Numeros Complexos

SÉRIE TREINAMENTO

Apostila 3062

3º Revisão

Juvenilton Firmino de Lemos

NÚMEROS COMPLEXOS

Três Irmãos2001

1

SUMÁRIO

P.Introdução..................................................................................................................... 03

Redução de arcos ao primeiro quadrante....................................................................... 04

Operador j.................................................................................................................... 06

Notação retangular, ou cartesiana, das quantidades complexas....................................... 09

Módulo do vetor............................................................................................................ 12

Argumento do complexo................................................................................................ 12

Notação polar................................................................................................................ 14

Notação trigonométrica.................................................................................................. 15

Operações com complexos............................................................................................. 17

Mudanças de formas....................................................................................................... 22

Aplicação de números complexos em corrente alternada................................................. 28

Impedância..................................................................................................................... 30

O operador “a”............................................................................................................... 58

2

INTRODUÇÃO

Este trabalho desenvolve o assunto Números Complexos, para sua aplicação junto aos cursos ministrados neste Centro de Treinamento, trazendo em seu conteúdo uma sucinta recordação detrigonometria, operador j, notação regular, notação polar, notação trigonométrica, notação exponencial, operações com complexos e operador a.

3

I - Redução de Arcos ao Primeiro Quadrante

1. Considerações:

Dado um ângulo qualquer do II, III ou IV quadrante, existe somente um ângulo , do I quadrante, tal que as funções trigonométricas de , do I quadrante, tal que as funções trigonométricas de sejam iguais às funções trigonométricas de , em Módulo.

2. Resumo:

Sinal das funçõesQuadrante Seno Co-seno Tangente

II = 180 - + - -III = - l80 - - +IV = 360 - - + -

3. Arcos Negativos:

Um arco precedido do sinal (-) significa que o mesmo foi tomado no sentido negativo (sentido horário) do círculo trigonométrico.Para acharmos um equivalente com sinal positivo, a este arco, basta somar-lhe 360: o resultado é o arco procurado.

Exemplos:

a) Dado um arco de -50, qual é o arco equivalente com o sinal positivo?fazendo = 360 + (-50) = 310

b) Dado um arco de -250, qual é o arco equivalente com o sinal positivo?fazendo = 360 + (-250) = 110

4

4. Arcos Maiores que uma Circunferência

Dado um ângulo , tal que maior que 360, para acharmos um ângulo equivalente a e menor que 360, devemos dividir por 360 e o resto desta divisão será o ângulo procurado.

Exemplos:

a) Calcular o ângulo menor que 360, que tenha os mesmos valores das funções trigonométricas que igual a 752.

Resolução:-

752 360 = 32032 2

b) Idem para = -840

Se = -840 = - 840

840 360 = -120 120 2

Se quisermos positivo basta somarmos 360:

360 - 120 = 240

Exercícios:

Dar as funções seno, co-seno e tangente dos seguintes ângulos:

a) 155

b) 235

c) 348

d) -50

5

e) -120

f) -190

g) -330

h) 4322

i) 528

j) -795

k) -690

l) -999

II. OPERADOR j

1. Definição

“É o operador que produz uma rotação de 90 no sentido o positivo (anti-horário) em qualquer vetor a que é aplicado, como fator de multiplicação, sem alterar o módulo deste vetor”.

2. Aplicação:

Dado o vetor v , situado sobre o eixo horizontal, com sentido positivo, ao aplicarmos a este vetor

v o operador j, teremos o vetor j v , conforme figura 1.

Y

X

Figura 1

jv

v

6

Y

X

Figura 2

jv

v

j v2

Aplicando o operador j, aovetor j2

v , termos o vetor

j3 v , conforme a figura 3.

Aplicando o operador j ao vetorj3 v , teremos o vetor j4

v , que é

igual ao vetor v , conforme

figura 4. Se continuarmos aplicando o operador j, caminharemos no mesmo ciclo.

Analisando as figuras 2 e 4 temos:

j2v = - v j2 = - 1 j2 = - 1 j = 1

7

Aplicando o operador jvetor j

v , teremos o vetor

j2 v , conforme figura 2.

Y

X

Figura 3

jv

v

j v3

j v2

X

1 é a unidade imaginária, representada na matemática por i (na eletricidade optou-se por jota (j), para não ser confundido com i) o valor instantâneo da corrente elétrica.

Se j2 = - 1, então:

j3 = j2 . j -1. j j3 = - j

j4 = j2 . j2 -1.-1 j4 = 1

j5 = j2 . j2 . j - 1.- 1 . j j5 = j

Resumindo:

j0 = 1 j5 = j

j1 = j j6 = -1

j2 = -1 j7 = -j

j3 = -j j8 = 1

j4 = 1 j9 = j

Podemos observar que as potências do operador j só podem assumir os valores 1, j, -1 e -j.Dada a potência jn ( n 4), para calcularmos seu valor, basta dividir n pelo múltiplo de 4 mais próximo e menor que n. então jn será igual a j elevado ao resto desta divisão.

