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RESISTÊNCIA DOS RESISTÊNCIA DOS MATERIAISMATERIAIS
UNICAMPUNICAMP
MÓDULO 2 – ESFORÇOS MÓDULO 2 – ESFORÇOS SOLICITANTESSOLICITANTES
PROF. EDUARDO COELHOPROF. EDUARDO COELHO
Os desafios que parecem impossíveistornam-se fáceis mediante a capacitação
ESFORÇOS SOLICITANTESESFORÇOS SOLICITANTES
H
RR
R
p p
x
z
y
v
hv
H
R
R
v
v
hR
M
M
V
V
N
N
São esforços internos que equilibram cargas e reações situadas à esquerda ou à direita de uma determinada seção transversal genérica
Apoiomóvel A
Apoio fixo B
A
BB
v
V
HN
M
R
x
y
p M, N e V equilibram as cargas e reações situadas à esquerda da seção genérica I - I
I
I
CONVENÇÃO DE SINAIS
N > 0 SE FOR DE TRAÇÃO (ALONGA AS FIBRAS) – FORÇA NORMAL
V > 0 SE A RESULTANTE À ESQUERDA E O ESFORÇO CORTANTEPROVOCAREM BINÁRIO QUE GIRE NO SENTIDO HORÁRIO – FORÇA CORTANTE
M > 0 SE PROVOCAR TRAÇÃO NAS FIBRAS INFERIORES – MOMENTO FLETOR
x
y v
i i v
F = 0 N = H
F = 0 V = R - p.x
xM = 0 M = R .x - p.x.
2
X
p.x
x / 2
A
TRAÇADO DE DIAGRAMAS DE M, N E VTRAÇADO DE DIAGRAMAS DE M, N E V
OBJETIVO : ENCONTRAR NA ESTRUTURA TODA, A VARIAÇÃO DOS ESFORÇOSSOLICITANTES E SUA DISTRIBUIÇÃO, DE MODO A SELECIONAR OS ESFORÇOSCRÍTICOS, A SEREM USADOS NO DIMENSIONAMENTO DAS BARRAS
OBS : A BARRA, DIMENSIONADA PARA RESISTIR A ESSES ESFORÇOSCRÍTICOS, FICA SUJEITA A TENSÕES LIMITES NESSAS SEÇÕES TRANSVERSAIS– NAS DEMAIS AS TENSÕES SE SITUAM ABAIXO DESSES PATAMARES
N = Força normal crítica
V = Força cortante crítica
M = Momento fletor crítico
max
max
max
Exemplo de vigas sobre 2 apoios Exemplo de vigas sobre 2 apoios (cargas concentradas)(cargas concentradas)
,x
y A B
A B
B
A
x A
F = 0 V + V = 5tf
M = 0 2,0.2,0 + 3,0.4,5 - V .7,5 = 0
V = 2,33tf
V = 2,67tf
F = 0 H = 0
2,0 m 2,5 m 3,0 m
2,0 tf 3,0 tf
A B
V VA B
I
I II
II
III
III
x
y
HA
REAÇÕES DE APOIO
DIAGRAMAS de M e V
2,67
2,33
2,0
0,67V (tf)
5,33 7,0 M (tf.m)
2,67
2,67
2,0
2,67
0,67(constante)
M = 2,67.x (linear)
2,33
2,33
M= 2,67.x – 2,0.(x – 2,0)
Mx
M
+
-
,M = 2,33.x
Viga sobre 2 apoiosViga sobre 2 apoios (carga distribuída)(carga distribuída)
2 2
max.
p.l p.lV = - p.x,(x = o) V =
2 2
p.l x l x p.l lM = .x - p.x. = p. .x - p. M = ,(x = )
2 2 2 2 8 2
l/2 l/2
p
VVA
B
Por simetria, V = V = p.l / 2A B
+
-V (força cortante)
M (momento fletor)
p.l2
p.l2
x
p.l²/8 = Mmax.
M desenhado do lado em que as fibras
são tracionadas
Na seção onde M é máximo, a força cortante é nula
2
max.
dM=V
dx
dM p.l= -p.x=V
dx 2l p.l
Quandox= ⇒M=M =2 8
x
p.l/2
p
p.x V
2p.l p.xM= .x-
2 2
M
M TRACIONA (ALARGA) AS FIBRAS INFERIORES
x/2
VIGA EM BALANÇOVIGA EM BALANÇO
x
y A
2
A A
F =0⇒H=0
F =0⇒V =p.l
l lM =0⇒M =p.l. =p.
2 2
l
xp
A
AV
H
MA
DIAGRAMAS
V
M
p.l
p.l²/2
pV
M
N = 0
Equilíbrio
x
2
i
V=p.x
x xM =p.x. =p.
2 2
(linear)
(Parábola 2.º grau)
pl²/8
X=l/2
+
SUPERPOSIÇÃO DE EFEITOSSUPERPOSIÇÃO DE EFEITOS
xV =P+p.x
V
H
P
P
P+p.l
M= P.l+p.l²/2
M
M
l
x=l/2
x
P
p
x
N=o
V
Mx
x
2
x
xM =P.x+p.
2
p
pl²/8
+
EXEMPLO
2 m 2 m6 m
y
x
p= 1 tf/m
V = 5 tfA
VB
y A B
A A A
10F =0⇒V =V =p. =5p
2M =0⇒V .6-p.10.3=0⇒V =5p
+ +
--
1.6²/8=4,5 tf.m
1 tf/m
x
N=0
M=1.x.x/2= x²/2
M
2,02,0
2,0 m
X=5m
5,0 tf
M
V
V=0
2,5
V(tf)
M(tf.m)
x
max
xM =5( x-2)-1.x.
