Introdução Uma Série Temporal é um conjunto de observações tomadas em tempos determinados,...

Introdução

Uma Série Temporal é um conjunto de observações tomadas em tempos determinados, comumente em intervalos iguais.

Informações medidas ou coletadas com o decorrer do tempo, com valores de vendas semanais ou níveis de consulta mensais.

Modelos Temporais Lineares

Em muitas situações de negócios nas quais estão envolvidas variáveis, os valores de modelos temporais lineares indicam algum tipode padrão marcado no decorrer do tempo.

Os dados coletados no decorrer de um período de tempo geralmentesão chamados de séries temporais.

Esses tipos de dados normalmente são exibidos em um gráfico de linha com período de tempo formando o eixo x e valores de dados exibidosno eixo y.

EXEMPLO - Modelos Temporais Lineares

Exemplo 1: Faça o gráfico dos dados contidos na tabela a seguir queindicam o número de licenças de televisão em cores possuídas no finalde cada ano, de 1991 a 1998.

ANO 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998

Nº de Licenças de TV em cores (milhões)

18,4 18,9 20,1 20,4 21,0 21,4 21,9 22,7

Gráfico

Número de Licenças de TV em cores possuídas

0,05,010,015,020,025,0

1 2 3 4 5 6 7 8

ANO

Nº

de

Lic

ença

s (m

ilhõ

es)

Tendência em Séries Temporais

A palavra tendência normalmente é usada para descrever a direção oculta de uma série temporal. No exemplo 1, os dados possuem umatendência ascendente, já que claramente aumentam com o tempo.

Além disso, a tendência é razoavelmente linear nesse caso.A estimativa de linhas retas que passem pelos dados com o padrão linear utilizando Regressão linear já discutida no Módulo C.

Encontre um modelo de regressão linear que se encaixe aos dados doExemplo 1 e adicione-o ao gráfico.

Ao modelar dados de séries temporais, é comum utilizar uma sérieordenada para substituir os anos, dias da semana etc., nos cálculos – issoevita problemas ao encaixar os dias da semana ou trimestre na estrutura doModelo.

Tendência em Séries Temporais

Assim como com todos os modelos de regressão, x é a variável independente e y é a variável dependente. Obviamente, aqui o período detempo é a variável x, e o número de licenças de TV em cores é a variável y.

Os coeficientes de regressão linear podem, então, ser calculados como de costume:

ANO

1991 1 18,4 18,4 1

1992 2 18,9 37,8 4

1993 3 20,1 60,3 9

1994 4 20,4 81,6 16

1995 5 21,0 105,0 25

1996 6 21,4 128,4 36

1997 7 21,9 153,3 49

1998 8 22,7 181,6 64

36 164,8 766,4 204

Período de tempo x

Nº de Licenças y

yx . 2x

22.

..

xxn

yxyxna

xayb

590476,0336

4,198

36204*8

8,164*364,766*82

aa

942858,175,4*590476,06,20 bb

Com Fórmulas

Na HP-12C

Teclas Visor Observações REG 0,00 Limpa os registradores.

18,4 ENTER 1 ∑+

18,9 ENTER 2 ∑+

20,1 ENTER 3 ∑+

20,4 ENTER 4 ∑+ 8 Insere todos os dados.

21,0 ENTER 5 ∑+ [8 total de pares (x,y)]

21,4 ENTER 6 ∑+

21,9 ENTER 7 ∑+

22,7 ENTER 8 ∑+

0 g17,94 b

0 17,94

0 g 18,53

0 – 0,59 a

f

ry ,ˆSTO

ry ,ˆRCL

Equação de Regressão Linear

A equação de regressão linear é y = 0,59x + 17,94.

Isso também poderá representar oNúmero de Licenças = 17,94 + 0,59 * período de tempo (com os valoresfinais arredondados para duas casas decimais, em cada caso) e onde o“período de tempo” simplesmente representa a variável ordenada utilizadana construção do modelo.