Exemplo:

j23 n = 23 23 20 j23 = j3

3 1

Resto

8

Exercícios

Determinar os valores das potências abaixo:

a) j7 =

b) j16 =

c) j101 =

d) j15 =

e) j315 =

f) j24 =

g) j21 =

h) j231 =

i) j14 =

j) j1521 =

k) j-500 =

l) j83 =

III. NOTAÇÃO RETANGULAR OU CARTESIANA DAS QUANTIDADES COMPLEXAS

1. Conceito

Já vimos que um vetor pode ser decomposto em dois vetores e que cada um desses pode ser operado de forma independente.

Exemplo:

9

Y

X

Figura 5

a1

a2 A

Assim, temos:

onde:

A = a1 + ja2

Dado o vetor B do segundo quadrante,

B pode ser decomposto nos vetores -b1 + jb2

B = -b1 + jb2

10

Y

X

Figura 6

Aja

a

2

1

O vetor componente que está no eixo vertical (y) édesignado j

Figura 6

Y

X

Figura 7

B

jb2

b1

Dado o vetor C do terceiro quadrante,

C é decomposto nos vetores -c1 e -jc2, tal que:

C = -c1 - jc2

Dado o vetor D do quarto quadrante,

D é decomposto nos vetores d1 e -jd2, tal que:

D = d1 - jd2

11

Y

X

Figura 8

C

c 1

jc 2

Aos vetores definidos por seus componentes sobre o eixo x e y dá-se o nome de “Vetores Retangulares ou Vetores Cartesianos”.O eixo x recebe o nome de eixo dos Reais e o eixo y recebe o nome de eixo dos imaginários.

IV. MÓDULO DO VETOR

Dado o vetor v = v1 + jv2, seu módulo será dado por:

V v v1

222

Exemplos:

12

Y

X

Figura 9

d1

jd2D

a) Calcular o módulo do vetor I = 4A + j3A

I = 4 32 2

I = 5A

b) Idem para u = 12v - j5v

u = 144 25 =

u = 13v

c) Idem para u = -12v - j9v

u = 144 81

u = 15v

V. ARGUMENTO DO COMPLEXO

1. Conceito

Dado o vetor v = v1 + jv2, denomina-se argumento do complexo ao ângulo (teta) tomado a

partir do sentido positivo do eixo das abcissas ao vetor v .

2. Exemplos:

a) V = 5 37 b)

U = 10 150

c) T = 5 210 ou d)

Z = 10 300 ou

T = 5 -150

Z = 10 -60

13

Y

X

Y

X

Figura 14 Figura 15

°37 °150jv2

v1

ju2

u 1

v5

u 10

VII. NOTAÇÃO TRIGONOMÉTRICA

1. Conceito

Dado um vetor V de módulo

V e argumento ,

V pode ser definido por:

V =

V ( cos + jsen)

2. Exemplos:

V = 10 (

3

2 + j

1

2 )

U = 8 ( -

2

2 + j

2

2 )

V = 10 30

U = 8 135

14

Y

X

Y

X

Figura 16 Figura 17

t1

jT2

z1

jZ2

210 300

T

5

Z

10

Figura 19Figura 18

30

u

8 135

v10

Figura 20 Figura 21

240° 300°

T

5Z10

T = 5 ( -

1

2 - j

3

2 )

Z = 10 (

1

2 - j

3

2 )

T = 5 240

Z = 10 300

OBS.: Na notação trigonométrica, à expressão ( cos + j sen) costuma-se dar o nome de “Argumento do Complexo”

RESUMO

- Forma Retangular ou Cartesiana

Z x jy

- Forma Polar

Z = r

15

- Forma Trigonométrica

Z = r ( cos + jsen )

As formas usuais na eletricidade são a forma polar e a retangular.

VIII - OPERAÇÕES COM COMPLEXOS

1. Soma e diferença

Para somar ou subtrair dois números complexos, somam ou subtraem-se separadamente as partes reais e as imaginárias. Do ponto de vista prático, isso deve ser feito convenientemente quando ambos estão na forma retangular.

Exemplos:

Dados: Z1 = 5 - j2 e

Z2 = -3 -j8

Z Z1 2 = 5 + (-3) = j-2 = (-8)

Z Z1 2 = ( 5-3) + j (-2 - 8)

Z Z1 2 = 2 + j (-10)

Z Z1 2 = 2 - 10j

Z Z1 2 = 5 - (-3) + j-2 - (-8)

Z Z1 2 = (5 = 3) + j(-2 + 8)

Z Z1 2 = 8 + j6

16

2. Multiplicação

a) O produto na forma polar segue-se da forma exponencial.

Z Z1 2. = (r1 1 ) (r2 2 )

Z Z1 2. = r1 r2 1 + 2

b) O produto da forma retangular é obtido tratando-se os dois números complexos como sendo dois binômios.

