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Cargas em Lajes.
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Placas - Lajes
Placas são estruturas planas onde duas de suas três dimensões -largura ecomprimento - são muito maiores do que a terceira, que é a espessura.As cargas nas placas estão fora do plano da placa.As placas são as lajes nos edifícios.
1As lajes podem ter as mais variadas formas: retangulares, circulares,elípticas, com ou sem furos.As lajes mais comuns são as lajes retangulares com apoio ao longo do seuperímetro. Vamos fazer considerações sobre lajes retangulares ou qua-dradas apoiadas ao longo dos quatro lados.
--~-- •..
laje
viga
w pilar
Esse apoio é feito por vigas.As placas resistem às cargas por flexão e por torção.
270
~
Vejamos inicialmente o comportamento por flexão, considerando uma lajeretangular com carga unifonnemente distribuída em toda a sua superfície,que chamaremos de "g". Nessa laje, consideremos duas vigas paralelasaos lados que se cruzam no meio do vão da laje.
Ação de Flexão
0
\fy
y txf
x
Temos que supor as vigas de largura unitária para considerar a carga gsobre a viga com valor numericamente igual à carga distribuída da viga.A viga (1) de vão f. r recebe a carga g da laje, porém ela é ajudada pelareação da viga (2) de vão ir Como não conhecemos essa ajuda, chama-remos de s essa carga ainda incógnita.
I~~~~~~~~~~~~~~-~-~~~~krrrrrrrrrrrrrrrrrr r
fx
9
5
Essa carga é distribuída porque devemos imaginar um conjunto de vigastipo (1) e tipo (2), lado-a-lado, formando a laje.
271
As duas vigas situam-se no mesmo plano. As duas flechas das vigas (1) e(2), no meio do vão, devem ser iguais pois são solidárias. A flecha de urnaviga simplesmente apoiada com carga uniformemente distribuída é:
5 q . .e4f=384'~
Então, a flecha na viga (1) é:
5 ( g - s ) ·~xfi = 384 . E . J
A viga (2) que colabora com a viga (I), com uma reação s, está obviamentesujeita a essa mesma carga s. Assim, a flecha será:
45 s· ~I
12 =384'~
Como ~ =~, vem:
5384
(g-s)·e4r
E·J
45 s . el=_._-'-
384 E· J
( g - s ) . e/ = s . ~/
4 4 4s :« -S·e =S·ex .t y
4 4 4s«. =S·ey +S'~f
4 4 4S . (ey + ex ) = g . fx
S=g·_-"---
Assim, a viga (1) fica aliviada de uma carga "s" e a outra viga carregadadesse valor.
272
-,r- - li'
o g-5
I ~~~~~~~~~~~~~[TI
~ i. ~_
e 4.r
g . 4g - S = g - R. 4 + evx .
-s=g '[1- /:1' Jg f +,x .
L--.J I~ "
o r---,
5 1----'"iy
Para uniformização de índices, chamaremos de:
gx = g - S
e a carga que era a incógnita s, chamaremos de:
gy = s
Assim, o momento em relação às direções "x" e "y" são respectivamente:
M = gx '~xx -
8
2 ( 4 Jr, 2S: ]- . e.e4+R.4 xx y
8
My = gy '1:'./ _8 -
2Y
273
Exemplo:Determinar as cargas g x' gy e depois os momentos M; e My da laje retan-gular de 3 m por 4 m com carga de 4,0 kNlm2• É um calculo aproximado!
L. ix= 4m
iy= 3m
(4 Jer ee, =s 1-e
x4 +e/
4r-g . 4g)- ?4+e) r
e = 4 m => 44 = 256
~, = 3 m => «4 = 81
256 =0,7596
g r =g ·0,2404
g y =g ·0,7596
Percebemos que a viga mais rígida é a de menor vão, recebendo portantocarga maior,
2O,2404'g ·4 =g .0,481 kN.m/mMx= n
274
'-~-;:J- 'IDJço;t
32M - 0,7596· g. =s ·0,855 kN.m/m
y - 8
para g = 4 kNlm2, temos:
M = 1,923 kN.mlmx
M = 3,420 kN.mlmy
A unidade do momento é a força por comprimento. Como tomamos aviga com largura unitária, o momento obtido é por faixa unitária.O momento é maior na direção menor, por isso se encontra maior quantida-de de armadura na menor direção das lajes se comparada com a maior.A placa também resiste através da torção que se propaga de faixa a faixaaté os apoios.
Ações de torção na distribuição das cargas
Para visualizar essa distribuição, consideremos três vigas iguais, com omesmo vão, de seção transversal e de mesmo material, com três cargasconcentradas diferentes, agindo uma em cada viga.
Ação de Torção
As flechas são proporcionais às car-gas "P/'. As vigas, pela hipótese ini-cial' estão separadas e, portanto,deformam-se independentemente.Vamos agora imaginar que as três vi-gas estejam ligadas pelas suas faceslaterais, corno ocorre na realidade.Tudo se passa como se tivéssemosuma outra viga que obriga as fle-chas das três vigas a serem iguais.Podemos imaginar a largura dasvigas tão pequenas que possamosdesprezar essa variação.
