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FUNDAMENTOS DA LÓGICA

Professor Rodrigo Melo

Rodrigo Melo

PRIMEIROS CONCEITOS

O primeiro conceito que iremos estudar será

a proposição.

• Toda proposição deve:- ser uma oração, que tenha sujeito e

predicado;

- possuir apenas dois valores lógicos: verdadeiro (V) ou falso (F).

- ser declarativa, ou seja, não pode ser

interrogativas, exclamativas e nem imperativa.

Rodrigo Melo

Exemplo:1) Qual dos itens abaixo é uma proposição?

• a) “Caramba!” ; “Feliz aniversário!”

• b) “como é o seu nome?”;“o jogo foi de quanto?”

• c) “Estude mais.” ; “Leia aquele livro”.

• d) “Feliz ano novo!”

• e) A Terra é maior que a Lua.

( R: não é proposição, é uma sentença exclamativa)

( R: não é proposição, é uma sentença interrogativa)

( R: não é proposição, é uma sentença imperativa)

( R: não é proposição, é uma sentença exclamativa)

( R: é proposição, pois é uma oração, tem sujeito e predicado)

Rodrigo Melo

Representação

• As proposições, geralmente são representadas

por letras minúsculas (p, q, r, s etc).

São outros exemplos de proposições:

Pedro é médico.

5 < 8 (Cinco é menor que oito.)

Luíza foi ao cinema ontem à noite

= p

= q

= r

Rodrigo Melo

LEIS FUNDAMENTAIS DO

PENSAMENTO LÓGICO

• PRINCÍPIO DA IDENTIDADE

Se uma proposição for verdadeira ela será verdadeira; uma proposição falsa é falsa.

• PRINCÍPIO DA NÃO-CONTRADIÇÃO

Nenhuma proposição poderá ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.

• PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO

Uma proposição ou será verdadeira, ou será falsa: não há outra possibilidade

Rodrigo Melo

NEGAÇÃO ( ~ )Dada uma proposição

qualquer “p”, a negação dessa proposição é “não-p”. Representa-se essa negação como: “~”

Se atribuirmos que essa proposição seja verdadeira a negação será falsa. Agora, se atribuirmos que p for falsa a sua negação será verdadeira. Com isso pode-se concluir que

a negação de qualquer proposição atribui o valor lógico oposto.

p ~p

Equivalências de

Negação

Não é verdade que A.

É falso que A.

Rodrigo Melo

PROPOSIÇÕESExistem dois tipos de proposições: simples e composta.

• SIMPLES

Serão proposições simples ou proposição atômica aquelas que vêm sozinhas, desacompanhadas de outras orações.

Exemplos:

Todo homem é mortal. (Só existe uma oração)

• COMPOSTA

Se duas (ou mais) proposições vêm conectadas entre si, formando uma só sentença, estaremos diante de uma proposição composta ou proposição molecular.

Rodrigo Melo

Exemplos de proposição

composta:

• João é médico e Pedro é dentista.

( 1ª oração: João é médico e 2ª Pedro é dentista)

• Maria vai ao cinema ou Paulo vai ao circo.

• Ou Luís é baiano, ou é paulista.

• Se chover amanhã de manhã, então não

irei à praia.

Rodrigo Melo

CONECTIVOS LÓGICOS

Para dizer que uma proposição composta é verdadeira ou falsa,

isso dependerá de duas coisas:

1º) do valor lógico das proposições componentes;

2º) do tipo de conectivo que as une.

Tipos de conectivos lógicos que estudaremos:

Rodrigo Melo

PROPOSIÇÃO COMPOSTA

Conjunção DisjunçãoDisjunção

exclusivaCondicional Bicondicional

p q p ^ q p v q

V V

V F

F V

F F

Rodrigo Melo

1) Considere os seguintes enunciados:

16 é múltiplo de 2

15 é múltiplo de 7

8 é número primo

A proposição que apresenta valor lógico verdadeiro é:

a) se 15 é múltiplo de 7 ou 16 é múltiplo de 2 então 8 é número primo.

b) se 16 é múltiplo de 2 ou 8 é número primo então 15 é múltiplo de 7.

c) se 16 é múltiplo de 2 então 15 é múltiplo de 7 e 8 é número primo.

d) se 15 é múltiplo de 7 e 8 é número primo então 16 é múltiplo de 2.

e) se 16 é múltiplo de 2 então 15 é múltiplo de 7 ou 8 é número primo.

F V F

ou então

então F

EXERCÍCIOS

Rodrigo Melo

1) Considere os seguintes enunciados:

16 é múltiplo de 2

15 é múltiplo de 7

8 é número primo

A proposição que apresenta valor lógico verdadeiro é:

b) se 16 é múltiplo de 2 ou 8 é número primo então 15 é múltiplo de 7.

c) se 16 é múltiplo de 2 então 15 é múltiplo de 7 e 8 é número primo.

d) se 15 é múltiplo de 7 e 8 é número primo então 16 é múltiplo de 2.

e) se 16 é múltiplo de 2 então 15 é múltiplo de 7 ou 8 é número primo.

