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Modelos de Oligopólio
• Existem três modelos de oligopólio dominantes– Cournot
– Bertrand
– Stackelberg – líder-seguidora
• Eles são distinguidos pela– variável de decisão que a firma escolhe
– pelo “timing” do jogo
• Mas todos possuem o conceito de equilíbrio de Nash
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O Modelo de Cournot
• Vamos começar com um duopólio• Duas firmas fazem um produto idêntico (Cournot supôs
que fosse água potável)
• A demanda por esteproduto é
P = A - BQ = A - B(q1 + q2)
tal queq1 é o produto da firma 1 e q2 é o produto dafirma 2
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Modelo de Cournot
• O custo marginal de cada firma é constante a c por unidade
• Para ter a demanda pelo produto de uma firma nóstomamos o produto da outra firma como constante
• Portanto para a firma 2, a demanda éP = (A - Bq1) - Bq2
5
O Modelo de Cournot (cont.)
P = (A - Bq1) - Bq2
$
Quantidade
A - Bq1
Se o produto dafirma 1 é aumentadoa curva de demanda
para a firma 2 semove para a esquerda
A - Bq’1
A escolha de produto dafirma 2 depende do produto da firma 1
DemandaA receita marginal paraa firma 2 é
RM2 = (A - Bq1) - 2Bq2RM2
RM2 = CM
A - Bq1 - 2Bq2 = c
Solucioneisto para oprodutoq2
∴ q*2 = (A - c)/2B - q1/2
c CM
q*2
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O Modelo de Cournot (cont.)
q*2 = (A - c)/2B - q1/2
Esta é a função de melhor respostapara a firma 2
Isto nos dá a escolha de produto da firma 2 para qualquernível de produto escolhido pela firma 1
Esta também é uma funçãomelhor-respostadafirma 1
Exatamente pelo mesmo argumento ela pode ser escrita como:q*1 = (A - c)/2B - q2/2
O equilíbrio Cournot-Nash requer que ambas as firmasusem suas funções de melhor-resposta.
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Equilíbrio Cournot-Nashq2
q1
A função de melhor-resposta para a firma 1é q*1 = (A-c)/2B - q2/2
A função de melhor-resposta para a firma 1é q*1 = (A-c)/2B - q2/2
(A-c)/B
(A-c)/2B
Função melhor-resposta Firma 1
A função melhorresposta para a firma 2é q*2 = (A-c)/2B - q1/2
A função melhorresposta para a firma 2é q*2 = (A-c)/2B - q1/2
(A-c)/2B
(A-c)/B
Se a firma 2 nãoproduz nada então
a firma 1 iráproduzir o produto
de monopólio(A-c)/2B
Se a firma 2 produz(A-c)/B então a
firma 1 irá escolhernão produzir
Função melhor-resposta Firma 2
O equilíbrio Cournot-Nash está no
ponto C na interseçãodas funções demelhor resposta
C
qC1
qC2
8
Equilíbrio Cournot-Nash
q2
q1
(A-c)/B
(A-c)/2B
Função melhor-resposta Firma 1
(A-c)/2B
(A-c)/B
Função melhor-resposta Firma 2
C
q*1 = (A - c)/2B - q*2/2
q*2 = (A - c)/2B - q*1/2
∴ q*2 = (A - c)/2B - (A - c)/4B + q*2/4
∴ 3q*2/4 = (A - c)/4B
∴∴∴∴ q*2 = (A - c)/3B(A-c)/3B
∴∴∴∴ q*1 = (A - c)/3B
(A-c)/3B
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Equilíbrio Cournot-Nash (cont.)
• Em equilíbrio cada firma produz: qC1 = qC
2 = (A - c)/3B
• Então, o produto total é: Q* = 2(A - c)/3B
• Relembre que a demanda é P = A - BQ
• Então o preço de equilíbrio é P* = A - 2(A - c)/3 = (A + 2c)/3
• Lucro da firma 1 é: (P* - c)qC1 = (A - c)2/9
• Lucro da firma 2 é o mesmo
• Um monopolista deveria produzir: QM = (A - c)/2B
• A concorrência entre as duas firmas fazem com que o produto total exceda o produto total ofertado pelo monopólio. O preço, por sua vez, é menor do que o de monopólio
• Mas o produto ainda é menor do que o de uma indústria competitiva(A - c)/B onde o preço é igual ao custo marginal
10
Um exemplo numérico
• Demanda: P = 100 - 2Q = 100 - 2(q1 + q2); A = 100; B = 2• Custo unitário: c = 10• Produto total de equilíbrio: Q = 2(A – c)/3B = 30;• produto da firma individual: q1 = q2 = 15• O preço de equilíbrio é P* = (A + 2c)/3 = $40• O lucro da firma 1 é (P* - c)qC1 = (A - c)2/9B = $450• Concorrência: Q* = (A – c)/B = 45; P = c = $10• Monopólio: QM = (A - c)/2B = 22.5; P = $55• O produto total excede o monopólio mas é menor do
que a concorrência perfeita• O preço excede o custo marginal mas é menor do que o
monopólio
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Equilíbrio Cournot-Nash (cont.)
