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Tiago VFS

ProbabilidadeCondicional

Exemplo

Regra doproduto

Exemplo 5.10

Exemplo 5.11

Eventosindependentes

Particao doespacoamostral

ProbabilidadeTotal

Teorema deBayes

Exemplo 5.15

Exercıcios

Probabilidade Condicional

Prof. Tiago Viana Flor de Santanawww.uel.br/pessoal/tiagodesantana

tiagodesantana@uel.br – Sala 07

Universidade Estadual de Londrina – UELDepartamento de Estatıstica – DSTA

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Exercıcios

Probabilidade Condicional

Definicao:Seja A e B dois eventos de Ω, denomina-se probabilidade condi-cional a relacao

P(A|B) =P(A ∩ B)

P(B), P(B) > 0

Interpretacao:P(A|B) e a probabilidade de ocorrer A sabendo que ocorreu B.P(A|B): leia P de A dado B.

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ProbabilidadeCondicional

Exemplo

Regra doproduto

Exemplo 5.10

Exemplo 5.11

Eventosindependentes

Particao doespacoamostral

ProbabilidadeTotal

Teorema deBayes

Exemplo 5.15

Exercıcios

Na Tabela 5.3 do exemplo 5.6, Dado que um estudante, es-colhido ao acaso, matriculado no curso de Estatıstica, qual aprobabilidade de ser Mulher?

Tabela 5.3 Distribuicao de alunos segundo o sexo e escolha decurso.

PPPPPPPPPCursoSexo

Homens(H) Mulheres(F) Total

Matematica Pura(M) 70 40 110Matematica Aplicada(A) 15 15 30Estatıstica(E) 10 20 30Computacao(C) 20 10 30

Total 115 85 200

P(F |E ) =P(F ∩ E )

P(E )=

20/200

30/200=

2

3∼= 0, 667− Posteriori

P(F ) =85

200=

17

40= 0, 425− Priori

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Exemplo

Regra doproduto

Exemplo 5.10

Exemplo 5.11

Eventosindependentes

Particao doespacoamostral

ProbabilidadeTotal

Teorema deBayes

Exemplo 5.15

Exercıcios

Na Tabela 5.3 do exemplo 5.6, Dado que um estudante, es-colhido ao acaso, matriculado no curso de Estatıstica, qual aprobabilidade de ser Mulher?

Tabela 5.3 Distribuicao de alunos segundo o sexo e escolha decurso.

PPPPPPPPPCursoSexo

Homens(H) Mulheres(F) Total

Matematica Pura(M) 70 40 110Matematica Aplicada(A) 15 15 30Estatıstica(E) 10 20 30Computacao(C) 20 10 30

Total 115 85 200

P(F |E ) =P(F ∩ E )

P(E )=

20/200

30/200=

2

3∼= 0, 667− Posteriori

P(F ) =85

200=

17

40= 0, 425− Priori

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Exemplo

Regra doproduto

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Regra do produto

Definicao:Uma consequencia direta da definicao de probabilidade condici-onal e

P(A ∩ B) = P(B)P(A|B)

Generalizacao:

P(A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An) = P(A1) P(A2|A1) P(A3|A1 ∩ A2) . . .

. . .P(An|A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An−1)

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Exemplo

Regra doproduto

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Exemplo 5.15

Exercıcios

Uma urna contem duas bolas brancas (B) e tres vermelhas (V).Suponha que sao sorteadas duas bolas ao acaso, sem reposicao.

1 Represente o espaco amostral para esse experimento.

Ω = B1V2 , B1B2 , V1B2 , V1V2

2 Qual a probabilidade de cada resultado do experimento?

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Regra doproduto

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Exemplo 5.10

V1

V2 → V1V2 ; P(V2 ∩ V1) = P(V1)P(V2|V1)

2/4

B2 → V1B2 ; P(B2 ∩ V1) = P(V1)P(B2|V1)

2/43/5

B1

B2 → B1B2 ; P(B2 ∩ B1) = P(B1)P(B2|B1)

1/4

V2 → B1V2 ; P(V2 ∩ B1) = P(B1)P(V2|B1)

3/4

2/5

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Particao doespacoamostral

ProbabilidadeTotal

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Exercıcios

Exemplo 5.10

V1

V2 → V1V2 ; P(V2 ∩ V1) = 35× 2

4= 3

10

2/4

B2 → V1B2 ; P(B2 ∩ V1) = 35× 2

4= 3

10

2/43/5

B1

B2 → B1B2 ; P(B2 ∩ B1) = 25× 1

4= 1

10

1/4

V2 → B1V2 ; P(V2 ∩ B1) = 25× 3

4= 3

10

3/4

2/5

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Exemplo 5.15

Exercıcios

Uma urna contem duas bolas brancas (B) e tres vermelhas (V).Suponha que sao sorteadas duas bolas ao acaso, com reposicao.

