Aula I

Determinação dos esforços solicitantes em estruturas

isostáticas

Apresentação da aula

1. Análise estrutural em engenharia2. Classificação dos elementos e dos sistemas

estruturais 2.1- Elementos estruturais 2.2- Sistemas estruturais

3. Vinculação dos sistemas estruturais lineares planos 3.1- Elementos componentes 3.2- Vínculos e movimentos dos elementos 3.3- Determinação geométrica das estruturas

planas4. Equações de equilíbrio dos sistemas estruturais

planos isostáticos

5. Esforços solicitantes em estruturas planas isostáticas

6. Equações analíticas e diagrama de esforços

7. Relações diferenciais entre os esforços solicitantes e carregamentos

1. Análise estrutural em engenharia

Mecânica clássica dos corpos

Estática: estudo das condições de equilíbrio de um corpo ou de um sistema de corpos sujeitos à ação de forças externas; estudo das deformações do corpo

Dinâmica: estudo dos movimentos dos corpos ou de um sistema de corpos

Elemento estrutural

Elementos estruturais são os componentes da estrutura portante de uma edificação

Funções

- atender às condições arquitetônicas e funcionais e dar forma à edificação

- transmitir os carregamentos advindos das ações às bases da estrutura (solo) – “caminho das cargas”

- resistir às ações e garantir a estabilidade (segurança estrutural)

Projeto Estrutural

- Geometria da edificação: arquitetura (função), forma, dimensões, espaços, localização- Sistema estrutural: classificação, definição e posicionamento dos elementos componentes, vinculações entre eles (concepção estrutural)- Ações: classificação, quantificação, combinação (carregamentos)- Esforços solicitantes nos elementos estruturais: análise do comportamento (resposta) estrutural do elemento submetido às ações (carregamentos)- Dimensionamento dos elementos estruturais: comportamento estrutural e resistência do material que o compõe

2. Classificação dos elementos e dos sistemas estruturais

2.1- Elementos estruturais

Classificação segundo as dimensões

Elementos tridimensionais

Elementos bidimensionais ou planos

Elementos unidimensionais ou lineares

Elementos tridimensionais

Elementos com as três dimensões da mesma ordem de grandeza.

Elementos de fundação, de arrimo (gravidade) ou de barragens

Elementos bidimensionais ou planosElementos com duas dimensões preponderantes em relação à terceira.

Submetidos a carregamentos no plano médio (chapas ou paredes) ou transversais (placas, cascas)

Placas ou cascas:

Sujeitos a esforços de flexão e de força cortante

Transmite as cargas em direção aos apoios (bordas)- caminho das cargas

Elementos unidimensionais ou lineares

Elementos com uma dimensão preponderante em relação às outras duas, de eixo reto ou curvo.

Submetidos a carregamentos no eixo longitudinal (barras, colunas ou tirantes) ou transversais (vigas)

Sujeitos a esforços normais(axiais), de flexão, de força cortante e de torção

2.1- Sistemas estruturais

Espaciais (treliças, cúpulas, Planos (treliças, pórticos, cestas, cabos-treliça) arcos, cabos-treliça)

Subsistemas horizontais – lajes, vigas, grelhas, cascas, treliças espaciais;

Subsistemas verticais – treliças planas, pórticos planos, painéis e paredes

Subsistemas horizontais

Subsistemas verticais

3. Vinculação dos sistemas estruturais lineares planos

3.1- Elementos componentes

Barras – elementos lineares simples (apenas esforços axiais) e gerais (qualquer esforço, chapa)

Nós – ponto de une extremidades de barras

Vínculos – ligações (vinculações) pelas quais as barras são unidas entre si ou com a

“chapa-terra”, impedindo os deslocamentos relativos entre elas, translação ou rotação

3.2- Vínculos e movimentos dos elementos

vínculos representação movimentos reação gráfica impedidos correspondente

translação em Ry

y

translações em Rx, Ry

x e y

translações em x e y Rx, Ry, Mz

e rotação em z

x

yz

3.3- Determinação geométrica das estruturas planas

Estruturas treliçadas (barras simples) – necessários dois (02) vínculos para determinação geométrica de um nó no plano, correspondentes a duas translações (nas direções x e y)

Barras gerais (ou chapas) – necessários três (03) vínculos para determinação geométrica no plano, correspondentes a três movimentos de corpo rígido, duas translações (nas direções x e y) e uma rotação (na direção z, perpendicular ao plano x,y)

Estruturas com barras simples e gerais:

Número de nós: nNúmero de barras (chapas): cNúmero de barras (vínculos) necessárias:

bnec = 3.c + 2.n

Determinação geométrica de estruturas

estruturabexistentes < bnec = 3.c + 2.n - hipostáticabexistentes = bnec = 3.c + 2.n - isostáticabexistentes > bnec = 3.c + 2.n - hiperestática

4. Equações de equilíbrio dos sistemas estruturais planos isostáticos

Estruturas isostáticas

Estruturas com vínculos externos em número necessário e suficiente para sua determinação geométrica, ou seja, com as equações de equilíbrio é possível a determinação das forças externas incógnitas (reativas) .