• O que ocorre se existe mais de duas firmas?
• Digamos que existem N firmas idênticas produzindoprodutos iguais
• Produto total Q = q1 + q2 + … + qN
• A demanda é P = A - BQ = A - B(q1 + q2 + … + qN)
• Considere a firma 1. Sua curva de demanda é:P = A - B(q2 + … + qN) - Bq1
• Use uma notação simplificada: Q-1 = q2 + q3 + … + qN
• Então a demanda para a firma 1 é P = (A - BQ-1) - Bq1
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O Modelo de Cournot (cont.)P = (A - BQ-1) - Bq1
$
Quantidade
A - BQ-1
Se o produto deoutras firmas
aumenta, entãoa curva de demanda
para a firma 1 semove para a esquerda
A - BQ’ -1
A escolha da produçãoda firma 1 depende do produto das outrasfirmas
DemandaA receita marginal paraa firma 1 é:
RM1 = (A - BQ-1) - 2Bq1RM1
RM1 = CM
A - BQ-1 - 2Bq1 = c
Resolva istopara o
produtoq1
∴ q*1 = (A - c)/2B - Q-1/2
c CM
q*1
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Equilíbrio de Cournot-Nash (cont.)
q*1 = (A - c)/2B - Q-1/2
Como resolver istopara q*1?As firmas são idênticas.
Então em equilíbrioelas terão produção
idênticas.
∴∴∴∴ Q* -1 = (N - 1)q*1
∴ q*1 = (A - c)/2B - (N - 1)q*1/2
∴ (1 + (N - 1)/2)q*1 = (A - c)/2B
∴ q*1(N + 1)/2 = (A - c)/2B
∴∴∴∴ q*1 = (A - c)/[(N + 1)B]
∴∴∴∴ Q* = N(A - c)/[(N + 1)B]
∴∴∴∴ P* = A - BQ* = (A + Nc)/(N + 1)
Quando o número defirmas aumenta o produto para cada
firma caiO produto agregado
aumenta com o número de firmasO preço se aproxima do
custo marginal quandoo número de firmas
aumenta
Lucro da firma 1 é P*1 = (P* - c)q*1= (A - c)2/[(N + 1)2B]
A medida que o no defirmas aumenta os
lucros de cada firmacaem
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Equilíbrio Cournot-Nash (cont.)
• O que ocorre se as firmas não tem custos idênticos?
• Assuma que o custo marginal da firma 1 éc1 e o da firma 2 é c2.
• A demanda éP = A - BQ = A - B(q1 + q2)
• Nós temos a receita marginal para firma 1 como antes
• RM1 = (A - Bq2) - 2Bq1
• Igual ao custo marginal: (A - Bq2) - 2Bq1 = c1∴ q*1 = (A - c1)/2B - q2/2
O mesmoresultado
ocorre para afirma 2
∴ q*2 = (A - c2)/2B - q1/2
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Equilíbrio Cournot-Nash
q2
q1
(A-c1)/B
(A-c1)/2B
R1
(A-c2)/2B
(A-c2)/B
R2C
q*1 = (A - c1)/2B - q*2/2
q*2 = (A - c2)/2B - q*1/2
∴ q*2 = (A - c2)/2B - (A - c1)/4B + q*2/4
∴ 3q*2/4 = (A - 2c2 + c1)/4B
∴∴∴∴ q*2 = (A - 2c2 + c1)/3B
∴∴∴∴ q*1 = (A - 2c1 + c2)/3B
O que ocorre com esteequilíbrio quando os
custam mudam?
A medida que o customarginal da firma 2cai, sua curva de
melhor resposta desloca-separa a direita
O produto deequilíbrio da firma 2
aumenta e o dafirma 1 cai
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Equilíbrio Cournot-Nash (cont.)