Fazendo Previsões utilizando Modelos Lineares Simples

Uma vez que o modelo linear tenha sido estimado, a produção de previsões é relativamente direta. Entretanto, deve-se lembrar que na previsão para o futuro utiliza-se a extrapolação – supõe-se que o padrão visto no passado continuará no futuro. Para modelos de séries temporais, isso normalmente é razoável.

Utilizando o mesmo exemplo para prever as licenças de TV em cores possuídas nos próximos três anos. O modelo produzido foi:Número de Licenças = 17,94 + 0,59 * período de tempo

Como os períodos de tempo considerados nos dados originais vão até 8, os três seguintes serão 9, 10 e 11. Substituindo isso na equação, teremos:

ANO Período de tempo Previsão de Licenças possuídas (milhões)

1999 9 17,94 + 0,59 * 9 = 23,26

2000 10 17,94 + 0,59 * 10 = 23,85

2001 11 17,94 + 0,59 * 11 = 24,44

Previsões na HP-12CTeclas Visor Observações

REG 0,00 Limpa os registradores.

18,4 ENTER 1

18,9 ENTER 2

20,1 ENTER 3

20,4 ENTER 4 8 Insere todos os dados.

21,0 ENTER 5 [8 total de pares (x,y)]

21,4 ENTER 6

21,9 ENTER 7

22,7 ENTER 8

0 g 17,94 b

0 17,94

0 g 18,53

0 – 0,59 a

9 g 23,26

10 g 23,85

11 g 24,44

f

ry ,ˆSTO

RCL

ry ,ˆ

ry ,ˆry ,ˆry ,ˆ

Componentes de uma Série TemporalO modelo linear simples considerado anteriormente é adequado para

Prever dados de série temporais que indicam um forte padrão linear ao longodo tempo.

E se a série temporal não indicar esse tipo de crescimento oudeclínio, mas, em vez disso, indicar algum tipo de padrão repetido? Por exemplo, é fácil imaginar uma situação em que o valor de uma variávelSistematicamente muda no decorrer de um ano, como ilustrado no gráfico:

Vendas de Pacotes de Feriados 1996 - 1999.

0

10002000

3000

4000

Q1 Q2 Q3 Q4 Q1 Q2 Q3 Q4 Q1 Q2 Q3 Q4 Q1 Q2 Q3 Q4

Ano e Trimestre

Nú

me

ro d

e

Ve

nd

as

Série1

1996 1997 1998 1999

Componentes de uma Série Temporal

Os tipos de modelos lineares discutidos anteriormente claramentenão seriam adequados a essa situação. Em vez disso, a série temporal édividida em vários componentes, e eles são cada um previstosseparadamente .

Dois modelos desse tipo são discutidos neste texto: em um, os elementos são somados para formar a série de dados (e é, portantochamado de modelo aditivo).

No outro, eles são multiplicados ( e é chamado um modelomultiplicativo). O modelo aditivo geralmente é considerado mais adequado para os dados em que flutuações sazonais permanecem aproximadamente do mesmo tamanho com o tempo (conforme gráfico a seguir).

Enquanto o modelo multiplicativo é normalmente aplicado a dadosem que o tamanho dos efeitos sazonais aumenta (conforme gráfico a seguir).

Gráfico:

Exemplo de dados de série temporal para o usoem um modelo Aditivo.

Série Temporal adequados para uso em um modelo aditivo

0

10

20

30

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21

Período de Tempo

Da

do

s

Série2

Gráfico:Exemplo de dados de série temporal para o usoem um modelo Multiplicativo.

Série Temporal adequado para uso em um modelo Multiplicativo

050100150200250300350400450

1 5 9 13 17 21 25 29 33

Período de Tempo

Da

do

s

Série2

Médias Variáveis

Médias variáveis são freqüentemente utilizadas para atenuarvariações em um conjunto de dados com o objetivo de isolar a parte datendência dos dados para que possam ser feitas previsões de valores futuros dessa tendência. As médias são geralmente tomadas ao longo do período natural dos dados (a quantidade de tempo na qual o padrãosazonal repete-se). Para dados trimestrais, ele é normalmente 4, paradados diários, 5 ou 7, dependendo do número de dias sendo consideradoetc. A média variável é chamada de média variável de n-pontos, com nsendo o número de valores que entram para formar a média, exemplo,uma média variável de 4 pontos para dados trimestrais. Geralmente, elaé encontrada calculando-se a média de cada n observações que seformam, sucessivamente, a cada vez que se “suprime” o primeiro pontoda seqüência e se “inclui” o próximo.

