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GOVERNO DO ESTADO DE SÃO PAULO SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO
E.E. Prof. João Evangelista da Costa
Plano de aula semanal 2º bimestre 2020
Professor: Lucas Tavares de Castro Disciplina: Matemática.
Série/Ano: 9ºB
Período de realização: 29/06 a 03/07/2020
Quantidade de aula: 6
Tema/ Conteúdo: Expressões algébricas: fatoração e produtos notáveis;
Resolução de equações polinomiais do 2º grau por meio de fatorações.
Habilidades a serem trabalhadas: (EF09MA09) Compreender os processos de
fatoração de expressões algébricas, com base em suas relações com os
produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser
representados por equações polinomiais do 2º grau.
Atividades a serem realizadas: Acompanhar CMSP e através de material
disponibilizado por esse meio, realizar a copia da matéria/roteiro de estudo e
realizar as atividades preferencialmente de forma legível e buscar tirar
duvidas a distancia.
Recursos utilizados: Arquivos digitais, aplicativo do CMSP, Google sala de
aula.
Instrumento de verificação da aprendizagem: Avaliação por atividades
encaminhadas digitalmente.
1) Como verificar e corrigir dados patrocinados https://youtu.be/TH3FaNRb8Po 2) Como baixar e logar no Aplicativo CMSP (Recuperar RA e Senha - Alunos e Professores)- Atualizado https://youtu.be/6zEsuzQSX5A 3) Como usar o CHAT e fazer live no CMSP - Alunos e Professores https://youtu.be/szeTE65GM0s 4) Como o aluno acessa as turmas criadas pela SED no Google Classroom - CMSP https://youtu.be/Nn7JVVKngoE 5) Verificando sua navegação e corrigindo dados patrocinados no Aplicativo do Centros de Mídias SP https://youtu.be/TH3FaNRb8Po 6) Como resetar a senha do aluno na SED https://youtu.be/gnrILgXVM6I 7) Como acessar a SED - Primeiro Acesso https://youtu.be/GLGx_JRUs7w
8) Como baixar emulador Android para usar o app CMSP no pc
https://youtu.be/qU_Tg0hYGeI
Lembrem-se de acessar o blog do João, toda semana serão postadas as
atividades de todas as disciplinas:
https://joaoevangelista149280874.wordpress.com/bem-vindoa/
Eu postarei no Google sala de aula as mesmas atividades/conteúdo que eu enviar
para o blog.
Entretanto no Google sala de aula e no chat do aplicativo do cmsp eu posso interagir
com vocês.
Código do Google sala de aula para quem quiser optar por entrar direto: 5ci2pau
Lembrando que você deve se identificar sempre caso use um email pessoal que não
tenha seu nome completo.
Vocês podem mandar suas duvidas e atividades, pelo Google sala de aula ou pelo
cmsp de terça a sexta de manhã, que eu estarei respondendo quando possível.
Peço que entrem em contato (respeitando o distanciamento social) com seus
colegas para que todos acessem pelo menos o blog do João e baixem as
atividades/matéria.
Uma dica que passo é que o representante de classe crie um grupo no „whatsapp‟
para que um possa ajudar o outro.
Fatoração
Vocês devem se recordar de ter visto fatoração certo? Bem vamos fazer uma
rápida recapitulação.
Basicamente fatorar uma expressão algébrica é escrevê-la na forma de uma
multiplicação.
Especificamente a fatoração é um processo utilizado na matemática que
consiste em representar um número ou uma expressão como produto de fatores. Ao
escrever um polinômio como a multiplicação de outros polinômios, frequentemente
conseguimos simplificar a expressão.
Fator Comum em Evidência:
Usamos esse tipo de fatoração quando existe um fator que se repete em
todos os termos do polinômio. Esse fator, que pode conter número e letras, será
colocado na frente dos parênteses. Dentro dos parênteses ficará o resultado da
divisão de cada termo do polinômio pelo fator comum. Na prática, vamos fazer os
seguintes passos:
1º) Identificar se existe algum número que divide todos os coeficientes do
polinômio e letras que se repetem em todos os termos.
2º) Colocar os fatores comuns (número e letras) na frente dos parênteses (em
evidência).
3º) Colocar dentro dos parênteses o resultado da divisão de cada fator do
polinômio pelo fator que está em evidência. No caso das letras, usamos a regra da
divisão de potências de mesma base.
Exemplo:
a) Qual é a forma fatorada do polinômio 12x + 6y - 9z?