V F F

ou então

então F

EXERCÍCIOS

Rodrigo Melo

1) Considere os seguintes enunciados:

16 é múltiplo de 2

15 é múltiplo de 7

8 é número primo

A proposição que apresenta valor lógico verdadeiro é:

c) se 16 é múltiplo de 2 então 15 é múltiplo de 7 e 8 é número primo.

d) se 15 é múltiplo de 7 e 8 é número primo então 16 é múltiplo de 2.

e) se 16 é múltiplo de 2 então 15 é múltiplo de 7 ou 8 é número primo.

V F F

então e

então F

EXERCÍCIOS

Rodrigo Melo

1) Considere os seguintes enunciados:

16 é múltiplo de 2

15 é múltiplo de 7

8 é número primo

A proposição que apresenta valor lógico verdadeiro é:

d) se 15 é múltiplo de 7 e 8 é número primo então 16 é múltiplo de 2.

e) se 16 é múltiplo de 2 então 15 é múltiplo de 7 ou 8 é número primo.

F F V

e então

então V

EXERCÍCIOS

Rodrigo Melo

1) Considere os seguintes enunciados:

16 é múltiplo de 2

15 é múltiplo de 7

8 é número primo

A proposição que apresenta valor lógico verdadeiro é:

e) se 16 é múltiplo de 2 então 15 é múltiplo de 7 ou 8 é número primo.

V F F

então ou

então F

EXERCÍCIOS

02. Uma sentença lógica equivalente a

“Se Pedro é economista, então Luisa é solteira.” é:

a) Pedro é economista ou Luisa é solteira.

p q

V V

V F

F V

F F

p qentão

p qv

p v q Resultado

V V

V F

F V

F F

FNão são equivalentes!!!!!!

Temos que encontrar essa

sequência de valores lógicos

Rodrigo Melo

• b) Pedro é economista ou Luisa não é solteira.

p ~qv

p q

V V

V F

F V

F F

Resultado

São equivalentes????

Não!!!!!!

Rodrigo Melo

• c) Se Luisa é solteira , Pedro é economista.

q pentão

q p

p q

V V

V F

F V

F F

Resultado

São equivalentes????

Não!!!!!!

Rodrigo Melo

• d) Se Pedro não é economista, então Luisa não é solteira.

~p ~qentão

~p ~q

p q

V V

V F

F V

F F

Resultado

São equivalentes????

Não!!!!!!

Rodrigo Melo

• e) Se Luisa não é solteira, então Pedro não é economista.

~q ~pentão

~q ~p

p q

V V

V F

F V

F F

Resultado

São equivalentes????

SIM!!!!!!

Rodrigo Melo

Aula 2

PROPOSIÇÃO COMPOSTA

Conjunção DisjunçãoDisjunção

exclusivaCondicional Bicondicional

p q p ^ q p v q

V V

V F

F V

F F

Rodrigo Melo

EquivalênciasSão proposições cujas tabelas-verdade possuem os

mesmos valores lógicos, ou seja, são iguais.

Rodrigo Melo

p → q ~q → ~pV

p → q ~q → ~p

p q

V V

V F

F V

F F

CONTRAPOSITIVA

Dizer que Carlos não é pedreiro ou Abel é paulista é, do ponto

de vista lógico, o mesmo que dizer que:

a) se Carlos é pedreiro, então Abel é paulista

b) se Abel é paulista, então Carlos é pedreiro

c) se Carlos não é pedreiro, então Abel é paulista

d) se Carlos é pedreiro, então Abel não é paulista

e) se Carlos não é pedreiro, então Abel não é paulista

Carlos não é pedreiro ou Abel é paulistap qou

~p qentão

são

equivalentes!

Temos que encontrar

essa sequência de

valores lógicos

a) se Carlos é pedreiro, então Abel é paulista

Expressões lógicas

1) (CESPE) Considere as seguintes proposições:

A) 3 + 4 = 7 ou 7 – 4 = 3

B) 3 + 4 = 7 ou 3 + 4 > 8

C) 32 = –1 ou 32 = 9

D) 32= –1 ou 32= 1

Nesse caso, entre essas 4 proposições, apenas duas são V.

Rodrigo Melo

= V V Vou

V Fou = V

F Vou = V

F Fou = F

2) (CESPE) Considere as seguintes proposições:

A) 6 – 1 = 7 ou 6 + 1 > 2

B) 6 + 3 > 8 e 6 – 3 = 4

C) 9 × 3 > 25 ou 6 × 7 < 45

D) 5 + 2 é um número primo e todo número primo é ímpar.