A tendência é calculada de modo um pouco diferente,dependendo de se os dados possuem um período ímpar ou par.

As diferentes abordagens serão ilustradas por exemplo.

Médias Variáveis de um Número Ímpar de Pontos

Exemplo 2: Considere o seguinte conjunto de dados, que representa onúmero de consultas recebidas por operadores de telefone trabalhandoem uma linha de auxílio ao cliente:

Semana 1 2 3

Dia S T Q Q S S T Q Q S S T Q Q S

Nº de

Consultas33 41 77 81 99 39 49 84 90 107 47 55 91 102 113

Utilize médias variáveis para produzir valores de tendências paraesses dados.

Fazer um gráfico inicial dos dados é sempre uma boa idéia, paraidentificar padrões claros, para identificar o período dos dados (se houveralgum) e geralmente ter uma idéia do que está acontecendo.

Veja o gráfico a seguir:

Gráfico

Consultas Recebidas por Telefone

020406080100120

1 3 5 7 9 11 13 15

Semana e dia

Nú

me

ro d

e

Co

ns

ult

as

Com base nisso, pode-se ver que existe um padrão claro repetindo-se a cada cinco dias, confirmando que uma média variável de cinco pontosdeve ser utilizada.

Observe a posição dos resultados na tabela seguinte: como a médiavariável é uma medida de tendência central, os resultados são colocados nomeio do conjunto de cinco valores que entram para formar cada média.

Assim, devem ser deixados espaços na parte superior e na inferiorda coluna.

O gráfico mostra que as médias variáveis possuem um padrão linearascendente, isto é, a tendência nos dados é, de modo geral, ascendente.

Médias Variáveis de um Número Ímpar de Pontos

DIA “x” Nº de Consultas

“y”

Média Variável de 5 pontos “T”

Cálculo das Médias na

HP-12C

S 1 33 f REG

T 2 41 33 ∑+

Q 3 77 66,2 41 ∑+

Q 4 81 67,4 77 ∑+

S 5 99 69,0 81 ∑+

S 6 39 70,4 99 ∑+

T 7 49 72,2 g 0

Q 8 84 73,8 33 g ∑–

Q 9 90 75,4 39 ∑+

S 10 107 76,6 g 0

S 11 47 78,0 41 g ∑–

T 12 55 80,4 49 ∑+

Q 13 91 81,6 g 0

Q 14 102 E assim por diante...

S 15 113

Gráfico: As médias variáveis, que representam a tendência (T) dos dados podem ser adicionadas ao gráfico abaixo:

Consultas recebidas pelo telefone, com médias variáveis.

0

50

100

150

Semana e dia

Nú

me

ro d

e C

on

su

lta

s

Série1Série2

Série1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 1 1 1

Série2 3 4 7 8 9 3 4 8 9 1 4 5 9 1 1

S T Q QS S T Q QS S T Q QS

Os componentes utilizados para criar esses modelos geralmentesão chamados de tendência, fatores sazonais, fatores cíclicos e fatores residuais ou aleatórios.

Tendência (T) - Como já discutido para os dados lineares simples,a tendência é o movimento oculto nos dados – ela pode ser ascendente, descendente ou estacionária.

Fatores Sazonais (S) – Essas são flutuações regulares dentro de um período completo de tempo (um dia, uma semana, um mês etc.).

O importante sobre os fatores sazonais é que eles representam um tipo de padrão que se repete; nesse exemplo os picos e depressões são associados a cada trimestre e repetem-se uma vez por ano.