Z Z1 2. = (x1 +jy1 ) . (x2 + jy2 )

Z Z1 2. = x1 x2 + x1 jy2 = x2 jy1 + jy1 . jy2

Z Z1 2. = x1 x2 + j(x1 y2 + x2 y1 ) = j2y1 . y2

Z Z1 2. = x1 y2 + j(x1 y2 + x2 y1) - y1 y2

Z Z1 2. = (x1 x2 - y1 y2 ) + j(x1y2 + x2 y1)

Exemplos:

1. Se Z1 = 2 30 e

Z2 = 5 -45

Z Z1 2. = 2 . 5 30 - 45

Z Z1 2. = 10 -15

2. Se Z1 = 2 + j3 e

Z2 = -1 -j3

Z Z1 2. = ( 2+ j3) . ( -1 - j3)

Z Z1 2. = 2(-1) - (-9) + j2(-3) + 3(-1)

Z Z1 2. = (-2 + 9) + j-6 + (-3)

Z Z1 2. = 7 - j9

Exercícios

17

1. Realizar as multiplicações de números complexos;

a) 2(cos 60 + jsen 60) . 3(cos 75 - jsen 75)

b) (2304 15 ) . (2 15 )

c) ( 19 - j33) . (15 + j25)

d) 2,3 (cos 58,5 + jsen 58,5) . 0,7(cos 90 + jsen 90)

e) (24 70 ) . (20 43 )

f) ( 2 + j3) . ( 3 + j6)

g) 32,7(cos 138 - jsen 138) . 10(cos 0 - jsen 0)

h) 5(-cos 60 - jsen 60) . 9,3(cos 127 + jsen 127)

i) (3,5 + j5,3) . (2,5 + j4,3)

j) (240 -30 ) . (16 -60 )

k) (12,5 45 ) . (6 -131 )

l) (-8,5 + j3,67) . (6 + j8)

m) 14 (cos 45 + jsen 45) . 28( cos 45 - jsen 45)

n) (15 30 ) . (82 58,5 )

o) (5,1 + j5,33) . (36,6 - j25)

3. Divisão

a) A divisão da forma polar provém da forma exponencial.

ZZ

r

r1

2

1

2

r

r1

2

b) Na forma retangular, multiplica-se numerador e denominador pelo conjugado ao denominador.

18

1

2

1 - 2

Z

Z

x jy

x jy

x jy

x jy1

2

1 1

2 2

2 2

2 2

Z

Z

x x y y j x y x y

x j y1

2

1 2 1 2 2 1 1 2

22 2

22

( ) ( )

=

Z

Z

x x y y j x y x y

x y1

2

1 2 1 2 2 1 1 2

22

22

( ) ( )

Exemplos:

1. Dados:- Z1 = 8 -30 e

Z2 = 2 -60

2. Dados: - Z1 = 4 - j5 e

Z2 = 1 + j2

Exercícios

19

Z

Z1

2

Z

Z1

2

8

2

Z

Z

j

j

j

Z

Z

j

1

2

1

2

4 5

1 2

4 10 5 8

1 4

6 13

5

( ) [ ( )]

-30 - (-60) 4 30

1. Efetuar as divisões dos números complexos:

a) (37 4 ) : (24,6 -26)

b) 5,6 (cos 34 - jsen 34) : 8,5(cos 94 - jsen 94)

c) ( 84,1 - j76,45) : (8,2 + j7)

d) (9,8 -45 ) : (5,6 116 )

e) 10(cos 53 - jsen 53) : 20(cos 157 - j sen 157)

f) (24,4 - j15,8) : (-15,9 + j12,13)

g) (9,4 156,6 ) : (1,24 -41 )

h) 3,2(cos 13,8 - jsen 13,8) : 16(cos 56,4 + jsen 56,4)

i) (5,75 - j3,86) : (13,2 +9,44)

j) (16,2 36 ) : (173,2 120 )

k) 6(cos -131 - jsen 131) : 49(cos 221 + jsen 221)

l) (2,5 + j4,3) : (3,5 - j8,4)

m) (10,86 -37 ) : (15,9 70 )

IX - MUDANÇA DE FORMAS

1. Retangular para Polar

Para transformar da forma retangular para a forma polar, basta calcular o módulo e o argumento do vetor.

20

Dado:- v = v1 + jv2

V = v v1

222

então

= arc tg v

v2

1

Exemplos:

a) Dado o vetor I = (5 + j5 3 3 ). A, passar para a forma polar.

I = 25 75

I = 10

tg = 5 3

5 tg = 3

= 60

Logo I = 10 60 Ab) Dado o vetor

V = -5 + j5 3 volts, passar para a forma polar.

V = 25 + 75

V = 10

tg = 5 3

5 = - 3

= 120

arc tg - 3

= 300

Para determinação precisa de podemos calcular sen ou cos .

21

sen = 5 3

10 sen =

3

2

ou seja I e II quadrante.

cos = - 5

2 = -

1

2 = II quadrante

II quadrante então = 120

Resposta:- V = 10 120 volts.

c) Dado o vetor F = ( -3 - j4)N, passar para a forma polar.

