View
153
Download
7
Category
Preview:
Citation preview
MECÂNICA - DINÂMICA
Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido:
Força e AceleraçãoCap. 17
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 2
Objetivos
Introduzir os métodos utilizados para calcular o momento de inércia de massa de um corpo
Desenvolver as equações dinâmicas do movimento plano para um corpo rígido simétrico
Discutir aplicações destas equações para corpos em movimento de translação, rotação em torno de um eixo fixo e movimento plano geral
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 3
17.3 Equações de Movimento: Translação
Translação retílinea:
Todas as partículas do corpo possuem a mesma aceleração e a aceleração angular é nula.
yGy
xGx
am
am
F
F
0 GM
dmaM GA
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 4
17.3 Equações de Movimento: Translação
Translação curvílinea:
Todas as partículas do corpo descrevem um trajeto curvo paralelo.
0
n G n
t G t
G
B G Gt n
m a
m a
M
M e ma h ma
F
F
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 5
Exemplo 17.8a
A viga BD de 100 kg é suportada por duas hastes de massa desprezível. Determine a força criada em cada haste no instante que q = 300 e w = 6 rad/s.
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 6
16.3 Rotação em Torno de um Eixo Fixo
Movimento do Ponto P
2
2
n
t
P
P P
v ωr
a r
a r
ω
ω
v ω r v ω r
a α r ω ω r a α r r
Resumo:
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 7
Exemplo 17.8a - Solução
A viga BD move-se em movimento curvilíneo, desde que os pontos B, D e o centro de massa G se movem ao longo de trajetórias circulares de raio 0.5m. Usando coordenadas normais e tangenciais:
2 22(6) (0.5) 18.000 m/sG G nnr aa
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 8
Exemplo 17.8a - Solução
Equações de movimento:
0
0
2
2
0 0
18.000
4.900
1.32 kN
981.00cos30 100( )
981.00sin 30 100
0 cos30 0.4 cos30 0.4 0
Resolvendo o sistema de equações:
0 m/s
18.000 m/s
n G B Dn
t G Gt t
G B D
G t
n
B D
G
a
F m a T T
T
F a
T
m
T
a
a
M T
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 9
Exemplo 17.8b
A viga BD de 100 kg é suportada por duas hastes de massa desprezível. Determine a força criada em cada haste no instante t=0.2 s sendo que no instante t=0 as hastes fazem um ângulo de 450 e estão em repouso.
450
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 10
Exemplo 17.8b - Solução
A viga BD move-se em movimento curvilíneo, desde que os pontos B, D e o centro de massa G se movem ao longo de trajetórias circulares de raio 0.5m. Usando coordenadas normais e tangenciais:
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 11
17.3 Equações de Movimento: Translação
Translação curvílinea:
Todas as partículas do corpo descrevem um trajeto curvo paralelo.
0
B G Gt n
n G n
t G t
G
m a
m a
M
M e ma h ma
F
F
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 12
16.3 Rotação em Torno de um Eixo Fixo
Movimento do Ponto P
2
2
n
t
P
P P
v ωr
a r
a r
ω
ω
v ω r v ω r
a α r ω ω r a α r r
Resumo:
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 13
Exemplo 17.8b - Solução
Equações de movimento:
2 2 2
2
2
2
( ) (0.5) 0.5
981.00cos 100(0.5 )
981.00sin 100
0 cos 0.4 cos 0.4 0
2 981.0
25 490.50cos
9.810
0cos 100(0.5 )
981.00sin 10
0sin
0
G Gn n
n G B Dn
t G Gt t
G B D B D
B
G t
B
G t
a r a
F m a T T
F m a a
M T T T T
T
a
T
a
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 14
16.3 Rotação em Torno de um Eixo Fixo
Movimento do Ponto P
2
2
n
P
P P
t
v ωr
a
a
ω
r
r
ω
v ω r v ω r
a α r ω ω r a α r r
Resumo:
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 15
16.3 Rotação em Torno de um Eixo Fixo
Movimento Angular
Posição Angular:
dDeslocamento Angular:
dt
d
Velocidade Angular:
d
dt
Aceleração Angular:
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 16
Exemplo 17.8b - Solução
Equações de movimento:
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 17
Exemplo 17.8b - Solução
Equação do movimento do pêndulo:
2
219.620sin
dt t
dt
ver solução exata em: http://www.phy.davidson.edu/StuHome/BeKinneman/pendulum/report.htm(arquivo mht incluso) e no arquivo Maple incluso.
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 18
Exemplo 17.8b - Solução
N 584 9909.583
5208.0cos5.490)5181.2(25cos5.49025
m/s 8812.45208.0sin81.9sin81.9
m/s 1704.35.0
rad/s 5181.2
rad/s 7624.95208.0sin62.19
84.29rad 5208.02.0
22
2
22
2
0
BB
B
tGtG
nGnG
TT
T
aa
aa
Equações de movimento:
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 19
Objetivos
Introduzir os métodos utilizados para calcular o momento de inércia de massa de um corpo
Desenvolver as equações dinâmicas do movimento plano para um corpo rígido simétrico
Discutir aplicações destas equações para corpos em movimento de translação, rotação em torno de um eixo fixo e movimento plano geral
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 20
17.4 Eq. de Movimento: Rotação em Torno de um Eixo Fixo
O corpo rígido (ou disco), sujeito a forças e momentos externos, possui um movimento tal que o centro de massa G gira numa trajetória circular em torno de O. Assim a aceleração é representada pelas componentes normal e tangencial.