Primeiro, identificamos que o número 3 divide todos os coeficientes e que não
existe nenhuma letra que se repete. Colocamos o número 3 na frente dos
parênteses, dividimos todos os termos por três e o resultado iremos colocar dentro
dos parênteses: 12x + 6y - 9z = 3 (4x + 2y - 3z)
Agrupamento
No polinômio que não exista um fator que se repita em todos os termos,
podemos usar a fatoração por agrupamento. Para isso, devemos identificar os
termos que podem ser agrupados por fatores comuns. Nesse tipo de fatoração,
colocamos os fatores comuns dos agrupamentos em evidência.
Exemplo Fatore o polinômio mx + 3nx + my + 3ny
Os termos mx e 3nx tem como fator comum o x. Já os termos my e 3ny
possuem como fator comum o y. Colocando esses fatores em evidência: x (m + 3n)
+ y (m + 3n) Note que o (m + 3n) agora também se repete nos dois termos.
Colocando novamente em evidência, encontramos a forma fatorada do polinômio:
mx + 3nx + my + 3ny = (m + 3n) (x + y)
Produtos notáveis
São multiplicações em que os fatores são polinômios. Existem cinco produtos
notáveis mais relevantes: quadrado da soma, quadrado da diferença, produto da
soma pela diferença, cubo da soma e cubo da diferença.
Quadrado da soma:
Os produtos entre polinômios conhecidos como quadrados da soma são os
do tipo: (x + a)(x + a)
O nome quadrado da soma é dado porque a representação por potência
desse produto é a seguinte: (x + a)2
A solução desse produto notável sempre será o polinômio a seguir:
(x + a)2 = x2 + 2xa + a2
Esse polinômio é obtido por meio da aplicação da propriedade distributiva da
seguinte maneira:
(x + a)2 = (x + a)(x + a) = x2 + xa + ax + a2 = x2 + 2xa + a2
A única diferença entre os resultados do quadrado da soma e da diferença é
um sinal negativo no termo do meio.
O quadrado da diferença:
(x – a)(x – a) Esse produto pode ser escrito da seguinte maneira por meio da
notação de potências:
(x – a)2 O seu resultado é o seguinte: (x – a)2 = x2 – 2xa + a2
Produto da soma pela diferença:
É o produto notável que envolve um fator com uma soma e outro com uma
subtração. Exemplo: (x + a)(x – a)
Não há representação em forma de potência para esse caso, mas sua
solução sempre será determinada pela seguinte expressão, também obtida com a
técnica do quadrado da soma:
(x + a)(x – a) = x2 – a2
Como exemplo, vamos calcular (xy + 4)(xy – 4). (xy + 4)(xy – 4) = (xy)2 – 162
Cubo da soma:
Com a propriedade distributiva, é possível criar uma “fórmula” também para
produtos com o seguinte formato: (x + a)(x + a)(x + a)
Na notação de potência, ele é escrito da seguinte maneira: (x + a)3
Por meio da propriedade distributiva e simplificando o resultado,
encontraremos o seguinte para esse produto notável:
(x + a)3 = x3 + 3x2a + 3xa2 + a3
Diferença de Dois Quadrados:
Para fatorar polinômios do tipo a2 - b2 usamos o produto notável da soma pela
diferença.
Assim, a fatoração de polinômios desse tipo será:
a2 - b2 = (a + b) . (a - b)
Para fatorar, devemos calcular a raiz quadrada dos dois termos. Depois,
escrever o produto da soma dos valores encontrados pela diferença desses valores.
Exemplo
Fatorar o binômio 9x2 - 25.
Primeiro, encontrar a raiz quadrada dos termos:
√9x2 = 3x e √25 = 5
Escrever esses valores como produto da soma pela diferença:
9x2 - 25 = (3x + 5) . (3x - 5)
Cubo Perfeito
Os polinômios a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 e a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 resultam do
produto notável do tipo (a + b)3 ou (a - b)3.
Assim, a forma fatorada do cubo perfeito é:
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3
a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = (a - b)3
Para fatorar polinômios desse tipo, devemos calcular a raiz cúbica dos termos
ao cubo.
Exemplos
a) Fatorar o polinômio x3 + 6x2 + 12x + 8 Primeiro, vamos calcular a raiz
cúbica dos termos ao cubo:
3√ x3 = x e 3√ 8 = 2
Depois, confirmar se é cubo perfeito:
3 * x2 * 2 = 6x2
3 * x * 22 = 12x
Como os termos encontrados são iguais aos termos do polinômio, então é um cubo
perfeito.
Assim, a fatoração será:
x3 + 6x2 + 12x + 8 = (x + 2)3
Trinômio do Quadrado Perfeito:
Trinômio é um polinômio que tem três monômios sem termos semelhantes, veja
exemplos:
3x2+2x+1
20x3 + 5x – 2x2
Mas nem todo trinômio pode ser representado na forma de quadrado perfeito.
Para que um trinômio seja quadrado perfeito ele deve ter algumas características:
• Dois termos (monômios) do trinômio devem ser quadrados.