F = 5

tg = 4 tg = 1,33 3

então = 233

Achemos o seno e o co-seno do ângulo:

sen = - 4

5 III quadrante

cos = - 3

5 III quadrante

então = 233 III quadrante.

Resposta: F = 5 233 N

2. Forma Polar para Retangular

Para transformar um número complexo da forma polar para a forma retangular, devemos

1. Esboçar o gráfico do vetor.

2. Calcular o valor de x e y.

22

3. Analisar os sinais das funções do ângulo.

4. Transformar.

Exemplo:

a) Transformar 50 53,1 na forma (x + jy).

x = 50 cos 53,1

x = 50 . 0,600 = 30

y = 50 sen 53,1

y = 50 . 0,8 = 40

50 53,1 = 30 + j40

b) Transformar 100 120 na forma (x + jy).

sen 120 = sen 60

23

Y

X

50 531, 53 1,

Figura 22

sen.53,1 > 0cos.53,1 > 0

cos 120 = -cos 60

x = 100 cos 120

x = 100 . -1 = -50 2

y = 100 . sen 120

y = 100 . 3 = 86,5 2100 120 = -50 + j86,5

Exercícios

1. Esboçar o plano complexo e localizar os seguintes números complexos.

a) 2 - j2 e) 5 + j0

b) 3 + j8 f) j6

c) -5 + j3 g) -4

d) -4 -j4 h) -j5

24

X

Y

100 120

120

Figura 23

sen. 120 > 0 cos .120 < 0

2. Converter cada número do exercício anterior para a forma polar e repetir o esboço no plano complexo.

3. Converter os complexos da forma polar para a forma retangular.

a) 12,3 30 g) 13 260

b) 53 160 h) 156 -190

c) 25 -45 i) 10 3

d) 86 -115 j) 25 88

e) 50 -20 l) 50 -93

f) 3 80 m) 200 181

4. Converter os complexos da forma retangular para a forma polar.

a) -12 + j16 d) 700 + j200

b) 2 - j4 e) -69,4 - j40

c) -59 - j25 f) -2 + j2

5. Determinar a soma ou a diferença indicada:

a) ( 10 53,1 ) + ( 4 + j2 )

b) ( 10 90 ) + ( 8 - j2 )

c) ( -4 - j6) + ( 2 + j4 )

d) ( 2,83 45 ) - ( 2 - j8)

e) ( -5 + j5 ) - ( 7,07 135 )

f) ( 2 - j10 ) - ( 1 - j10 )

25

g) ( 10 + j1 ) + 6

h) -( 5 53,1 ) - ( 1 - j6 )

6. Calcular o produto:

a) ( 3 - j2 ) ( 1 - j4 )

b) ( 2 + j0 ) ( 3 - j3 )

c) ( -1 - j1 ) ( 1 + j1 )

d) ( j2 ) ( 4 - j3 )

e) ( j2 ) ( j5 )

f) ( -j1 ) ( j6 )

g) ( 2 + j2 ) ( 2 - j2 )

h) ( x + jy ) ( x - jy )

7. Transformar os complexos do exercício 6 para a forma polar e efetuar as multiplicações.

8. Achar o quociente, multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador.

Converter os números para a forma polar e determinar novamente o quociente.

a)(5 )

( )

j

j

5

1 1

b)( )

( )

4 8

2 2

j

j

26

c)(5 )

( )

j

j

10

3 4

d)(8 )

( )

j

j

12

2

e)( )

( )

3 3

2 2

j

j

f)( )

( )

5 10

2 4

j

j

APLICAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS EM CORRENTE ALTERNADA

As medidas das da corrente alternada são baseadas na hipótese de ondas senoidas de tensão e corrente.Ao lidar com grandezas não senoidais de número e período diferentes, mas que possam ser operadas de acordo com os métodos aplicáveis a ondas senoidais. Contudo, torna-se trabalhoso, pois teremos que usar valores instantâneos de medidas em equações de ondas. Torna-se então mais prático empregar o método vetorial para representar estas grandezas senoidais, e este método conduz ao resultado desejado.Por exemplo, num circuito monofásico de corrente alternada ( figura 24 ), ima corrente i = Im sen t, em forma de onda senoidal, onde todas as coordenadas desta onda nos vários instantes t, poderão ser obtidas através das projeções do vetor girante nos eixos OX e OY. Estas projeções serão resultados de Imsen t ( em OY

) e Imcos t ( em OX

).

27

Y

Im

wt Im cos w t

Im sem w t

0wt

Im

Tempo da me-dida angular.

Figura 24

2

Nos diagramas vetoriais, certas convenções devem ser observadas.Primeiro deve ser estabelecido um conveniente eixo de referência. Segundo, deverá ser observado que o sentido anti-horário seja considerado o sentido positivo de rotação dos vetores e também se um dos vetores estiver adiantado, este ângulo de avanço deverá ser medido no sentido horário.A seguir temos os diagramas de tensão e corrente para circuitos de resistência, indutância e capacitância puras.