3
~~d'Dld'DJd'1 2
3
275
Vemos que a viga (1) colabora com aviga (2) e esta, com a viga (3). Tal co-laboração é desenvolvida por urna for-ça cortante que se manifesta na facelateral das vigas, pois na lajes essas vi-gas estão justapostas formando umcorpo único.
-- - - -- --- -----------1----1 2 3 d
D D D---ç-------------- ----------~~--------------------------j
Pl P2 P3
Ó!Q, Q,tÓ!Q, Q,tÓ1 2 3
Agora, as três vigas também estão submetidas às forças QI e Q2 que sãoas incógnitas.Viga (1):
PI + QIViga (2):
P2-QI + Q2
Viga (3):
P3- Q2
Como as três vigas têm a mesma flecha, cada uma tem como resultante kda soma das cargas P e assim poderemos escrever para a viga 1 e para aviga 3:
JPI +QI =3-( PI +P1 +P3) e
JP3 - Q 2 =3' (PI + P1 +P3 ) •
que permitem calcular Q I e Q2'
JQI =--( PI +P2 +P3 )-PI
3
276
QI =!L+!..L_~.p3 3 3 I
JQ2 =P3 -_.( PI +P2 +P3)
3
Q2 =f'P3 _!2_!..L3 3
Tomando-se agora a viga (2), que é a viga do meio e decompondo-se ocarregamento das cargas QI e Q2 em dois outros equivalentes, que nãoalteram as condições de equilíbrio, temos:
P2 IP2
QrQ2Ql ~ 2
r 1-
r-
b -f,-Q2 bt
viga 1 forças
QrQ22
Ql+Q22
Ql+Q22
r + rOlmomento
torsor
Assim, a solidariedade das vigas provoca um alivio na viga (2) correspon-dente à diferença das cargas QI e Q2 e um momento de torsão igual à semi-soma das forças Q I e Q2 multiplicada pela metade da largura da viga.Essa é a ação de torção nas lajes.O calculo exato das lajes é feito pela teoria da elasticidade.
Ação de membrana nas lajes
Quando os deslocamentos correspondentes às flechas aumentam, come-ça a aparecer a ação de membrana, em que a laje trabalha a suspensão,fornecendo solicitações de tração na placa que aumentam ainda mais asua resistência.A ação de membrana é como se ela se comportasse como um tecido presonos lados, ou seja, com predominância da ação do cabo nas duas direções.
277
Lajes nervuradas
Quando se quer diminuir o seu peso próprio, se faz nervuras nas lajes, nasduas direções, para aliviar o peso. A laje nervurada só se justifica para vãossignificativos, por exemplo, acima de J O m x J O m.
1lrJ[][][J[][]]
DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD~
Reação das lajes
Determinação da reação das placas sobre as vigas de borda.Podemos imaginar que as reações ocorrem de acordo com o esquema deruptura das lajes. As lajes retangulares com cargas uniformementedistribuídas apresentam a configuração a seguir:
, \ '" 45° /, /, ," /45°
fy "'" n fy ,//, .tX-2-- ,2 -. 2 /'------------~r-------------------~,
"" <./ ,
45°,// -.....,450
, ,/\ 45° 45°r"~,
ex
278
fy
Placas - lajes
A carga que está no trapézio é descarregada no lado Rx e a carga que estáno triângulo é descarregada no lado e . A carga é determinada pela área
ydas figuras, multiplicada pela carga por unidade de área da laje.Essa carga é depois distribuída linearmente pela viga, dividindo-se a car-ga obtida pelo comprimento e
xda viga, no caso do trapézio, e e
y, no caso
do triângulo. Vejamos como ficam as expressões:Área do trapézio:
e" 2· e - ee-2·'+e s..x 2 r A I'
Arrapézio =-.I'
2 2 2 2
2 . e . f. - e " ex' -v _I'x V \' ; _._
Arrapé:io = t: =-2- - 4
A carga Qx é a área do trapézio multiplicada pela carga g por unidade deárea.
[ex . f.y ~/ JQ =« ----
r 2 4
A carga ao longo lado f.x
é
q x = Qr
~( . el'q .' . e/42
/\
q X = f.x
[e e 2 J Jy .v._
q r =« l-e: 4
Esta é a reação por metro do lado ~."Vejamos a reação qy:
el'eY
'2Q\. =« -2
279
•...Iacas - lajes
2-,'c, =q 04Qy
qy =-
q y =
yq o
4fy
fyq) =s 04
Exercício:Determine as reações de uma laje maciça de concreto de 3 m x 4 m, comespessura de 8 em, revestimento de cerâmica, e que pesa, com a arga-massa de assentamento, 1000 N/m20Cargas sobre a laje:
Peso próprio: pp = 0,08 025000 = 2000 N/m2
Revestimento: pr = 1000 = 1000 N/m2
Sobrecarga: se = 2000 = 2000 N/m2
Carga total por área: g = 5000 N/m2
Cálculo das reações:
ex = 4 m (lado maior)
e, = 3 m (3 32 I Jqx=50000 "2-404q = 4687,50 N/mr
3q = 5000 0_) 4q.\ = 3750 Nlm
280
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