Fatores Cíclicos (C) – Estas são flutuações a longo prazo nos dadose são similares aos fatores sazonais. Eles podem ser difíceis de ser identificados, a menos que uma longa série de dados esteja disponível. Elespodem estar relacionados a fatores econômicos, exemplo, as vendas depacotes de feriados podem reduzir durante períodos de recessão.

Nomenclaturas

Fatores Aleatórios ou Residuais (E) – Como em qualquer análiseestatística, haverá algum elemento imprevisível nos dados. Nos dados mostrados no exemplo anterior, isso pode ser devido a algo como condiçõesde tempo incomuns que afetem as vendas de pacotes de feriados. Como, porsua natureza, os efeitos não podem ser previstos, eles estarão presentes nos modelos desenvolvidos aqui, mas não serão previstos de nenhum modo.

Como os elementos críticos não serão considerados detalhadamenteneste módulo e os elementos aleatórios são impossíveis de se prever, construir o modelo consiste em isolar os dois componentes previsíveis: aTendência e os efeitos sazonais. Estes serão considerados separadamente.

Nomenclaturas

Uma vez que a tendência tenha sido isolada e prevista de acordocom um modelo de regressão linear baseado em médias variáveis, o problema que permanece é como identificar e prever os efeitos sazonais(a parte flutuante dos dados).

O uso da regressão dos quadrados mínimos para produzir ummodelo linear de séries temporais já foi discutido no módulo anterior, utilizar os valores de médias variáveis (tendência) como os dados y, e operíodo de tempo como os dados x produzirá uma equação que pode ser, então, utilizada para prever a tendência.

Daqui em diante, T será utilizada para representar a tendência(encontrada por meio das médias variáveis), e y será reservado para representar os dados originais não trabalhados. Logo, a equação de regressão para explicar a parte da tendência dos dados terá a forma:

T = ax + bOnde T é a média variável centrada, e x é o período de tempo.

Vamos calcular a e b, utilizando a regressão linear.

Prevendo os Efeitos Sazonais

Na HP-12CTeclas Visor Observações

REG 0,00 Limpa os registradores.

66,2 ENTER 3 ∑+

67,4 ENTER 4 ∑+

69,0 ENTER 5 ∑+

70,4 ENTER 6 ∑+

72,2 ENTER 7 ∑+ Insere todos os dados.

73,8 ENTER 8 ∑+ 13 [13 total de pares (x,y)]

75,4 ENTER 9 ∑+

76,6 ENTER 10 ∑+

78,0 ENTER 11 ∑+

80,4 ENTER 12 ∑+

81,6 ENTER 13 ∑+

0 g 61,25 b

0 61,25

1 g 62,81

0 – 1,56 a

f

STO

ry ,ˆ

RCL

ry ,ˆ

Neste modelo, supõe-se que os componentes da série são somadospara formar os dados, isto é, y = T + S + C + E

A previsão dos efeitos cíclicos não será considerada aqui, o modeloreduz-se efetivamente a: y = T + S + E

O componente de tendência já foi encontrado com o uso de médiasvariáveis - então, os termos sazonais (e de erros) podem ser isolados, subtraindo-se a tendência dos dados originais, isto é: S + E = y – T

Como afirmado anteriormente, o componente de erro não pode serisolado diretamente. Entretanto, ele pode ser minimizado calculando-se a média dos efeitos sazonais para cada período de tempo, para obter-se umconjunto de fatores para previsões.

O modelo Aditivo

DIA “x” Nº de Consultas

“y”

Média Variável de 5 pontos “T”

Efeito Sazonal Aditivo

y – T (=S + E)

S 1 33

T 2 41

Q 3 77 66,2 77 – 66,2 = 10,8

Q 4 81 67,4 81 – 67,4 = 13,6

S 5 99 69,0 99 – 69,0 = 30,0

S 6 39 70,4 39 – 70,4 = – 31,4

T 7 49 72,2 49 – 72,2 = – 23,2

Q 8 84 73,8 84 – 73,8 = 10,2

Q 9 90 75,4 90 – 75,4 = 14,6

S 10 107 76,6 107 – 76,6 = 30,4

S 11 47 78,0 47 – 78,0 = – 31,0

T 12 55 80,4 55 – 80,4 = – 25,4

Q 13 91 81,6 91 – 81,6 = 9,4

Q 14 102

S 15 113

As médias variáveis, mais do que uma tendência calculada com basena equação, são utilizadas para dar maior precisão.