RI

Figura 25

V

+

VR

I

No circuito de resistênciapura, teremos a correnteem fase com a tensão deacordo com a figura 25.

28

No circuito de indutância

pura, a corrente atrasa-seda tensão por 90.

onde XL = 2fl = L

e VL = jIXL

No circuito de capacitância pura, a corrente adianta-se da tensão por 90.

onde XC = 1 = 1 2fC C

e VC = - jIXC

IMPEDÂNCIA

De um circuito série, constituído por uma resistência pura R e uma resistência indutiva XL , teremos a tensão assim determinada:

29

L

Figura 26

V

+

I

90

VL

C

Figura 27

I

VC

+

90

V

I

V V VR L V = jIX I (R + jX = IZ (*)L L )

Daí podemos concluir que a impedância está representada na forma complexa, apesar de não ser uma grandeza vetorial. O fato é que a impedância permite-nos decompor as quedas de tensão provenientes da reatância ( capacitiva ou indutiva ) e da resistência ôhmica.

(*) Adota-se a simbologia Z para identificar uma

impedância complexa e Z para identificar seu Módulo.

Assim, temos:

O mesmo acontece para um circuito contendo uma resistência pura R e uma capacitância XC

V V V V IR jIX R jX IZR C C C I( ) ( )

30

jXLR

R

jXL

I

= R + jXL

z

z

z = R + jX

L

Figura 28

Então:

Exercícios de Aplicação

1. Dado o circuito

Calcular:

a) Impedância do circuito

b) Quedas de tensão em R e XL

c) Tensão total do circuito

d) Fator de potência

e) Demonstrar graficamente a defasagem entre V e I

Resolução:

a) Impedância do circuito

XL = 2fL

XL = 2 x 3,14 x 60 x 0,028 XL = 10,55

31

-jXLR

-jXC

I

z

z = R + jXL

z = R - jX

C

Z = R + JXL

Z = ( 12 + j10,55)

Z = 15,98 41,32

b) Quedas de tensão em R e XL

1. V RR I 2.

V XL L x I

VR 12 x 8

VL J10,55 x 8

VR 96 V

VL J84,40 V

c) Tensão total do circuito

V V VR L

V = ( 96 + j84,40 ) V

V = 127,83 41,32 V

d) Fator de potência

cos R

Z

12

15 98, cos = 0,75

e) Gráfico de defasagem

32

2. Dado o circuito

R

c F=200 R = 12

I A= 8 60Hz

Calcular:

a) Impedância do circuito

b) Quedas de tensão em R e em -jXC

c) Tensão total do circuito

d) Fator de potência

e) Demonstrar graficamente a defasagem entre V e I

Resolução:

a) Impedância do circuito

XC = 1 2 f C

33

41,32

jVL

VR

°

V

XC = 1 2 x 3,14 x 60 x 200 x 10-6

XC = 13,26

Z = R - jXC

Z = ( 12 - j13,26 )

Z = 17,88 -47,86

b) Quedas de tensão em R e em Xc

1.VR = R x I 2.

VC = -jXC x I

VR = 12 x 8

VC = -J13,26 x 8

VR = 96 V

VC = -j106,08 V

c) Tensão total do circuito

V V VR C

V = ( 96 - J106,08 ) V

V = 143,07 -47,86 Volts

d) Fator de potência

cos = R

Z

12

17 88, cos = 0,67

e) Gráfico da defasagem

34

3. Dado o circuito

Calcular:

a) Impedância do circuito

b) Quedas de tensão em XL e em XC

35

47 86,

jVC

V

RI

C = 200 FL = 0,028 H

I = 8 A 60Hz

c) Tensão total do circuito

d) Fator de potência

e) Demonstrar graficamente a defasagem entre V e I

Resolução:

a) Impedância do circuito

XL = 2fL

XL = 2 x 3,14 x 60 x 0,028

XL = 10,55

XC = 1

2fC

XC =1

2 x 3,14 x 60 x 200 x 10-6

XC = 13,26

Z = R + j ( XL - XC )

Z = 0 + j ( 10,55 - 13,26 )

Z = - j2,71

z = 2,71 -90 Ohms

b) Quedas de tensão em XL e XC

1.VL = jXL x I

VL = j10,55 x 8

36

VL = j84,40 V

2.VC = -jXC x I

VC = -J13,26 x 8

VC = -J108,08 V

c) Tensão do circuito

V V VL C

V = j (84,40 - 106,08 ) V

V = 21,68 -90 volts

d) Fator de potência

cos = R

Z

0

2 71, cos = 0

e) Gráfico

37

4. Dado o circuito

38

I-90

-jVC

0

jV L

°

V

C = 200 FL = 0,028 H

I = 8 A 60Hz

R = 12

Calcular:

a) Impedância do circuito

b) Quedas de tensão em XL , XC e R

c) Tensão total do circuito

d) Fator de potência do circuito

e) Demonstrar graficamente a defasagem entre V e I

Resolução:

a) Impedância do circuito

R = 12 é dado

XL = 2fL

XL = 2 x 2,14 x 60 x 0,028

XL = 10,55

XC = 1

2fC

XC = 1

2 x 3,14 x 60 x 200 x 10-6

XC = 13,26

Z = R + j ( XL - XC )

