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GPEFE
Ondas Mecânicas
Prof. Me. Diego A. C. Albuquerque
diego.albuquerque@msn.com
megafisica.com.br
Aula 13: Ondas
Mecânicas
Ondas
Ondas podem ser definidas como resultados dealgum tipo de vibração. Tal vibração ao se propagarpelo espaço, com o passar do tempo produz o quedefinimos como ondas.
Ondas
Podemos definir uma onda como sendo uma
perturbação em um meio que se propaga,
transportando energia.
Se a corda estiver fixa em uma extremidade e provocarmos umaperturbação vertical para cima e para baixo, veremos que aperturbação se propaga pela corda.
As ondas transportam energia sem transporte de matéria.
Natureza de Vibração
Ondas Mecânicas
Nas propagações mecânicas ocorre transporte de vibraçõesmecânicas, isto é, as partículas materiais vibram. É o caso dasondas em cordas, em molas, na superfície e no interior doslíquidos, dos sólidos (terremotos) e dos gases (som se propagandono ar) etc. As ondas mecânicas necessitam de um meio materialpara sua propagação;
Ondas Eletromagnéticas
As propagações eletromagnéticas correspondem a variações noscampos elétrico e magnético, originadas por cargas elétricasoscilantes. É o caso das ondas de rádio, das microondas, dos raiosinfravermelhos e da luz visível.
Ondas de Matéria
Elétrons, prótons, átomos e até moléculas, que conhecemos comopartículas podem ter um comportamento ondulatório.
Direção de Propagação
Transversal
Longitudinal
Mistas
Variáveis de uma Onda:
Ao perturbar uma corda com afinalidade de produzir uma ondaprogressiva e transversal, identificamosuma figura semelhante aquelarepresentada abaixo:
Podemos propor umaequação que descreva aposição dos pontos em y dacorda em função de x e t.
Variáveis de uma Onda:
)(),( kxAsentxy =
Uma onda pode ser representada graficamentepor uma função seno
λπ2=k f
Tππω 2
2 ==
Constante de Fase
Quando uma onda progressiva senoidal éexpressa pela função de onda apresentadaabaixo, em t = 0 e x = 0 a onda sempreapresentará y(x,t) = A. Neste caso podemosintroduzir uma constante que permita alteraressa característica denominada constante de
fase (φ)
)(),( tkxAsentxy ω−=
)(),( ϕω +−= tkxAsentxy
Velocidade de Propagação
Uma sucessão de pulsos iguais produz umaonda periódica. Dentre as ondas em geral, asperiódicas apresentam especial interesse, tantopela facilidade de descrição, quanto pelasaplicações práticas. Analisaremos as ondasperiódicasUnidimensionais.
λλf
Tt
sv ==
∆∆=
Reflexão de um pulso
A figura é um pulso transversalpropagando-se para a direita em umacorda. A linha em claro corresponde a umaposição futura a ser ocupada pelaperturbação, após um intervalo de tempo t.
Chamamos de fonte o agente que gera aperturbação. Quando a fonte executa umaoscilação completa, produz um pulso quese propaga com certa velocidade ao longoda corda.A parede age como uma segunda fonte,produzindo um pulso oposto que sepropaga para a esquerda: a reflexão ocorrecom inversão de fase.
Reflexão de um pulso
Imaginemos uma argola, de massadesprezível em relação à corda, que possasubir e descer, sem atrito. Não havendointeração (como no caso anterior com aparede), a argola, ao subir e descer, agecomo uma fonte, produzindo um pulsoidêntico ao que chega, porém deslocando-se para a esquerda: a reflexão ocorre seminversão de fase.
Refração em uma corda
Numa corda, a dimensão que predomina é ocomprimento. Ao definirmos a densidade de umacorda é usual fazê-lo em termos de massa porunidade de comprimento, chamada de densidadelinear (μ).
L
m=µ
Imagine agora a seguinte situação, onde unimosduas cordas através do ponto J.
Refração em uma corda
Se μ1 = μ2
Se μ1 < μ2 Se μ1 > μ21
Velocidade de Propagação
µτ=v
Energia e Potência da Onda
Energia Cinética: esta é máxima quandoo ponto oscilando passa pela origem,maior v, maior a energia cinética.
Energia potencial elástica: a medidaque a onda se propaga a corda deveesticar e isso gera uma energia associadaa essa variação.
Transporte de energia: Quando a ondase propaga ao longo da corda, as forçasassociadas à tensão da corda realizamtrabalho continuamente para transferirenergia das regiões com energia para asregiões sem energia.
Energia e Potência da Onda
Taxa de Transporte de Energia:
2
2
ydmvdK =
22
4
1Av
dt
dKTaxa
méd
ωµ=
=
22
2
1AvPméd ωµ=
Equação de Onda
2
2
22
2 1
t
y
vx
y
∂∂=
∂∂
Superposição de Ondas
),(),(),( 21 txytxytxy +=
Equação de Onda
Interferência de Ondas
Suponha que duas ondassenoidais de mesmo comprimentode onda e mesma amplitude nomesmo sentido ao longo de umacorda esticada. Como será a ondaresultante?
Interferência de Ondas
)(),( tkxsenytxy m ω−=
)(),( ϕω +−= tkxsenytxy m
( ) ( )ϕωϕ2
12
1cos2[),( +−= tkxsenytxy m
Interferência de Ondas
A figura representa duas fontes F1 e F2, emconcordância de fase, produzindo ondasbidimensionais que atingem o ponto P.Sejam s1 o percurso da fonte F1 até o ponto P, e s2 opercurso da fonte F2 até o ponto P.
