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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ESTRUTURAL E CONSTRUÇÃO CIVIL
NESTOR ELEUTÉRIO PAIVA BENDÔ GERAÇÃO DE ÁBACOS PARA DIMENSIONAMENTO DE SEÇÕES DE PILARES
SOLICITADAS POR FLEXÃO COMPOSTA
FORTALEZA 2011
ii
NESTOR ELEUTÉRIO PAIVA BENDÔ
GERAÇÃO DE ÁBACOS PARA DIMENSIONAMENTO DE SEÇÕES DE PILARES SOLICITADAS POR FLEXÃO COMPOSTA
Monografia submetida à Coordenação do Curso de Engenharia Civil, da Universidade Federal do Ceará, como requisito parcial para obtenção do grau de Engenheiro Civil. Orientadora: Professora Dra. Magnólia Maria Campêlo Mota
FORTALEZA 2011
iii
NESTOR ELEUTÉRIO PAIVA BENDÔ
GERAÇÃO DE ÁBACOS PARA DIMENSIONAMENTO DE SEÇÕES DE PILARES SOLICITADAS POR FLEXÃO COMPOSTA
Monografia submetida à Coordenação do Curso de Engenharia Civil, da Universidade Federal Ceará, como requisito parcial para obtenção do grau de Engenheiro Civil. Aprovada em ___/___/___
BANCA EXAMINADORA
______________________________________________________________ Professora Doutora Magnólia Maria Campêlo Mota (Orientadora)
Universidade Federal do Ceará – UFC
______________________________________________________________ Professor Doutor Joaquim Eduardo Mota
Universidade Federal do Ceará – UFC
______________________________________________________________ Professor Doutor Augusto Teixeira Albuquerque
Universidade Federal do Ceará – UFC
iv
Dedicado inteiramente à minha família, que me proveu tudo o que um filho poderia precisar
v
AGRADECIMENTOS
Aos meus pais João Bendô e Jovane Paiva, que me deram a vida e a educação que
hoje tenho. À minha grandíssima família, que me ensinou que mesmo irmãos são diferentes
entre si.
Às minhas irmãs, Antonia Alanne e Joane Alinne, por me encherem de alegria e
orgulho.
Aos meus grandes amigos, Adonias, André, Antonio Marcos, Carina, Décyo,
Fábio, Filipe, Jennifer, Jennysson, Jorge, Juscelino Filho, Mateus, Paulo Henrique, Renata,
Samanta, Sheldon, Wesley e Wilker, por tornarem a infância mais alegre e ensinarem o valor
da amizade e do respeito mútuo.
Às professoras (tias) do Ensino Fundamental, especialmente Francisca Tavares,
Isabel Aragão, Maria das Graças e Socorro Martins, pela dedicação e proteção do eterno mais
jovem da turma.
Aos amigos que fiz no ensino médio em Sobral (a cidade que fica no centro do
universo!), especialmente Domitila, Emerson, Helton, Jacimara, Lucas, Lucinara, Marcellus,
Marly, Pedro Henrique, Rita Irene, Ridner, Saulo, Tamises e Vinícius, que me influenciaram
na escolha da Engenharia Civil como carreira (E ainda bem que não fiz Computação, como
queria!).
Às minhas tias, Joana, Edina e Olga Paiva, por tornarem possível minha vinda de
Santa Quitéria para Fortaleza em 2006.
Aos amigos que aqui fiz, especialmente Adelino, Carlos David, Francisco Alan,
Iuri Aragão, Iuri Barcelos, Jhonatas, José Graciano, Luiz Antonio, Pedro Ygor, Raul e Thiago
Bomfim, que entraram na instituição comigo em 2006, por seu companheirismo em
momentos adversos. Aos demais colegas (a maioria das duas turmas seguintes – 2007 e
2008), que enfrentam os mesmos desafios que eu, e que não estão aqui listados, pois seu
número é imenso (Por que será que “Cabo Vicentão! Cabo Vicentão!” sempre ecoa na minha
cabeça?).
Aos colegas do Centro Acadêmico e do PET, por sua amizade e momentos de
descontração. Às amigas da Coordenação, Leonildes e Selimar, por sua simpatia e auxílio no
momento da conclusão de curso. Ao Chiquinho, por me ajudar várias vezes quando fiquei
preso no Campus.
Às minhas tias Erotildes Bendô e Eridan Paiva, e às minhas madrinhas Benedita
Bendô e Francisca Paiva por seu apoio moral e financeiro em tempos de dificuldade e também
nos momentos de felicidade.
vi
Ao professor Silvrano Dantas, e aos colegas do Laboratório de Mecânica dos
Solos e Pavimentação, pela amizade e pela oportunidade de trabalhar em sua pesquisa em
2009.
Aos professores Evandro Parente Junior, John Kennedy e Felipe Loureiro, por
ensinar a ter respeito pelo que faço, e por ensinar o valor de uma boa conversa com um
mestre.
À professora Magnólia, por sua amizade, e por definir a área de atuação que
pretendo seguir.
Ao professor Joaquim e seu pai, Dr. Hugo Mota, que me permitiram estagiar em
sua empresa e adquirir experiência em nosso campo de trabalho.
Aos meus sogros, João e Inês, por seu carinho e amizade, e ao meu cunhado, João
Vitor, por me levar de volta à minha infância sempre que o vejo.
À minha esposa, Meiriciana, que esteve comigo e acreditou em mim quando eu
mesmo pensava em desistir. Ao meu filho, Antonio Saulo, por ser um “pequeno tubarão no
meio do cardume”, me mantendo focado ao resultado sem me perder.
E a todos os que contribuíram, de uma forma ou de outra, para a realização deste
trabalho.
vii
“Pensar é o trabalho mais pesado que há,
e talvez seja essa a razão para tão poucos
se dedicarem a isso.”
– Henry Ford
viii
RESUMO
Pilar é um elemento estrutural geralmente vertical que recebe ações predominantemente de compressão, podendo estar submetido à flexão composta reta ou oblíqua. No dimensionamento de pilares de concreto armado à flexão composta é comum o emprego de diagramas adimensionais de esforços resistentes em função da taxa mecânica de armadura, dado que os mesmos abrangem grande faixa de valores de esforços resistentes e de seções transversais. O presente trabalho mostra como gerar ábacos adimensionais para seções retangulares simétricas predefinidas, variando o cobrimento, a quantidade e a disposição das armaduras. Foi confeccionada uma planilha em Microsoft Excel que obtém os ábacos para seções retangulares submetidas à flexão composta reta. A planilha foi validada com exemplos apresentados na literatura consultada, e mostrou ser uma ferramenta adequada para o uso por parte de estudantes engenharia e profissionais da área, adicionando mais possibilidades ao dimensionamento e à verificação de pilares de concreto armado.
Palavras-Chave: dimensionamento, pilares, ábacos adimensionais.
ix
LISTA DE FIGURAS
Figura 2.1 – Flexão Reta e Flexão Oblíqua ............................................................................. 4
Figura 2.2 – Flexão Simples e Flexão Composta .................................................................... 5
Figura 2.3 – Comprimento de flambagem do pilar .................................................................. 7
Figura 2.4 – Comprimentos de Flambagem para cada situação de vinculação ......................... 8
Figura 2.5 – Classificação quanto à posição em planta ........................................................... 9
Figura 2.6 – Situação de projeto da excentricidade inicial e da força normal em pilares
(CARVALHO, 2009) ........................................................................................................... 13
Figura 2.7 – Aproximação em apoios extremos (adaptada da NBR 6118 (ABNT, 2003)) ..... 14
Figura 2.8 – Imperfeições geométricas globais (adaptada da NBR 6118 (ABNT, 2003)) ...... 15
Figura 2.9 – Imperfeições geométricas locais (adaptada da NBR 6118 (ABNT, 2003)) ........ 16
Figura 3.1 – Rotina para obtenção de diagramas de interação e ábacos adimensionais .......... 22
Figura 3.2 – Seção genérica empregada na planilha .............................................................. 23
Figura 3.3 – Diagrama tensão-deformação parábola-retângulo do concreto .......................... 25
Figura 3.4 – Diagrama tensão-deformação bilinear do aço ................................................... 25
Figura 3.5 – Domínios e Regiões de Deformação (adaptada de SANTOS, 1994) .................. 27
Figura 3.6 – Deformações na Região I ................................................................................. 28
Figura 3.7 – Deformações na Região II ................................................................................ 29
Figura 3.8 – Deformações na Região III ............................................................................... 29
Figura 3.9 – Resultante ��� e sua posição (adaptada de SANTOS, 1994) ............................. 31
Figura 3.10 – Casos para o cálculo de � e �′ (adaptada de SANTOS, 1994) ......................... 32
Figura 3.11 – Esforços resistentes da seção transversal ......................................................... 34
Figura 3.12 – Entradas da Planilha-Base .............................................................................. 37
Figura 3.13 – Iteração da planilha para uma posição da Linha Neutra ................................... 38
Figura 3.14 – Interface da Planilha-Resumo ......................................................................... 39
Figura 3.15 – Ábaco gerado pela planilha............................................................................. 39
Figura 4.1 – Seção do Exemplo 01 ....................................................................................... 40
Figura 4.2 – Entradas do Exemplo 01 na Planilha-Base ........................................................ 41
Figura 4.3 – Entradas do Exemplo 01 na Planilha-Resumo ................................................... 41
Figura 4.4 – Ábaco do Exemplo 01 ...................................................................................... 42
Figura 4.5 – Seção do Exemplo 02 ....................................................................................... 43
Figura 4.6 – Entradas do caso para a Planilha-Base .............................................................. 44
Figura 4.7 – Entradas do caso para a Planilha-Resumo ......................................................... 44
x
Figura 4.8 – Ábaco gerado para o caso ................................................................................. 44
xi
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO .............................................................................................................. 1
1.1 Objetivos ........................................................................................................... 2
1.2 Metodologia ...................................................................................................... 2
1.3 Estrutura do trabalho ......................................................................................... 3
2 DIMENSIONAMENTO DE PILARES ........................................................................... 4
2.1 Flexão Composta Normal e Oblíqua .................................................................. 4
2.2 Elementos geométricos do dimensionamento de pilares ..................................... 5
2.2.1 Dimensões mínimas .......................................................................... 5
2.2.2 Cobrimento mínimo das armaduras ................................................... 6
2.2.3 Armaduras longitudinais máximas e mínimas na seção ..................... 6
2.2.4 Comprimento efetivo de flambagem ................................................. 6
2.2.5 Índice de Esbeltez e Raio de Giração ................................................ 8
2.3 Classificação dos pilares .................................................................................... 9
2.4 Consideração dos efeitos de segunda ordem .................................................... 11
2.5 Esforços nos pilares ......................................................................................... 12
2.5.1 Excentricidades ............................................................................... 12
2.6 Métodos de cálculo dos Efeitos de Segunda Ordem ......................................... 18
2.6.1 Método do Pilar-Padrão com Curvatura Aproximada ...................... 18
2.6.2 Método do Pilar-Padrão com Rigidez � Aproximada ...................... 20
2.6.3 Método do Pilar-Padrão Acoplado a Diagramas M, N, 1/r ............... 20
2.6.4 Método Geral – Processo Exato ...................................................... 20
3 PLANILHA PARA GERAÇÃO DE ÁBACOS ............................................................. 22
3.1 Geometria da seção proposta ........................................................................... 22
3.2 Cálculo dos esforços nos materiais .................................................................. 24
3.2.1 Relações constitutivas dos materiais ................................................ 24
3.2.2 Domínios de Deformação e Regiões de Deformação ....................... 26
3.2.3 Curvatura ........................................................................................ 30
3.2.4 Esforço resistente de cálculo do concreto ........................................ 30
xii
3.2.5 Esforços resistentes nas armaduras .................................................. 33
3.3 Equilíbrio da seção transversal......................................................................... 34
3.4 Planilha-Base .................................................................................................. 36
3.5 Planilha-Resumo ............................................................................................. 38
4 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO .................................................................................... 40
4.1 Exemplo 01 ..................................................................................................... 40
4.2 Exemplo 02 ..................................................................................................... 42
5 CONCLUSÃO .............................................................................................................. 45
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................................. 46
1
1 INTRODUÇÃO
Pilares são elementos estruturais lineares cuja dimensão predominante se encontra
na direção vertical, estando assim submetidos principalmente a esforços de compressão axial
ou flexocompressão. A função dos pilares na estrutura é transmitir os esforços verticais das
lajes e vigas para as fundações, bem como os esforços laterais causados pelo vento
(CARVALHO, 2009).