Z = 12 + ( J10,55 - 13,26 )

Z = 12 - J2,71

39

Z = 12,30 -12,73 Ohms

b) Quedas de tensão

VR = R x I

VL = jXL x I

VR = 12 x 8

VL = j10,55 x 8

VR = 96 volts

VL = j84,40 volts

VC = -jXC x I

VC = -j13,26 x 8

VC = -j106,08 volts

c) Tensão total do circuito

V V V VR L C

V = 96 + j (84,40 - 106,08 )

V = 96 - j21,68

V = 98,42 -12,73 volts

d) Fator de potência do circuito

40

cos = R

Z =

12

12 30, cos = 0,97

e) Gráfico

41

I

-jVC

jVL

VR

V

-12,73o

5. Dado o circuito

L = 0,03 H120 V

60Hz

R = 12

Calcular:

a) Intensidade de corrente em cada ramal do circuito

b) Intensidade de corrente total do circuito

c) Fator de potência do circuito

d) Gráfico da defasagem

Resolução:

a) Intensidade de corrente

Em R

IR =

V

R =

120

12

IR = 10 A

XL = 2fL

XL = 2 x 3,14 x 60 x 0,03

XL = 11,30

Em XL

I

V

JX JI jL

LL

120

11 310 62

,, A

b) Intensidade de corrente total

42

I I IR L ( )

I ( 10 - j10,62 ) A

I 14,59 -46,72 Ampères

c) Fator de potência

cos = I

IR =

10

14 59, cos = 0,69

d) Gráfico

43

-jVL

V

- 46,72°

I

6. Dado o circuito

120 V

60Hz

R = 12C = 150 F

Calcular:

a) Intensidade de corrente em cada ramal do circuito

b) Intensidade total do circuito

c) Fator de potência do circuito

d) Gráfico de defasagem

Resolução:

a) Intensidade de corrente

Em R

IR =

V

R =

120

12

IR = 10 A

Em XC

44

IC =

V

jXC XC = 1

2fC

XC = 1

2 3 14 60 150 10 6 x x x x ,

XC = 17,69

IC =

120

17 69 j ,

IC = j6,78 A

b) Intensidade total

I I IR C

I = 10 + j6,78 A

I = 12,08 34,14 Ampères

c) Fator de potência

cos = I

IR =

10

12 08, cos = 0,83

d) Gráfico

45

V

jIC

I R

3414, °

I

7. Dado o circuito

120 V

60Hz

L = 0,03 H C = 150 F

Calcular:

a) Intensidade de corrente em cada ramal do circuito

b) Intensidade de corrente total do circuito

c) Fator de potência do circuito

d) Gráfico da defasagem

Resolução:

a) Intensidade de corrente

Em XL

46

I

V

jXLL

XL = 2fL

XL = 2 x 3,14 x 60 x 0,03

XL = 11,30

I

jL

120

11 30, IL = -j10,62 A

I

V

jXCC

X

fCC 1

2

XC

1

2 3 14 60 150 10 6 x x x x ,

X C 17 69,

I

jC

120

17 69, IC = j6,78 A

b) Intensidade de corrente total

I I IL C

I j (-10,68 + 6,78 ) A

I 3,90 -90 Ampères

c) Fator de potência

cos = I

IR

0

3,90 cos = 0

d) Gráfico

47

-jIL

V

jIC

- °90V

8. Dado o circuito

120 V

60Hz

R = 12C = 200 FL = 0,05 H

Calcular:

a) Intensidade de corrente de ramal em cada circuito

b) Intensidade de corrente total

c) Fator de potência do circuito

d) Gráfico de defasagem

48

Resolução:

a) Intensidade de corrente

Em R

IR =

V

R =

120

12

IR = 10 A

Em XL

IL =

V

jXL XL = 2fL

XL = 2 x 3,14 x 60 x 0,05

XL = 18,84

IL =

120

18 84j ,

IL = -j6,37 A

Em XC

IC =

V

jXCZ XC = 1

2fC

XC = 1

2 3 14 60 200 10 6 x x x x ,

XC = 13,27

IC =

120

13 27 j ,

IC = j9,04 A

49

b) Intensidade total

I I I IR L C

I = 10 + j (-6,37 + 9,04 )

I = 10,35 14,95 Ampères

c) Fator de potência

cos = I

IR

10

10 35,

d) Gráfico

50

-jIL

V

IC

IR

jIX 1495, °

I

cos = 0,97

Exercícios propostos

1. Uma tensão de 110 volts é aplicado a um circuito de série constituído de resistência de 8 Ohms, indutância de 0,0531 H e capacitância de 189,7 F. Quando a freqüência for 60 ciclos, calcular a corrente, o fator de potência e as quedas de tensão.

