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Laboratório de Engenharia Química I

Aula Prática 02

Determinação do coeficiente de viscosidade

de líquidos – Método de Stokes

Prof. Dr. Gilberto Garcia Cortez

1

1- Introdução

Viscosidade é uma grandeza física frequentemente associada às

propriedades dinâmicas dos fluidos, nos quais se incluem gases,

vapores, líquidos, materiais plásticos, ou mesmo grãos de

matéria sólida. O aparecimento das tensões num fluido pode ser

explicado através da sua viscosidade. Num sólido a aplicação de

tensões provoca deformações ou cisalhamento de um corpo e nos

fluidos, a aplicação de tensões provoca o escoamento do mesmo.

Assim, dizemos que sólidos são elásticos e fluidos são viscosos.

Medidores de viscosidade, chamados viscosímetros, são

idealizados de diversas formas. Veremos a seguir alguns modelos

de viscosímetros que medem a viscosidade diretamente e

indiretamente.

2

2- Tensão de cisalhamento e viscosidade

Para um sólido, as tensões são desenvolvidas quando um

material é deformado ou cisalhado elasticamente e para um

fluido, as tensões de cisalhamento aparecem devido ao

escoamento viscoso.

Seja uma força F aplicada sobre uma superfície de área A.

Essa força pode ser decomposta segundo a direção normal à

superfície e da tangente, dando origem a uma componente de

força normal e outra tangencial.

tF

nF F

3

Defini-se tensão de cisalhamento como sendo o quociente

entre o módulo da componente da força tangencial e da área

a qual está aplicada.

Defini-se pressão (tensão normal) como sendo o quociente

entre o módulo da componente da força normal (força de

compressão) e da área a qual está aplicada.

A

F

t=

A

F P

n=

4

Consideremos a Figura a seguir. Nela estão representadas duas placasplanas e paralelas, de área A, cuja distância entre si é dy (ou L). Oespaço confinado entre as duas placas é ocupado por um fluido.

Suponhamos que a placa superior tenha uma velocidade dvx (ou V)relativa à placa inferior, considerada estacionária. Para manter essavelocidade, é necessária uma força F. Suponhamos também que avelocidade criada no fluido confinado entre as placas seja tal que aspartículas do fluido se movam em linhas retas e paralelas,características do escoamento laminar.

5

Para os fluidos chamados newtonianos, a tensão de cisalhamento, yx, que

é igual a relação entre a força F aplicada à placa superior por unidade de

área A, é proporcional ao perfil de velocidade dvx/dy (deformação por

cisalhamento), isto é,

A inclusão do fator de proporcionalidade, representado pela letra grega

, permite-nos escrever:

onde é a viscosidade dinâmica ou absoluta. A equação 1 representa a lei

de Newton da viscosidade.

dy

dv τ x

yx = ( 1 )

Fluidos Newtonianos

6

dy

dv

A

F x

yx =

Dividindo a viscosidade dinâmica, , pela massa específica do

fluido, , temos uma outra quantidade útil, a viscosidade

cinemática, ou seja:

=ν ( 2 )

7Viscosidade cinemática (m2/s) versus temperatura (ºC)

Viscosidade de um fluido:

→ É a propriedade pela qual um fluido oferece resistência ao corte,

ou seja, exprime a resistência oposta pelas camadas do fluido ao

escoamento relativo entre si ou relativo à parede sólida, quando

submetido à ação de uma força cisalhante externa, ou;

→ É a medida da resistência do fluido à fluência quando sobre ele

atua uma força exterior como por exemplo um diferencial de

pressão ou gravidade;

A viscosidade mede a resistência de um líquido em fluir (escoar) e

não está diretamente relacionada com a densidade do líquido, que é

a relação massa/volume. Por exemplo, o óleo de soja utilizado para

cozinhar é mais viscoso do que a água, embora seja menos denso.

A maioria dos líquidos viscosos fluem facilmente quando as suas

temperaturas aumentam; o comportamento de um fluido quando

varia a temperatura, pressão ou tensão depende do tipo de fluido. 8

Unidades para as grandezas relacionadas

Grandeza SI CGS Britânico

Pa.s g/cm.s = poise lb/ft.s

m2/s cm2/s = stoke ft2/s

Nota:

Pascal, Pa, é o mesmo que N/m2, e Newton, N, é o mesmo que

kg.m/s2.

A abreviação para “centipoise” é cP.

1,0 cP = 10-2 poise (g/cm.s) = 10-3 kg/m.s.