O dimensionamento de pilares é uma importante atividade do cálculo estrutural,
dada a elevada suscetibilidade dos pilares (e, consequentemente, das estruturas como um todo)
a possíveis erros de execução, sendo que alguns deles são considerados na fase de projeto
como hipóteses de cálculo, caso das excentricidades acidentais, por exemplo.
O dimensionamento adequado dos pilares é exigido principalmente pelo perigo de
queda brusca de resistência perante a presença de momentos fletores, que podem levar à
flambagem da peça. A flambagem é um fenômeno de instabilidade onde o estado de
deformação da estrutura influi no cálculo dos esforços internos, caracterizando não-
linearidade geométrica e invalidando o princípio da superposição de efeitos. Este fenômeno é
denominado efeito de segunda ordem (CARVALHO, 2009).
O objetivo do dimensionamento de pilares é manipular sua geometria e
características dos materiais de modo que sejam obtidas dimensões compatíveis com as
exigências arquitetônicas e de projeto estrutural, ao mesmo tempo em que se limitam os
valores dos Esforços Solicitantes de Cálculo, de modo que, preferencialmente, obtenham-se
carregamentos limites em pelo menos um dos materiais, aproveitando ao máximo sua
resistência. O objetivo da verificação de pilares é obter, para a seção em questão, os esforços
resistentes de cálculo, que devem superar os esforços solicitantes de cálculo apresentados no
problema.
Tanto para o dimensionamento como para a verificação, ábacos que forneçam os
diagramas de interação que contenham os esforços limites podem ser usados, facilitando os
processos de cálculo por serem empregados normalmente diagramas adimensionais.
Ábacos para dimensionamento de seções de pilares são equações de superfície que
fornecem o valor do esforço normal adimensional (�), dos momentos fletores adimensionais
(�� e �� ), e taxa mecânica de armadura (�), representadas em plano cartesiano por suas
curvas de nível. Estas equações fornecem os limites de resistência de uma dada seção
transversal em função de suas características físicas e geométricas, sendo que os valores são
2
transformados em adimensionais de modo a possibilitar o emprego de um mesmo ábaco para
representar várias seções semelhantes (condição esta que é garantida pela própria geometria e
pela disposição das barras da armadura longitudinal).
Durante o período de graduação dos estudantes de engenharia, os professores das
disciplinas referentes a Estruturas de Concreto ensinam o uso destes ábacos para
dimensionamento de seções de concreto solicitadas por flexão composta, já que não há
disponibilidade de programas de baixo custo para fazê-lo (CARVALHO, 2009). No entanto,
os ábacos existentes são poucos e restritos, com apenas algumas distribuições de armadura e
cobrimentos.
1.1 Objetivos
Como motivação para este trabalho, tem-se a geração de ábacos de flexão
composta reta para pilares com seção retangular maciça com arranjo simétrico de armadura
num meio computacional familiar aos estudantes e engenheiros, o MICROSOFT EXCEL. O
que se pretende é obter uma planilha que contenha os ábacos e que possa ser empregada
facilmente para obter resultados os mais fieis possíveis, aumentando significativamente a
quantidade de ábacos disponíveis e contemplando arranjos de armadura que o próprio usuário
proponha, permitindo uma análise mais econômica e qualitativa dos mesmos.
Completado este objetivo ter-se-á em mãos um meio prático e didático para obter
o diagrama de resistência para uma dada seção transversal, que deve ser testado por meio de
exemplos com disposições de armadura tipicamente adotadas pelos calculistas.
1.2 Metodologia
Para obter a planilha de cálculo foram estudados desde maio de 2011 capítulos de
livros contendo a formulação básica do equilíbrio de seções de pilares, caracterizando uma
pesquisa bibliográfica exploratória.
Foi gerada uma planilha que implementa novos ábacos a partir de uma seção
predeterminada, e então validaram-se os ábacos resultantes, caracterizando-se também uma
pesquisa analítica com estudo comparativo qualitativo.
3
1.3 Estrutura do trabalho
Este trabalho está dividido em cinco capítulos, sendo o primeiro esta introdução, a
qual contextualiza o problema, os objetivos, metodologia e a estrutura do trabalho.
O segundo capítulo trata dos conceitos fundamentais do dimensionamento de
pilares, definindo as características geométricas, os esforços que devem ser calculados para
seu dimensionamento e os métodos de cálculo empregados para dimensionamento de pilares.
Apresentados os métodos de dimensionamento, o terceiro capítulo traz a planilha
para gerar ábacos a partir da geometria de uma seção transversal. Segue no quarto capítulo
uma série de exemplos de aplicação da planilha citada e a discussão dos resultados.
O quinto capítulo traz as conclusões e sugestões para trabalhos futuros.
4
2 DIMENSIONAMENTO DE PILARES
2.1 Flexão Composta Normal e Oblíqua
A flexão normal caracteriza-se quando o momento fletor atuante na seção
transversal tem a direção de um dos eixos centrais principais de inércia. Caso contrário, tem-
se flexão oblíqua. Os eixos centrais são os que passam pelo centroide da seção, enquanto que
as direções principais de inércia se caracterizam por conterem os extremos momentos de
inércia da seção, sendo sempre ortogonais entre si. Também se encontra uma direção principal
de inércia sempre que o produto de inércia (���) para esta direção é nulo (CARVALHO,
2009). Assim sendo todo eixo de simetria é um eixo principal de inércia. Ocorre também
flexão normal sempre que o momento solicitante é perpendicular a um eixo de simetria da
seção. Nas demais situações, ocorre flexão oblíqua (Figura 2.1).
Para o cálculo de concreto armado, a flexão normal é muito vantajosa, pois
trabalha-se com menos equações de equilíbrio e a declividade da Linha Neutra (LN) na seção
é conhecida, sendo sempre perpendicular ao eixo de simetria (CARVALHO, 2009).
L
N
L
N
a) FLEXÃO RETA b) FLEXÃO OBLÍQUA
Figura 2.1 – Flexão Reta e Flexão Oblíqua
A flexão composta ocorre quando, além do momento fletor atuante na seção, há
também uma força normal atuante, seja ela de tração ou de compressão. Quando ocorre o
esforço normal aplicado ao CG da peça, sem presença de momento fletor, tem-se tração ou
compressão centrada. A Figura 2.2 mostra as flexões simples e composta.
5
Md
CG
Md
CG
Nd
a) FLEXÃO SIMPLES b) FLEXÃO COMPOSTA
Figura 2.2 – Flexão Simples e Flexão Composta
Para o caso do concreto armado, entretanto, não se pode aplicar os conceitos
acima diretamente, pois ocorre fissuração em parte da seção e a presença da área de aço influi
sobre o cálculo dos momentos de inércia (CARVALHO, 2009).
2.2 Elementos geométricos do dimensionamento de pilares
2.2.1 Dimensões mínimas
O item 13.2.3 da NBR 6118 (ABNT, 2003) relaciona as dimensões limites que
devem ser obedecidas para o dimensionamento de pilares, afirmando que, de maneira geral,
não devem ser admitidos em projeto pilares maciços com dimensão mínima menor que
19 ��, a não ser que suas cargas solicitantes sejam majoradas por um coeficiente adicional
��, de acordo com a Tabela 2.1 abaixo. A norma é proibitiva quanto a pilares com área de
seção transversal menor que 360 cm².