Nesse caso, entre essas 4 proposições, apenas duas são F.

Rodrigo Melo

= V F Vou

V Fe = F

V Vou = V

e= F

CORRETA

Exercícios

(CESPE) Na comunicação, o elemento fundamental éa sentença, ou proposição simples, constituídaesquematicamente por um sujeito e um predicado,sempre nas formas afirmativa ou negativa, excluindo-se as interrogativas e exclamativas. Toda proposiçãopode ser julgada como falsa (F), ou verdadeira (V),excluindo-se qualquer outra forma. Novasproposições são formadas a partir de proposiçõessimples, com os conectivos “e”, simbolizado por ;“ou”, simbolizado por ; “se ... então...”, simbolizadopor .

Rodrigo Melo

Usa-se também o modificador “não”, simbolizado por¬. As proposições são representadas por letras doalfabeto: A, B, C etc. A seguir são apresentadas asvalorações para algumas proposições compostas apartir das valorações das proposições A e B quecompõem essas proposições compostas. Asvalorações de uma proposição composta compõem atabela-verdade da respectiva proposição.

Rodrigo Melo

Com base nessas informações, julgue os itens seguintes.

1 Considere as seguintes sentenças:

I) O Acre é um estado da Região Nordeste.

II) Você viu o cometa Halley?

III) Há vida no planeta Marte.

IV) Se x < 2, então x + 3 > 1.

Nesse caso, entre essas 4 sentenças, apenas duas são

proposições.

Rodrigo Melo

Sim

Não

Sim

2) ( ) Há duas proposições no seguinte conjunto de

sentenças:

(I) O BB foi criado em 1980.

(II) Faça seu trabalho corretamente.

(III) Manuela tem mais de 40 anos de idade.

Rodrigo Melo

Sim

Não

Sim

Negação

Rodrigo Melo

Negação de uma proposição

composta

CONJUNTIVA: ~(p e q)

Para negarmos uma proposição no formato de conjunção

(p e q), faremos o seguinte:

1º) Negaremos a primeira (~p);

2º) Negaremos a segunda (~q);

3º) Trocaremos e por ou.

Rodrigo Melo

Negação de uma proposição

composta

DISJUNTIVA: ~(p ou q)

Para negarmos uma proposição no formato de disjunção (p ou q), faremos o seguinte:

1º) Negaremos a primeira (~p);

2º) Negaremos a segunda (~q);

3º) Trocaremos ou por e.

Rodrigo Melo

CONDICIONAL: ~(p → q)

1º) Mantém-se a primeira parte ou afirma; e

2º) Nega-se a segunda.

BICONDICIONAL: ~(p ↔ q)

Rodrigo Melo

1) A negação da afirmativa “Me caso ou compro

sorvete.” é

a) me caso e não compro sorvete.

b) não me caso ou não compro sorvete.

c) não me caso e não compro sorvete.

d) não me caso ou compro sorvete.

e) se me casar, não compro sorvete.

Rodrigo Melo

2) Negando a sentença “ Se a Nanci está feliz então

está alegre e bonita.”

a) Se a Nanci não está feliz então não está alegre e

nem bonita.

b) Se a Nanci está alegre e bonita então está feliz.

c) Se a Nanci não está feliz então está alegre e bonita.

d) Se a Nanci não está alegre e nem bonita então está

feliz.

e) A Nanci está feliz e não alegre ou não bonita.

Rodrigo Melo

3) Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e

Alberto é alto, é logicamente equivalente a

dizer que é verdade que:

a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto.

b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto.

c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto.

d) se Pedro não é pobre, então Alberto é alto.

e) se Pedro não é pobre, então Alberto não é

alto.

Rodrigo Melo

Sentenças abertas

Rodrigo Melo

Sentenças abertas com uma

variávelTAUTOLOGIA

• Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições será dita uma Tautologia se ela for sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos das proposições que a compõem.

Exemplo:

Rodrigo Melo

• CONTRADIÇÃO

Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições será dita uma contradição se ela for sempre falsa, independentemente dos valores lógicos das proposições que a compõem.

Exemplo:

• CONTIGÊNCIA

Uma proposição composta será dita uma contingência sempre que não for uma tautologia nem uma contradição.

Rodrigo Melo

1) Chama-se tautologia a toda proposição que é

sempre verdadeira, independentemente da verdade dos

termos que a compõem. Um exemplo de tautologia é:

a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é

gordo

b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo

c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então

Guilherme é gordo

d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é

alto e Guilherme é gordo

e) se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo

Rodrigo Melo

a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo

b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo

Rodrigo Melo

c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo

d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e

Guilherme é gordo

Rodrigo Melo

e) se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo

Rodrigo Melo

Condição suficiente e

condição necessáriaNa condicional a primeira proposição é condição

suficiente para a segunda e a segunda é condição necessária para a primeira.

