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GrafosMsc. Daniele Carvalho Oliveira
2
Pontes de Königsberg (1736)
3
O que são Grafos Conjunto de pontos e linhas que conectam os
pontos.
Grafo é um modelo matemático que representa relações entre objetos.
4
O que são Grafos Grafos são estruturas de dados largamente
usadas em computação.
Exemplos de aplicações são: Modelagem de circuitos digitais Representação de processos em sistemas
paralelos ou distribuídos, Redes Redes Sociais Recuperação de Informação
5
O que são Grafos Similar a árvores e listas, com menos
restrições
6
7
Definição Um Grafo é um par ordenado
é um conjunto finito não-vazio. Os elementos de são denominados vértices.
é um conjunto finito de pares ordenados de vértices. Os elementos de são denominados arestas. Dois vértices ligados por uma aresta são
denominados adjacentes
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Exemplo
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2 0
3
4
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Conceitos de Grafos
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Laços, Arestas Múltiplas e Multigrafo
11
Grafo Trivial e Grafo Simples
A B C
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Grafo Completo
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Grafo Regular
Não é Grafo Regular Grafo Regular de grau 3
1
2 0
3
4
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Subgrafo
1
2 0
3
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4
1
3
4
0
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Caminho simples, trajeto e ciclos
Um Caminho é uma sequência de vértices , tal que
Quando todos os vértices do caminho são distintos, recebe o nome de caminho simples.
Quando todas as arestas são distintas, o caminho recebe o nome de trajeto
Um ciclo é um caminho , tal que e
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Caminho simples:
Trajeto:
Ciclo:
1
2 0
3
4
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Grafo Conexo e Desconexo
1
2 0
3
4
2
3 4
1
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Grafo Ponderado
C
F E
B
DA
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7
3
2
4
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1
6
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Dígrafo
1
2
3
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6
4
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Dígrafo Grafo Orientado
Deve-se respeitar a orientação das arestas
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Dígrafo Grau de entrada: número de arestas que
incidem no vértice Vértice Fonte: grau de entrada = 0
Grau de saída: número de arestas que partem do vértice Vértice Sumidouro: grau de saída = 0
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Árvores Um Grafo
Não possui ciclos Conexo Seja , se possui grau menor ou igual a 1, então
é uma folha Uma árvore com vértices possui arestas. Um grafo é uma árvore, se, e somente se, existir
um único caminho entre cada par de vértices de .
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24
Representação de Grafos
25
Como representar grafos em nossos algoritmos?
Estruturas de dados! Matrizes
Matriz de Adjacência Matriz de Incidência
Listas Listas de Adjacência
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Matriz de Adjacência Dado um grafo Uma Matriz de Adjacência é formada por
linhas e colunas = número de vértices do grafo
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1 2 3 4 5
1 0 1 0 0 1
2 1 0 1 1 0
3 0 1 0 1 0
4 0 1 1 0 1
5 1 0 0 1 1
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Simétrica
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1 0 1 0 0 1
2 0 0 1 0 0
3 0 1 0 0 0
4 0 1 1 0 0
5 0 0 0 1 1
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Matriz de Adjacência O espaço reservado para armazenar as
informações da matriz é da ordem Para buscar uma aresta:
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Matriz de Incidência Dado um grafo de vértices e arestas
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e1
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2 1 1 1 0 1 0 0 0
3 0 1 1 1 0 0 0 0
4 0 0 0 1 1 1 0 0
5 0 0 0 0 0 1 1 0
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e2 e3
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e5e6
e7e8
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e1
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2 -1 1 -1 0 -1 0 0 0
3 0 -1 1 -1 0 0 0 0
4 0 0 0 1 1 -1 0 0
5 0 0 0 0 0 1 -1 0e4
e2 e3
e1
e5e6
e7e8 1
5 2
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Matriz de Incidência O espaço reservado para armazenar as
informações da matriz é da ordem Para buscar uma aresta:
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Lista de Adjacência Consiste em um vetor com entradas Cada entrada possui uma lista encadeada de
vértices adjacentes à .
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Matriz de Incidência O espaço reservado para armazenar as
informações da matriz é da ordem Para buscar uma aresta:
Para descobrir se existe a aresta deve-se percorrer a lista do nó até encontrar (ou não)
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Busca em Grafos
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Algoritmos de Busca Operação mais comum em Grafos
Visita sistemática a seus nós (uma única vez!) Similar às buscas em árvore
Para passear ou caminhar pelos vértices e arestas, utiliza-se marcar um vértice quando ele já foi visitado.
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Algoritmos de Busca Dois tipos básicos de busca
Busca em Profundidade Busca em Largura
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Busca em Profundidade
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3
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3
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Busca em Profundidade Para acessar todos os vértices do grafo, a
busca em profundidade varre a lista de adjacência de cada vértice do grafo Assim, o tempo gasto para a operação é
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Busca em Largura
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∞ ∞ ∞ ∞ ∞Distâncias
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Fila
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0 1 2 2 1Distâncias
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Busca em Largura Primeiro os vértices são inicializados, ou seja,
marcados como não visitados. O vetor de distâncias é inicializado com ∞ em
todas as posições Este processo de inicialização gasta tempo
60
Busca em Largura A medida que os vértices são encontrados, são
colocados em uma fila As operações de inserção e remoção da fila
gastam tempo Como todos os vértices são colocados e retirados
da fila, o tempo total é
61
Busca em Largura Como cada vértice é colocado na fila apenas 1
vez, a lista de adjacência de cada um só é analisado 1 vez Tempo
Portanto o tempo de execução da busca em largura é
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