Tabela 2.1 – Valores do coeficiente adicional �� (adaptada da Tabela 13.1 da NBR 6118 (ABNT, 2003))
b (cm) ≥19 18 17 16 15 14 13 12
�� 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35
Onde:
�� = 1,95− 0,05�;
� é a menor dimensão da seção transversal do pilar.
6
2.2.2 Cobrimento mínimo das armaduras
Os itens 6 e 7 da NBR 6118 (ABNT, 2003) são dedicados a especificar as
características necessárias à estrutura e ao concreto para garantir a proteção da armaduras e a
durabilidade de elementos estruturais quando não são empregados aditivos e produtos
protetores, como a relação água/cimento mais adequada e a resistência característica ideal
para o cobrimento das armaduras em cada caso.
O cobrimento das armaduras é uma variável relevante para o dimensionamento,
pois é um dos limites de posicionamento das armaduras na seção. Os ábacos existentes na
literatura são, inclusive, limitados a certos valores de cobrimento.
2.2.3 Armaduras longitudinais máximas e mínimas na seção
A armadura mínima a ser considerada em seções de pilares e tirantes, de acordo
com o item 17.3.5 da NBR 6118 (ABNT, 2003), deve ser:
��,��� = 0,15∙�����
≥ 0,4% ∙ �� (2.1)
Onde:
�� é o valor da Força Normal Solicitante de Cálculo;
��� é a resistência à tração de cálculo do aço;
�� é a área da seção transversal do pilar.
O valor máximo da armadura na seção transversal de pilares deve ser, já incluindo
a sobreposição das armaduras na região de emenda por traspasse, segundo a norma:
��,��� = 8% ∙ �� (2.2)
A recomendação para a taxa mínima de armadura é feita sobre a consideração de
um momento mínimo que provocaria fissuração no concreto simples, sendo obedecidas as
condições para abertura de fissuras. A recomendação para a armadura máxima é feita sobre a
condição de validade dos ensaios de aderência e funcionamento conjunto dos materiais, além
da exequibilidade do elemento estrutural.
2.2.4 Comprimento efetivo de flambagem
Comprimento efetivo de flambagem é a distância entre os pontos de momento
nulo (pontos de inflexão) do elemento estrutural em sua configuração deformada quando
7
submetido ao seu carregamento crítico. O comprimento de flambagem é dependente da
condição de vinculação das extremidades do pilar.
Para um pilar vinculado em ambas as extremidades, a NBR 6118 (ABNT, 2003)
exige que o comprimento de flambagem seja o menor entre os seguintes valores (Figura 2.3):
�� ≤ ��� + ℎ�
(2.3)
Onde:
�� é a distância entre as faces internas dos elementos estruturais que vinculam o
pilar;
ℎ é a altura da seção transversal do pilar medida na direção em questão;
� é a distância entre os eixos dos elementos estruturais que vinculam o pilar.
l0 l
h/2
h/2
h l0+h
Figura 2.3 – Comprimento de flambagem do pilar
A vinculação do pilar pode ser feita por vigas ou por lajes, não mudando a
analogia em função da situação. No entanto, para diferentes vinculações das extremidades, os
valores obtidos devem ser multiplicados por um coeficiente, dado para cada situação
apresentada na Figura 2.4:
8
L
le = 2L
le = 0,7L
le = 0,5L
Figura 2.4 – Comprimentos de Flambagem para cada situação de vinculação
2.2.5 Índice de Esbeltez e Raio de Giração
O índice de esbeltez de um pilar é uma grandeza adimensional que depende de
suas dimensões e das condições de vinculação das suas extremidades, sendo definido como a
razão entre o comprimento de flambagem (��) e o raio de giração da seção transversal (�),
como mostra a equação (2.4):
� =���
(2.4)
Onde:
�= ��
� (2.5)
Quanto maior o índice de esbeltez de um pilar em uma dada direção, mais
provável é a ocorrência de flambagem nesta direção. Para seções simétricas, como as
9
retangulares, � é definido para as duas direções, como mostram as equações (2.6) a (2.9)
abaixo:
�� =��,���
(2.6)
�� =��,���
(2.7)
�� = ����
(2.8)
�� = ����
(2.9)
2.3 Classificação dos pilares
Carvalho (2009), com o intuito de sistematizar o estudo e melhorar a abordagem
do dimensionamento, classifica os pilares em relação a dois critérios, a saber:
Quanto à posição em planta: central, lateral e de canto (Figura 2.5);
Quanto à esbeltez: curto, medianamente esbelto, esbelto e muito esbelto.
a) PILARINTERNO
b) PILAR DEBORDA
c) PILAR DECANTO
Figura 2.5 – Classificação quanto à posição em planta
10
2.3.1.1 Classificação quanto à posição em planta
A localização do pilar em planta determina como as excentricidades do
carregamento vertical em relação à seção deverão ser consideradas, e a partir daí o tipo de
solicitação presente no mesmo. Pilares centrais são solicitados por compressão centrada,
pilares laterais são solicitados por flexão composta reta e pilares de canto por flexão composta
oblíqua (CARVALHO, 2009).
Esta classificação é embasada na continuidade das rotações entre vigas e pilares:
nos vãos centrais as rotações são pequenas, significando transmissão de pouco ou nenhum
momento fletor da viga para o pilar, enquanto que nas extremidades das vigas há rotações
maiores, indicando transmissão de momentos fletores para os pilares de extremidade.
A NBR 6118 (ABNT, 2003), em seu item 14.6.7.1, especifica que pode ser
desprezada a transmissão de momento nos pilares centrais (considerando que as vigas são
simplesmente apoiadas nestes) e que deve haver transmissão de uma parcela do momento
fletor que seria considerado quando houvesse engastamento perfeito em pilares de
extremidade. Esta parcela deve ser proporcional à rigidez de cada elemento considerado
(CARVALHO, 2009). O cálculo deste momento proporcional será mais detalhado na seção
2.5.1.
2.3.1.2 Classificação quanto à esbeltez
A consideração da flambagem e dos efeitos de segunda ordem em pilares é feita a
partir do valor de seu índice de esbeltez (�), como já explicado na seção 2.2.5, e enunciado
por Carvalho (2009). De acordo como o autor, a abordagem para consideração dos efeitos de
segunda ordem tem maior ou menor simplificação para determinados valores deste índice. O
autor ainda faz a classificação dos pilares em curtos (� ≤ �� ), medianamente esbeltos
( �� < � ≤ 90 ), esbeltos ( 90 < � < 140 ) e muito esbeltos ( 140 < � ≤ 200), dando
nomenclatura e didática à classificação da NBR 6118 (ABNT, 2003). A norma admite pilares
com índice de esbeltez maior que 200 apenas no caso de postes solicitados por apenas 10% da
resistência do concreto (���).
As recomendações da norma para cada um destes intervalos de índice de esbeltez
foram resumidas no Quadro 2.1.
11
2.4 Consideração dos efeitos de segunda ordem
Conforme o item 15.8.2 da NBR 6118 (ABNT, 2003), a análise dos efeitos locais
de segunda ordem é dispensável para pilares curtos, quando o índice de esbeltez for menor
que o limite ��. Os efeitos de segunda ordem são responsáveis por reduzir a resistência do
pilar frente ao crescimento dos esforços solicitantes. O valor de �� é dado por:
�� =25+ 12,5 ∙
��ℎ
�� (2.10)
Quadro 2.1 – Recomendações da NBR 6118 (ABNT, 2003) (adaptado de CAMPOS FILHO, 2011)
Índice de
Esbeltez
Consideração
dos Efeitos
de Segunda
Ordem
Processo de Cálculo
Consideração
da Fluência Exato
Aproximado
por
Diagramas
(M, N, 1/r)
Simplificado
≤ �� Dispensável – – – –
≤ 90
Obrigatória Dispensável Permitido
Permitido Dispensável
≤ 140 Proibido Obrigatória
≤ 200 Obrigatória Proibido
Onde:
35 ≤ �� ≤ 90;
�� é a excentricidade de primeira ordem;
ℎ é a altura da seção transversal do pilar, medida no plano da estrutura em estudo.
O coeficiente �� é obtido como se mostra a seguir:
a. Para pilares biapoiados sem cargas transversais:
�� = 0,6 + 0,4 ∙��
��≥ 0,40 (2.11)
Com �� e �� sendo os momentos de primeira ordem nos extremos do pilar. �� é
o momento de maior valor absoluto ao longo do elemento e �� deve ter o mesmo sinal de ��
se tracionar o mesmo lado que aquele e o sinal contrário caso não o faça.
b. Para pilares biapoiados com cargas transversais significativas ao longo
da altura:
12
�� = 1,0 (2.12)
c. Para pilares em balanço:
�� = 0,80+ 0,20∙��
��≥ 0,85 (2.13)
Sendo �� o momento de primeira ordem no engaste e �� o momento no meio do
vão.
d. Para pilares com momentos menores que o estabelecido no item
11.3.3.4.3 da NBR 6118 (ABNT, 2003):
�� = 1,0 (2.14)
2.5 Esforços nos pilares
2.5.1 Excentricidades
Para o cálculo dos esforços solicitantes, devem ser consideradas no projeto
excentricidades que representam a distância de aplicação do Esforço Normal Solicitante de
Cálculo em relação ao centro geométrico do pilar, gerando os Momentos Fletores Solicitantes
de Cálculo. Segundo Carvalho (2009) as excentricidades devem ser conhecidas por
representarem os diversos fatores que influem no dimensionamento. As excentricidades assim
definidas são classificadas em:
a. Excentricidade inicial: resulta da presença da ligação monolítica entre
as vigas e os pilares laterais e de canto. A ligação transmite momentos fletores ao pilar,
gerando a excentricidade, que pode ser obtida a partir das expressões (2.15) e (2.16) abaixo:
��� =��
� (2.15)
��� =��
� (2.16)
A excentricidade inicial ocorre em pilares independentemente da esbeltez e em
ambas as direções, dependendo apenas da presença ou não de momento solicitante (Figura
2.6). Esta de excentricidade deve ser associada às demais (CARVALHO, 2009).