Exemplo:

Se Andréa e paulista então Andréa é brasileira.

Rodrigo Melo

p → q

C.S

C.N

Na bi condicional a primeira proposição é condição suficiente e necessária para a segunda e vice versa.

Exemplo:

Rodrigo é sobrinho de Elisia se somente se Elisia for irmã de Ecleide, mãe de Rodrigo.

Rodrigo Melo

p ↔ q

C.S e CN

Rodrigo Melo

Exemplo:

Se chover então faz frio. Assim sendo:

a) Chover é condição necessária para fazer frio.

b) Fazer frio é condição suficiente para chover.

c) Chover é condição necessária e suficiente para fazer

frio.

d) Chover é condição suficiente para fazer frio.

e) Fazer frio é condição necessária e suficiente para

chover.

Rodrigo Melo

Se Marcos não estuda, João não passeia. Logo:

a) Marcos estudar é condição necessária para João não

passear

b) Marcos estudar é condição suficiente para João

passear.

c) Marcos não estudar é condição necessária para João

não passear.

d) Marcos não estudar é condição suficiente para João

passear.

e) Marcos estudar é condição necessária para João

passear.

Rodrigo Melo

Aula 3

Rodrigo Melo

1. Há três suspeitos de um crime: o cozinheiro, o mordomo e o

jardineiro. Sabe-se que o crime foi efetivamente cometido por um

ou por mais de um deles, já que podem ter agido individualmente

ou não. Sabe-se, ainda, que:

•se o cozinheiro é inocente, então o mordomo é culpado;

•ou o jardineiro é culpado ou o mordomo é culpado, mas não os

dois;

•o jardineiro não é inocente.

Logo:

a) o mordomo e o jardineiro são os culpados

b) o cozinheiro e o jardineiro são os culpados

c) somente o mordomo é culpado

d) somente o cozinheiro é inocente

e) somente o jardineiro é culpado

Rodrigo Melo

2. Ou Lógica é fácil, ou Artur não gosta de Lógica. Por

outro lado, se Geografia não é difícil, então Lógica é

difícil. Daí segue-se que, se Artur gosta de Lógica, então:

a) Se Geografia é difícil, então Lógica é difícil.

b) Lógica é fácil e Geografia é difícil.

c) Lógica é fácil e Geografia é fácil.

d) Lógica é difícil e Geografia é difícil.

e) Lógica é difícil ou Geografia é fácil.

Rodrigo Melo

3. Se A é alegre então B é boa, se B é boa então C é calma.

Sabe-se que C não é calma, nestas condições pode-se

concluir que:

a) A não é boa.

b) B não é alegre.

c) A não é calma.

d) C não é alegre.

e) A não é alegre.

Rodrigo Melo

4. Considere as seguintes proposições:

p: Eduardo é estudante.

q: Carina é bailarina.A proposição composta ~(~p q) em linguagem corrente éa) “Não é verdade que Carina não é bailarina e Eduardo não é estudante”.b) “Carina não é bailarina ou Eduardo é estudante”.c) “Carina não é estudante ou Eduardo é bailarino”.d) “Não é verdade que Carina é bailarina ou Eduardo é estudante”.e) “Carina não é bailarina e Eduardo não é estudante”.

Rodrigo Melo

5. Considere a sentença “Se os juros baixarem, haverá

crescimento econômico”.

A CONTRAPOSITIVA dessa sentença é

a) Se os juros não baixarem, não haverá crescimento econômico.

b) Se não houver crescimento econômico, os juros não baixam.

c) Se os juros não baixarem, haverá crescimento econômico.

d) Se houver crescimento econômico, os juros baixam.

e) Se os juros não baixarem, haverá recessão.

Rodrigo Melo

6. A NEGAÇÃO da sentença: “Hortelino saiu sem avisar e foi ao

cinema” é

a) “Hortelino saiu sem avisar e não foi ao cinema”.

b) “Hortelino não saiu sem avisar e não foi ao cinema”.

c) “Hortelino não saiu sem avisar ou não foi ao cinema”.

d) “Hortelino não saiu sem avisar e foi ao cinema”.

e) “Hortelino saiu sem avisar ou não foi ao cinema”.

Rodrigo Melo

7. Sejam as declarações:Se ele me ama então ele casa comigo.Se ele casa comigo então não vou trabalhar.Ora, se vou ter que trabalhar podemos concluir que:a) Ele é pobre mas me ama.b) Ele é rico mas é pão duro.c) Ele não me ama e eu gosto de trabalhar.d) Ele não casa comigo e não vou trabalhar.e) Ele não me ama e não casa comigo.

Rodrigo Melo

8. Sejam as declarações:Se o governo é bom então não há desemprego.Se não há desemprego então não há inflação.Ora, se há inflação podemos concluir que:a) A inflação não afeta o desemprego.b) Pode haver inflação independente do governo.c) O governo é bom e há desemprego.d) O governo é bom e não há desemprego.e) O governo não é bom e há desemprego.