• Em equilíbrio as firmas produzemqC
1 = (A - 2c1 + c2)/3B;
qC2 = (A - 2c2 + c1)/3B
• O produto total é: Q* = (2A - c1 - c2)/3B
• A demanda é: P = A - BQ
• Então o preço é P* = A - (2A - c1 - c2)/3 = (A + c1 +c2)/3
• O lucro da firma 1 é (P* - c1)qC1 = (A - 2c1 + c2)2/9B
• O lucro da firma 2 é (P* - c2)qC2 = (A - 2c2 + c1)2/9B
• O produto de equilíbrio é menor do que o de equilíbriocompetitivo
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Um Exemplo Numérico com CustosDiferentes
• Vamos assumir uma demanda dada por: P = 100 – 2Q; A = 100, B =2
• Tome c1 = 5 and c2 = 15
• O produto total é, Q* = (2A - c1 - c2)/3B = (200 – 5 – 15)/6 = 30
• qC1 = (A - 2c1 + c2)/3B = (100 – 10 + 15)/6 = 17.5
• qC2 = (A - 2c2 + c1)/3B = (100 – 30 + 5)/3B = 12.5
• O preço é P* = (A + c1 +c2)/3 = (100 + 5 + 15)/3 = 40
• O lucro da firma 1 é (A - 2c1 + c2)2/9B =(100 – 10 +5)2/18 = $612.5
• O lucro da firma 2 é (A - 2c2 + c1)2/9B = $312.5
• Os produtores poderiam estar melhor e os consumidores não estariampior se a firma 2 produzisse mais 12.5 unidades do que a firma 1.
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Competição por Preço: Bertrand
• No modelo de Cournot o preço é determinado por algummecanismo de ajustamento de mercado
• As firmas são passivas na determinação dos preços
• Uma abordagem alternativa é assumir que firmascompetem por preços
• Isto leva a resultados diferentes
• Vamos tomar um simples exemplo– duas firmas produzem um produto identico (água?)
– firmas escolhem os preços em que eles vendem água
– cada firma tem um custo marginal constante de $10
– a demanda por mercado éQ = 100 - 2P
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Modelo de Bertrand (cont.)
• Precisamos derivar a demanda para cada firma– a demanda é condicional dado o preço cobrado por outra firma
– Tome a firma 2. Assuma que a firma 1 tem um preço a $25
– se a firma 2 faz um preço maior do que $25 ela não venderá nada
– se o preço é menor do que $25 ela toma todo o mercado
– se a firma 2 faz o preço igual a $25 os consumidores sãoindiferentes entre as duas firmas
– assim, o mercado é dividido, presumidamente 50:50
• Assim, derivamos a demanda para a firma 2– q2 = 0 se p2 > p1 = $25
– q2 = 100 - 2p2 se p2 < p1 = $25
– q2 = 0.5(100 - 50) = 25 se p2 = p1 = $25
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Modelo de Bertrand (cont.)• Genericamente:
– Suponha que a firma 1 determina o preço a p1
• A demanda para a firma 2 é:
p2
q2
q2 = 0 se p2 > p1p1
q2 = 100 - 2p2 se p2 < p1
100100 - 2p1
q2 = 50 - p1 se p2 = p1
50 - p1
A demanda não écontínua. Existe um
pulo em p2 = p1
• A descontinuidade nademanda afeta os lucros
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Modelo de Bertrand (cont.)
O lucro da firma 2 é:
π2(p1,, p2) = 0 se p2 > p1
π2(p1,, p2) = (p2 - 10)(100 - 2p2) se p2 < p1
π2(p1,, p2) = (p2 - 10)(50 - p2) se p2 = p1
Claramente isto depende de p1.
Suponha primeiro que a firma 1 determina um preçomuito alto: maior do que o preço de monopólio de $30
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Modelo de Bertrand (cont.)
Com p1 > $30, o lucro da firma 2 é como esse:
Preço Firma 2
Lucro da firma 2
$10 $30 p1
p2 < p1
p2 = p1
p2 > p1
Que preço a firma 2escolhe?
O preço de monopólio $30
E se a firma escolhe $30?