Considera-se para o cálculo que a estrutura seja de nós fixos (estrutura
contraventada) e submetida apenas a ações verticais (CARVALHO, 2009).
Na verificação dos máximos esforços em um pilar de edifício, devem ser
consideradas duas situações, uma delas na extremidade do pilar (onde a excentricidade de
primeira ordem é maior que a de segunda ordem – esta é nula se o pilar for biapoiado) e outra
13
numa seção intermediária (onde a excentricidade de segunda ordem é maior). De acordo com
Carvalho (2009), deve ser escolhida a mais crítica destas duas situações.
y y y y
x x x x
eix
eiy eiy
eix
ei
Nd Nd
Nd Nd
a) PILARINTERNO
b) PILAR DEBORDA
c) PILAR DECANTO
Figura 2.6 – Situação de projeto da excentricidade inicial e da força normal em pilares (CARVALHO, 2009)
Na situação de extremidade, a excentricidade inicial se apresenta como na
equação (2.15) ou a equação (2.16), e deve ser somada à excentricidade acidental de
desaprumo (exposta no subitem c), ou considerada a excentricidade mínima estabelecida pela
norma (subitem d). Na seção intermediária há excentricidade de segunda ordem e a
excentricidade inicial passa a ter um valor reduzido ponderado por �� (sendo este fator
calculado como na equação (2.11) para pilares biapoiados), portanto, segundo a igualdade
(2.17) abaixo:
��∗ = �� ∙ �� (2.17)
O item 14.6.7 da NBR 6118 (ABNT, 2003) traz uma formulação aproximada de
obter o momento proveniente da solidariedade com as vigas, advinda da teoria estudada na
Disciplina de Análise de Estruturas, tomando o momento fletor como uma fração do momento
de engastamento perfeito, supondo que os elementos estruturais envolvidos (viga e dois
tramos de pilar) sejam construídos com o mesmo material, tendo assim o mesmo módulo de
elasticidade. A formulação da norma é mostrada nas equações (2.18) a (2.20) abaixo:
Momento na extremidade da viga:
�����,���� =���� + ����
���� + ���� + �����∙ ���� (2.18)
14
Momento no tramo superior do pilar:
��,� ��� =����
���� + ���� + �����∙ ���� (2.19)
Momento no tramo inferior do pilar:
��,� ��� =����
���� + ���� + �����∙ ���� (2.20)
Onde:
����, ���� e ����� é a rigidez de cada elemento no nó considerado;
�� = ��/��, sendo �� o momento de inércia de cada elemento e �� o comprimento do
elemento, conforme a Figura 2.7;
���� é o momento de engastamento perfeito na ligação viga-pilar;
��,� ��� é o momento na extremidade inferior do pilar superior;
��,� ��� é o momento da extremidade superior do pilar inferior.
linf/2
lsup/2
lviga
Figura 2.7 – Aproximação em apoios extremos (adaptada da NBR 6118 (ABNT, 2003))
b. Excentricidade de forma: em virtude muitas vezes de exigência
arquitetônica, é comum que os eixos de vigas e pilares venham a não coincidir, de modo que é
gerada uma excentricidade puramente geométrica.
De acordo com Carvalho (2009) é necessário cuidado adicional quando forem
empregados programas de cálculo que incluam as excentricidades de forma automaticamente,
evitando o aumento exagerado do momento fletor atuante nos pilares.
c. Excentricidade acidental: A NBR 6118 (ABNT, 2003) parte do
princípio que não há perfeição geométrica na execução de estruturas, incluindo no cálculo as
imperfeições de posição e forma das peças, imperfeições estas chamadas excentricidades
acidentais.
15
As excentricidades acidentais são agrupadas na NBR 6118 (ABNT, 2003) em dois
grupos: imperfeições geométricas globais e imperfeições geométricas locais. As imperfeições
globais são consideradas como sendo um desaprumo da estrutura como um todo, calculado
como nas equações (2.21) e (2.22):
qa
H
n
Figura 2.8 – Imperfeições geométricas globais (adaptada da NBR 6118 (ABNT, 2003))
�� =1
100√� (2.21)
�� = �� ∙� 1+
1�
2
(2.22)
Onde:
�� é o desaprumo de um elemento vertical contínuo;
��,���= 1/400 para estruturas de nós fixos;
��,���= 1/300 para estruturas de nós móveis;
��,���= 1/200;
� é a altura total da edificação em metros;
� é o número de prumadas de pilares.
A NBR 6118 (ABNT, 2003) não recomenda que o desaprumo seja superposto ao
carregamento de vento, devendo ser tomado entre eles o mais desfavorável, que gere maior
momento na base da construção.
As imperfeições locais são computadas em apenas um lance de pilar, sendo
considerado o efeito do desaprumo ou da falta de retilineidade, como mostrado na Figura 2.9.
16
l
l
l
l
l
l
l/2
ea ea
q 1 q 1
a) FALTA DERETILINEIDADE
b) DESAPRUMO
Figura 2.9 – Imperfeições geométricas locais (adaptada da NBR 6118 (ABNT, 2003))
O cálculo de �� é feito a partir da expressão (2.23):
�� =1
100√�≥ ��,��� (2.23)
Para o caso da falta de retilineidade, temos:
�� = �� ∙�
2 (2.24)
E, para o desaprumo:
�� = �� ∙ � (2.25)
Sendo:
�� o desaprumo de um elemento vertical contínuo;
� a altura de um pavimento;
��,���= 1/300 para imperfeições locais;
��,���= 1/200.
d. Excentricidade de primeira ordem mínima: segundo o item 11.3.3.4.3
da NBR 6118 (ABNT, 2003), pode-se substituir a consideração das imperfeições geométricas
em um lance de pilar pela consideração da excentricidade mínima de primeira ordem, dada
pela equação (2.26), desde que a excentricidade mínima seja superior à imperfeição
considerada.
��,��� = 0,015+ 0,03ℎ (2.26)
Onde ℎ é a altura da seção transversal na direção considerada, em metros.
17
Há autores que interpretam que esta excentricidade deve substituir não só a
imperfeição geométrica considerada, mas a soma desta com a excentricidade inicial, de
acordo com o especificado no item 15.8.3.3.2. Há referência na NBR 6118 (ABNT, 2003), no
item 11.3.3.4.3, que o momento mínimo substitui o oriundo das imperfeições geométricas
quando for maior que este. Neste trabalho, não há interesse em definir qual destas
recomendações deve ser seguida, mas Carvalho (2009) afirma que o próprio projetista é o
responsável por adotar a interpretação que achar mais desfavorável.
e. Excentricidade de segunda ordem: é proveniente dos efeitos da
flambagem, sendo considerada em pilares cujo índice de esbeltez supere o valor de �� dado
pela equação (2.10). De acordo com Carvalho (2009), para reproduzir os efeitos da
flambagem, admite-se que a compressão no pilar atue com uma excentricidade ��, existente
mesmo em pilares centrais, o que faz com que eles sofram flexão composta em lugar de
compressão centrada. O cálculo desta excentricidade será visto mais adiante.
f. Excentricidade suplementar devido à fluência: é prevista para incluir no
cálculo a fluência do concreto, conforme a recomendação prevista no item 15.8.4 da NBR
6118 (ABNT, 2003). É obrigatório calcular esta excentricidade para pilares com índice de
esbeltez maior que 90, e o procedimento exposto em Carvalho (2009) para obtenção da
mesma é acrescentar à excentricidade de segunda ordem o valor mostrado na equação (2.27):
�� = ����
���+ ��� ∙ ��
� ∙��������� − 1� (2.27)
Onde:
�� = (10 ∙ �� ∙ ��)/��� ;
��� e ��� são os valores característicos dos esforços solicitantes devido às ações
permanentes;
�� é a excentricidade acidental (imperfeições geométricas);
� é o coeficiente de fluência;
�� é o módulo de elasticidade do concreto;
�� é o momento de inércia da seção bruta de concreto segundo a direção analisada.
O estudo apresentado sobre excentricidades é resumido pelo Quadro 2.2.
18
Quadro 2.2 – Resumo do emprego das excentricidades (adaptado de CARVALHO, 2009)
Excentricidade Situações de uso Expressões de Cálculo
Inicial Em Pilares Laterais
ou de Canto
Pilar Lateral:
�� = ��/�
Pilar de Canto:
��� = ���/�,
��� = ���/�
Seções
intermediárias:
��∗ = �� ∙ ��
De Forma Imposição de
projeto Obtida das plantas de forma
Acidental (��) Todas Seção Extrema:
��/�
Seção
Intermediária:
�� ∙ �/2
�� =1
100√�
≤1
200
Mínima
Todas, se maior
que as imperfeições
geométricas ou de
primeira ordem
��,���= 0,015 + 0,03 ∙ ℎ (ℎ em metros)
De Segunda
Ordem Sempre que � > ��
�� < � < 90
�� =���
��∙
�,���
(���,�)∙�
90≤ � < 140
�� =���
��∙�
�
Gráficos M, N,
1/r
140≤ � < 200
Processo geral
Suplementar Sempre que � > 90 �� = ����
���+ ��� ∙ ��
�∙���
������ − 1�, �� =��∙��∙��
���
2.6 Métodos de cálculo dos Efeitos de Segunda Ordem
De acordo com Carvalho (2009) existem alguns métodos para cálculo dos efeitos
de segunda ordem, variando em precisão e grau de complexidade dos cálculos. Os métodos
mais simplificados são de emprego limitado, mas os mais sofisticados exigem emprego de
programação computacional. Os métodos de cálculo serão abordados neste trabalho apenas a
título de apresentação.
2.6.1 Método do Pilar-Padrão com Curvatura Aproximada
De acordo com Carvalho (2009), os métodos aproximados tentam identificar a
seção mais solicitada e obter expressões que calculem o efeito de segunda ordem. Como
19
hipóteses de cálculo, tem-se: a flecha máxima é função da curvatura da peça; a não-
linearidade geométrica é considerada de forma aproximada por uma senoidal; a curvatura é
dada pela segunda derivada da linha elástica da barra; a não-linearidade física é considerada a
partir do cálculo aproximado da curvatura na seção crítica.