Rodrigo Melo

9. Três amigas, Tânia, Janete e Angélica, estão sentadas lado a lado emum teatro. Tânia sempre fala a verdade; Janete às vezes fala a verdade;e Angélica nunca fala a verdade. A que está sentada à esquerda diz:“Tânia é quem está sentada no meio”. A que está sentada no meio diz:“Eu sou Janete”. Finalmente, a que está sentada à direita diz: “Angélica équem está sentada no meio”. A que está sentada à esquerda, a que estásentada no meio e a que está sentada à direita são, respectivamente:a) Janete, Tânia e Angélicab) Janete, Angélica e Tâniac) Angélica, Janete e Tâniad) Angélica, Tânia e Janetee) Tânia, Angélica e Janete

10. Se Bia briga com Lara, então Lara vai ao teatro. Se Lara vai ao teatro,então Sandra fica em casa. Se Sandra fica em casa, então Bruno brigacom Sandra. Ora, Bruno não briga com Sandra. Logo...a) Sandra não fica em casa e Bia não briga com Lara.b) Sandra fica em casa e Lara vai ao teatro.c) Sandra não fica em casa e Lara vai ao teatro.d) Lara vai ao teatro e Bia briga com Lara.e) Lara não vai ao teatro e Bia briga com Lara.

11. Rafael quer ir ao teatro assistir a peça “Noviça Rebelde”, mas nãotem certeza se a mesma está sendo exibida. Seus amigos, Luana, Luis eIvan têm opiniões discordantes sobre se a peça está ou não em cartaz.Se Julia estiver certa, então Ivan está enganado. Se Ivan estiverenganado, então Luis está enganado. Se Luis estiver enganado, então apeça não está sendo exibida. Ora, ou a peça “Noviça Rebelde” estásendo exibida, ou Rafael não ira ao teatro. Verificou-se que Julia estácerta. Logo,a) A peça “Noviça Rebelde” está sendo exibida.b) Luis e Ivan não estão enganados.c) Ivan está enganado, mas Luis não.d) Luis está enganado, mas Ivan não.e) Rafael não irá ao teatro.

12. Se Nestor disse a verdade, Júlia e Raul mentiram. Se Raul mentiu,Lauro falou a verdade. Se Lauro falou a verdade, há um leão feroz nestasala. Ora, não há um leão feroz nesta sala. Logo,a) Nestor e Júlia disseram a verdadeb) Nestor e Lauro mentiramc) Raul e Lauro mentiramd) Raul mentiu ou Lauro disse a verdadee) Raul e Júlia mentiram.

(CESPE) Na lógica sentencial, denomina-se proposição uma

frase que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F),

mas não, como ambas. Assim, frases como “Como está o

tempo hoje?” e “Esta frase é falsa” não são proposições

porque a primeira é pergunta e a segunda não pode ser

nem V nem F. As proposições são representadas

simbolicamente por letras maiúsculas do alfabeto — A, B, C

etc. Uma proposição da forma “A ou B” é F se A e B forem

F, caso contrário é V; e uma proposição da forma “Se A

então B” é F se A for V e B for F, caso contrário é V. Um

raciocínio lógico considerado correto é formado por uma

seqüência de proposições tais que a última proposição é

verdadeira sempre que as proposições anteriores na

seqüência forem verdadeiras.

Considerando as informações contidas no texto acima,

julgue os itens subseqüentes.

13) ( ) É correto o raciocínio lógico dado pela seqüência de

proposições seguintes:

Se Antônio for bonito ou Maria for alta, então José será aprovado

no concurso.

Maria é alta.

Portanto José será aprovado no concurso.

14) ( ) É correto o raciocínio lógico dado pela seqüência de

proposições seguintes:

Se Célia tiver um bom currículo, então ela conseguirá um

emprego.

Ela conseguiu um emprego.

Portanto, Célia tem um bom currículo.

Aula 4

Rodrigo Melo

Proposições categóricas

São quatro proposições categóricas possíveis. As proposições categóricas serão classificadas em:

- Universais

- Particulares

Rodrigo Melo

As proposições universais são aquelas em que o predicado refere-se à totalidade do conjunto.

Exemplo:

“Todos os homens são inteligentes.”

Na proposição acima observamos que é universal onde englobam todos os homens sem exceção, e que pode ser representado como:

“Todo S é P”

Rodrigo Melo

As proposições particulares são aquelas em que o predicado refere-se apenas a uma parte do conjunto.

Exemplo:

“Alguns homens são inteligentes.”

Já nesta outra proposição acima, não são incluídos todos os homens, só uma parte deles, que pode ser representado como:

“Alguns S é P.”

