Movimento harmônico simples (MHS)Ciências da Natureza –Física Prof.: Luiz Felipe O movimento do...

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Movimento harmônico simples (MHS)

• Movimento periódico: movimento que se repete em intervalos de tempo sucessivos eiguais. Ex.: movimento circular uniforme (MCU).

Período (T): menor intervalo de tempo para uma repetição

• Movimento oscilatório: todo movimento periódico cujo sentido é regularmente invertido.Ex.: o movimento dos ramos de um diapasão.

movimento periódico

movimento oscilatório

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Movimento harmônico simples linear

Considere uma partícula P, realizando um movimento oscilatório e retilíneo em tornode um ponto de equilíbrio O. Sejam A e A’ os pontos de inversão do movimento.

elongação (posição)

amplitude (elongação máxima)

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O movimento do ponto P é um movimento harmônico simples linear (MHS) se aforça resultante, que age sobre ele, tem valor algébrico diretamente proporcional àabscissa x e de sinal contrário:

constante elástica

Obs.: forças que atuam em corpos que oscilam tendem sempre a trazê-los para a posição deequilíbrio. Elas são chamadas forças restauradoras.

devido à presença de forças dissipativas, as oscilações são gradativamente amortecidas

R el RF F F kx

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Oscilador massa-mola na verticalNa posição vertical atuam no corpo o peso e a força elástica.

Nesse oscilador a força resultante no bloco não é mais a força elástica, mas sim a composiçãovetorial da força elástica com a força peso. No ponto de equilíbrio a força resultante é nula, masa mola está deformada.

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Na posição de equilíbrio temos: kd mg

Numa posição genérica de elongação x, a força resultante no bloco será:

R el RF F P k d x mg kd kx kd F kx

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Energia potencial: da Mecânica temos

2

2P

kxE

Nas posições de inversão do movimento a energia potencial é máxima:

2

2P

kax a E

Na posição de equilíbrio, a energia potencial é iguala zero:

0 0Px E

Energia no MHS

gráfico da energia potencial versus a posição

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Energia cinética: da Mecânica temos

2

2C

mvE

Nas posições de inversão do movimento a energia cinética é nula:

Na posição de equilíbrio a energia cinética é máxima.

Graficamente temos:

0 0Cx a v E

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Energia mecânica: por definição temos

m C PE E E

Para x = a temos:2 2

02 2

m P C m m

ka kaE E E E E

para qualquer posição é válida a relação

Graficamente:

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Equações horárias do MHS

É possível obter as equações horárias do MHS fazendo-se a projeção de ummovimento circular uniforme sobre um dos seus diâmetros. O movimento dessa projeçãotambém é harmônico simples, tal que o período T do MCU é igual ao do MHS.

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Da figura temos:

pulsação ou frequência angular2

2 fT

fase inicial

Posição (elongação)

0

0cos .cos .cosx

x a x a ta

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Obs.: a fase inicial no MHS

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Velocidade

Pode-se demonstrar que:

Nos pontos de inversão, a velocidade é nula:

0cos 1 cos 1 0 0máxx x a t sen v

0cos 1 cos 1 0 0máxx x a t sen v

No ponto de equilíbrio, a velocidade apresenta módulo máximo:

00 cos 0 cos 0 1 máxx t sen v v a

0. .v a sen t

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Obs.: equação de Torricelli para o MHS

Aceleração

Da figura temos:

Da equação anterior temos:

2x

Conclui-se então que a aceleração é nula na posição de equilíbrio e tem módulomáximo nas posições de inversão.

2 2

2 2 2 2 2 2cos 1 1x v

sen v a xa a

2

0cosa t

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Período e frequência no MHS

Sendo a força restauradora a resultante temos:

2

2 2k k k

m m T m

2 2

RF F F m kx m x k m

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Para um sistema elástico, constituído por uma mola ideal, ligada a um bloco (sistema massa-mola) temos:

1 12

2

m kT f f

k T m

Pêndulo simplesConsidere uma partícula de massa m suspensa por um fio de comprimento ℓ. A componentetangencial do peso é a força restauradora, logo:

.x Rt RtP F F mg sen

Mas para ângulos pequenos temos:

Logo

sen tg

. . .Rt

x mgF mg mg x

constante

Obs.: o período não depende da amplitude

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2 2 2 2m m m

T T Tmgk mg g

força efetiva

Obs.: o período não depende da massa do corpo

Oscilações forçadas e ressonância

Os sistemas mecânicos que oscilam sob ação exclusiva de forças restauradoraselásticas são chamados de osciladores harmônicos. Para cada oscilador harmônico o períodoe a frequência já estão definidos. Fazendo o sistema oscilar, para qualquer amplitude, suafrequência já está definida. Temos então oscilações livres.

Na prática, devido à presença de forças dissipativas, a amplitude de oscilação diminuigradativamente. Temos as chamadas oscilações amortecidas.

É possível manter o sistema oscilando com o fornecimento externo e periódico deenergia.

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Movimento harmônico amortecidoNos casos reais, há uma perda gradativa de energia mecânica devido aos vários tipos

de atrito, por exemplo. Assim sendo, uma perda de energia mecânica acarreta uma diminuiçãoda amplitude.

Na suspensão de um automóvel temos uma mola helicoidaldestinada a absorver impactos. Para que a mola não fiqueoscilando por muito tempo, dentro dela há umamortecedor. No interior do amortecedor há um líquidomuito viscoso, que amortece rapidamente o movimento dopistão.

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• Se o fornecimento externo de energia obrigar o sistema a oscilar com uma frequênciadiferente de sua frequência própria de vibração, dizemos que o sistema realiza oscilaçõesforçadas;

• Se o fornecimento externo de energia obrigar o sistema a oscilar com uma frequência igual asua frequência própria de vibração, dizemos que o sistema entra em ressonância. Nessecaso, o sistema gradativamente armazena energia, passando a vibrar com amplitudecrescente.

Obs.: a energia mecânica de vibração é dada por

22 2 22

2 2 22

22 2 2

m m

m a m f akaE E mf a

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Obs.: exemplo de ressonância (ponte Tacoma Narrows)A ponte de Tacoma Narrows foi inaugurada em 1940. Desde o início notava-se uma

oscilação vertical incomum, tornando-se uma atração local por causa das oscilações verticaisconstantes. Em 7 de novembro de 1940, sob ação de ventos com velocidade entre 60 km/h e70 km/h, a ponte começou a oscilar, chegando a amplitudes de 5m.

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Por volta das 10h da manhã, a frequência de oscilação atingiu 36 ciclos por minuto,sofrendo oscilações horizontais que provocaram torções em toda sua estrutura. Por volta das11h, o primeiro trecho de concreto se desprendeu e caiu no rio. Como a ponte de Tacoma erapênsil (suspensa por cabos com a mesma espessura), o vento entrou em ressonância com todosos cabos de uma vez.