O emprego do Método do Pilar-Padrão com Curvatura Aproximada é permitido
apenas para pilares com � ≤ 90, conforme é explicitado no Quadro 2.1, sendo a forma de
cálculo da excentricidade de segunda ordem dada pela equação (2.28):
�� = �1
�����
∙ ����
10� (2.28)
Onde �� é o comprimento de flambagem da peça e 1/� é a curvatura máxima na
seção crítica, calculada de forma aproximada pela fórmula (2.29) obtida a partir das
deformações no Estado Limite Último, apresentada na NBR 6118 (ABNT, 2003) e válida para
aço CA-50:
1
�=
0,005
(� + 0,5)∙ ℎ (2.29)
Com:
(� + 0,5)≥ 1;
ℎ é a altura da seção da direção considerada;
� = ��/(�� ∙ ���) é o valor adimensional da força normal.
A expressão final para o cálculo da excentricidade de segunda ordem será dado
pela equação (2.30):
�� =0,005
(� + 0,5)∙ ℎ∙ ����
10� (2.30)
Como mostrado no Quadro 2.2.
Assim o cálculo do momento total máximo, que inclui o momento de primeira
ordem, para pilares curtos e medianamente esbeltos (� ≤ 90), será dado pela igualdade (2.31):
��,���= �� ∙ ���,� + �� ∙���
10∙
0,005
(� + 0,5)∙ ℎ≥ ���,� ≥ ���,��� (2.31)
Onde:
�� é dado pela equação (2.11);
�� é o esforço normal de cálculo;
���,� é o momento de primeira ordem para o caso;
���,��� é o momento mínimo de primeira ordem para o caso.
20
2.6.2 Método do Pilar-Padrão com Rigidez � Aproximada
É feito com base nas mesmas hipóteses que o método anterior, mas com a
diferença que a não-linearidade física é considerada por uma expressão aproximada da
rigidez. Este método é também empregado para cálculo de pilares com � ≤ 90, mas sempre
com seção retangular constante com armadura simétrica e constante ao longo do eixo
(CARVALHO, 2009).
O momento total máximo no pilar é dado pela expressão (2.32):
��,���=�� ∙ ���,�
1−��
120∙ �/�
≥ ���,� ≥ ���,��� (2.32)
Com a rigidez calculada aproximadamente pela equação (2.33):
� = 32 ∙ �1+ 5 ∙��,���
ℎ ∙ ��� ∙ � (2.33)
As variáveis pertinentes já foram todas previamente definidas.
Percebe-se que o problema é recursivo, exigindo cálculo iterativo, sem maiores
dificuldades desde que a convergência esteja assegurada.
2.6.3 Método do Pilar-Padrão Acoplado a Diagramas M, N, 1/r
Para pilares esbeltos com � < 140 , Carvalho (2009) afirma que pode ser
empregado o Método do Pilar-Padrão com curvatura real, valendo a mesma equação (2.28).
No entanto, pelo efeito de segunda ordem se apresentar bastante elevado no caso, o cálculo da
rigidez não é feito pelas deformações no ELU. A rigidez da peça não atingirá o valor máximo
antes da instabilidade.
O autor traz um ábaco condicionado a esta situação de instabilidade, que já
considera o efeito de segunda ordem, e trazendo como saída o valor da taxa mecânica de
armadura (�). Como este não é um ábaco de Estado Limite Último condicionado à ruptura
por deformação excessiva, não entra no escopo deste trabalho.
2.6.4 Método Geral – Processo Exato
Para cálculo da carga crítica de flambagem, de acordo com a NBR 6118 (ABNT,
2003), item 15.8.3.2, deve ser efetuada discretização adequada do elemento para realizar uma
21
análise de segunda ordem não-linear, sob a consideração da relação momento-curvatura real
em cada seção e a consideração da não-linearidade geométrica de maneira não aproximada.
Este método deve ser empregado obrigatoriamente para pilares muito esbeltos
(� > 140), sendo dispensável seu uso em caso de esbeltez menor. O método também é
indicado para pilares de seção variável e submetidos a cargas laterais (CARVALHO, 2009).
As equações diferenciais que relacionam o momento atuante e a curvatura podem
ser resolvidas por processos aproximados, já que podem não ter solução direta, ou por
carregamentos incrementais, acompanhando a variação de rigidez e o ponto onde a curva de
carga × deslocamento atinge seu valor máximo para a direção considerada (CARVALHO,
2009).
22
3 PLANILHA PARA GERAÇÃO DE ÁBACOS
Neste capítulo será mostrada a teoria (etapas e hipóteses) que embasa a planilha
para geração de ábacos adimensionais, e a planilha resultante propriamente dita.
De acordo com Santos (1983), ao trabalhar com grandezas adimensionais, é fato
que a variação das mesmas diminui. Tabelas dimensionais teriam de abranger uma faixa de
valores imensa, na ordem de 10�, enquanto trabalhar com os valores reduzidos de zero a 2,0
consegue traduzir a mesma variação, e às vezes até mais. Outra grande vantagem das
grandezas adimensionais é que elas tornam o problema linear: a variação da área de aço
necessária para resistir a um par de solicitações (��, ��) em relação ao ��� não é linear.
Quando tratamos com as variáveis �, � e � (ou �), há linearidade, como será visto adiante.
Para a geração de ábacos adimensionais e diagramas de interação há uma rotina de
trabalho com passos simples, mostrada na Figura 3.1.
Figura 3.1 – Rotina para obtenção de diagramas de interação e ábacos adimensionais
3.1 Geometria da seção proposta
Estudar a geometria da seção é o passo inicial para obtenção do seu diagrama de
interação. O conhecimento da forma da seção e das posições e áreas das armaduras é
fundamental para obter os esforços resistentes últimos da mesma. Este trabalho se fundamenta
sobre as seções retangulares, com disposição simétrica de armaduras, submetida a apenas um
momento fletor que resulte em flexão reta.
A disposição de armaduras adotada é feita ao longo da profundidade da seção,
sempre simétrica em relação à sua vertical. A área de aço em cada camada de armaduras é
denominada ��� . A porção comprimida da seção está sempre no topo da mesma, ou seja, deve
haver um pré-processamento por parte do usuário para posicionar a seção adequadamente à
planilha para que seu uso seja considerado válido. O usuário pode modificar a posição e a
Passo 1: Geometria da
Seção Proposta
Passo 2: Posição da Linha Neutra
Passo 3: Cálculo das deformações
na Seção
Passo 4: Cálculo das Tensões nos
Materiais
Passo 5: Cálculo de � e �′
Passo 6: Variação da Taxa Mecânica
de Armadura
Passo 7: Obtenção dos valores de � e
�
Passo 8: Variação da Posição da Linha Neutra e volta ao Passo 3
Passo 9: Obtenção da Planilha-
Resumo
Passo 10: Geração do Gráfico
23
quantidade das armaduras para configurar uma disposição ao longo do perímetro. A seção
genérica empregada é mostrada na Figura 3.2.
d'
hy
hx
Md
Nd
d
diAsi
d'
Figura 3.2 – Seção genérica empregada na planilha
A profundidade relativa ao topo é a variável básica de posição de qualquer ponto
da seção, sendo definida por:
�� =��ℎ�
(3.1)
Onde:
��: Profundidade do ponto � em relação ao topo da seção;
ℎ�: Altura da seção.
A profundidade relativa ao cobrimento das armaduras (�′) é dada por:
� =�′
ℎ� (3.2)
A profundidade relativa da Linha Neutra é então:
�� =�
ℎ� (3.3)
Devem ser inseridos como entradas o número de barras em cada camada, a bitola
das barras inseridas nesta camada, sua profundidade em relação ao topo (��) e o cobrimento
destas armaduras (�). O cobrimento é considerado o mesmo nas quatro faces da seção. O
24
estudo para garantir o espaçamento adequado entre as armaduras não é feito no
processamento, sendo necessário que o usuário verifique as condições de detalhamento em
pós-processamento.
3.2 Cálculo dos esforços nos materiais
O cálculo de uma seção transversal levado ao Estado Limite Último (E.L.U.)
exige que os esforços resultantes sejam obtidos como a soma referente ao maior esforço
possível obtido em cada um dos materiais empregados para aquela condição do E.L.U.
(SANTOS,1994).
Desta forma, devem ser dados do problema as resistências últimas de cada
material, bem como seus respectivos diagramas tensão-deformação, para que assim possamos
calcular a parcela da resistência (esforço normal e momento fletor últimos) correspondente a
cada material.
No entanto, para a geração de um ábaco genérico, apenas a característica do aço
deve ser previamente um dado de entrada, já que a deformação última do aço interfere na
resolução do problema, como será visto no subitem 3.2.1.2.
A planilha gerada para este trabalho abrange o problema genérico e plota como
saída também um caso específico à escolha do usuário.
3.2.1 Relações constitutivas dos materiais
3.2.1.1 Diagrama tensão-deformação do concreto
De posse da resistência característica do concreto, deve se calcular tensão de
cálculo ��� , levando em conta o coeficiente de minoração �� e o Efeito Rüsch, resultando na
equação (3.4):
��� = 0,85 ∙�����
(3.4)
O diagrama tensão-deformação do concreto assume a forma retangular-parabólica
mostrada na Figura 3.3.
25
s cd
ececu‰
s c
Figura 3.3 – Diagrama tensão-deformação parábola-retângulo do concreto
Onde a equação (3.5) representa o trecho parabólico (SANTOS, 1994).
�� = ��� ∙ ���4∙ (4 − ��)� (3.5)
O valor de ��� adotado neste trabalho é dado na equação (3.6) (SANTOS, 1994).
��� = 3,5‰ (3.6)
O limite de emprego desta igualdade, e, por conseguinte, deste trabalho como um
todo, é de ��� ≤ 50 ���.