Rodrigo Melo

Esses tipos de proposições também podem ser classificados em:

- afirmativas (exemplo anterior)

- negativas

No caso da negativa podemos ter:

“Nenhum homem é inteligente”

Na proposição acima ela é universal negativa e simbolizamos por:

“Nenhum S é P.”

- Outro exemplo:

“Alguns homens não são inteligentes.”

Ela é particular e negativa que poder ser representada por:

“Algum S não é P.”

• Com isso podemos resumir essas

Afirmativa Negativa

Universal (A) Todo S é P (E) Nenhum S é P.

Particular(I) Algum S é P (O) Alguns S não é

Rodrigo Melo

Diagrama

(E) Nenhum S é P.

(I) Algum S é P.

(O)Algum S não é P.

(A) Todo S é P.

Rodrigo Melo

Lógica da Argumentação

Argumento

É um conjunto de proposições com uma estrutura lógica que podem ter como conseqüência outra proposição. Ou seja, conjunto de proposições p1, p2, p3, ..., pn que tem como conseqüência outra proposição r.

As proposições p1, p2, p3, ..., pn serão chamados de premissas do argumento, e a proposição r de conclusão do argumento.

Rodrigo Melo

Exemplo:

p1: Se eu passar no concurso então irei trabalhar.

p2: Passei no concurso.

r: Irei trabalhar

Rodrigo Melo

Validade ou Invalidade

Rodrigo Melo

Validade de um argumento

Para um argumento ser válido a verdade das

premissas deve garantir a verdade da conclusão do

argumento. Significa dizer que jamais deverá ter uma

conclusão falsa, independente da validade de suas

premissas.

Exemplo:

Todos os peixes tem asas. (F)Todos os pássaros são peixes. (F)

Todos os pássaros tem asas. (V)

Invalidade de um argumento

Para um argumento inválido, quando há possibilidade de suas premissas serem verdadeiras e sua conclusão falsa, ou seja, a verdade de suas premissas não é suficiente para garantir a verdade da conclusão.

Exemplos:

Todos os cachorros são animais. (V)

Todos os gatos animais. (V)

Todos os cachorros são gatos. (F)

Rodrigo Melo

Todos os alunos do curso passaram.

Daniel não é aluno do curso.

Portanto, Daniel não passou.

Rodrigo Melo

ARGUMENTOS DEDUTIVOS E INDUTIVOS

Os argumentos também podem ser classificados em:

- dedutivos

- indutivo

O argumento dedutivo será quando suas premissas fornecerem prova conclusiva da veracidade da conclusão.

Já o argumento indutivo quando possui informações que ultrapassam as fornecidas nas premissas.

Rodrigo Melo

ARGUMENTOS DEDUTIVOS E INDUTIVOSExemplos:

Argumento dedutivo

Todo ser humano tem pai.

Todos os homens são humanos

Todos os homens têm pai.

Argumento indutivo

O Botafogo é um ótimo time de futebol.

O Vasco é um ótimo time de futebol.

O Fluminense é um ótimo time de futebol.

Todos os times brasileiros são ótimos times de futebol.

Rodrigo Melo

ARGUMENTO DEDUTIVO VÁLIDOS

Lembrando que argumentos válidos ou inválidos aplica-se apenas aos argumentos dedutivos, e que a validade depende apenas da forma do argumento e não dos valores das premissas.

Afirmação do antecedente ou Modus ponens

Se eu passar no concurso então irei trabalhar.

Passei no concurso.

Irei trabalhar

Rodrigo Melo

ARGUMENTO DEDUTIVO VÁLIDOS

Negação do conseqüente ou Modus tollens

Uma equivalência específica vista anteriormente de uma condicional é chamada de contra positiva.

p→q = ~q→ ~p

Exemplo:

Se ela me ama, então casa comigo.

Não casa comigo.

Então ela não me ama.

Rodrigo Melo

Este argumento ocorre quando alguém é forçado a escolher entre duas alternativas indesejáveis.

Exemplo:

Maria inscreveu-se no concurso do TRT, porém não gostaria de sair do Rio de Janeiro, e seus colegas de trabalho estão torcendo por ela.

Eis o dilema de Maria:

- Se Maria passar no concurso vai ter que ir embora do Rio de Janeiro.

- Se Maria não passar no concurso ficará com vergonha diante dos colegas de trabalho.

Portanto: Ou Maria vai embora do Rio de Janeiro ou Maria ficará com vergonha diante dos colegas de trabalho

Podemos reescrever esses argumentos como:

Dilema

ARGUMENTO DEDUTIVO INVÁLIDO

É a combinação da verdade com falsidade das premissas de qualquer maneira com a verdade ou falsidade da conclusão. Lembrando que as premissas não sustentam a conclusão.