Então, se p1 cai para $30, a firma 2 deverá ajustarabaixo de p1 um pouco e
ter quse todo lucro de monopólio
Se p1 = $30, então a firma 2 irá ganhar apenaslucros positivos ao cortar
seu preço para $30 ou menos
A p2 = p1 = $30, a firma 2 tem metadodo lucro de monopólio
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Modelo de Bertrand (cont.)Agora suponha que a firma 1 escolhe $30
Preço Firma 2
Lucro Firma 2
$10 $30p1
p2 < p1
p2 = p1
p2 > p1
O lucro da firma 2 é como isso:
Qual o preço que a firma 2 deve
escolher agora?
Como p1 > c = $10, A firma 2 deve
objetivar apenasbater a firma 1
E se a firma 1escolhe $10?
Então a firma 2 deve tambémescolher $10. Cortando os
preços abaixo de 10 terá perdas
É claro, a firm 1 irá cobrar
menos do que a firm 2
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Modelo de Bertrand (cont.)
• Temos agora que a melhor resposta da firma 2 paraqualquer preço determinado pela firma 1:– p*2 = $30 se p1 > $30
– p*2 = p1 - “algo pequeno” se $10 < p1 < $30
– p*2 = $10 se p1 < $10
• Temos uma melhor-resposta simétrica para a firma 1– p*1 = $30 se p2 > $30
– p*1 = p2 - “algo pequeno” se $10 < p2 < $30
– p*1 = $10 se p2 < $10
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Modelo de Bertrand (cont.)A função melhor resposta é como essa:
p2
p1$10
$10
R1
R2
A função melhor-resposta para
a firma 1A função melhor-
resposta paraa firma 2
O equilíbrio é com ambas as firmascobrando $10
O equilíbriode Bertrand possuiambas as firmascobrando o preçoao custo marginal
$30
$30
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Equilíbrio de Bertrand• O modelo de Bertrand deixa claro que a competição em
preços é muito diferente da competição em quantidades
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Case: Brittanica vs Encarta
• Por décadas, Britannica foi a líder do mercado de enciclopédias, no começo dos anos 90, o conjunto com 32 volumes era vendido por 1600 USD.
• Entrada da Microsoft nesse mercado
• Em 1992, a Microsoft comprou a Funk & Wagnall e usouseu conteúdo para montar a Encarta, uma enciclopédia emCD rica em multimídia. O preço inicial daEncarta era 49.95 USD.
• A Britannica viu seu mercado erodir. Em 1996, suasvendas estimadas estavam em torno de metade do valor de 1990.
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Case: Brittanica vs Encarta
• Então ela decidiu entrar no mercado de enciclopédia digital vendendo o acesso online a Britannica digital a 2000 USD por ano.
• Em 1995, entra no mercado doméstico vendendo o acessoonline a 120 USD por ano.
• Em 1996, o CD passou a ser vendido a 200 USD.
• Em 2001, o CD da Britannica estava sendo anunciado59.95, e com um desconto de 10 USD usando mail-in-rebate. Enquanto a Encarta está sendo anunciada a 74.95.
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Bertrand: modificações• Os problemas da abordagem de Bertrand
– para o equilíbriop = custo marginal, ambas as firmasnecessitam capacidade suficiente para fazerp = MC
– quando ambas fazemp = c ambas dividem o mercado
– ambas deveriam ter umacapacidade ociosa muito grande
• Isto chama a atenção para a escolha de capacidade
– Nota: escolher capacidade é escolher quantidade – back to Cournot model!
• A competição por preço incita as firmas a fazer diferenciaçãode produtos fugindo do equilíbrio padrão de Bertrand
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Diferenciação de Produtos
QC = 63.42 - 3.98PC + 2.25PP
QP = 49.52 - 5.48PP + 1.40PC
MCC = $4.96
MCP = $3.96
Existem pelo menos duas formas de solucionar para PC e PP
Coca-Colae Pepsisão quase idênticas mas não iguais. Como um resultado, a que tem o preço mais baixo nãoganha todo o mercado.
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Bertrand e Diferenciação de Produtos
Função LucroLucro da Coca: πC = (PC - 4.96)(63.42 - 3.98PC + 2.25PP)
Lucro da Pepsi: πP = (PP - 3.96)(49.52 - 5.48PP + 1.40PC)
Solução: MR = MC
Reorganizar as funções demanda
PC = (15.93 + 0.57PP) - 0.25QC
PP = (9.04 + 0.26PC) - 0.18QP
Calcular a receita marginal, igualar ao custo marginal, solucionar para QC e QP e e substituir no sistema de demanda.
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