View
216
Download
3
Category
Preview:
Citation preview
Universidade Federal do Paraná Engenharia Industrial Madeireira Geometria Analítica Prof. Guilherme Augusto Pianezzer Gabarito Segunda Prova
Questão 1. Escreva a definição de elipse.
Elipse é o lugar geométrico dos pontos no plano cuja soma da distância a dois pontos fixos (focos) é
sempre constante.
Explique qual o significado dos seus parâmetros
: semi-eixo maior, representando a distância do centro ao ponto mais distante pertencente a elipse.
semi-eixo menor, representando a distância do centro ao ponto mais próximo pertencente a elipse.
distância entre o centro e o foco.
excentricidade, representando uma proporção entre e .
Dois pontos fixos (Focos)
Extremidades, representando os pontos pertencentes a elipse mais distantes do centro.
Escreva a definição de hipérbole.
Hipérbole é o lugar geométrico dos pontos no plano cuja diferença, em valor absoluto, a dois pontos
fixos é sempre constante.
Explique qual o significado dos seus parâmetros c,
distância centro ao vértice.
distância centro ao foco.
Dois pontos fixos (Focos)
Vértices, representando os pontos mais próximos pertencentes a hipérbole em relação ao centro.
Questão 2. A partir da definição da parábola, obtenha uma equação para um caso em que o sistema
de referência esteja coincidente com o vértice da parábola e a diretriz seja paralela ao eixo
A parábola é o lugar geométrico dos pontos cuja distância a um ponto dado (foco) e a uma reta dada
(diretriz) é sempre igual. Sabendo disto, pode-se escrever coordenadas para os seguintes pontos:
(
) (
)
E pela definição de parábola temos que
Com este caso simplificado, pode-se reescrever a distância do ponto a diretriz como a distância de dois
pontos dados por:
Ou seja,
| | | |
Reescrito como
√(
)
√(
)
Desenvolvendo,
Questão 3. Sendo
Descreva a curva acima e encontre a nova equação após sofrer uma translação de maneira que o
ponto se torne o ponto Esboce ambos os gráficos.
A equação no sistema de referência é uma parábola tal que Seu gráfico é dado na Figura 1.
A nova parábola é obtida fazendo a translação desta de maneira que o ponto se torne, no novo
sistema de referência, o ponto
Sendo as coordenadas de um ponto qualquer no sistema de coordenadas e as
coordendas deste mesmo ponto no sistema de coordenadas , então:
{
Portanto, ao realizar as mudanças de coordenadas, a nova equação passa a ser:
Cujo gráfico é similar ao da Figura 1, mas transladado como pode ser observado na Figura 2.
Figura 1: Parábola centrada na origem.
Figura 2: Parábola com vértice em (5,6)
Questão 4. Seja O um objeto geométrico centrado na origem. Seja R uma rotação de um ângulo e
T uma translação qualquer. Explique a diferença entre aplicar R e em seguida T do que aplicar T e em
seguida R.
Como a rotação é de um ângulo em relação a origem do sistema isso implica que todos os pontos que
sofrem rotação o fazem em torno da origem do sistema de referência. Assim, um objeto centrado na
origem ao sofrer uma rotação rotaciona em torno dele mesmo. E um objeto que não está centrado na
origem, rotaciona, como um todo, em torno da origem do sistema de referência.
Questão 5. Identificar a cônica, localizando todos seus parâmetros, dada pela equação
Esboce o gráfico.
Completando quadrados,
Que representa uma hipérbole centrada no ponto , com
e semi-eixo real paralelo ao eixo-x. Seu gráfico está
na Figura 3.
Questão 6. Identificar a cônica, localizando todos seus parâmetros, dada pela equação
Esboce o gráfico.
Completando quadrados,
Que representa uma elipse centrada no ponto , com
e semi-eixo maior paralelo ao eixo-x. Seu gráfico
está na Figura 4.
Questão 7. Sendo uma elipse dada no sistema de referência auxiliar (Centrado na origem, com
semi-eixo maior paralelo ao eixo ), de maneira que . Após sofrer uma rotação de um
ângulo , o novo foco passa a ter coordenadas .
Figura 3: Gráfico Questão 5
Figura 4: Elipse Questão 6
Descreva um teste que permita encontrar o ângulo de rotação da elipse.
Como a elipse estava centrada na origem, pode-se construir dois vetores: . O ângulo entre
estes vetores representará o ângulo de rotação. Logo,
| | |
|
Para , genéricos, encontre a nova equação da elipse após sofrer esta rotação.
No sistema de referência , temos:
Entretanto, ao sofrer uma rotação de um ângulo , temos a seguinte transformação entre e :
{
E no novo sistema de referência a equação fica dada por:
Recommended