110 V

8 14j-j

2. Dado o circuito paralelo, determinar a corrente elétrica em cada ramal e a corrente total.

51

110 V

6 5

-j5 j8

3. Determinar a corrente em cada ramal e a corrente total docircuito.

110 V

5 5 8

220 F160 F0,04 H

4. Calcular a corrente, quedas de tensão em Vab, Vbc, Vcd, e o fatorde potência do circuito abaixo.

B 6 C-j8 2 D4A j3

100 V

5. No circuito abaixo, determinar:

a) Corrente do circuito

52

b) Quedas de tensão Vab, Vbc, Vcd

c) Desenhar um diagrama vetorial polar de Vab, Vbc, Vcd, V e I.

a

-j4

c

j11

d

2

V = 98,98 45º volts

3

b

2

I

6. No circuito abaixo, calcular I e Z eq. Mostrar que a soma das quedas de tensão é igual à tensão aplicada.

4 j3

V = 100 - 0º volts

7. Achar a corrente total e a impedância equivalente do circuito paralelo, traçando o diagrama vetorial.

53

50 0º V

IT

I1

10

I2

I33 8

-j6

j4

8. Calcular a impedância Z do circuito abaixo.

50 45º volts

5

I = 2,5 - 15º A

j8

Z

9. Do circuito a seguir, determinar:

a) Impedância

b) Intensidade

c) Fator de potência

d) Defasagem entre tensão e corrente ( graficamente )

54

220 V

(4+j9) -j13

°

7

I

307,5 j10 10

10. No circuito abaixo:

R

S

T

I1 = ?

I2 = ?

I3 = ?

R = 221

R = 28

R = 40

2

3

Dado - Rede - 220 e f = 60Hz

Determinar:

a) I1, I2, I3

b) I1 +2 I2 + I3

c)Determinar graficamente que I1 + I2 + I3 = 0

11. No circuito a seguir:

55

R

S

T

N

R 1 31=

R 2 63 85= ,

R 3 16 275= .

I =

I n = ?

?

I = ?1

2

I = ?3

Dado - Rede: 127/220 V f= 60 Hz

Determinar - a) I1, I2, I3, In. b) Determinar graficamente o valor de In.

12. No circuito abaixo:

R

S

T

N

R 1 28=

R2

R3

I =

I n = ?

?

I = ?1

2

I = ?3

X L 2

X L1 j 38=

XL3

Dado: Rede - 127/220 V f = 60 Hz R1 = R2 = R3

XL1 = XL2 = XL3

Determinar: a) I1, I2, I3, In.

b) Determinar graficamente o valor de In ( 2 cm para 1A )

56

R

S

T

N

I =

I n = ?

?

I = ?1

2

I = ?3

R1 = 30 = - j40

XC1

R2

R3

XC

2

XC

3

Dado: Rede - 127/220 V

f = 60 Hz

R1 = R2 = R3

Determinar: a) I1, I2, I3, In.

b) Determinar graficamente o valor de In .

14. No circuito:

R

S

T

NI n = ?

I = ?1X jL1 38=

I = ?2

I = ?3

X L2

X L3X j17C 3

= -

X j18C 2= -

X j25C 1= -

Dado: Rede - 127/220 V

f = 60 Hz

XL1 = XL2 = XL3

Determinar:- a) I1, I2, I3, In.

b) Determinar graficamente o valor de In .

57

15. No circuito abaixo:

R

S

T

N

R 1 8=

R = 82

R = 83

I =

I n = ?

?

I = ?1

2

I = ?3

X L1 j 25= X j5C 1= -

X j20C 2= -

X j20C 3= -

X L2 j 5=

X L3 j 10=

Dado: Rede - 127/220 V

f = 60 Hz

Determinar:- Determinar: a) I1, I2, I3, In.

b) Determinar graficamente o valor de In .

O OPERADOR “a”

1. Definição

“É o operador que produz uma rotação de 120 no sentido positivo ( sentido anti-horário ) em qualquer vetor em que é aplicado, como fator de multiplicação, sem alterar o módulo deste vetor.

a = 1 120

2. Aplicação

58

Dado o vetor v , situado sobre o eixo horizontal, com sentido positivo, ao aplicarmos a este

vetor v o operador “a” , teremos o vetor a

v , conforme figura 1.

Aplicando o operador “a” ao vetor av , teremos o vetor a2

v , conforme figura 2.

Y

Xa

240°

Figura 2

a2

v

v

v

59

Y

Xa 120°

Figura 1

v

v

Aplicando o operador “a” a vetor a2 v , termos o vetor a3

v ,conforme figura 3.

Aplicando o operador “a” ao vetor a3 v , teremos o vetor a4

v ,conforme figura 4.