1,0 stoke (St) = 1 cm2/s. 1,0 centistokes (cSt) = 10-2 cm2/s

9

3- Fluidos Newtonianos e não-Newtonianos

Os fluidos classificados como newtonianos, sejam eles mais ou menos viscosos,

caracterizam-se por terem uma viscosidade constante, ou seja, seguem a Lei de

Newton da viscosidade. São exemplos a água, o leite, os óleos vegetais, etc. Já

nos fluidos não-newtonianos a viscosidade varia com a força aplicada (e por

vezes com o tempo também) e portanto têm propriedades mecânicas muito

interessantes.

Em resumo, de uma forma simplificada, podemos dizer que os fluidos não-

newtonianos não possuem uma viscosidade bem definida.

10

A viscosidade pode mudar com o tempo (todas as outras

condições ficam constantes);

A coesão molecular é a causa dominante da viscosidade nos

líquidos; à medida que a temperatura de um líquido aumenta,

estas forças coesivas diminuem, resultando uma diminuição da

viscosidade;

Nos gases, a causa dominante são as colisões aleatórias entre as

moléculas do gás; esta agitação molecular aumenta com a

temperatura; assim a viscosidade dos gases aumenta com a

temperatura;

Apesar da viscosidade dos líquidos e gases aumentarem

ligeiramente com a pressão, o aumento é insignificante num

intervalo de pressões considerável; assim, a viscosidade

absoluta dos gases e líquidos é usualmente considerada

independente da pressão;

11

Influência da temperatura na viscosidade dinâmica:

12Viscosidade dinâmica (N.s/m2) versus temperatura (ºC)

A reologia é o ramo da mecânica dos fluidos que estuda as propriedades

físicas que influenciam o transporte de quantidade de movimento num

fluido. É o ramo da física que estuda a viscosidade, plasticidade,

elasticidade e o escoamento da matéria.

Podemos então concluir que é a ciência responsável pelo estudo do fluxo e

deformações decorrentes deste fluxo, envolvendo a fricção do fluido.

A viscosidade é a propriedade reológica mais conhecida, e a única que

caracteriza os fluidos newtonianos.

A viscosidade aparente, ap , é a viscosidade dos fluidos não-Newtonianos, a

qual é válida para uma determinada taxa de deformação. Em fluido

Newtonianos é idêntica a .

A viscosidade aparente diminui com o aumento da taxa de deformação em

fluidos pseudoplásticos (tornam-se mais finos quando sujeitos a tensões de

cisalhamento).

Os fluidos nos quais a viscosidade aparente cresce conforme a taxa de

deformação aumenta, são chamados de dilatantes (tornam-se mais espessos

quando sujeito a tensões de cisalhamento). 13

Numerosas equações empíricas têm sido propostas para descrever os

fluidos não-newtonianos independentes do tempo. Para muitas aplicações

da engenharia, essas relações podem ser adequadamente representadas

pelo exponencial que, para o escoamento unidimensional, torna-se:

dy

dvk

n

x

yx

=

onde o expoente, n, é chamado de índice de comportamento do escoamento

e o coeficiente, k, é o índice de consistência. Essa equação reduz-se à lei de

Newton da viscosidade para n = 1 e k = . Para assegurar que yx tenha o

mesmo sinal de dvx/dy, a equação anterior é reescrita na forma:

dy

dv

dy

dv

dy

dvk

dy

dv

dy

dv

dy

dvk x

ap

x

1 n

xx

1

x

n

x

yx

ap

=

=

=

−−

onde ap é referenciado como viscosidade aparente do fluido.

14

Esquema de classificação dos fluidos conforme o comportamento reológico:

Um fluido que se comporta como um sólido até que uma tensão limítrofe, y , seja

excedida e exibe uma relação linear entre tensão de cisalhamento e taxa de

deformação é denominado plástico de Bingham ou plástico ideal. O modelo

correspondente de cisalhamento é:

dy

dv x

apyyx +=

15

16

Existem materiais que se comportam parcialmente como um

fluido e parcialmente como um sólido. Estes são os fluidos

viscoelásticos.

Os fluidos viscoelásticos tem algumas características, tais como:

- o tensor extra de tensões não é mais uma função linear, mas

descrevem efeitos viscosos e elásticos do escoamento do fluido

em questão;

- a viscosidade normalmente é muito maior do que a dos fluidos

newtonianos;

- a viscosidade é dependente da temperatura.

17

Classificados em dois grupos: primários e secundários

Determinação simultânea da tensão de cisalhamento e da taxa de

deformação num mesmo ponto do aparelho de medição

Há viscosímetros: rotacionais e capilares.

Instrumentos que realizam medidas diretas da

tensão e da taxa de deformação do fluido, = tensão

de cisalhamento/taxa de deformação;

Viscosímetros tipo rotacional: De placas paralelas,

de cone-disco, de cilindro concêntricos e misturador;

Todos eles visando a reprodução do escoamento

entre placas planas paralelas.

