Sumário e Objectivos - web.fe.up.ptldinis/mecsol10.pdf · em Vigas Isostáticas e ser capaz de traçar os Diagramas ... Exemplos de Vigas Isostáticas Planas x y P p(x) y p(x) x

Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008

Mecânica dos Sólidos10ª Aula

1

Sumário e Objectivos

Sumário: Conceito de viga. Vigas Isostáticas. Equações de Equilíbrio de Forças e Momentos. Reacções de Apoio. Esforços Transversos e Momentos Flectores. Esforço Axial. Diagramas de Esforços.

Objectivos da Aula: Rever a Cálculo Reacções de Apoio em Vigas Isostáticas e ser capaz de traçar os Diagramas de Esforços e Momentos Flectores.



2

Ilustração do Ensaio de Galileu



3

Ensaio em Pórtico



4

Estrutura de Madeira



5

Estrutura de Ponte



6

Poseidon



7

Viga Plana Isostática

Uma peça linear pode estar sujeita a forças laterais, esforços transversos e momentos flectores, podendo ser considerada plana ou tridimensional conforme o tipo de solicitação a que está sujeita. No caso das acções estarem contidas num plano, o chamado plano de solicitação que também contém o eixo da peça linear, a viga é dita viga plana. O tipo de ligações ao exterior usualmente consideradas estão representadas na figura seguinte. As peças lineares consideradas são do tipo viga planaisostática, isto é são vigas cujo eixo está contido no plano de solicitação e para as quais as equações da Estática são suficientes para efeitos de cálculo das reacções de apoio



8

Tipos de Apoios e Esforços

Apoio Duplo

AB

MT

TM

B

P

C

L

Encastramento

x

A xP

B C

P

T

M

AB

BM

TC

L

A

x

BP

C x

Apoio Simples



9

Diagramas de Corpo livre

θ

θ

θ

Apoio DuploEncastramento Apoio Simples

θoscPθsenP

θsenP/2 θsenP/2θoscP

θsenPL



10

Esforços Internos e Externos

As cargas exteriores e as reacções de apoio constituem o conjunto dos esforços externos na viga, as forças directamente aplicadas são em geral conhecidas e as reacções de apoio necessitam em geral de ser calculadas. Os esforços internos são os esforços que se desenvolvem numa secção da viga e são obtidos considerando um corte na viga passando na referida secção e impondo o equilíbrio estáticode cada uma das partes em que a viga ficou dividida.



11

Equações de Equilíbrio Viga Isostática Plana

Equações de Equilíbrio de Forças

0F

0Fy

x=∑

=∑

Equação de Equilíbrio de Momentos 0M z =∑



12

Exemplos de Vigas Isostáticas Planas

x

y

P

p(x) y p(x)

x

P

p(x)P P p(x) P

y

x x

y

O número de equações necessárias para efeitos de cálculo das reacções são três, eventualmente duas no caso de não existirem forças axiais.



13

Vigas Encastradas Cálculo de Reacções

x

y

P

y

xA B

BAM M

Ry Ry

PLMM

PRF

z

yy

=⇒=∑

=⇒=∑

0

0

L L

/2LpMM

pLRF2

z

yy

=⇒=∑

=⇒=∑

0

0

p(x)=p



14

Exemplo 8.1

1 0 k N /m

2 0 k N

8 m

2 .0 m3 .0 m

A

B

B

C

C

2 0 k N

2 0 k N

M A

M A

M B

M B

M C

M C

T BT B

T C

T C

R A

R A

Considere a viga encastrada representada na figura e determine

a) As reacções de Apoio.

b) Os Esforços Transversos e os Momentos Flectores nas

Secções B-B eC-C.



15

Exemplo 8.1 –Resolução

a) Cálculo das Reacções de Apoio

m.kN480480820M0M

kN1002080R0F

Az

Ay

=×+×=⇒=∑

=+=⇒=∑ m.kN480M;kN100R AA ==

b) Cálculo dos Esforças Transversos em B-B e C-C

kNT B 7051020 =×+= C 20 10 2 40kNT = + × =

m.kN2255.2510520M B =××+×=

C 20 2 10 2 1 60kN.mM = × + × × =



16

Vigas Simplesmente ApoiadasCálculo de Reacções

y

x

y

x

P

A B C

p(x)=p

L/2 L/2 LRA RC RA RC

P/2RP/2;R

PL/2LR0M

PRR0F

CA

Cz

CAy

===⇒=∑

=+⇒=∑

pL/2RpL/2;R

/2LpLR0M

pLRR0F

CA

2Cz

CAy

===⇒=∑

=+⇒=∑

CA



17

Exemplo 8.2

30kN

2.0m

B

15kN/mB

2.0m

C

C

3.5m 3.5m

A D

R A

R A

R D

R DM B

M BT B

30kN

15kN/m

15kN/m

15kN/m30kN

15kN/mM C

M C

TB

TC

T C

Considere a viga simplesmente apoiada representada na figura e determine

a)As Reacções de Apoio.

b) Os Esforços Transversos e os Momemtos Flectores nas Secções B-B eC-C.



