Probabilidade e Estatística em Hearthstone Parte 2classes/est-prob-2019/slides/...Probabilidade e...

Probabilidade e Estatística em Hearthstone

Parte 2

Hearthstone

● Collectible Card Game (CCG)

● Desenvolvido pela Blizzard

● Lançado em 03/2014● Disponível (“grátis”)

para Windows, OS X, iOS, Android

Hearthstone

Modo Ranqueado

Modo Ranqueado

Modo Ranqueado

Modo Ranqueado

● Vitória +● Derrota -

– Exceções● Ranques 50 a 20 (new player)● Ranques 15, 10, 5

● Win streak– +2 vitórias seguidas– +– Até rank 5

Problema

● De quantos jogos preciso para chegar a Legend?

Problema

Simulaçãohttps://www.primedope.com/number-of-games-to-reach-legend-in-hearthstone/

Problema

● Quantas estrelas eu ganho em 1 partida?

● S := número de estrelas ganhas

● Valor esperado

Problema

● Quantas estrelas eu ganho em 1 partida?

● S := número de estrelas ganhas

● Valor esperado

E [s∣p]=1⋅p+(−1)⋅(1−p)

Problema

● Quantas estrelas vou ganhar em N partidas?

● s := número de estrelas ganhas

● Valor esperado

Problema

● Quantas estrelas vou ganhar em N partidas?

● s := número de estrelas ganhas

● Valor esperado

E[s∣p ,N ]=N⋅E [s∣p ,1]

=N⋅[ p−(1−p)]

Problema

● Do ranque 5 a Legend: 26 estrelas

● E[s | p=1, N=26]

Problema

● Do ranque 5 a Legend: 26 estrelas

● E[s | p=1, N=26] = 26

Problema

● Do ranque 5 a Legend: 26 estrelas

● E[s | p=0,75, N=26]

Problema

● Do ranque 5 a Legend: 26 estrelas

● E[s | p=0,75, N=26] = 13

Problema

● Do ranque 5 a Legend: 26 estrelas

● E[s | p=0,70, N=26]

Problema

● Do ranque 5 a Legend: 26 estrelas

● E[s | p=0,70, N=26] = 10,4

Problema

● Do ranque 5 a Legend: 26 estrelas

● E[s | p=0,70, N=?] = 26

Problema

● Do ranque 5 a Legend: 26 estrelas

● E[s | p=0,70, N=65] = 26

Problema

Simulaçãohttps://www.primedope.com/number-of-games-to-reach-legend-in-hearthstone/

Modo Ranqueado

Modo Ranqueado

● Vitória +● Derrota -

– Exceções● Ranques 50 a 20 (new player)● Ranques 15, 10, 5

● Win streak– +2 vitórias seguidas– +– Até rank 5

Modo RanqueadoRanque 5 Legend

Modo RanqueadoRanque 5 Legend

● P[s = 26 | p=0,7, N=26]

Modo RanqueadoRanque 5 Legend

● P[s = 26 | p=0,7, N=26]

= p26=9,39⋅10−5

Modo RanqueadoRanque 5 Legend

● P[s = 0 | p=0,7, N=26]

Modo RanqueadoRanque 5 Legend

● P[s = 0 | p=0,7, N=26]

=(1−p)26=2,54⋅10−14

Modo RanqueadoRanque 5 Legend

● P[s = 0 | p=0,7, N=26]

=(1−p)26=2,54⋅10−14

Modo RanqueadoRanque 5 Legend

● P[s = 0 | p=0,7, N=1]

Modo RanqueadoRanque 5 Legend

● P[s = 0 | p=0,7, N=1]

=(1−p)=0,3

Modo RanqueadoRanque 5 Legend

● P[s = 1 | p=0,7, N=1]

Modo RanqueadoRanque 5 Legend

● P[s = 1 | p=0,7, N=1]

= p=0,7

Modo RanqueadoRanque 5 Legend

● P[s = 1 | p=0,7, N=2]

Modo RanqueadoRanque 5 Legend

● P[s = 1 | p=0,7, N=2]

= p⋅(1−p)=0,21

Modo RanqueadoRanque 5 Legend

● P[s = 1 | p=0,7, N=3]

Modo RanqueadoRanque 5 Legend

● P[s = 1 | p=0,7, N=3]

= p⋅(1−p)2+2⋅p2⋅(1−p)=0,357

Modo RanqueadoRanque 5 Legend

● P[s = 1 | p=0,7, N=4]

Modo RanqueadoRanque 5 Legend

● P[s = 1 | p=0,7, N=4]

= P[s=0∣p=0,7,N=3]⋅p+ P[s=2∣p=0,7,N=3 ]⋅(1−p)

Modo RanqueadoRanque 5 Legend

s=0 s=1 s=2 s=3 ... s=24 s=25 s=26

s=0 1-p p 0 0 0 0 0

s=1 1-p 0 p 0 0 0 0

s=2 0 1-p 0 p 0 0 0

s=3 0 0 1-p 0 0 0 0

...

s=24 0 0 0 0 0 p 0

s=25 0 0 0 0 1-p 0 p

s=26 0 0 0 0 0 0 1

N=1

Modo RanqueadoRanque 5 Legend

s=0 s=1 s=2 s=3 ... s=24 s=25 s=26

s=0 1-p p 0 0 0 0 0

s=1 1-p 0 p 0 0 0 0

s=2 0 1-p 0 p 0 0 0

s=3 0 0 1-p 0 0 0 0

...

s=24 0 0 0 0 0 p 0

s=25 0 0 0 0 1-p 0 p

s=26 0 0 0 0 0 0 1

N=2

Modo RanqueadoRanque 5 Legend

s=0 s=1 s=2 s=3 ... s=24 s=25 s=26

s=0 1-p p 0 0 0 0 0

s=1 1-p 0 p 0 0 0 0

s=2 0 1-p 0 p 0 0 0

s=3 0 0 1-p 0 0 0 0

...

s=24 0 0 0 0 0 p 0

s=25 0 0 0 0 1-p 0 p

s=26 0 0 0 0 0 0 1

N=2

X

s=0

(1-p)

p

0

0

...