Podem ser aplicados para ensaios tanto de fluidos

Newtonianos como de fluidos com comportamento

tensão versus deformação não-linear e/ou

viscoelásticos.

Primários

4- Determinação experimental de propriedades reológicas

Viscosidade:

18

Esquema de viscosímetros primários

= viscosidade;

= velocidade angular aplicada

= ângulo do cone

R = raio

B = distância;

T = torque medido, que resulta da tensão

oriunda da deformação do fluido.

19

Viscosímetro primário de Brookfield

Mede-se o torque necessário para manter uma determinada velocidade de

rotação. A análise da taxa de deformação neste tipo de geometria é bastante

complexa sendo, portanto difícil utilizar esse equipamento para análise de

fluidos não-newtonianos.

"spindles" cada um apropriado

para medir a viscosidade de fluidos

em uma faixa específica:

- Os de menor diâmetro, as maiores

viscosidades;

- Os de maior diâmetro, as menores

viscosidades.

20

O viscosímetro secundário não medem a

tensão e a taxa de deformação diretamente.

Aplicam-se somente a fluidos Newtonianos, por

medirem a viscosidade indiretamente.

Ex.: Viscosímetro de tubo capilar (tipo tubular),

viscosímetro de Stokes e Copo Ford.

Secundários

21

Q = vazão volumétrica

L = distância entre as tomadas de pressão

P = diferença de pressão

D = diâmetro do tubo capilar

Viscosímetro de tubo capilar

Não se usam para medir características de fluidos não-newtonianos

porque a força motriz (a pressão hidrostática) varia durante a

descarga, e isso afeta a taxa de deformação.

A viscosidade é obtida por meio da

medida do gradiente de pressão de

um escoamento laminar em um tubo.

22

23

Viscosímetro de Cannon-Fenske

O fluido a ser analisado é colocado

no reservatório superior com tubo

de diâmetro maior, com um volume

conhecido, a partir do qual ele é

descarregado através de um tubo

capilar como resultado da força

motriz (gravidade). É realizado uma

sucção no tubo de menor diâmetro

de modo que o fluido suba. Retira-

se a sucção e o fluido passa a escoar

lentamente por gravidade cruzando

uma marca. Entre as duas marcas é

medido o tempo de escoamento que

normalmente está entre 5 e 10

minutos.

Viscosímetro de tubo capilar tipo Cannon-Fenske

μ1 é a viscosidade do líquido em teste

μ2 é a viscosidade do líquido referência (ex. água)

ρ1 é a densidade do líquido em teste

ρ2 é a densidade do líquido referência (ex. água)

t1 é o tempo de escoamento do líquido em teste

t2 é o tempo de escoamento do líquido referência (ex. água)

A viscosidade é obtida pela

expressão:

onde:

.t

.t

22

11

2

1

=

O Copo Ford é um viscosímetro de fácil

manuseio, no qual a viscosidade está

relacionada com o tempo de esvaziamento de

um copo de volume conhecido que

tem um orifício calibrado na sua base.

O Copo Ford possui um conjunto de

orifícios-padrão (giglê) feitos de bronze

polido que dependem da faixa de viscosidade

e tempo de escoamento;

Equação: Depende do tempo de

esvaziamento e do orifício utilizado (giglê);

A viscosidade do fluido a ser analisado

deverá estar na temperatura de 25,0 ºC ±

0,2ºC.

Viscosímetro Copo Ford

25

26

Copo FordEquação

(cSt) e t (s)

Copo Ford 1 = 0,49(t − 35)

Copo Ford 2 = 1,44(t − 18)

Copo Ford 3 = 2,31(t − 6,58)

Copo Ford 4 = 3,85(t − 4,49)

Copo Ford 5 = 12,1(t − 2,0)

27

Copo Ford

(número do orifício)

Faixa de viscosidade

(centi stokes)

Tempo de efluxo

(tempo de escoamento em segundos)

1

(Ø = 1,90 mm)10 a 35 55 - 100

2

(Ø = 2,53 mm)25 a 120 40 - 100

3

(Ø = 3,40 mm)49 a 220 20 - 100

4

(Ø = 4,12 mm)70 a 370 20 - 100

5

(Ø = 5,20 mm)200 a 1200 20 - 100

g = aceleração da gravidade

D = diâmetro da esfera

s = densidade da esfera

f = densidade do fluido

V = velocidade terminal de queda livre, isto é, a razão entre a distância L e o intervalo

de tempo t.

* Esta relação aplica-se somente para esferas em queda livre em meio infinito, com

Reynolds menores do que 1.

A viscosidade é obtida através

de medições do tempo de

queda livre de uma esfera

através de um fluido

estacionário.