18

Exemplo 10.2 – Resolução

a) Cálculo das Reacções de Apoio

m.kN5.4725.3305.3715R70M

kN13530715RR0F

Dz

DAy

=×+××=×⇒=∑

=+×=+⇒=∑

5.67R;5.67R DA ==

b) Cálculo dos Esforças Transversos em B-B e C-CkN5.372155.67T B =×−= kN5.37515305.67T C −=×−−=

Cálculo dos Momentos flectores em B-B e C-C

m.kN105121525.67M B =××−×= m.kN1055.1305.251555.67MC =×−××−×=



19

Vigas Simplesmente Apoiadas com tramo em consola

y p(x)=p

x

y

xA

RA R A

AB

P

C

L/3

C

RCL/3 L/3

P/2RP/2;R

PL/3L/32R0M

PRR0F

CA

Cz

CAy

===⇒=∑

=+⇒=∑

RC

2L/3 L/3

3pL/4RpL/3;R/18L5p/18L4p

L/32R0M

pLRR0F

CA

22Cz

CAy

==+=

=⇒=∑

=+⇒=∑



20

Exemplo 8.3

2.0m

B

BA

C

CR A

R A

MB

M B

TB

T B

1.0m1.0m

R DD

TC

MC

T CMC

R D

20kN/m25kN

2.5m

20kN/m

20kN/m

20kN/m

25kN

25kN

Considere a viga simplesmente apoiada com tramo em consola representada na e determine a) As Reacções de Apoio.b)Os Esforços Transversos e os Momentos

Flectores nas Secções B-B e C-C.



21

Exemplo 8.3 – Resolução

a) Cálculo das Reações de Apoio

m.kN3655.62525.25.420R5.40M

kN115255.420RR0F

Dz

DAy

=×+××=×⇒=∑

=+×=+⇒=∑

kN)1(1.81R;kN)8(8.33R DA ==

b) Cálculo dos Esforças Transversos em B-B e C-C

B 33.88(8) 20 2 6,11(1)kNT = − × = − kN25T C =

m.kN)7(7.2712202)8(8.33M B =××−×=

m.kN25125M C =×=



22

Diagramas de Esforços

O diagrama de esforços é um gráfico que mostra o valor do esforço transverso em função da distância x ao longo do eixo da viga e o diagrama de momentos flectores é um gráfico que mostra o valor do momento flector em função da distância x ao longo do eixo da viga.

Para traçar os diagramas de esforços é necessário considerar um corte na viga a uma distância x da origem e determinar os valores dos esforços transversos e momentos flectores em função de x e desenhar o gráfico das funções obtidas.



23

Diagrama de Esforços-Convenção de Sinais

Esforços Transversos Positivos

+

Esforços Transversos Negativos

-

+

Momentos Flectores Positivos

Momentos Flectores Negativos



24

Exemplo 8.4

P

L

x

A B C CB

BA

RA

MA

PTB

TB

MB

MB

PTB =

PxMB=Considere a viga encastrada representada na figura e desenhe os diagramas de esforços transversos e momentos flectores.



25


P

L

x

A B C

RA

MA PT =

PxM =

y

+

-

P

PL



26

Exemplo 8.5

P

a b

L

RA RC

B C

Pa/LRPb/L;R cA ==

xRA

RAx

T

M

M

T

P

0<x<a

a<x<L

A

y

x

Considere a viga simplesmente apoiada sujeita a uma carga pontual, representada na figura e desenhe os diagramas de esforços transversos e momentos flectores.



27


P

a b

L

A B C

y

x

+

-

Esforços Transversos

Momentos Flectores

+

y

y

x

x

R A R C

Pa/LRPb/L;R cA ==

Pb/LR A =

Pa/LR C =

Pab/L



28

Exemplo 8.6

L

x

BMB

M BB CA

p(x)=p

AT B

B

TB

C

/2xPM 2B =

pxT B =R A

M A

M AR A

Considere a viga encastrada sujeita a uma carga uniformemente distribuida, representada na figura e desenhe os diagramas de esforços transversos e momentos flectores.



29


L

x

A B C

R A

M A

p(x)=p

pxT =

x

+

/2xPM 2=

x

-

pL

pLR A =

/2LpM 2A =

/2Lp 2

T=px

2/xpM 2=



30

Exemplo 8.7

A C

x

y

x

B

x

L

R A R C

PL/2RPL/2;R cA ==

R A

/2xppLx/2M 2B −=

M B

M B

TB

T B

p(x)=pp(x)=p

p(x)=p

pxpL/2T B −=

Considere a viga simplesmente apoiada, sujeita a uma carga uniformemente distribuída, representada na figura e desenhe os diagramas de esforços transversos e momentos flectores.



