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Fig 6.1

Treliças: A) com cargas aplicadas somente nos nós (treliça ideal); B) com cargas aplicadas também fora dos nós

4 5

7

6

1 22

P2

1

3

3

4 5

F1

F3

F2P3

P4

P1

3 3

1

21

2

A B

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CB

Alemã

de Alpendre

com Lanternim Semiparabólica

em pontes

tipo Warren

Belga Inglesa

Wiegmann ou Polonceu(francesa)

Shed

A

Fig 6.2

Exemplos de treliças: A) tipos e usos variados; B) típica de telhado; C) espacial

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Típicos nós de treliça (nós articulados)

C

B

Esquema estrutural

A

Vigas

Laje

Fig 6.3

Projeto de treliças: A) Estrutura de uma ponte em treliça; B) Esquema estrutural adotado; C) Exemplos típicos de ligações de estruturas metálicas: soldada e aparafusada

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Fig 6.4

Lei de formação das treliças planas simples

1

3 3

4

51

2

4

7

5

6

2

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3 4

1 2

2 5

1

6

3 4

4 5

1

3

2

2 5

1

8

3 4

6 7

4 5

1

3

2

2 5

1

8

3 4

6 7

CBA

Fig 6.5 Representação de barras e nós: A) barras 3 e 4 são superpostas; B) barras 3, 4, 6 e 7 são interconectadas no nó articulado 3; C) barras 3, 4, 6 e 7 são interconectadas no nó rígido 3

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Fig 6.6

Treliças instáveis

1

2

Forma crítica Instabilidade parcialApoios incorretos

4 6 8 10

3 5 97

A CB

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Fig 6.7

Exercício de classificação de treliças quanto à estabilidade e à estaticidade

1 162 4 6 8 10 12 14

3 5 7 9 11 13 15

9

1

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

2 3 4 5 6 7

24

8

25 26 27 28 29

A

C

B

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N (-)

V1

H1

1

1

N (+)22

Fig 6.8

Exemplo de isolamento de um nó

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1

3 54

1 23

2

4

4m

4m

V1 V3

20kN

30kN

30kN

H1

4m

Fig 6.9

Treliça ideal

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Fig 6.10

Isolamento dos nós para resolução da treliça da Fig. 6.9. A) Nó 1 - arbitrando, para cálculo, sentidos positivos (tração); B) Nó 1 - sentidos corretos obtidos após o cálculo; C) Nó 2 - arbitrando, para cálculo, sentidos positivos (tração); D) Nó 3 - arbitrando, para cálculo de N5, sentido positivo (tração)

40kN

40kN

10kN(+)

56,5kN(-)

30kN

30kN1

1

4

Nó 1Nó 2 Nó 3

4

4

10kN

10kN

43

3

1 N 1

N 3

N

30kN

10kN

2

4

N 5

N 3

A B C D

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1

3 54

1 23

2+10+3

0+10

-14,1-56,6

4DN(kN)

Fig 6.11

Representação dos esforços normais em uma treliça ideal

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1

5

1

4

2

2

30

dir N1

dir N5

dir N

4

dir N2

dir N3(2ª)

(2ª)

(1ª)

(2ª)(4ª)

(4ª)(1ª)

(1ª)

(3ª)

(3ª)

30

10

10

40

Nó 1 Nó 2

Sentidohorário

Sentidohorário

Sentidohorário

Sentidohorário

Nó 3

Nó 4

10

10

10

30

30

30

56,630

30

20

20

14,1

56,6

30

(-)

(-)

(-) (-)

(+)

(+)(+)

(+)

(+)

10

10

10

14,1

40 -56,6

Fig 6.12

Equilíbrio dos nós representados graficamente (grafostática): cada nó forma um polígono fechado

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Fig 6.13

Equilíbrio da estrutura representado graficamente, método de Maxwell-Cremona (grafostática): A) Notação de Bow; B) Forças normais nas barras, em escala

3

C

10

20

30

30

em escalag

h

d

a b

c

e

f

B

G H

D

F E40

A

30

4

1 2

A

B

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S2

3

5 tf

0,5m 0,5m 0,5m 0,5m 0,5m 0,5m 0,5m 0,5m

0,8m

5 tf 5 tf

5 7

4 6 8

9α

1

V1 V9

H1

1 3

2

4 8

6

5 7 9

10 14

1311

12

15

Fig 6.14

Resolução da treliça pelo método das seções: considerações para a escolha da seção de Ritter S

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Fig 6.15

Equilíbrio da parte à direita da seção de Ritter

S

0,5m 0,5m 0,5m 0,5m

0,8m

5 tf

7

6 8

9α

7,5 tf

8

9

10

14

1311

12

15

N 8

N 9

N10

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α

N 2

N

90º 90º

10kN

2

N 1 N 3

N 1 N 3

A

B

Fig 6.16

Visualização do equilíbrio dos nós: A) N2 = 0; B) N2 = +10 kN

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Fig 6.17

Analogia das treliças com as vigas

CN

h

T

DQ

Banzo tracionado

Banzo comprimido

Bielas

DM

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Fig 6.18

Princípio da Superposição: Solução Final = Treliça ideal + Ajuste local nas barras com carregamentos