É feito, então, um resumo desses efeitos sazonais. Existem três valores para quarta-feira (10,8; 10,2 e 9,4); dois para terça-feira (13,6 e14,6) etc. Eles são diferentes porque o efeito aleatório ainda está presente.Para minimizá-lo, é feita a média dos valores de cada dia da semana.

Observação

Semana S T Q Q S SOMA

1 10,8 13,6 30,0

2 – 31,4 – 23,2 10,2 14,6 30,4

3 – 31,0 – 25,4 9,4

Média – 31,2 – 24,3 10,1333 14,1 30,2 – 1,06667

Em um modelo aditivo, a soma dos fatores finais deve ser 0 (zero). Aqui, eles somam -1,06667 (o efeito aleatório total), então é

necessário ajustar cada fator um pouco, “compartilhando” este total entreos efeitos sazonais.

O valor a ser ajustado em cada fator é

Número de fatores = 5Dias da semana, aqui. 21333,0

5

6667,1

Soma dos fatores.

As médias ajustadas são, então:

Dia Média Ajuste Média Ajustada

Segunda-feira – 31,2 – 0,21333 – 31,2 – (– 0,21333) = -30,99

Terça-feira – 24,3 – 0,21333 – 24,3 – (– 0,21333) = –24,09

Quarta-feira 10,13333 – 0,21333 10,35

Quinta-feira 14,1 – 0,21333 14,31

Sexta-feira 30,2 – 0,21333 30,41

Soma –0,01

A soma final não é exatamente 0 (zero) devido aos erros dearredondamento (passando de quatro a duas casas decimais), mas –0,01 é aceitável.

Para encontrar as previsões finais, a tendência (da equação de regressão) e os efeitos sazonais são combinados: como o modelo é aditivo,eles são somados um ao outro. Como segunda-feira da semana 1 = período de tempo 1, continuando a contagem, temos segunda-feira da semana 4 igualao período de tempo 16.

Semana Dia

Período

de Tempo

Tendência

Efeito Sazonal

Previsão (tendência +

sazonalidade)

4 S 16 61,25 + (1,56 * 16) = 86,21 –30,99 86,21 – 30,99 = 55,2

T 17 61,25 + (1,56 * 17) = 87,77 –24,09 87,77 – 24,09 = 63,7

Q 18 61,25 + (1,56 * 18) = 89,33 10,35 89,33 + 10,35 = 99,7

Q 19 61,25 + (1,56 * 19) = 90,89 14,31 90,89 + 14,31 = 105,2

S 20 61,25 + (1,56 * 20) = 92,45 30,41 92,45 + 30,41 = 122,9

Gráfico: As médias variáveis, que representam a tendência (T) dos dados podem ser adicionadas ao gráfico abaixo:

Consultas recebidas pelo telefone, com médias variáveis.

0

50

100

150

Semana e dia

Nú

me

ro d

e C

on

su

lta

s

Série1Série2

Série1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 1 1 1

Série2 3 4 7 8 9 3 4 8 9 1 4 5 9 1 1

S T Q QS S T Q QS S T Q QS

Médias Variáveis de um Número Par de Pontos

Exemplo 3: Produza estimativas da tendência para os seguintes dados sobre vendas trimestrais de pacotes de feriado.

Vendas de pacotes de

feriado1996 1997 1998 1999

T1 3.576 3.462 3.222 3.141

T2 2.927 2.627 2.719 2.499

T3 2.710 2.315 2.614 2.347

T4 2.364 1.944 2.041 1.986

Veja a seguir o gráfico referente a esses dados:

Gráfico

Nesse caso, fica claro, pelo gráfico, que os dados se repetem emquatro trimestre – então, é necessária uma média variável de quatro pontos.