31


2/pLRR CA ==

L

A

x

B

y

C x

M om entos Flectores pL/2

pL/2


/8Lp 2

px2/pL)x(T −=

2/xp2/pLX)x(M 2−=



32

Exemplo 8. 8

y

x

x

p(x)=px/L

A B C

p(x)=px/L

pL/2R A =

/6LpM 2A −=

R A R AM A

M A M BTB

T BM B

/2LxpT 2B =

/6LxpM 3B −=

Considere a viga encastrada sujeita a uma carga linearmente distribuída, representada na figura 2.19 e desenhe os diagramas de esforços transversos e momentos flectores.



33


y

x

x

p(x)=px/L

A B C


pL/2

R AMA

pL/2R A =

/6LpM 2A −=

/2LxpT(x) 2=

Momentos Flectores

-/6Lxp)x(M 3−=

/6Lp 2

( ) LxpxLpxT 2/2// 2−=×−=

LxpxxLpxM 6/3/2)2/()/( 3−=××−=



34

Exemplo 8. 9

pxL

Considere a viga simplesmente apoiada sujeita a uma carga linearmente distribuída, representada na figura 10.21 e desenhe os diagramas de esforços transversos e momentos flectores.

x

y

xL

A B C

RA=2PL/6

RC=PL/6

3

6 2

6 2 3

6 6

B

B

PL px xTL

PLx px x xML

PLx pxL

= −

= − =

= −



35

Equações de EquilíbrioForças e Momentos

x dx M +dMMT

pdx

MT

M +dM

T+dT

T+dT

dx

y

x

p(x)

0)( =+−+ pdxTdTT

pdxdT

−=

0)()()( 21 =+++−+ dxpdxMdMMdxdTT

Tdx

dM=

pxdMd −=

2

2



36

Viga Simplesmente Apoiada sujeita a uma carga pontual

P

a b

L

dx

xy

dx

P

)2/( xxM Δ− )2/( xxM Δ+

)2/( xxT Δ−

)2/( xxT Δ+


+LPb /

M om entos Flectores

+

0/ =dxdTsalto para T=P

0)(/ =−= xpdxdT

LPbTdxdM // ==

LPbxM /= LxLPaM /)( −=

LPaTdxdM // −==

T

Pa/L

Mx

x

∫+

−=+=

=⇒<<

×+===⇒<<

x

adxxTaMxMaTxT

xpLxaxR AMxMTxT

xpax

)()()();()(

0)()0()();0()(

0)(0

LPaRLPbR BA /;/ ==



37

Viga Simplesmente Apoiada sujeita a carga distribuída

L

xy

∫−=

−==

xdxxTMxM

pxTxTpxp

0)()0()(

)0()()(

2/;2/ pLRpLR BA ==


+

M omentos Flectores

+M

x

x

T2/pL

2/pL

pdxdT −=/

0/ >dxdM 0/ <dxdM

0/ =dxdM

8/2Lp



38

Viga S. A. Parcial/ carregada com Carga Uniformemente Dist.

6.0m 4.0m

6kN/m

A B

kNRkNR CA 8.10;2.25 ==


Reacções de Apoio

T6/ −=dxdT

25.2

10.8

+

0/ =dxdT2.256)( +−= xxT

8.10)( −=xT

M om entos Flectores

+

x

x

M 0/ =dxdMxxMxM 2.253)0()( 2 +−=

1088.10)( −−= xxM

Cx

y



39

Viga Simplesmente Apoiadacom Tramo em Consola

4.0m

A

10kN/m

2.0m


B C

20kN

-

+

RA RC

kNRkNR CA 50;10 ==

Momentos Flectores

xxT 1010)( −=T

M

x x

xxxM 2510)( −=

xxM 2040)( −=

20)( =xT

x



40

Problemas Propostos

1. Determine as Reacções de Apoio e Trace os Diagramas de Esforços e Momentos Flectores para as vigas representadas nas figuras.

10kN/m 20kN.m

2.5m 2.5m

a)b)

1m 1m 1m 1.5m

20kN

20kN.m 10kN/m



41

Problemas Propostos

Diagrama de Esforços Transversos

25kN

-25kN Diagrama de Momentos Flectores

20kN.m

-11,3kN.m

-73,8kN.m

a)



42

Problemas Propostos

b)



43

Problemas Propostos

b)



44

Problemas Propostos



45

Problemas Propostos


a)30kN 20kN/m

1m 4m

b)

20kN.m

30kN.m50kN

1m 3m 1m

20kN.m



46

Problemas Propostos


b)a)

40kN15kN/m

1,5m 2m 1,5m2m 1,5m 2,5m

20kN/m15kN/m

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