A diferença de percurso é dada por:
21 sss −=∆
Interferência de Ondas
Interferência Construtiva:
A diferença de percurso devecorresponder à distânciaentre pontos emconcordância de fase:
λns =∆
21 AAA +=
Interferência de Ondas
Interferência Destrutiva:
as ondas, ao atingir o pontoP, estão em oposição de fase.Se suas amplitudes foremiguais, teremos umaamplitude resultante nula.
λ
+=∆2
1ns 21 AAA −=
Interferência de Ondas
Interferência Parcial:
as ondas chegam ao pontoP com uma diferença defase que não é nula nemcorresponde às fasesopostas. São os pontosintermediários que sesituam entre asuperposição destrutiva ea construtiva.
2
1+≠∆≠ ns
nλ 2121 AAAAA +<<−
Ondas Estacionárias
Considere uma corda no qual uma extremidade se
encontra fixa num suporte e a outra ligada numa
fonte de ondas.
Se a fonte produzir ondas com
frequência constante, elas sofrerão reflexão na
extremidade fixa e, então ocorrerá uma
interferência da onda incidente com a refletida.
Essa onda terá a forma representada na figura.
Ondas Estacionárias
A soma destas duas oscilações resulta umaonda estacionária.
Definimos então ondas estacionárias comosendo aquela obtida pela interferência deduas ondas iguais que se propagam nomesmo meio e em sentidos contrários.
Entende-se por ondas iguais aquelas quepossuem mesma freqüência, mesmaamplitude, mesmo comprimento de onda,mesma velocidade.
Ondas Estacionárias
O seu comportamento também exibe uma freqüência Fundamental e os respectivos harmônicos:
Ondas Estacionárias
1° harmônico
Ondas Estacionárias
2° harmônico
Ondas Estacionárias
3° harmônico
Ondas Harmônicas
Ondas estacionárias podem ser produzidas em uma
corda através da reflexão de ondas progressivas nas
extremidades da corda. Se uma extremidade é fixa,
deve ser a posição de um nó. Isso limita as frequências
possíveis para as ondas estacionárias e cada frequência
possível é chamada de frequência de ressonância.
L
vnfn
2=
Ondas Estacionárias
Várias ondas, quando convenientemente somadas podem tomar a forma de um pulso:
+ +
+ + .... =
Ondas Sonoras
Genericamente uma onda sonora é definida comoqualquer onda longitudinal.
Ondas Sonoras
Frentes de Onda: são superfícies nas quais asoscilações do meio devida às ondas sonoras têm omesmo valor.
Raio: São linhas orientadas perpendicularmente asfrentes de ondas e indicam a direção de propagação.
Velocidade do Som
Semelhante a uma onda na corda, a velocidade depropagação para a onda sonora deve aparecer emobjetos que possuem então uma característicainercial e uma característica elástica.
µτ=v
Mas, para uma onda sonora, quem pode substituir atração? E o μ ?
Velocidade do Som
Imagine um pulso que se propaga da direita paraesquerda. Do referencial do pulso, temos o arviajando da esquerda para a direita.
ρB
v =
VV
pB ∆
∆−=
Velocidade do Som
A tabela a seguir mostra a velocidade do som emdiferentes meios materiais:
ρB
v =
Ondas Sonoras Progressivas
Uma onda sonora se propagando através do arpossui associado a ela uma variação de pressão eum deslocamento:
Ondas Sonoras Progressivas
Uma onda sonora se propagando através do arpossui associado a ela uma variação de pressão eum deslocamento:
)cos(),( tkxstxs m ω−=
)(),( tkxsenptxp m ω−∆=∆
mm svp )( ρω=∆
Interferência de Ondas
Assim como as ondas transversais,ondas longitudinais sofrem ofenômeno de interferência.
λπφ s∆=2 2
1+≠∆≠ ns
nλ
2
1+=∆n
s
λn
s =∆λ
Intensidade e Nível Sonoro
Podemos definir a intensidade (I) de uma ondacomo sendo a taxa de transferência de energiadesta onda por unidade de área:
²²2
1msv
A
PI ωρ==
Mas a intensidade varia com a distância dafonte:
²4 r
PI s
π=
Intensidade e Nível Sonoro
Muitas vezes, invés de utilizar a intensidadepara falar da onda sonora, utilizamos oconceito de nível sonoro:
0
log)10(I
IdB=β
Fontes de Sons Musicais
Os instrumentos musicais são as nossas fontes de sons
musicais, podendo estes ser produzidos por cordas vibrantes,membranas, colunas de ar, blocos de madeira ou barrasmetálicas...
L
nvfn
2=
As frequências de ressonância obtidas, variam de acordocom o tipo de instrumento:
• Tubo de duas extremidades abertas:
Fontes de Sons Musicais
L
nvfn
4=
• Tubo de uma extremidade aberta:
Batimento
Duas oscilações com pequena diferença nas suasfreqüências quando somadas, produzem o fenômeno dobatimento
)cos()]'cos(2[)( ttsts m ωω=
21 fffbat −=
Timbre e Altura
A altura é uma qualidade do som. É ela que nos permitediferenciar um som grave de um agudo. Som grave é o somde baixa frequência; som águdo é o de alta frequência.
O timbre nos permite distinguir entre sons de mesmafrequência (mesma altura) e de mesma intensidade mas
emitidos por fontes diferentes.
Efeito Doppler
Uma fonte de ondas está emitindo com frequênciade 1000 Hz. Se você estiver em um referencialparado em relação a fonte, medirá sua frequenciaem 1000 Hz também. Mas se você apresentar algumdeslocamento em relação a fonte de ondas, irádetectar uma frequência diferente. Esse fenômeno éconhecido como Efeito Doppler.
S
D
vv
vvff
±±='
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