Exemplo:

Todos os mamíferos são mortais.(V)

Todos os cachorros são mortais.(V)

Todos os cachorros são mamíferos.(V)

Este argumento tem a seguinte forma:

Todos os A são B.

Todos o C são B.

Todos os C são A.

ARGUMENTO DEDUTIVO

INVÁLIDO

Podemos observar que é um argumento inválido, pois suas premissas não sustentam a conclusão. Então todos os argumentos inválidos chamaremos de falácias. Para compreender melhor basta substituir: A por humanos, B por mortais e C por cachorros. Logo teremos:

Todos os humanos são mortais.(V)

Todos o cachorros são mortais.(V)

Todos os cachorros são humanos.(F)

SILOGISMO

É o argumento formado por duas premissas e uma conclusão. No silogismo teremos três termos:

- Termo menor: sujeito da conclusão

- Termo médio: é o termo que aparece uma vez em cada premissa e não aparece na conclusão.

- Termo maior: predicado da conclusão

Adotaremos a premissa maior a que contém o termo maior e a premissa menor a que contém o termo menor

SILOGISMO

Exemplo:

• Todas as mulheres são bonitas.

• Todas as princesas são mulheres.

• Todas as princesas são bonitas

- Termo menor: as princesas

- Termo médio: mulheres

- Termo maior: bonitas

- Premissa menor: todas as princesas são mulheres

- Premissa maior: todas as mulheres são bonitas

Regras para a validade de um

Silogismo1) Todo silogismo deve conter apenas três termos;

2) O termo médio deve ser universal pelo menos uma vez;

3) O termo médio não pode constar na conclusão;

4) Nenhum silogismo que tenha suas premissas negativas é

válido;

5) De duas premissas particulares não poderá ter uma

conclusão;

6) Se há uma premissa particular a conclusão será

particular;

7) Se há uma premissa particular negativa a conclusão será

particular .negativa

1.Verifique a validade das seguintes argumentações. Se

ela for válida indique por “v”, se for não válida

indique por “nv”.

a) Toda pessoa persistente acaba vencendo. Ora, você

certamente vencerá. Logo, você é persistente. nv

b) Todo alemão é inteligente. Ora, Fritz é alemão. Logo,

ele é inteligente.v

EXERCÍCIOS

c) Todo macaco é animal. Ora, homem é animal. Logo,

homem é macaco.nv

d) Você é um patinho. Ora, a mãe do patinho é uma

pata. Logo, a sua mãe é uma pata.v

2.(CESPE) Considerando que uma argumentação é

correta quando, partindo-se de proposições

presumidamente verdadeiras, se chega a conclusões

também verdadeiras, julgue o próximo item. Suponha-se

que as seguintes proposições sejam verdadeiras.

I Todo brasileiro é artista.

II Joaquim é um artista.

Nessa situação, se a conclusão for “Joaquim é

brasileiro”, então a argumentação é correta.( E )

3.Se é verdade que “Alguns A são R” e que “Nenhum G

é R”, então é necessariamente verdadeiro que:

*a) algum A não é G

b) algum A é G.

c) nenhum A é G

d) algum G é A

e) nenhum G é A

4.Sabe-se que existe pelo menos um A que é B. Sabe-

se, também, que todo B é C. Segue-se, portanto,

necessariamente que

a) todo C é B

b) todo C é A

*c) algum A é C

d) nada que não seja C é A

e) algum A não é C

5.Todos os médicos são obesos. Nenhum obeso sabe nadar.

Segue-se que:

a) Algum médico não é obeso

b) Algum médico sabe nadar

c) Nenhum médico sabe nadar

d) Nenhum médico é obeso

e) Algum obeso sabe nadar

6.(CESPE) – Das premissas:

A: “Nenhum herói é covarde.”

B: Alguns soldados são covardes.”

Pode-se corretamente concluir que:

a) alguns heróis são soldados.

b) alguns soldados são heróis.

c) nenhum herói é soldado.

*d) alguns soldados não são heróis.

e) nenhum soldado é herói.

7.Em uma pequena comunidade, sabe-se que: "nenhum

filósofo é rico" e que "alguns professores são ricos".Assim, pode-se afirmar, corretamente, que nesta

comunidade

a) alguns filósofos são professores

b) alguns professores são filósofos

c) nenhum filósofo é professor

*d) alguns professores não são filósofos

e) nenhum professor filósofo

8.(CESPE) A forma de uma argumentação lógica

consiste de uma seqüência finita de premissas seguida

por uma conclusão. Há formas de argumentação lógica

consideradas válidas e há formas consideradas

inválidas. No quadro abaixo, são apresentadas duas

formas de argumentação lógica, uma de cada tipo

citada, em que “~” é o símbolo de negação.

A respeito dessa classificação, julgue os itens seguintes.

a) A seguinte argumentação é inválida.

Premissa 1:Todo funcionário que sabe lidar com

orçamento conhece contabilidade.