2x=5m⇒M=M =2,5tf.m
1 tf/m
V = 1.x
2
3
3
2
V=0
max
GENERICAMENTE, se M > M , resulta:
p
la b
M MA B
p
M MA B
A B
lp.
2
A BM -Ml
A BM -Ml
lp.
2
Diagramas de M e V
V VA B
A BB
M -MlV =p. -
2 l
A BA
M -MlV =p.
2 l
V
V
A
B
MM
A B
p.l²/8
A curvatura da parábola segue o sentido da carga p
TRELIÇAS PLANAS (Cargas aplicadas nos nós)TRELIÇAS PLANAS (Cargas aplicadas nos nós)
θ θ
(8 X 2,0 m)
(1,5 m)
2,0 tf1,0 tf
H
V V
1,2 tf
1,0 tf2,0 tf
I
I1
2 4 6 8 10 12 14 160
3 5 7 9 11 13 15 17
x
y
2 - 2
3 - 3
4-4
5 - 5
0
0 16
x 0
Y 0 16
0 16
0
16
F = 0 H = 1,2 tf
F = 0 V + V = 7. 2,0 + 2 .1,0 = 16,0 tf
M = 0 2,0 ( 2,0 + 4,0 + 6,0 + 8,0 +10,0 +12,0 +14,0 ) +1,0 ( 16,0 ) - V .16,0 - 1,2.1,5 = 0
V = 7,89 tf
V = 8,11 tf
⇒
⇒
⇒
5-5
Utilizando as equações de equilíbrio no plano, obtêm-se os esforços solicitantes nas barras, que são sempre axiais
N > 0 – tração N < 0 - compressão
Corte I - I1,0 tf
N
N13
01
x 13
y 01
F = 0 N = 0
F = 0 N = 1,0 tf
⇒
⇒
Corte 2 - 2
1,2 tf
1,0 tf
7,89 tf
θ0
N
N
03
02
Y 03 03
x 02 02
F = 0 7,89 - 1,0 +N .sen θ = 0 N = - 11,48 tf
F = 0 1,2 + N - 11,48 . cos θ = 0 N = 7,98 tf
sen θ = 0,6
cos θ = 0,8
Corte 3 - 3
6
N
N
N4-6
6-8
6-7
x 46 68
y 67
F = 0 N = N
F = 0 N = 0
Da mesma forma, resulta que:
N
(Não há forças aplicadas em 6)
Corte 4 – 4
2,0 tf
9
N
N7-9 9-11
8-9
7-9 9-11
8-9
N = N
N = - 2,0 tf
02-3 10-11 14-15
4-5 12-13
N = N = N
N = N = - 2,0 tf
N
N
N
CORTE de RITTER (Corte 5 – 5)
10-12
11-12
11-13
2,0 m 2,0 m 2,0 m
1,5 m
2,0 tf1,0 tf
1,2 tf
2,0 tf
161412
171513
8,11 tf
12 11-13 11-13M = 0 - N . 1,5 - 1,2.1,5 + 2,0.2,0 +1,0.4,0 - 8,11.4,0 = 0 N = - 17,5 tf
y 11-12 11-12F = 0 N .0,6 + 8,11- 2,0 - 2,0 - 1,0 = 0 N = - 5,18 tf
Passando um corte por 3 barras, duas a duas concorrentes em um ponto, fazemos somatória de momentos em relação a esse ponto, encontrando o esforço na 3.ª barra
15-17
16-17
N = -1,2 tf
N = -1,0 tf
10-12 10-12 N .1,5 + 2,0.2,0 + 2,0.4,0 +1,0.6,0 - 8,11.6,0 = 0 N = 20,44 tf
2,0 m 2,0 m 2,0 m
1,5 m
1,0 tf2,0 tf 2,0 tf
7,89 tf
1,2 tf
N
0 2 4 6
13 5 7
57
N
N
47
46
Fazendo o corte 5-5 resulta:
y 47 47
7 46
46
4 57 57
F =0 N .0,6+7,89 -1,0 -2,0 -2,0 =0 N =-4,82tf
M =0 7,89.6,0 -1,2.1,5 -1,0.6,0 -2,0.4,0 -2,0.2,0 -N .1,5 =0
N =18,36tf
M =0 7,89.4,0 -1,0.4,0 -2,0.2,0+N .1,5 =0 N =-15,71tf
Equilíbrio do nó 17, resulta
15-17
16-17
N = -1,2 tf
N = -1,0 tf
Equilíbrio do nó 10 resulta:16
1,0 tf
1.2 tf
8,11 tf
N
N
N14-16
15-17
15-16
17
Equilíbrio do nó 16 leva a :
15-16
15-16
8,11- 1,0 +N .0,6 = 0
N = - 11,85 tf
14-16 15-16N = - N .0,8 = 9,48 tf
8-10 10-12N = N = 20,44 tf
Feitos os equilíbrios e cortes restantes nos nós e barras, chegamos aos resultados dos esforços nas barras, como indicado na figura:
0,0
0,00,0-1,0
0,0 0,0-1,0-2,0 -2,0 -2,0
-1,2
9,489,48
-11,85
20,44 20,44
-17,5-17,5
7,98 7,98 18,36 tf 18,36
-11,48
-4,82
-15,71-15,71
-5,188,52
1,85
1,48
8,15
-23,12 -23,12
Esforços nas barras em tf
N>0 ............. tração N<0 ............. compressão