Se o período dos dados for par, como aqui, é necessário um passoextra. Isso porque para quatro números, o “centro” é entre dois pontos dedados e, portanto, encontra-se fora da linha dos valores originais – então,nenhuma comparação direta é possível. Para superar isso, os valores dasmédias variáveis ainda são calculados da mesma forma, mas são utilizados, então, para formar uma média variável centrada ou de dois pontos, que então é utilizada para representar a tendência.

Vendas de Pacotes de Feriados 1996 - 1999.

0

10002000

3000

4000

Q1 Q2 Q3 Q4 Q1 Q2 Q3 Q4 Q1 Q2 Q3 Q4 Q1 Q2 Q3 Q4

Ano e Trimestre

Nú

me

ro d

e

Ve

nd

as

Série1

1996 1997 1998 1999

ANO Trimestre

Vendas de pacotes de feriados

“y”

Média Variável de 4 pontos “T”

Média Variável Centrada

1996 T1 3.576

T2 2.927 2.894,25

T3 2.710 2.865,75 2.880,000

T4 2.364 2.790,75 2.828,250

1997 T1 3.462 2.692,00 2.741,375

T2 2.627 2.587,00 2.639,500

T3 2.315 2.527,00 2.557,000

T4 1.944 2.550,00 2.538,500

1998 T1 3.222 2.624,75 2.587,375

T2 2.719 2.649,00 2.636,875

T3 2.614 2.628,75 2.638,875

T4 2.041 2.573,75 2.601,250

1999 T1 3.141 2.507,00 2.540,375

T2 2.499 2.493,25 2.500,125

T3 2.347

T4 1.986

=(3.576 + 2.927 + 2.710 + 2.364)/4

=(2.927 + 2.710 + 2.364 + 3.462)/4=(2.894,25 + 2.865,75)/2

=(2.865,75 + 2.790,75)/2E assim por diante ...

Aqui, o modelo oculto supõe que os componentes são multiplicados um pelo outro, para formar os dados gerais: y = T * S * C * E

Como com o modelo aditivo, nas situações simples examinadas aqui,os efeitos cíclicos serão descartados, assim: y = T * S * E

Logo, em vez de subtrair a tendência dos dados originais para deixaros termos sazonais (e erros) para trás, neste modelo, os dados originais são divididos pela tendência:

Novamente, os termos de erros são minimizados de forma similar à do modelo aditivo e, uma vez que esses efeitos sazonais tenham sido isolados,eles são previstos separadamente da tendência. Os dois componentes são,então, multiplicados para fornecer uma previsão final para os dados originais.

Veja os detalhes dos cálculos:

O modelo Multiplicativo

T

yES *

ANO Trimestre

Vendas de pacotes de feriados

“y”

Média Variável Centrada “T”

Efeitos Sazonais Multiplicativos ( y / T )

1996 T1 3.576

T2 2.927

T3 2.710 2.880,000 0,9410

T4 2.364 2.828,250 0,8359

1997 T1 3.462 2.741,375 1,2629

T2 2.627 2.639,500 0,9953

T3 2.315 2.557,000 0,9054

T4 1.944 2.538,500 0,7658

1998 T1 3.222 2.587,375 1,2453

T2 2.719 2.636,875 1,0311

T3 2.614 2.638,875 0,9906

T4 2.041 2.601,250 0,7846

1999 T1 3.141 2.540,375 1,2364

T2 2.499 2.500,125 0,9996

T3 2.347

T4 1.986

2.710 / 2.880,000=

E assim por diante ...

2.364 / 2.828,250=

3.462 / 2.741,375=

Como no modelo aditivo, é necessário obter um valor médio para cadaperíodo de tempo, já que haverá algum elemento aleatório presente (o que explica porque os fatores de cada um dos quatro trimestres não sãoIdênticos).

