GRUPÓIDE SEMIGRUPO SEMIGRUPO COMUTATIVO Lei de composição interna SUBGRUPÓIDE Prop. associativa...

GRUPÓIDE

SEMIGRUPOSEMIGRUPO COMUTATIVO

Lei de composição interna

SUBGRUPÓIDE

Prop. associativaProp. comutativa

Elemento neutroElementos opostos

Prop. distributiva

GRUPOGRUPO COMUTATIVO

ANELANEL COMUTATIVO

SUBGRUPO

CORPO

Estruturas Algébricas

1

2

Lei de Composição Interna

1,

:( , )

:a b E c E

E E Ea b c a b

c a b

Nota: Lei de composição interna ou operação binária

3

Grupóide

grupóide é),( E

interna composiçãode lei uma é

1,( , ) é grupóide :x y E z EE z x y

Exemplos: (even , +) é grupóide (odd ,+) não é grupóide

4

Subgrupóide

),( de esubgrupóid é),(

EB

grupóide é),(grupóide é),(

EB

EB

),(),( se-Escreve EB

5

Propriedades Associativa e Comutativa

, ,

a operação é associativa sse ( ) ( ), a b c Ea b c a b c

Num conjunto E diz-se que:

,

a operação é comutativa sse , a b Ea b b a

6

Semigrupo eSemigrupo Comutativo

semigrupo é),( E

aassociativ é grupóide é),(

E

comutativosemigrupo é

),( E

comutativa é semigrupo é),(

E

Nota: comutativo ou Abeliano

7

Elemento Neutro

, a Ea u u a a

único. é este neutro, elemento tem),( Se E

sse operação a paraneutro elemento é que se-diz ),( grupóide No

uE

Teorema:

• zero = el. neutro da adição exs: (, +), (even , +), (,+)• unidade = el. neutro da multiplicação exs: (, ·), (, ·)

8

Elementos Opostos

a a a a u

No grupóide ( , ) com elemento neutro diz-se que é oposto de sse

E ua a

• simétricos = els. opostos da adição• inversos = els. opostos da multiplicação

semigrupo (, ·) - apenas os elementos 1 e –1 têm inverso (oposto)semigrupo (, ·) - todos os elementos têm inverso excepto o zero.

exemplos

Teoremas

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Elementos Opostos(Teoremas)

1. Num grupóide ( , ) com elemento neutro , se é o oposto de , então

é o oposto de . ,

A u a a

a a a a a A

2. O elemento neutro de um grupóide ( , ) é oposto de si mesmo. u A

3. Num grupóide ( , ) com elemento neutro, se for associativa, o oposto de um elemento é único.

A

4. Num semigrupo ( , ) com elemento neutro , se um elemento admite oposto à esquerda e oposto à direita, então esses opostos são iguais. ( ) ( )

u u

A u aa a

a a a a a a

a a

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Grupo e Grupo Comutativo

grupo é),( E ( , ) é semigrupo

tem elemento neutro (único)todos os elementos têm oposto (único)

E

comutativogrupo é

),( E

comutativa é grupo é),(

E

Nota: comutativo ou Abeliano

(, ·) não é grupo porque o elemento 0 não tem oposto (e não é o el. neutro!)

exemplo

Propriedades

11

Grupos (Propriedades)

1. Num grupo ( , ), em que e são elementos de , as equações e têm cada uma delas solução única.

A a b Aa x b x a b

único. é grupo do neutro elemento O 2.

3. No grupo cada elemento tem único oposto.

( \{0}, ·)a·x = b x·a = bx = b/a x = b/a

coincidentes porque o grupo é comutativo

Exemplo

Nota: Esta propriedade estabeleçe a existência de duas operações inversas de que serão coincidentes se o grupo for comutativo.

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Subgrupo

),( de subgrupo é),( 1

EE

grupo é),(grupo é),( 1

1

EE

EE

),(),( se-Escreve 1 EE

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Propriedade Distributiva

, , (distributiva à esquerda)

Se no conjunto estão definidas as operações e ,diz-se que é distributiva relativamente á operação sse

( ) ( ) ( ), e( ) ( ) ( ),

a b c A

A

a b c a b a c

b c a b a c a

, , (distributiva à direita)a b c A

direita. àou esquerda à vadistributi é queprovar basta arelação em vidadedistributi aprovar para ,comutativa é operação a Se

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Anel eAnel Comutativo

( , , )é anel

E ( , ) é grupo comutativo( , ) é semigrupo

é distributiva em relação a

EE

1. Ao elemento neutro do grupo ( , ) chama-se .2. Um anel diz-se se a segunda operação, , é comutativa. E se esta operação admite elemento neutro, a esse elemento chama-s

E zero do anelcomutativo

e .unidade do anel

Exemplos de Anéis Comutativos:• (, +, ·) (, +) é grupo comutativo, (, ·) é semigrupo e · é distributiva em relação a +• (, +, ·), (, +, ·), (, +, ·) têm el. unidade (el. neutro da 2ª operação)• (even , +, ·) não têm el. unidade

Propriedades

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Anel (Propriedades)

1. Sendo o zero do anel (elemento neutro do grupo aditivo), tem-se,a a x E

00 0 0

2. Representando por o simétrico de em ( , ), tem-se que, quaisquer que sejam os elementos e de E: I. ( ) ( ) II. ( ) ( )

x x Ea b

a b a ba b a

III. ( ) ( )b

a b a b

3. Quaisquer que sejam os elementos , e de E, tem-se( )

( )

a b ca b c a b a c

b c a b a c a

Seja ( , , ) o anel.E

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Conceito de Corpo

( , , )é corpoE

( , , ) é subcorpo de ( , , )

AE

( , , ) é corpo

( , , ) é corpo

A EAE

Escreve-se ( , , ) ( , , )A E

Propriedades

tem mais de um elemento( , , ) é anel comutativo com elemento unidadeTodos os elementos, diferentes de zero, têm inverso

EE

elemento neutro da 2ª operação

elementos opostos da 2ª operação

elemento neutro da 1ª operação

Exemplos:(, +, ·) e (, +, ·) são corpos(, +, ·) é subcorpo de (, +, ·) (, +, ·) (, +, ·)

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Corpo (Propriedades)

1. Porque é um anel, ( , , ) tem todas as propriedades dos anéis.E

2. No corpo ( , , ) , ,E a b a b a b E 0 0 0

3. As equaçoes do tipo e com admitem soluçao única no corpo ( , , ).

a x b x a ba E

0 00

Seja ( , , ) o corpo e (zero do anel) o seu elemento neutro.E 0

Apresentação sobre Estruturas AlgébricasApresentação sobre Estruturas Algébricas

Referências

[1] M. Neves, M. Vieira, A. Alves, Matemática - 12º ano, 5ª ed., Porto Editora, 1991.

[2] C. Ribeiro, Sebenta de Álgebra Linear e Geometria Analítica, AEISEL, 1985.

[3] S. Wicker, Error Control Systems for Digital Communication and Storage, Prentice Hall, 1995.

Isabel Milho,ISEL-DEETC, Out.2001