1 Represente o espaco amostral para esse experimento.

Ω = B1V2 , B1B2 , V1B2 , V1V2

2 Qual a probabilidade de cada resultado do experimento?

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Exemplo 5.15

Exercıcios

V1

V2 → V1V2 ; P(V2 ∩ V1) = P(V1)P(V2|V1) = P(V1)P(V2)

3/5

B2 → V1B2 ; P(B2 ∩ V1) = P(V1)P(B2|V1) = P(V1)P(B2)

2/53/5

B1

B2 → B1B2 ; P(B2 ∩ B1) = P(B1)P(B2|B1) = P(B1)P(B2)

2/5

V2 → B1V2 ; P(V2 ∩ B1) = P(B1)P(V2|B1) = P(B1)P(V2)

3/5

2/5

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Exercıcios

V1

V2 → V1V2 ; P(V2 ∩ V1) = 35× 3

5= 9

25

3/5

B2 → V1B2 ; P(B2 ∩ V1) = 35× 2

5= 6

25

2/53/5

B1

B2 → B1B2 ; P(B2 ∩ B1) = 25× 2

5= 4

25

2/5

V2 → B1V2 ; P(V2 ∩ B1) = 25× 3

5= 6

25

3/5

2/5

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Exemplo 5.15

Exercıcios

Definicao:Dois conjuntos A e B sao ditos independentes se satisfazem

P(A|B) = P(A)

ou, o que e equivalente

P(A ∩ B) = P(A)P(B)

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Generalizacao:Uma sequencia finita de eventos A1,A2, . . .An e dita indepen-dente se satisfaz

P(Ai ∩ Aj) = P(Ai )P(Aj)

P(Ai ∩ Aj ∩ Al) = P(Ai )P(Aj)P(Al)

...

P(Ai ∩ Aj ∩ Al · · ·Ak) = P(Ai )P(Aj)P(Al) · · ·P(Ak)

Ou seja, se a probabilidade das interseccoes dos eventos combi-nados dois a dois, tres a tres, ..., n a n e igual ao produto daprobabilidade de cada evento.

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Exemplo:Os eventos A, B e C sao independentes se satisfazem

P(A ∩ B) = P(A)P(B)

P(A ∩ C ) = P(A)P(C )

P(B ∩ C ) = P(B)P(C )

P(A ∩ B ∩ C ) = P(A)P(B)P(C )

Se a ultima igualdade nao e valida, entao os eventos sao mutu-amente independentes.

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Definicao:Uma colecao de eventos Ai , i = 1, ...,m e uma particao doespaco amostral se

m⋃i=1

Ai = Ω em⋂i=1

Ai = ∅

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Definicao:Se A1,A2, ...,An formam uma particao do espaco amostral e Be qualquer evento de Ω entao

P(B) = P(A1)P(B|A1) + P(A2)P(B|A2) + . . . + P(An)P(B|An)

=n∑

i=1

P(Ai )P(B|Ai )

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Teorema:Se A1,A2, ...,An formam uma particao do espaco amostral e Be qualquer evento de Ω entao

P(Ai |B) =P(Ai )P(B|Ai )∑nj=1 P(Aj)P(B|Aj)

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Exemplo 5.15

Para selecionar seus funcionarios, uma empresa oferece aos can-didatos um curso de treinamento durante uma semana.

No final do curso, eles sao submetidos a uma prova e

1 25% sao classificados como bons (B);

2 50% sao classificados como medios (M);

3 25% sao classificados como fracos (F)

Para facilitar a selecao, a empresa pretende substituir o treina-mento por um teste contendo questoes referentes a conheci-mentos gerais e especıficos.

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Para isso, gostaria de conhecer qual a probabilidade de um in-divıduo aprovado no teste ser considerado fraco, caso fizesseo curso.

Assim, neste ano, antes do inıcio do curso, os candidatos foramsubmetidos ao teste e receberam o conceito aprovado (A) oureprovado (R).

No final do curso, obtiveram-se as seguintes probabilidades con-dicionais:

P(A|B) = 0, 80 P(A|M) = 0, 50 P(A|F ) = 0, 20

A empresa deve optar pelo teste ou pelo curso?

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Exercıcio 23

Uma companhia produz circuitos em tres fabricas, I, II e III.

A fabrica I produz 40% dos circuitos, enquanto a II e a III pro-duzem 30% cada uma.

As probabilidades de que um circuito integrado produzido por es-sas fabricas nao funcione sao 0,01, 0,04 e 0,03, respectivamente.

Escolhido um circuito da producao conjunta das tres fabricas,qual a probabilidade de o mesmo nao funcionar?

Resp.: 0,025

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Exemplo 5.15

Exercıcios

Exercıcio 23

Uma companhia produz circuitos em tres fabricas, I, II e III.

A fabrica I produz 40% dos circuitos, enquanto a II e a III pro-duzem 30% cada uma.

As probabilidades de que um circuito integrado produzido por es-sas fabricas nao funcione sao 0,01, 0,04 e 0,03, respectivamente.

Escolhido um circuito da producao conjunta das tres fabricas,qual a probabilidade de o mesmo nao funcionar?

Resp.: 0,025

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Exercıcio 24

Considere a situacao do problema anterior, mas suponha agoraque um circuito escolhido ao acaso seja defeituoso.

Determine qual a probabilidade de ele ter sido fabricado por I.

Resp.: 0,16

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Exercıcio 24

Considere a situacao do problema anterior, mas suponha agoraque um circuito escolhido ao acaso seja defeituoso.

Determine qual a probabilidade de ele ter sido fabricado por I.

Resp.: 0,16

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