Viscosímetro de Stokes

28

Fg

Fv FE

29

Lei de Stokes

Quando um corpo se movimenta no interior de um fluido existem

também forças de atrito entre eles que tendem a reduzir a velocidade

do corpo. Esta resistência depende da velocidade relativa entre o

corpo e o fluido de forma que para velocidades relativas baixas

(condição associada ao regime de resistência de viscosidade ou regime

de Stokes) a resistência do fluido ou força de arrasto (FD) é

proporcional à viscosidade do fluido () e à velocidade relativa (v):

Stokes mostrou analiticamente que escoamentos com número de

Reynolds muito baixos, a força de arrasto sobre uma esfera de raio r,

movendo-se com uma velocidade v através de um fluido de

viscosidade , é dada por:

( 1 )

.v FD

.v.r .6. F D

=

30

Para número de Reynolds muito baixos, Re 1,0 , não há separação

do escoamento para uma esfera; a esteira é laminar e o arrasto é

predominantemente arrasto de atrito, conforme foi demostrado por

Stokes..v.r .6. F

D= ( 1 )

31

Balanço de forças na esfera em movimento uniforme (ā = 0):

FD

Fg

FE

D

d

submersa) esfera da (volume V V mas

.g.V .g.V .r v..6.

F F F

Empuxo Peso Força Arrasto Força

Empuxo Arrasto Força Peso Força

ESesfera

ESfluidoesferaesferaL

EgD

=

−=

−=

−=

+=

0 F F F

0 F

dt

vdm. am. F

gED =−+

=

==

z

32

( 1 )

( )

( )

2

d r ;

.rv.6.

.r.3

4

.r.3

4 .r v..6.

.g .r.3

4 .g.r.

3

4 .r v..6.

L

fluidoesfera

3

fluidoesfera

3

L

fluido

3

esfera

3

L

=−

=

−=

−=

g

g

( )

v

.g.dρ ρ

18

1 μ

L

2

fluidoesfera−

=

33

Foi assumido:

→ Velocidade pequena, regime laminar (Re 1);

→ Distância da parede infinita (efeito de parede);

→ Distância do fundo infinita (efeito de borda);

→ No interior do recipiente, a equação (1) deve ser corrigida, para dar

conta da influência da parede do recipiente no movimento da esfera.

Para um recipiente cilíndrico de diâmetro D, a velocidade limite média

no meio infinito é dado por:

onde FL é conhecida como Fator de Ladenburg, válida para d/D 0,2.

( 2 )( )

( ) Poise V

g.dρ ρ

18

1 μ

C

2

fluidoS−

=

(cm/s) t

L V ;

D

d

4

9 X

X X 1V V

L

FL

2

LC

==

++=

34

Procedimento Experimental

Objetivo: Medir a velocidade de queda livre de esferas de aço de vários

diâmetros, as quais serão soltas dentro de uma coluna transparente

contendo um óleo desconhecido.Passo 1: Acoplada à coluna, existe uma marca que indica o ponto inicial em que o

aluno deverá iniciar a medição do tempo de queda livre de cada esfera, sendo esta

altura equivalente a 60 cm;

Passo 2: Um aluno deverá girar a coluna em 180 que contém um fluido com as três

esferas com diâmetros diferentes;

Passo 3: Um grupo de três alunos deverá anotar o tempo de queda livre de cada

esfera a partir da marca indicada até que cada esfera atinja o fundo da coluna;

Passo 4: Repete-se o experimento pelo menos três vezes para se obter uma média

dos tempos encontrados;

Passo 5: Muda-se o grupo de alunos para a medição do tempo para observar o erro

cometido por cada grupo;

Passo 6: A massa específica de cada esfera deverá ser obtida através da informação

da massa e do diâmetro fornecido no material didático;

Passo 7: A velocidade limite média de cada esfera será obtida com o percurso e o

tempo médio obtido pelos grupos de alunos;

Passo 8: A velocidade limite média no meio infinito, utilizando o Fator de

Ladenburg, deverá ser calculada antes de ser calculada a viscosidade do óleo.

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Procedimento ExperimentalDados das esferas de aço:

Diâmetro (mm) Massa (g)

Bolina Pequena 6,35 1,043

Bolinha Média 7,95 2,043

Bolinha Grande 9,50 3,531

Dado da densidade do óleo: óleo = 0,8958 g/cm3 a 25°C

Comprimento do percurso percorrido: L = 60 cm

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CálculosVelocidade limite média (VL):

Velocidade limite média no meio infinito (VC):

Cálculo do número de Reynolds:

Viscosidade do óleo:

( )( ) Poise

V

g.dρ ρ

18

1 μ

C

2

fluidoS−

=

D

d

16

81

D

d

4

9 1V V

2

LC

++=

(cm/s) t

L VL

=

.D.V

N CRe

=

37

Arranjo FísicoViscosímetro de Stokes

38