3.2.1.2 Diagrama tensão-deformação do aço
Será adotado o diagrama bilinear empregado por Santos (1994) e mostrado na
Figura 3.4, que tem por equações constitutivas as igualdades (3.7), (3.8) e (3.9).
fyd
esesueyd
s s
Figura 3.4 – Diagrama tensão-deformação bilinear do aço
��� = �� ∙ ��� ���� 0 ≤ |���| ≤ ����� (3.7)
26
��� = ��� ���� |���| > ����� (3.8)
�� = 210 ��� (3.9)
Estas equações são válidas tanto para a tração como para a compressão, alterando-
se apenas o limite de ruptura, que é de 10‰ na tração e de 3,5‰ na compressão
(respeitando o limite do concreto).
3.2.2 Domínios de Deformação e Regiões de Deformação
Caracteriza-se a ruína da seção transversal para qualquer solicitação quando as
deformações específicas últimas de pelo menos um dos materiais são atingidas, sendo a
deformação última do concreto de 2‰ na compressão centrada e de 2‰ a 3,5‰ na flexão,
e a deformação última do aço de 10‰ tanto em tração como em compressão. Por
conveniência, doravante, quando não especificado, as deformações estarão em ‰.
Para estudar a ruptura da seção transversal, portanto, devemos variar a posição da
Linha Neutra e verificar qual dos materiais rompe primeiro no caso em questão. Daí são
definidos seis Domínios de Deformação, tipos particulares de ruptura dependentes da
solicitação última em cada material.
No Domínio 1, por exemplo, a ruptura é comandada pelo aço na camada inferior,
que está a 10‰, e não há encurtamento da seção; no Domínio 2, também o aço está a 10‰,
mas há encurtamentos na seção, e assim por diante. Ficam definidos três polos de ruína e três
Regiões que englobam os seis Domínios, como mostrado na Figura 3.5 (SANTOS, 1994).
Para obter as deformações em um ponto qualquer da seção são empregadas
equações de compatibilidade, levando em conta que as deformações são constantes para uma
mesma fibra paralela à Linha Neutra, bastando então calcular a variação das deformações em
relação à LN (SANTOS, 1994).
Para simplificar o trabalho, devemos calcular as deformações sempre em relação a
um mesmo ponto, não importa em que Domínio esteja solicitada a seção. O ponto mais
conveniente é a fibra mais comprimida, que neste trabalho será considerada sempre no topo
da seção transversal. Como nossa análise engloba três casos, correspondentes aos polos de
ruína, vamos estudá-los separadamente.
27
2‰ 3,5‰
2‰-10‰
1
2
2a2b
3
4
4a
5
C
B
A
alongamentos (-) encurtamentos (+)
eyd
2‰ 3,5‰
2‰-10‰
Região III
Região I
C
B
A
alongamentos (-) encurtamentos (+)
Região II
DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO
REGIÕES DE DEFORMAÇÃO
hy
hy
3hy/7
3hy/7
Figura 3.5 – Domínios e Regiões de Deformação (adaptada de SANTOS, 1994)
Na Região I, correspondente ao Domínio 5, o diagrama de deformações é
semelhante ao apresentado na Figura 3.6, sendo �� o encurtamento na borda superior da seção
e ��� o mínimo encurtamento da seção (que ocorre em sua base). Todas as retas que definem
as deformações passam pelo ponto B (polo de ruína), onde a deformação é 2‰.
Pela Hipótese de Navier-Bernoulli, as deformações variam linearmente,
permitindo que empreguemos semelhança de triângulos para obter a deformação na fibra
genérica (SANTOS, 1994):
���=
2
� −3ℎ�7
=14
7� − 3ℎ�∴ �� =
14��7�� − 3
(3.10)
28
2
B
ec
ec0
di
x
Linha Neutra externa à seção
esdi
hy
3hy/7
Figura 3.6 – Deformações na Região I
Como as deformações de interesse normalmente atuam sobre o aço, usaremos a
notação ���� para a deformação na fibra genérica. Ainda por semelhança de triângulos, tem-
se, para a fibra genérica:
���� = ���� − ����
(3.11)
Substituindo-se o valor de �� da equação (3.10) na equação (3.11):
���� =14(�� − ��)
7�� − 3 (3.12)
Santos (1994) afirma que se deve ter cuidado ao empregar estas equações em
rotinas, pois quando �� = 2 , �� tende ao infinito. A planilha gerada neste trabalho, entretanto,
não se limita com este problema de implementação, pois se limita à posição da LN a �� =
10000.
Na Região II, referente ao polo de ruína A e englobando os Domínios 3, 4 e 4a,
temos um diagrama de deformações como o da Figura 3.7:
Observando a Figura 3.7, percebe-se que a deformação na fibra genérica é dada
por:
���� = 3,5�� − ����
(3.13)
29
A
ec=3,5
esdidi
x
Linha Neutra
hy
Figura 3.7 – Deformações na Região II
Que é idêntica à equação (3.11) com �� = 3,5. Além do mais, para �� > ��, ����
resulta negativo automaticamente.
Por fim, na Região III, a deformação no aço é constante e igual a 10‰, gerando
um diagrama como o presente na Figura 3.8:
C
ec
esdi di
x Linha Neutra
10‰
d'
hy-d'
Figura 3.8 – Deformações na Região III
Da Figura 3.8, tem-se:
����� − ��
=10
ℎ� − �� − �∴ ���� =
10(� − ��)
ℎ� − �� − �=10(�� − ��)
1− � − �� (3.14)
A equação que relaciona �� e �� é:
���=
10
ℎ� − �� − �∴ �� =
10�
ℎ� − �� − �=
10��1− � − ��
(3.15)
30
3.2.3 Curvatura
A curvatura do eixo da peça numa dada seção transversal é uma grandeza
dimensional dada pela equação (3.16) (SANTOS, 1994).
1
�=���� − ������ − ��
(3.16)
Onde:
1/�: curvatura, medida em (��)�� ou (�)��, por exemplo;
���� − ����: diferença entre as deformações em duas fibras genéricas quaisquer da
seção;
�� − ��: distância entre as fibras medida perpendicularmente à Linha Neutra.
Como é mais vantajoso trabalhar com adimensionais, Santos (1994) definiu a
curvatura adimensional nos termos da equação (3.17):
� = 1000ℎ� ∙1
� (3.17)
Tomadas como fibras relevantes o topo da seção e a linha neutra, e aplicando à
equação (3.16):
1
�=�� − 0
�=���
(3.18)
Substituindo (3.18) em (3.17):
� = 1000ℎ� ∙���= 1000∙
����
(3.19)
com �� em número puro. Para �� em ‰, tem-se (SANTOS, 1994):
� =����
(3.20)
O autor preocupa-se com o caso em que �� = 0, pois �� = 0 e a equação (3.20)
fica invalidada. A planilha não sofre com esta dificuldade, pois a variável �� começa o
cálculo iterativo com o valor de 0,1.
3.2.4 Esforço resistente de cálculo do concreto
A parcela do esforço normal resistida pelo concreto e a parcela do momento fletor
resistida pelo concreto ficam determinadas quando obtemos a resultante das tensões no
concreto (���) e seu ponto de aplicação (�) em relação à fibra mais encurtada (SANTOS,
1994).
31
Quando não é possível empregar diagramas de tensão-deformação simplificados,
o cálculo destas duas incógnitas é parte muito trabalhosa, exigindo integrações numéricas ou
processos lentos. Para contornar esta dificuldade, Santos (1994) definiu dois coeficientes
adimensionais, a saber:
� =���
��� ∙ �� (3.21)
e
�� =��� ∙ �
��� ∙ �� ∙ ℎ� (3.22)
Onde:
�: Esforço normal resistido pelo concreto reduzido adimensional;
��: Momento fletor resistido pelo concreto reduzido adimensional;
���: Parcela do esforço normal resistido exclusivamente pelo concreto;
�: Posição do esforço normal descrito acima em relação ao topo da seção.
Os valores de � e �� são obtidos a partir de ��� e �, e usados para o cálculo do
equilíbrio da seção, visto mais adiante. Ainda é necessário calcular ��� e �, o que é feito
obtendo-se as tensões em cada fibra comprimida do concreto (lembrando mais uma vez que
não se considera que o concreto trabalhe à tração) e integrando sobre a área comprimida da
seção, conforme mostram as equações (3.23) e (3.24) e a Figura 3.9.
��� = � ��� ∙ ℎ� ∙ ��
�
�
�� � ��� ∙ ℎ� ∙ ��
��
�
(3.23)
��� ∙ � = � ��� ∙ ℎ� ∙ � ∙ ��
�
�
�� � ��� ∙ ℎ� ∙ � ∙ ��
��
�
(3.24)
Linha Neutra
xy
dy
a Rcc
s c
hx
hy
Figura 3.9 – Resultante ��� e sua posição (adaptada de SANTOS, 1994)
32
Dado o Domínio em que se encontra a seção na ruptura, o concreto pode estar
parcial ou totalmente comprimido, fato já expresso no cálculo de ���. Além do mais, quando
a deformação no concreto atinge o valor de 2‰ (escoamento), a função que define suas
tensões de compressão muda de parábola para retângulo, assim definindo quatro casos de
estudo para o cálculo de � e �′, detalhados na Figura 3.10.