Tipos de cargas externas

Cargas distribuídas: carregamento distribuído ao longo do comprimento de uma barra, na direção ou perpendicularmente ao seu eixo axial.

Cargas concentradas: carregamento distribuído em um comprimento considerado pequeno em relação ao comprimento de uma barra, podendo ser considerado como praticamente concentrado em um ponto.

Exemplo: parede de tijolo apoiada sobre viga, ao longo de seu comprimento

Carregamento = peso da viga

de peso próprio da viga comprimento da viga

Carregamento = peso da parede

de peso próprio da parede comprimento da vigamkN

L

LeHg

mkNL

Lbhg

viga

tijoloparede

viga

concretoviga

/6,20,5

0,5.10,0.0,2.13...

/75,00,5

0,5.10,0.30,0.25...

Tipos de reações de apoio

Apoio contínuo ou distribuído: caso de barras apoiadas em meio contínuo, como vigas de fundação ou sapata corrida, apoiadas sobre o solo ao longo do seu comprimento e com reação na direção perpendicular ao seu eixo axial.

Apoios discretos ou pontuais: elemento de apoio cuja dimensão de contato com a barra tem um comprimento considerado pequeno em relação ao comprimento desta barra, podendo ser considerado como praticamente concentrado em um ponto (barra de vínculo).

Equações de equilíbrio no plano

Definição: Um sistema estrutural, submetido a carregamentos conhecidos, mantém-se em equilíbrio devido às reações (incógnitas) correspondentes aos vínculos externos que restringem os graus de liberdade (movimentos) deste sistema.

Reações de apoio: Dado o corpo rígido (chapa) qualquer contido no plano Oxy, sujeito a carregamento externo conhecido, para o seu equilíbrio deve-se ter:

Estrutura de chapa isostática

Número de vínculos externos:

bext = 3.c = 3.1 = 3

3 reações de apoio incógnitas

Equações de equilíbrio

0

0

0

z

y

x

M

F

F

x

yz

5. Esforços solicitantes em estruturas planas isostáticas

5.1- Definição e convenção de sinais

Definição: Em uma estrutura em equilíbrio, os esforços solicitantes em uma seção transversal genérica são as forças que equilibram as ações externas que atuam à esquerda ou à direita desta seção. Os esforços solicitantes formam pares (ação e reação entre corpos) de mesma direção e intensidade, porém de sentidos contrários, nas duas seções transversais.

Estas forças atuantes na seção transversal podem ser reduzidas a uma força resultante aplicada em um ponto (centro de gravidade da seção) e a um momento (binário) resultante.

Para facilitar os cálculos destes esforços solicitantes, obtêm-se as componentes destas resultantes nas direções do eixo longitudinal e dos eixos ortogonais a este, que contêm a seção transversal da barra.

N - força normal ou axial

V - força cortante

M - momento fletor

T - momento torçor

As componentes destas forças, considerando-se estrutura plana e carregamento contidos no plano xy, são os esforços solicitantes esforço axial N, momento fletor Mz e esforço cortante Vy.

Convenção de sinais: sentidos positivos dos esforços

Esforço normal (axial): N

Esforço cortante: V

Momento fletor: M

Momento torçor: T

Determinação dos esforços solicitantes

As equações de equilíbrio determinam as condições da estrutura, ou de parte dela, à esquerda ou à direita da seção transversal estudada.

Exemplo

apoio fixo A: deslocamentos restritos vx e vy

apoio móvel C: deslocamento restrito vy

x

y

C

B

VA

A

Vc

HA

4,0 1,5 m

5,0 kN/m

8,0 kN

8,0 kN

Reações de apoio

Carga distribuída transformada em força concentrada fictícia,

Fq = 5,0.5,5=27,5 kN

Equações de equilíbrio

x

y27,5 kN

RARc

HA

4,0 1,5 m

kNRRM

kNRRRRF

kNHF

CCzA

CACAy

Ax

9,1804.2

5,5.5,27:0

5,2705,5.5:0

0,8:0

kNRR CA 6,89,185,275,27

8,0 kN

Esforços solicitantes

Seção transversal B (distante 2 metros do apoio A)

equações de equilíbrio

x

y10,0 kN

RA

2,0

MB

mkNMMRM

kNVkNVVRF

kNNNHF

BBAzB

BBBAy

BBAx

.2,702

0,2.0,2.0,50,2.:0

4,10,106,800,2.0,5:0

0,80:0

VB

NB

HA

6. Equações analíticas e diagrama de esforços

6.1- Equações analíticas

Os esforços solicitantes são obtidos em uma determinada seção transversal;

Deseja-se, porém, conhecer a sua evolução (variação) ao longo do elemento estrutural ou da estrutura como um todo;

Pode-se obter as expressões analíticas dos esforços em função da coordenada x, onde são representados os valores ao longo da estrutura, adotando-se uma seção transversal de referência em posição genérica.

