ofertada. Tal gráfico é chamado de curva de oferta. Observemos que teremos uma curva de oferta para cada configuração das outras variáveis que afetam a oferta. Veremos neste item funções oferta do primeiro grau.

Exemplo .Admitamos que, para q quantidade que não excedam sua capacidade de produção, a

função oferta da sorveteria do exemplo anterior seja do primeiro grau. Suponhamos que se o preço por sorvete for de $ 2,10, a quantidade ofertada será 350 por semana, e, se o preço for de $ 2,40, a quantidade ofertada será de 1400. Vamos obter a função oferta:

Solução:

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Exemplo 2

Consideremos a função de demanda por sorvetes p = 10 - 0,002x e a função de oferta

. Determine ponto de equilíbrio e o gráfico das duas funções no mesmo

sistema cartesiano. Solução:

Exercício.

As funções de demanda e oferta de um produto são dadas por:Demanda: p = 100 – 0,5xOferta: p = 10 + 0,5 x

a) Qual o ponto de equilíbrio de mercado?

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b) Se o governo cobrar, junto ao produtor, um imposto de $ 3,00 por unidade vendida, qual o novo ponto de equilíbrio?

Solução:

Exercícios:

1) Num estacionamento para automóveis, o preço por dia de estacionamento é $ 20,00. A esse preço estacionam 50 automóveis por dia. Se o preço cobrado for $ 15,00, estacionarão 75 automóveis. Admitindo que a função de demanda seja do primeiro grau, obtenha essa função.

2) Uma empresa vende 200 unidades de um produto por mês, se o preço unitário é $ 5,00. A empresa acredita que, reduzindo o preço em 20 %, o número de unidades vendidas será de 50 % maior. Obtenha a função demanda admitindo-a como função do primeiro grau.

3) Quando o preço unitário de um produto é $ 10,00, cinco mil unidades de um produto são ofertadas por mês no mercado; se o preço for $ 12,00, cinco mil e quinhentas unidades estarão disponíveis. Admitindo que a função oferta seja do primeiro grau, obtenha sua equação.

4) Determine o preço de equilíbrio de mercado nas seguintes situações:

a) oferta: p = 10 + x b) oferta: p = 3x + 20demanda: p = 20 –x demanda: p = 50 – x

Respostas esperadas.

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1) p = - 0,2 x + 30 2) p = - 0,01x + 7

3) p = 0,004x – 10

4) a) $ 15,00 b) $ 42,50

Depreciação Linear.

Devido ao desgaste, obsolescência e outros fatores, o valor de um bem diminui com o tempo. Essa perda de valor ao longo do tempo chama-se depreciação.

Assim, o gráfico do valor em função do tempo é uma curva decrescente. Nesse item, vamos admitir que a curva de valor seja retilínea.

Exemplo:O Valor de uma máquina hoje é $ 10.000,00, e estima-se que daqui a 6 anos seja $

1.000,00.a) Qual o valor da máquina daqui a x anos?b) Qual sua depreciação total daqui a x anos?

Solução:

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Exercícios.

1) O valor de um equipamento hoje é $ 2.000,00 e daqui a 9 anos será de $ 200,00. Admitindo depreciação linear:

a) Qual o valor do equipamento daqui a 3 anos?b) Qual o total da sua depreciação daqui a 3 anos?c) Daqui a quanto o valor da máquina será nulo?

2) Daqui a 2 anos o valor de um computador será de $ 5.000,00 e daqui a 4 anos será $ 4.000,00. Admitindo depreciação linear:

a) Qual o valor hoje?b) Qual o seu valor daqui a 5 anos?

3) Daqui a 3 anos, a depreciação total de um automóvel será de $ 5.000,00, e seu valor daqui a 5 anos será $ 10.000,00. qual seu valor Hoje?

4) Um equipamento de informática é comprado por $ 10.000,00 e após 6 anos seu valor estimado é de $ 2.000,00. Admitindo depreciação linear:

a) Qual a equação do valor daqui a x anos?b) Qual a depreciação total daqui a 4 anos?

Respostas esperadas:1) a) $ 1.400,00 b) $ 600,00 c) 10 anos2) a) $ 6.000,00 b) $ 3.500,003) $ 18.333,33

4)

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