L

L

P

Solução �nal

Treliça idealAjustes locais nasbarras carregadas

a b

= +

L2L

4

1 32

5

3 4

1 2

5

7

6

PF1 = Pb/L F2 = Pa/L

4

1 32

5

3 4

1 2

5

7

6

F1 F2

4

1 32

5

3 4

1 2

5

7

6

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Fig 6.19

Ajuste localizado na barra 7 carregada: A) Subestruturação; B) Diagramas do ESI

PF1F1F2

a

DM

b

44

55

N 3N 4

N 7

N 7

N 5N 6

N 7

N 7 +

DN

N7-

F1a

A B

F 1

F 2

DQ

+-

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Fig 6.20

Exemplos de cargas nodais equivalentes

La b

P

Pb/L Pa/LM/L

M/L

M

La b

q q

L Lh

qL/2qL/2

qLh2

qLh2

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2m

2,5m

1

2

35α

4

2 tf

4 tf/m2,5m

1

2

35

7

6

4

A

1

2H2

V2

35

4

2 tf

1

2

35

7

6

4

H1

5 tf 5 tf

B

Fig 6.21

A) Exemplo de treliça com cargas fora dos nós; B) Treliça ideal equivalente

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Fig 6.22

Esquema de equilíbrio dos nós

21,25

12,5

5

12,5

5

21,25

12

3,5

1α

α

2αN 3 N 4

N 1N 2

N 5

N 6

N 7

Nó 1 Nó 2

Nó 3 Nó 5

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+3,5

+55

5

3,1

-12,5

12,5 12,5

5

DN(tf )

DQ(tf )

DM(tfm)

5

4tf/m

-12,5

-9,4

+22,9

+13,5

+-

+

5

5

DQ(tf ) +

-3,

1

DM(tfm) +

12,5

12,5

DN(tf ) -

6

A B

Fig 6.23A) Ajuste local (subestruturação) e ESI na barra 6 carregada; B) ESI finais para a treliça com cargas fora dos nós

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Fig 6.24

Exemplos de treliças compostas

A B

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Fig 6.25

Exemplos de seções de Ritter em sistemas de ligação de treliças compostas

S

Barrasauto-equilibradas

Barra auto-equilibrada

S1 3

2

S

S

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2m 2m 2m

3m3m

1 32

9

4

7 8

5 6

α

1

5 6

2

3

5kN/m

10 kN

4

10 kN

Fig 6.26

Exemplo de treliça composta do tipo I

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1 32

9

4

7 8

5 6

α

1

5 6

2

3

S

S10 kN

4

5kN/m

10 kN

1 2

3

2m 4m

3m

10 kN

25 kNV1

H2V2 25 kN

N 2

N 1

N 3

A B

Fig 6.27A) Escolha da seção de Ritter S; B) Equilíbrio da parte abaixo de S

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Fig 6.28

A) Equilíbrio do nó 5; B) Acerto barra 4 e diagramas dos ESI da Barra 4

α

15

y

x

5kN/m

6m

15kN

DMF(kNm)

15kN

ql2 /

8 =

22,5

N 4

N

18,3

nó 5

5

N 4 N 4

DN(kN)

8,93N 4 -

+

A B DQ(kN)

15

15-

+

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Fig 6.29Exemplos de treliças compostas do tipo II

Treliças secundárias

Barrassubstitutas

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Fig 6.30

Exemplo de treliça composta do tipo II

P

2

3

1

5

7

10

11

4 6 8

9

P P P P P P

2

1

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Fig 6.31

Substituição das treliças secundárias por barras retas

830º 30º1 11

1,5P

3,5P

1,5P

9

4P

3,5P

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1

A

3 7

8

2 4 6

5

P1,5 P 1,5 P

P P

8 11

10

P1,5 P 1,5 P

P P

B

Fig 6.32

Processo de análise de treliça composta do tipo II

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Fig 6.33

Treliça composta tipo III com funcionamento de viga Gerber

SEP I

CEP II

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Fig 6.34Exemplo de treliça complexa

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Fig 6.35

Treliça complexa

30º3

5

6

1000kN

5m 5m

1 2

9m

4

7º20’

1 9

73

62

5

4 8

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Fig 6.36Treliça modificada correspondente ao carregamento 1

3

5

6

1000kN

500kN 500kN

1 2

4

1 9

a3

62

5

4 8

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3

5

6

1

1kN

1kN

2

4

1 9

a

3

62

5

4 8

3

5

6

1

X

X

2

4

1 9

a

3

62

5

4 8

A B

Fig 6.37

A) Carregamento 2 (esforços n'); B) Carregamento 3