LN
s c<s cdec<2 ec<2 s c<s cd
LN
a) Linha Neutrana seção - estadoelástico
b) Linha Neutrafora da seção -estado elástico
x
h h
x
LN
LN
s c=s cdec>2 s c=s cdec>2
c) Linha Neutrana seção - estadoplástico
d) Linha Neutrafora da seção -estado plástico
x
h h
x
Figura 3.10 – Casos para o cálculo de � e �′ (adaptada de SANTOS, 1994)
Santos (1994) afirma que se podem escrever as variáveis ���, �, �� e ℎ� (que para
a seção retangular é constante) em função de ���� (o autor usa como variável substituta ��� , que
é essencialmente a mesma coisa), permitindo que as integrais definidas nas equações (3.23) e
(3.24) sejam reescritas:
33
��� = � ��� ∙ ℎ� ∙ �����
�
��
�� � ��� ∙ ℎ� ∙ �����
���
��
(3.25)
��� ∙ � = � ��� ∙ ℎ� ∙ � ∙ �����
�
��
�� � ��� ∙ ℎ� ∙ � ∙ �����
���
��
(3.26)
��� é definido como o encurtamento mínimo da seção, ocorrendo na base da seção
para o caso de � ≥ ℎ�, e na LN para � < ℎ�, sendo nulo neste caso. Assim, as integrais nas
equações (3.25) e (3.26) podem ser reescritas simplesmente como:
��� = � ��� ∙ ℎ� ∙ �����
���
��
(3.27)
��� ∙ � = � ��� ∙ ℎ� ∙ � ∙ �����
���
��
(3.28)
Os quatro casos definidos na Figura 3.10 ficam resumidos a dois: estado elástico e
estado plástico, dependendo apenas do escoamento do concreto. Santos (1994) efetuou todas
as integrações pertinentes para a seção retangular e aplicou os resultados às definições de � e
�′, equações (3.21) e (3.22). Para o estado elástico, valem as equações (3.29) e (3.30):
� =���(6 − ��)− ���
� (6 − ���)
12� (3.29)
�� =���(8 − ��)− ���
� (24�� − 16��� − 4����� + 3���� )
48�� (3.30)
Para o estado plástico, valem as equações (3.31) e (3.32):
� =12�� − 8 − ���
� (6 − ���)
12� (3.31)
�� =16− 32�� + 24��
� − ���� (24�� − 16��� − 4����� + 3���
� )
48�� (3.32)
A nulidade de ��� não interfere no emprego de nenhuma destas fórmulas,
conforme já foi mostrado por Santos (1994). É evidente que � deve ser não nulo, o que é
sempre garantido na planilha.
3.2.5 Esforços resistentes nas armaduras
Os esforços resistentes nas armaduras são de cálculo muito mais simples do que
no concreto, pois não são necessárias integrações. Basta calcular as deformações em cada
barra, a partir das quais se obtêm as tensões ��� nas mesmas empregando as equações (3.7) e
(3.8). O cálculo destas deformações foi feito no subitem 3.2.2. A força nas armaduras de uma
camada (chamada de �� neste trabalho) será dada pela equação (3.33):
34
�� = ��� ∙ ���� (3.33)
O momento de cada uma destas forças em relação ao centroide da seção
transversal (chamado de �� neste trabalho) será dado pela equação:
�� = ��� ∙ ���� ∙ (0,5ℎ� − ��) (3.34)
Onde �� = 0,5ℎ� é a distância do centroide da seção transversal à borda
tracionada (ou menos encurtada), conforme Santos (1994).
3.3 Equilíbrio da seção transversal
De posse dos valores de ���, � (ou � e ��), �� e �� (estes dois últimos para cada
camada de armaduras), as equações de equilíbrio para a resistência última da seção podem ser
finalmente escritas. A soma destes esforços é melhor compreendida com o auxílio da Figura
3.11.
hy
hx
c2=0,5hy
di
Asi
L NNd
Md
Rcc
As1·s sd1
Asi·s sdi
Asn·s sdn
Figura 3.11 – Esforços resistentes da seção transversal
O equilíbrio da seção transversal é escrito nas equações (3.35) e (3.36):
��� = ��� + ���� ∙ ����
��
���
(3.35)
��� = ��� ∙ �0,5ℎ� − �� + ���� ∙ ���� ∙ (0,5ℎ� − ��)
��
���
(3.36)
35
Trabalhando com adimensionais, teremos (SANTOS, 1994):
������ ∙ ��
=���
��� ∙ ��+ �
��� ∙ ������� ∙ ��
��
���
(3.37)
���
��� ∙ �� ∙ ℎ�=��� ∙ �0,5ℎ� − ��
��� ∙ �� ∙ ℎ�+ �
��� ∙ ���� ∙ (0,5ℎ� − ��)
��� ∙ �� ∙ ℎ�
��
���
(3.38)
Com os adimensionais mostrados em Santos (1994):
� =���
��� ∙ �� (3.39)
� =���
��� ∙ �� ∙ ℎ� (3.40)
� =���
��� ∙ �� (3.41)
�� =��� ∙ �
��� ∙ �� ∙ ℎ� (3.42)
� =�� ∙ ����� ∙ ���
(3.43)
�� =��� ∙ ����� ∙ ���
(3.44)
Podemos escrever as equações (3.37) e (3.38) como mostrado nas equações (3.45)
e (3.46):
� = � +1
������ ∙ ����
��
���
(3.45)
� = 0,5� − �′ +1
������ ∙ ���� ∙ (0,5− ��)
��
���
(3.46)
Santos (1994) expressa a relação entre �� e �, mostrada na equação (3.47):
�� = � ∙�����
(3.47)
Que permite reescrever as igualdades (3.45) e (3.46) como segue nas equações
(3.48) e (3.49):
� = � +�
�� ∙ ������� ∙ ����
��
���
(3.48)
36
� = 0,5� − �′ +�
�� ∙ ������� ∙ ���� ∙ (0,5− ��)
��
���
(3.49)
Os valores de ����, � e �� dependem da posição da linha neutra na seção, para uma
dada posição desta última fica comprovada a linearidade entre �, � e � em uma mesma seção
transversal.
Duas variáveis auxiliares na planilha são definidas nas equações (3.50) e (3.51):
���� 1 =1
�� ∙ ������� ∙ ����
��
���
(3.50)
���� 2 =1
�� ∙ ������� ∙ ���� ∙ (0,5− ��)
��
���
(3.51)
Ambas são constantes para uma mesma posição da linha neutra, justificando seu
uso para reduzir as fórmulas empregadas na planilha.
3.4 Planilha-Base
Com a formulação acima mostrada foi possível gerar a planilha para uma seção
retangular simétrica genérica de concreto armado, sendo estipulado um máximo de 30
camadas de armadura, com o cobrimento de armaduras desejado pelo usuário. Os dados de
entrada da Planilha-Base são mostrados na Figura 3.12.
37
Figura 3.12 – Entradas da Planilha-Base
São feitas iterações com diferentes posições de linha neutra (LN), e para cada
posição varia-se a taxa mecânica de armadura (�), obtendo assim os valores do esforço
normal reduzido adimensional (�) e do momento fletor reduzido adimensional (�). A primeira
posição da LN é �� = 0,1, variando desta a �� = 2 de 0,05 em 0,05; a partir daí, de 0,25 em
0,25 até �� = 3 ; daí, de 0,5 em 0,5 até �� = 4 ; então, �� = 5 , �� = 10, �� = 100, �� =
1000 e �� = 10000 completam as cinquenta iterações feitas pela planilha. Como exemplo de
trecho de planilha que abrange uma iteração, apresenta-se a Figura 3.13.
GEOMETRIA DAS ARMADURAS:
Camada i: nº Barras: bi: Bitola (mm): f (mm) As,unit (cm²)
1 2 0,1000 25 10 0,785
2 12,5 1,227
3 16 2,011
4 20 3,142
5 25 4,909
6
7
8
9 bx (in) Domínio bx (fim)
10 Região III 0 2 0,233
11 Região II 0,233 3 0,565
12 Região II 0,565 4 0,9
13 Região II 0,9 4a 1
14 Região I 1 5 10000
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25 Fi = Força nas Armaduras
26 Mi = Momento das forças nas Armaduras em relação ao centroide da seção
27
28
29
30 2 0,9000 25
Razão d'/h = d =
0,1
���� 1 =1
��� ∙ ��∙�(��� ∙ ����
��
)
��
�
���� 2 =1
��� ∙ ��∙�[��� ∙ ���� ∙ 0,5 −��
��
]
��
�
� =���
��� ∙ ��
�′ =��� ∙ �
��� ∙ �� ∙ ℎ�
� =����
�� =��
��� ∙ ��
�� =��
��� ∙ �� ∙ ℎ�
38
Figura 3.13 – Iteração da planilha para uma posição da Linha Neutra
Os quatro valores de taxa mecânica de armadura no canto inferior direito da
Figura 3.13 correspondem às situações de projeto, a saber: taxas máxima e mínima
regulamentadas pela NBR 6118 (ABNT, 2003), taxa de projeto para a seção da planilha-
resumo (item 3.5) e situação de Concreto Simples (teoricamente sem necessidade de
armadura).
3.5 Planilha-Resumo
Plotados em um gráfico, os valores obtidos diretamente das iterações gerarão uma
série de retas, uma para cada posição da LN variando a taxa de armadura. No entanto, os
ábacos são comumente traçados levando em conta a resistência última para uma dada taxa de
armadura, obrigando assim o tratamento dos dados e sua organização por este critério.
Ao fim do tratamento, os gráficos gerados são curvas, como esperado das
envoltórias de resistência de uma dada seção para cada taxa de armadura.