Premissa 2: João é funcionário e não conhece

contabilidade.

Conclusão: João não sabe lidar com orçamento.E

b) A seguinte argumentação é válida.

Premissa 1: Toda pessoa honesta paga os impostos

devidos.

Premissa 2: Carlos paga os impostos devidos.

Conclusão: Carlos é uma pessoa honesta.E

9.Se é verdade que “Alguns B são R” e que “Nenhum Z é R”,

então é necessariamente verdadeiro que:

a) algum B não é Z

b) algum B é Z

c) nenhum B é Z

d) algum Z é B

e) nenhum Z é B

10. Se for verdade que “Nenhum hexágono é icoságono” e que

“Nenhum eneágono é icoságono”, então é necessariamente

verdadeiro que:

a) algum hexágono não é eneágono

b) algum hexágono é eneágono

c) nenhum hexágono é eneágono

d) algum eneágono é hexágono

e) não se pode tirar conclusão

Aula 5

Rodrigo Melo

Fatorial e o Principio

Fundamental da

Contagem

Professor Rodrigo Melo

FatorialSendo n um número natural maior que um (1), podemos definir

como fatorial de n (n!) o número:

Lembrando que n N (n pertence aos números naturais) e

n 1 ( n maior que 1 ).

O símbolo n! (lê-se: fatorial de n ou n fatorial.)

Exemplos:

7! =

6! =

3! =

Observação:Por definição, para 0!=1 e 1! = 1

7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5040

6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1= 720

3 . 2 . 1 = 6

PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA

CONTAGEM

Por este meio pode-se determinar quantas vezes, de modo

diferente, um acontecimento pode ocorrer. Ou seja, é um

princípio combinatório que indica de quantas formas se pode

escolher um elemento de cada um de n conjuntos finitos. Se o

primeiro conjunto tem k1 elementos, o segundo tem k2

elementos, e assim sucessivamente, então o número total T de

escolhas é dado por:

T = k1 . k2 . k3 . ... kn

Princípio da MultiplicaçãoSe uma decisão d1 pode ser tomada de x maneiras e uma

decisão d2 puder ser tomada de y maneiras então as decisões d1 e d2 podem ser tomadas de (x.y) maneiras.

Exemplos:

1) Uma homem possui quatro camisas e três calças. De quantos modos diferentes ele poderá se vestir?

Solução

Escolha de uma calça: 3 possibilidadesEscolha de uma camisa: 4 possibilidadesTotal: 3 x 4 = 12 combinações

A escolha de uma calça poderá ser feita de três maneiras diferentes, onde cadacalça poderá ser combinada com as quatro camisas.

Exemplo 2:

Para fazer uma viagem Rio - São Paulo - Rio, posso usar como

meio de transporte o trem, o ônibus ou o avião. De quantos

modos posso escolher os transportes se não desejo usar na

volta o meio de transporte usado na ida?

Solução

Há três modos de escolher o transporte de ida. Depois

disso, há duas alternativas para a volta. A resposta é 3 x 2= 6

modos.

Princípio da Adição

Se A e B são eventos disjuntos com n1 e n2 possibilidades, respectivamente, então o número de possibilidades para o evento A ou B é n1 + n2.

Exemplo:

1) Quantos números de quatro dígitos começam com 4 ou 5?

Solução

Podemos considerar dois casos disjuntos:- números que começam por 4 =1x10x10x10 possibilidades- números que começam por 5 = 1x10x10x10 possibilidades e

Então temos um total de 2x10x10x10 possibilidades, pois (1x10x10x10) + (1x10x10x10)= 2x10x10x10.

PERMUTAÇÃOSão agrupamentos com n elementos, de forma que os n

elementos sejam distintos entre si pela ordem. As permutações podem ser simples, com repetição ou circulares.

Permutação Simples

Permutações simples de n elementos distintos são os agrupamentos formados com todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos.

Pn = n!

PERMUTAÇÃOExemplo:

Quantos números de 5 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1,2,3,4,5?

Solução

P5=5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120

Logo, podemos formar 120 números

Permutação com Repetição

Se entre os n elementos de um conjunto existem a elementos repetidos, b elementos repetidos, c elementos repetidos e assim sucessivamente, o número total de permutações que podemos formar é dado por:

Exemplo:

Quantos são os anagramas da palavra:

a) ELEGER

b) CANDIDATA

Permutação CircularChamamos de Permutação Circular a disposição dos

elementos de um conjunto ao redor de um circulo. Para determinarmos o número de disposições possíveis basta utilizar a expressão abaixo:

Pc = (n-1)!

Exemplo:

1) De quantas formas podemos colocar quatro pessoas em uma mesa circular?

Solução

Pc = (4-1)! = 3! = 3 . 2 . 1 = 6 arrumações possíveis

Arranjo Simples- não há repetição de elementos;