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 21
17.4 Eq. de Movimento: Rotação em Torno de um Eixo Fixo
Diagrama de corpo livre:
Equações de Movimento:
2n G Gn
t G Gt
m a m r
m a m r
F
F
GG αIM
Momento em relação ao centro de massa
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 22
17.4 Eq. de Movimento: Rotação em Torno de um Eixo Fixo
Diagrama de corpo livre:
Equações de Movimento:
O OM αI
Momento em relação ao centro de rotação
2n G Gn
t G Gt
m a m r
m a m r
F
F
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 23
Exemplo 17.10
A barra esbelta de 20 kg está em movimento planar de rotação e no instante mostrado com uma velocidade angular de 5 rad/s. Determine a aceleração angular e as componentes horizontal e vertical da reação de apoio no pino neste instante.
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 24
Exemplo 17.10 - Solução
Diagrama de corpo livre e cinético:
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 25
Exemplo 17.10 - Solução
Equações de movimento:
2 2
2
2
(20)(5) (1.5)
20(9.81) 20( )(1.5)
11.5 60 (20)(3)
12
Resolvendo o sistem
750 N
19.0 N
5.
a de equaç
90 rad/s
ões:
n G n
t G
n
t
t
G G t
F m r O
F m r O
M I O
O
O
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 26
Exemplo 17.10 - Solução
Equação do momento em relação ao centro de rotação:
2
2
160 20(9.81)(1.5) (20)(3)
3
5.90 rad/s
O OM I
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 27
Objetivos
Introduzir os métodos utilizados para calcular o momento de inércia de massa de um corpo
Desenvolver as equações dinâmicas do movimento plano para um corpo rígido simétrico
Discutir aplicações destas equações para corpos em movimento de translação, rotação em torno de um eixo fixo e movimento plano geral
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 28
17.5 Equações de Movimento: Movimento Plano Geral
O corpo rígido (ou disco), sujeito a forças e momentos externos, possui um movimento de rotação e translação.
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 29
17.5 Equações de Movimento: Movimento Plano Geral
Diagramas de corpo livre e cinético:
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 30
17.5 Equações de Movimento: Movimento Plano Geral
Equações de Movimento:
x G x
y G y
G G
P k P
m a
m a
M αI
M
F
F
M
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 31
17.5 Equações de Movimento: Movimento Plano Geral
Problemas de rolamento com atrito
x G x
y G y
G G
m a
m a
M αI
F
FG
G
P F ma
N mg
Fr αI
Ga αr
Uma quarta equação é necessária para encontrar as quatro incógnitas.
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 32
17.5 Equações de Movimento: Movimento Plano Geral
Problemas de rolamento com atritoSem deslizamento
sF NSe esta condição não for satisfeita então o problema deve ser tratado como segue
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 33
17.5 Equações de Movimento: Movimento Plano Geral
Problemas de rolamento com atritoCom deslizamento
kF N
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 34
Exemplo 17.15
A roda de 50 lb possui um raio de giração de 0.70 ft. Se um momento de 35 lb.ft for aplicado na roda, determine a aceleração do seu centro de massa G. Os coeficientes de atrito estático e dinâmico entre a roda e o plano A são ms=0.3 e mk=0.25, respectivamente
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 35
Exemplo 17.15 - Solução
O disco não possui espessura constante, pois se assim fosse seu raio de giração seria:
22
112 0.707112
0.88388 m
G
G
mrI rk r
m mk
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 36
Exemplo 17.15 - Solução
2
2 2
( )
50(0.7) 0.76087 slug.ft
32.2
GG G G
G G
Ik I m k
m
I I
Assim podemos estimar o valor de I a partir do raio de giração dado:
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 37
Exemplo 17.15 - Solução
Equações de Movimento:
35 1.25( ) (0.76087)G G
A
M αI
F
yGy
xGx
am
am
F
F50
32.250 0
A G
A
F a
N
A quarta equação é dada pela cinemática. Supondo que não exista deslizamento:
(1.25)Ga αr α
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 38
Exemplo 17.15 - Solução
2 2
50.000 lb 21.315 lb
=10.982 rad/s 13.727 ft/s
A A
G
N F
a
Supondo que não exista deslizamento e resolvendo as equações anteriores:
sF NVerificando
21.315 0.3(50) 21.315 15
Como esta condição não foi satisfeita então o problema deve ser tratado como segue
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 39
Exemplo 17.15 - Solução
2 2
50.000 lb
0.25 12.500 lb
Resolven
=25
do novamente:
.5 rad/s 8.05 ft/s
A
A A A
G
N
F N F
a
Supondo que exista deslizamento:
Recommended