A planilha-resumo faz a verificação de uma seção de projeto, com dimensões e
solicitações dadas pelo usuário (sendo as armaduras as mesmas selecionadas na planilha
base), plotando o ponto correspondente às solicitações na mesma série de curvas que
representam a resistência da seção. Isso facilita a interpretação dos resultados, se levarmos em
conta que uma das 24 curvas plotadas no ábaco gerado é a curva resistente de projeto da seção
Iteração: 1 Camada i: nº Barras: bi: ei (‰) ssdi Bitola: Asi Fi Mi w = n = m =
1 4 0,25 -2,308 -434,8 20 12,566 -5463,639 -1365,910 0,05 0,0072 0,0265
Posição de Linha Neutra: 2 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000 0,10 -0,0428 0,0265
3 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000 0,15 -0,0928 0,0265
bx = 0,1 4 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000 0,20 -0,1428 0,0265
5 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000 0,25 -0,1928 0,0265
Domínio: 2 6 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000 0,30 -0,2428 0,0265
7 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000 0,35 -0,2928 0,0265
8 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000 0,40 -0,3428 0,0265
Cálculo das Deformações: 9 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000 0,45 -0,3928 0,0265
bi e (‰) 10 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000 0,50 -0,4428 0,0265
Topo: 0,00 1,538 11 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000 0,55 -0,4928 0,0265
Linha Neutra: 0,10 0,000 12 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000 0,60 -0,5428 0,0265
Base: 1,00 -13,846 13 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000 0,65 -0,5928 0,0265
14 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000 0,70 -0,6428 0,0265
Curvatura adimensional majorada: 15 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000 0,75 -0,6928 0,0265
16 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000 0,80 -0,7428 0,0265
q = 15,385 17 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000 0,85 -0,7928 0,0265
18 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000 0,90 -0,8428 0,0265
Encurtamento Mínimo da Seção: 19 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000 0,95 -0,8928 0,0265
20 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000 1,00 -0,9428 0,0265
ec0 = 0 ‰ 21 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000
22 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000 Mínimo: 0,15 -0,0927 0,0265
Cálculo de h: Cálculo de h': 23 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000 Máximo: 0,95 -0,8976 0,0265
24 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000 Projeto: 0,85 -0,7927 0,0265
h = 0,05720 h' = 0,00207 25 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000
26 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000 C.S.: 0,00 0,0572 0,0265
As = 25,1327 27 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000
Soma 1 = -1,0000 28 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000
Soma 2 = 0,0000 29 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000
30 4 0,75 -10,000 -434,8 20 12,566 -5463,639 1365,910
39
e outras duas delas são a representação da resistência para as taxas de armadura mínima e
máxima normatizadas.
A Figura 3.14 mostra um trecho da interface da planilha-resumo, onde é possível
alterar as dimensões da seção e as solicitações de cálculo.
Figura 3.14 – Interface da Planilha-Resumo
Após o cálculo de todos os valores pertinentes, a planilha gera um gráfico
adimensional, como o mostrado na Figura 3.15.
Figura 3.15 – Ábaco gerado pela planilha
GEOMETRIA DA SEÇÃO TRANSVERSAL:
GEOMETRIA DO CONCRETO:
hx = 20 cm Ac = 600 cm²
hy = 30 cm fck = 30 MPa
SOLICITAÇÕES DE CÁLCULO:
Nd = 0,00 kN nd = 0,0000 wmín = 0,00
Md = 70,29 kNm md = 0,2144 wmáx = 0,95
wd = 0,125
=> =>
40
4 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO
Os exemplos aqui mostrados são idênticos aos presentes no Capítulo 4 de
Carvalho (2009), sendo seus resultados comparados com os advindos da verificação feita pela
planilha como critério de validação.
4.1 Exemplo 01
Este exemplo se apresenta na página 286 de Carvalho (2009).
Calcular a quantidade de armadura necessária �� (considerada simétrica) para
uma seção transversal retangular (Figura 4.1), com �� = 3 ��, ��� = 30 ���, aço CA-50 e
momento atuante �� = 70,29 �� ∙ �.
30
20
3
Mk=70,29 kN.m
Nk=0
Figura 4.1 – Seção do Exemplo 01
Carvalho (2009) encontrou � = 0 , � = 0,255, e, correspondendo a estas
solicitações, � = 0,61 (�� = 18 ���, ou 4�25).
Os valores de entrada da planilha são mostrados na Figura 4.2 e na Figura 4.3.
41
Figura 4.2 – Entradas do Exemplo 01 na Planilha-Base
Figura 4.3 – Entradas do Exemplo 01 na Planilha-Resumo
Depois que a planilha gerou todos os resultados, o ábaco adimensional foi
desenhado e é mostrado na Figura 4.4.
GEOMETRIA DAS ARMADURAS:
Camada i: nº Barras: bi: Bitola (mm): f (mm) As,unit (cm²)
1 2 0,1000 25 10 0,785
2 12,5 1,227
3 16 2,011
4 20 3,142
5 25 4,909
6
7
8
9 bx (in) Domínio bx (fim)
10 Região III 0 2 0,233
11 Região II 0,233 3 0,565
12 Região II 0,565 4 0,9
13 Região II 0,9 4a 1
14 Região I 1 5 10000
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25 Fi = Força nas Armaduras
26 Mi = Momento das forças nas Armaduras em relação ao centroide da seção
27
28
29
30 2 0,9000 25
Razão d'/h = d =
0,1
���� 1 =1
��� ∙ ��∙�(��� ∙ ����
��
)
��
�
���� 2 =1
��� ∙ ��∙�[��� ∙ ���� ∙ 0,5 −��
��
]
��
�
� =���
��� ∙ ��
�′ =��� ∙ �
��� ∙ �� ∙ ℎ�
� =����
�� =��
��� ∙ ��
�� =��
��� ∙ �� ∙ ℎ�
GEOMETRIA DA SEÇÃO TRANSVERSAL:
GEOMETRIA DO CONCRETO:
hx = 20 cm Ac = 600 cm²
hy = 30 cm fck = 30 MPa
SOLICITAÇÕES DE CÁLCULO:
Nd = 0,00 kN nd = 0,0000 wmín = 0,04
Md = 98,41 kNm md = 0,2551 wmáx = 0,95
wd = 0,664
=> =>
42
Figura 4.4 – Ábaco do Exemplo 01
A curva correspondente à taxa de armadura mínima está muito próxima da
situação de concreto simples para esta seção, de acordo com a planilha. A taxa de armadura
de projeto está mais próxima do máximo normatizado, enquanto que o ponto correspondente à
solicitação se apresenta muito próximo da curva de projeto (� ≈ 0,63, sendo �� = 0,664).
4.2 Exemplo 02
Este exemplo se apresenta na página 290 de Carvalho (2009).
Calcular as armaduras para a seção apresentada (Figura 4.5) para a seguinte
solicitação:
43
30
20
3
Nk
Mk
Figura 4.5 – Seção do Exemplo 02
Solicitação: �� = 918 �� e �� = 41 �� ∙ �.
A geometria das armaduras é idêntica à do Exemplo 01 alterando-se apenas a
bitola das barras para �20, situação ilustrada na Figura 4.7 (o autor encontrou �� =
12,4 ��²). A Planilha-Resumo mostra a solicitação no caso (Figura 4.7). O ábaco gerado para
o caso é mostrado na Figura 4.8.
GEOMETRIA DAS ARMADURAS:
Camada i: nº Barras: bi: Bitola (mm): f (mm) As,unit (cm²)
1 2 0,1000 20 10 0,785
2 12,5 1,227
3 16 2,011
4 20 3,142
5 25 4,909
6
7
8
9 bx (in) Domínio bx (fim)
10 Região III 0 2 0,233
11 Região II 0,233 3 0,565
12 Região II 0,565 4 0,9
13 Região II 0,9 4a 1
14 Região I 1 5 10000
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25 Fi = Força nas Armaduras
26 Mi = Momento das forças nas Armaduras em relação ao centroide da seção
27
28
29
30 2 0,9000 20
Razão d'/h = d =
0,1
���� 1 =1
��� ∙ ��∙�(��� ∙ ����
��
)
��
�
���� 2 =1
��� ∙ ��∙�[��� ∙ ���� ∙ 0,5 −��
��
]
��
�
� =���
��� ∙ ��
�′ =��� ∙ �
��� ∙ �� ∙ ℎ�
� =����
�� =��
��� ∙ ��
�� =��
��� ∙ �� ∙ ℎ�
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Figura 4.6 – Entradas do caso para a Planilha-Base
Figura 4.7 – Entradas do caso para a Planilha-Resumo
Figura 4.8 – Ábaco gerado para o caso
O ponto que representa as solicitações corresponde a uma taxa de armadura
� ≈ 0,39, enquanto que �� = 0,425, indicando adequação dos resultados.
GEOMETRIA DA SEÇÃO TRANSVERSAL:
GEOMETRIA DO CONCRETO:
hx = 20 cm Ac = 600 cm²
hy = 30 cm fck = 30 MPa
SOLICITAÇÕES DE CÁLCULO:
Nd = 1285,20 kN nd = 0,9996 wmín = 0,15
Md = 57,40 kNm md = 0,1488 wmáx = 0,95
wd = 0,425
=> =>
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5 CONCLUSÃO
Foi obtida uma planilha capaz de realizar a verificação de seções transversais
retangulares simétricas submetidas à flexão composta reta, permitindo que o
dimensionamento de um pilar que tenha estas características seja feito com relativa facilidade.
A planilha se adequa às condições de posição das armaduras e cobrimentos de
acordo com a necessidade do usuário, aumentando significativamente a quantidade de ábacos
adimensionais presentes na literatura e fornecendo meio para que estudantes e profissionais de
engenharia ampliem a precisão de seus projetos e verificações. No entanto, é necessária a
validação completa da planilha com maior quantidade de exemplos, que abranjam mais casos
de solicitação em Domínios de Deformação diferentes, para verificar a atuação desta planilha
nestas situações.
Sugere-se para trabalhos futuros: a obtenção do diagrama de resistência exato
correspondente a um par de esforços solicitantes e a confecção de uma planilha que obtenha
os diagramas de resistência para a flexão composta oblíqua.
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118:2003. Projeto de Estruturas de Concreto – Procedimento. 1ª Edição. Rio de Janeiro, 2004. 221 p. CARVALHO, R. C. Cálculo e detalhamento de estruturas usuais de concreto armado, Volume 2. 1ª Edição. São Paulo: Ed. PINI, 2009. 589 p. CAMPOS FILHO, A. Projeto de pilares de concreto armado. Rio Grande do Sul, 2011 SANTOS, L. M. Cálculo de concreto armado, segundo a nova NB-1 e o CEB. São Paulo: Ed. LMS Ltda, 1983. SANTOS, L. M. Sub-rotinas básicas do dimensionamento de concreto armado. São Paulo: Ed. Thot, 1994.