As funções obtidas são contínuas para carregamentos contínuos e descontínuas onde houver alguma força (ou reação) concentrada ou descontinuidade geométrica da estrutura.

Esforços solicitantes

Seção transversal S (distante de s do apoio A)Variação de a coordenada s: 0 < s < 4,0 mequações de equilíbrio

x

y5,0.s

RA

s

MS

2.5,2.6,802

..0,5.:0

.0,56,8.0,56,80.0,5:0

0,80:0

ssMMs

ssRM

sVsVsVRF

kNNNHF

SSAzS

SSSAy

SSAx

VS

NS

s

HA

Esforços solicitantes para o trecho AC, entre apoios

Para s=0:

Para s=4,0 (seção à esquerda do apoio C):

0,0.5,2.6,8

6,8.0,56,82

ssMM

kNsVV

AS

AS

mkNssMM

kNsVV

esqSS

esqSS

.6,50,4.5,20,4.6,8.5,2.6,8

4,110,4.0,56,8.0,56,822

,

,

Esforços solicitantes

Seção transversal S (distante de s do apoio A)Variação de a coordenada s: 4,0 < s < 5,5 m

x

y5,0.s

RA

s

MS

2.5,2)0,4.(9,18.6,8

02

..0,5)0,4.(.:0

5,27.0,5

.0,59,186,80.0,5:0

0,80:0

sssM

Ms

ssRsRM

sV

sVsVRRF

kNNNHF

S

SCAzS

S

SSCAy

SSAx

VS

NS

s

RC

HA

mkN

sssMM

kNsVV

dirCS

dirCS

.6,50,4.5,2)0,40,4.(9,180,4.6,8

.5,2)0,4.(9,18.6,8

5,75,270,4.0,55,27.0,5

2

2,

,

Esforços solicitantes para o trecho CD, em balanço

Para s=4,0:

Para s=5,5 (seção extrema do balanço):

0,05,5.5,2)0,45,5.(9,185,5.6,8

.5,2)0,4.(9,18.6,8

0,05,275,5.0,55,27.0,5

2

2

sssMM

sVV

DS

DS

Diagrama dos esforços solicitantes

As expressões obtidas permitem traçar os diagramas dos esforços solicitantes seguindo algumas convenções:Momento fletor e força cortante, valores positivos indicados abaixo do eixo de abcissa x

8,6

11,4

7,5+

_

+

7,2

5,6

+

_

B

1,4

V (kN)

M (kN.m)

Observações:

Força cortante: descontinuidade no diagrama devido a uma carga concentrada no ponto C (reação de apoio)

A diferença (ou a soma dos módulos) dos valores de força cortante, à direita e à esquerda do apoio (VC,dir–VC,esq=7,5-(-11,4)=18,9kN) representam a carga concentrada naquele ponto (reação de apoio VC=18,9kN)

Momento fletor: descontinuidade da inclinação no diagrama devido a uma carga concentrada no ponto C (reação de apoio)

7. Relações diferenciais entre os esforços solicitantes e carregamentos

As expressões analíticas dos esforços solicitantes de flexão (momento fletor e força cortante) apresentam relações diferenciais entre si.Considere-se um elemento de comprimento infinitesimal dx de uma barra geral em equilíbrio, sobrecarregada uniformemente:

Equações de equilíbrio

qxqdx

MdouV

dx

dM

Assim

dxdVdx

dxdVdxVdM

dxdVVdMM

dxVMM

qxqdx

dV

Assim

dxxqdVdxxqdVVVF

z

y

)(

,

02

.:002

..

02

).()(2

.:0

)(

,

)(0)()(:0

2

2

Integrando-se as duas equações, tem-se:

onde C1 e C2 são constantes de integração e são conhecidos a partir da definição de condições de contorno do problema estudado.

21

2

1

1

.2

..

.)(

CxCx

qdxCxqMVdxdM

CxqVdxxqdV

Segundo as expressões diferenciais pode-se prever a forma dos diagramas de esforços M e V para os diversos tipos de carga distribuída:

q=0: V - constante M - variação linear

q=constante: V - variação linear M - polinômio 2o. grau

q=linear: V – pol. 2o. Grau M - polinômio 3o. grau

E ainda:

máximoéMdx

Md

mínimooumáximoMVdx

dM

0

:0

2

2

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS - NBR6120 – Cargas para o cálculo de estruturas de edificações. Rio de Janeiro: ABNT, 1980. 6p.

DIAS, L. A M. Estruturas de aço: conceitos, técnicas e linguagem. Zigurate, 1998.

FUSCO, P.B. Estruturas de concreto: Fundamentos do projeto estrutural. São Paulo: McGraw Hill, 1976.

GIONGO, J.S. Estruturas de concreto armado. São Carlos: Publicação EESC/USP, 1993.

MACHADO JUNIOR, E.F. Introdução à isostática. São Carlos: Publicação EESC/USP,1999.

SCHIEL, F. Introdução à resistência dos materiais. São Paulo: Harbra, 1984.

Bibliografia