• Um termo (monômio) do trinômio deve ser o dobro das raízes quadradas dos dois
outros termos.
Veja um exemplo:
Dois membros do trinômio têm raízes quadradas e o dobro delas é o termo do meio,
então o trinômio 16x² + 8x + 1 é quadrado perfeito.
Então, a forma fatorada do trinômio é 16x² + 8x + 1 é (4x + 1)², pois é a soma das
raízes ao quadrado.
Equações polinomiais de 2º grau utilizando fatoração
Bem, vocês devem já ter visto equações do 2º grau não é mesmo?
Temos aqui que o produto de dois fatores é igual a 0.
E para que o produto de dois números reais seja zero, necessariamente um dos dois é zero, ou ambos iguais a zero.
Assim, x-2 = 0 ou x-3 = 0.
Dessa maneira, x = 2 ou x = 3 são as soluções da equação polinomial de 2º grau
Observe essas equações polinomiais de 2º grau indicadas a seguir:
Lembrando:
Uma equação do 2º grau é considerada completa quando os coeficientes b e c são diferentes de zero e é incompleta quando b= 0 ou c= 0, ou, ainda, b= 0 e c= 0.
Recordando a fórmula de Bhaskara
Onde a é o numero que está com a incógnita ao quadrado, b é o numero que acompanha a incógnita e c é o numero sem incognita.
Vamos ver passo a passo a resolução dos exemplos a seguir:
1) 16x² - 8x + 1=0
Primeiramente se nota que é uma equação do segundo grau completa.
Para fatorar ela vamos ver se ela é um Trinômios quadrado perfeito, para tal ela tem de obedecer estes conceitos:
(a+b)² = a²+2*a*b+b²
(a-b)² = a²-2*a*b+b²
Então no exemplo 1 podemos fazer o seguinte:
O primeiro termo é 16x²
Podemos tirar raiz dele? Sim, raiz de 16 é 4 e raiz de x² é x (raiz quadrada anula potencia quadrada) então temos 4x, e o mesmo vale para 1, raiz de 1 é 1 mesmo.
Note que o termo do meio é -8x então como é menos teremos um quadrado da diferença (a-b)² = a²-2*a*b+b²
Logo (4x – 1)² é a forma fatorada de16x² - 8x + 1
Para confirmar basta fazer isso:
(4x – 1)² é o mesmo que (4x – 1)* (4x – 1) afinal um numero elevado ao quadrado é ele vezes ele mesmo e todos os termos dentro do () estão incluídos para serem elevados.
Resolvendo (4x – 1)* (4x – 1) temos
4x * 4x +4x*(-1) -1*4x -1*-1
16x² -4x – 4x +1 = 16x² - 8x + 1.
Assim temos que ao fatorar 16x² - 8x + 1=0 temos (4x – 1)²=0
Agora como resolver?
Temos duas formas, considere ambos os lados da equação
(4x – 1)* (4x – 1)
E iguale a zero
4x-1= 0 4x-1= 0
4x=1 4x=1
x=1/4 x=1/4
Os dois lados coincidem logo x= ¼.
Ou podemos pegar o (4x – 1)²=0
E tirar a raiz de ambos os lados
√(4x – 1)² = √0
(4x – 1)=0
4x=1
x=1/4
Perceba que 16*(1/4)² - 8*(1/4) + 1=0 Pode pegar sua calculadora e conferir.
Vamos para mais um exemplo:
x²+17x+30=0
Vamos analisar o primeiro e o terceiro termo para verificar o trinômio quadrado perfeito.
X² é um quadrado perfeito pois a raiz dele é x.
Mas 30 não é um quadrado perfeito, sua raiz não dá um valor inteiro.
Quando isso ocorre não dá para usar o conceito de trinômio quadrado perfeito.
Neste caso você pode trabalhar com o produto de dois binômios:
(x+x1)*(x+x2)=0
Vamos usar o segundo e o terceiro termo da equação que queremos fatorar nesse produto de binômios:
Neste caso temos que ter dois números que somados igualem 17 e quando multiplicados resultem em 30.
Recomendo pensar quais números multiplicados resultam 30, exemplo 1*30 é 30 mas 1+30 não é 17.
Mas não precisa pensar muito para perceber que 2*15 = 30 e 2+15 =17
Coloque o 2 como x1 e o 15 como x2
x²+17x+30=0
|
(x+2)*(x+15)=0
Como o produto dos fatores é igual a zero então um deles é 0
x+2 = 0
x+15=0
x=-2
x=-15
temos aqui o conjunto solução:
x1=-2 e x2=-15
Você pode substituir x tanto por -2 quanto por -15 que você obterá 0 na equação inicial.
Agora resolva as equações a seguir fatorando elas:
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