60

Y

X

a360°

Figura 3

a2 a3v

v

v

v

Analisando as figuras 3 e 4, temos:

a3 v = v a3 = 1

a4 v = av a4 = a

Nas, se a3 = 1 e a4 = a

então, a5 = a4.a = a . a = a2

a6 = a3 . a3 = 1 . 1 = 1

61

Y

Xa480°

Figura 4

a2 a3

a4vvv

v

v

a7 = a3 . a4 = 1.a = a

Resumindo:

a0 = 1 a5 = a2

a1 = a a6 = 1

a2 = a2 a7 = a

a3 = 1 a8 = a2

a4 = a a9 = 1

Daí concluímos que as potências de “a” só podem assumir osvalores 1, a e a2.Dada a potência an ( n > 3 ), para calcularmos seu valor bastadividir n por 3 ( período de a ).Então an será igual a “a” elevado o resto desta divisão.

Exemplo:

1) a17 n = 17

17 3 a17 = a2

2 5

resto

2) a53 n = 53

53 3 a53 = a 22 17 1

resto

62

NOTAÇÕES DO OPERADOR “a”

Podemos exprimir o operador “a” na forma polar, trigonométrica e retangular.Exprimimos o operador “a” em função do operador “j” , e assimteremos:

Para v = 1

v = 1 0

v = 1 ( cos 0 + jsen 0 )

v = 1 ( 1 + j0 )

v = 1 + j0 = 1

63

Y

X

Figura 5

v

av = 1 120

av = 1 ( cos 120 + jsen 120 )

av = 1 ( -

1

2 + j 3

2 )

av = -

1

2 + j 3

2

a2 v = 1 240

a2 v = 1 ( cos 240 + jsen 240 )

a2 v = 1 (-1

2 - j 3

2 )

64

Y

X

a

Figura 6

120°

v

Y

X

Figura 7

240°

a2v

PROPRIEDADES DO OPERADOR “a”

O operador “a” é muito usado em problemas de circuitos trifásicos porque, sob condições equilibradas, as tensões de fase individuais ( e correntes ) estão deslocadas uma da outra por 120.

Notação polar

Ia = 1 0 = 1

Ib = 1 240 = a2

Ic = 1 120 = a

Analisando a figura 8, temos:

a) Ib = 1 240 1 -120

pois a-1 = 1 = 1 = 1 -120 = a2

a 1 120

65

Figura 8

240°120°

Ic

Ib

Ia

b) Ic = 1 120 1 -240

pois a-2 = 1 = 1 = 1 120 = a a2 1 -120

c) Ia = 1 0 1 360

pois a-3 = 1 = 1 = 1 0 = 1 a3 1 0

Além dessas propriedades, o operador “a” goza ainda da propriedade:

1 + a + a2 = 1 0 + 1 120 + 1 -120 = 0

FUNÇÕES DO OPERADOR “a”

NOTAÇÕES

a = 1 120 = -0,5 + j0,866

a2 = 1 240 = -0,5 - j0,866

a3 = 1 360 = 1 + j0

a4 = 1 120 = -0,5 + j0,866 = a

1 + a = 1 60 = 0,5 + j0,866 = - a2

1 - a = 3 -30 = 1,5 - j0,866

1 + a2 = 1 -60 = 0,5 - j0,866 = - a

1 - a2 = 3 30 = 1,5 + j0,866

66

a + a2 = 1 180 = - 1 - j0

a - a2 = 3 90 = 0 + j1,732

1 + a + a2 = 0 = 0 + j0

NOTA:

Uma diferença importante deve ser observada entre os operadores “a” e “j” . O operador j tem módulo unitário a + 90 , e -j significa que o complexo j varia em 180, para resultar um vetor de mesmo módulo ( unitário ) a 270.

ou seja: j = 1 90

- j = 1 90 x 1 180 = 1 270 = 1 -90

Para o operador “a” não se pode fazer uma afirmação semelhante,pois,

a = 1 120

-a = 1 120 x 1 180 = 1 300 = 1 -60

EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO

1. Calcular o valor de a2 - a. Temos:

67

a2 - a = ( -1

2 - j 3

2) - ( -

1

2 + j 3

2 ) = -j 3 = 3 -90

Graficamente:

2. Calcular o valor de a3 - a2

Temos:

a3 - a2 = 1 - a2 = ( 1 + j0 ) - ( - 1

2 - j 3

2 ) =

3

2 + j 3

2 =

= 3 30

68

Y

X

a

1

-aa2

a a j2 3- = -

Graficamente:

1. Calcule as seguintes expressões, na forma polar.

a) a2 - 1 c) 2a2 + 3 + 2a

b) 1 - a - a2 d) ja

2. Simplificar as expressões:

69

Y

X

a2

30°

33 2- =a aa2-30°

a3 1=

a) a

a a

2

2

1

b) 1

2

a

a a

70

Impressa na ADCRI - Seção de ReprografiaIlha solteira/Abril/1994

Tiragem: exemplares

71