ANO T1 T2 T3 T4 SOMA

1996 0,9410 0,8359

1997 1,2629 0,9953 0,9054 0,7658

1998 1,2453 1,0311 0,9906 0,7846

1999 1,2364 0,9996

MÉDIA 1,2482 1,0087 0,9457 0,7954 3,9980

Novamente, as médias são somadas umas às outras. No modelo multiplicativo, elas devem ser somadas ao número de

períodos (quatro, aqui), e o ajuste “compartilhado” é feito multiplicando-secada uma das médias sazonais originais por:

Então, aqui:Número de períodos = 4Soma dos efeitos sazonais = 3,9980

O fator de ajuste é:

originaismédiasdeSoma

períododeNúmero

0005,19980,3

4

Trimestre 1 Trimestre 2 Trimestre 3 Trimestre 4

Média inicial 1,2482 1,0087 0,9457 0,7954

Ajuste 1,0005 1,0005 1,0005 1,0005

Efeito Sazonal

1,249 1,009 0,946 0,796=1,2482 * 1,0005=1,0087 * 1,0005=0,9457 * 1,0005=0,7954 * 1,0005

Checando os valores sazonais para somar a quatro:

∑ (efeito sazonais) = 1,249 + 1,009 + 0,946 + 0,796 = 4,000

Na HP-12CTeclas Visor Observações

REG 0,00 Limpa os registradores.

2.880,000 ENTER 3 ∑+

2.828,250 ENTER 4 ∑+

2.741,375 ENTER 5 ∑+

2.639,500 ENTER 6 ∑+

2.557,000 ENTER 7 ∑+ Insere todos os dados.

2.538,500 ENTER 8 ∑+ 12 [12 total de pares (x,y)]

2.587,375 ENTER 9 ∑+

2.636,875 ENTER 10 ∑+

2.638,875 ENTER 11 ∑+

2.601,250 ENTER 12 ∑+

2.540,375 ENTER 13 ∑+

2.500,125 ENTER 14 ∑+

0 g 2.862,65 b

0 2.862,65

1 g 2.836,55

0 – – 26,10 a

f

STO

ry ,ˆ

RCL

ry ,ˆ

Assim, em média, no trimestre 1 os dados são 1,249 vezes datendência, no trimestre 2 são 1,009 vezes o valor da tendência etc.

As duas partes dos dados (a tendência e efeito sazonais) podem,então, ser combinados em uma previsão para os dados originais. A única diferença do modelo aditivo é que os valores são multiplicados uns comos outros para fornecer as previsões finais (em vez de somá-los). Dadoque em 1996, trimestre 1 = período de tempo 1 e prosseguindo a contagem,temos 2000, trimestre 1 = período de tempo 17, então:

Trimestre

2000

Período

de Tempo

Tendência prevista (T)

Efeito Sazonal

(S)

Previsão final

(T*S)

1 17 2.862,65 – (26,10 * 17) = 2.418,95

1,249 2.418,95 * 1,249 = 3.021

2 18 2.862,65 – (26,10 * 18) = 2.392,85

1,009 2.392,85 * 1,009 = 2.414

3 19 2.366,75 0,946 2.366,75 * 0,946 = 2.239

4 20 2.340,65 0,796 2.340,65 * 0,796 = 1.863

Gráfico

Gráfico original

Dados das Vendas de pacotes de feriados

0

1000

2000

3000

4000T1T2T3T4T1T2T3T4T1T2T3T4T1T2T3T4

1996 1997 1998 1999

Ano e trimestre

Nú

me

ro d

e V

en

da

s

Série1

Gráfico

Gráfico com médias variadas

Dados das vendas de pacotes de feriados, com médias variáveis

centradas

01000200030004000

T1T2T3T4T1T2T3T4T1T2T3T4T1T2T3T4

1996 1997 1998 1999

Ano e trimestre

Nú

me

ro d

e

Ve

nd

as

Série1Série2

Gráfico

Gráfico com médias variadas e com previsões.

Dados das vendas de pacotes de feriados, com médias variáveis

centradas

01000200030004000

T1T2T3T4T1T2T3T4T1T2T3T4T1T2T3T4T1T2T3T4

1996 1997 1998 1999 2000

Ano e trimestre

Nú

me

ro d

e

Ve

nd

as

Série1Série2