0

0

0

T

=

Modo RanqueadoRanque 5 Legend

s=0 s=1 s=2 s=3 ... s=24 s=25 s=26

s=0 1-p p 0 0 0 0 0

s=1 1-p 0 p 0 0 0 0

s=2 0 1-p 0 p 0 0 0

s=3 0 0 1-p 0 0 0 0

...

s=24 0 0 0 0 0 p 0

s=25 0 0 0 0 1-p 0 p

s=26 0 0 0 0 0 0 1

N=2

X

s=0

(1-p)² + (1-p)p

(1-p)p

p²

0

…

0

0

0

s=0

(1-p)

p

0

0

...

0

0

0

T

=

Modo RanqueadoRanque 5 Legend

s=0 s=1 s=2 s=3 ... s=24 s=25 s=26

s=0 1-p p 0 0 0 0 0

s=1 1-p 0 p 0 0 0 0

s=2 0 1-p 0 p 0 0 0

s=3 0 0 1-p 0 0 0 0

...

s=24 0 0 0 0 0 p 0

s=25 0 0 0 0 1-p 0 p

s=26 0 0 0 0 0 0 1

N=3

X

s=0

(1-p)² + (1-p)p

(1-p)p

p²

0

…

0

0

0

s=0

(1-p)

p

0

0

...

0

0

0

T

=

Modo RanqueadoRanque 5 Legend

s=0 s=1 s=2 s=3 ... s=24 s=25 s=26

s=0 1-p p 0 0 0 0 0

s=1 1-p 0 p 0 0 0 0

s=2 0 1-p 0 p 0 0 0

s=3 0 0 1-p 0 0 0 0

...

s=24 0 0 0 0 0 p 0

s=25 0 0 0 0 1-p 0 p

s=26 0 0 0 0 0 0 1

N=3

X

s=0

(1-p)² + (1-p)p

(1-p)p

p²

0

...

0

0

0

T

=

Modo Ranqueado

Resultados NuméricosJupyter

“Finding Opponent”

“Finding Opponent”

● Quanto tempo um jogador precisa esperar até encontrar um oponente?

“Finding Opponent”

● Quanto tempo um jogador precisa esperar até encontrar um oponente?

● Parâmetros● Taxa de chegada λ jogadores / s

“Finding Opponent”

● Parâmetros– Taxa de chegada λ jogadores / s

● Qual a probabilidade de chegarem k jogadores em t segundos?

“Finding Opponent”

● Parâmetros– Taxa de chegada λ jogadores / s

● Qual a probabilidade de chegarem k jogadores em t segundos?

P [X=k ]=(λ t )k

k !⋅e−λ t

“Finding Opponent”

● Parâmetros– Taxa de chegada λ jogadores / s

● Qual a probabilidade de esperar até 1 minuto?

“Finding Opponent”

● Parâmetros– Taxa de chegada λ jogadores / s

● Qual a probabilidade de esperar até 1 minuto?– Prob. de haver 0 chegadas em 1 minuto

“Finding Opponent”

● Parâmetros– Taxa de chegada λ jogadores / s

● Qual a probabilidade de esperar até 1 minuto?– Prob. de haver 0 chegadas em 1 minuto

P [X=0 ]=(λ⋅60)

0

0 !⋅e−λ⋅60

=e−λ⋅60

“Finding Opponent”

● Parâmetros– Taxa de chegada λ jogadores / s

● Qual a probabilidade de esperar até 1 minuto?– Prob. de haver pelo menos 1 chegada em 1 minuto

“Finding Opponent”

● Parâmetros– Taxa de chegada λ jogadores / s

● Qual a probabilidade de esperar até 1 minuto?– Prob. de haver pelo menos 1 chegada em 1 minuto

P [X>0]=1−P [X=0]=1−e−λ⋅60

“Finding Opponent”

● Parâmetros– Taxa de chegada λ jogadores / s

● Qual a probabilidade de esperar até 1 minuto?– Prob. de haver pelo menos 1 chegada em 1 minuto

P [X>0]=1−P [X=0]=1−e−λ⋅60

Distribuição exponencial!

“Finding Opponent”

● Parâmetros– Taxa de chegada λ jogadores / segundo– Uma partida termina em média a cada T segundos

● Qual a probabilidade de esperar até 1 minuto?

“Finding Opponent”

● Parâmetros– Taxa de chegada λ jogadores / segundo– Uma partida termina em média a cada T segundos

● Qual a probabilidade de esperar até 1 minuto?– Tempo até chegada Y– Tempo até término de partida Z– Tempo de espera W

“Finding Opponent”

● Parâmetros– Taxa de chegada λ jogadores / segundo– Uma partida termina em média a cada T segundos

● Qual a probabilidade de esperar até 1 minuto?– Tempo até chegada Y– Tempo até término de partida Z– Tempo de espera W

P [W≤60]=P [(Y≤60)∪(Z≤60)]

“Finding Opponent”

● Parâmetros

– Taxa de chegada λ jogadores / segundo

– Uma partida termina em média a cada T segundos

● Qual a probabilidade de esperar até 1 minuto?

– Tempo até chegada Y

– Tempo até término de partida Z

– Tempo de espera W

P [W≤60]=1−P [W >60]

=1−P [(Y >60)∩(Z>60)]

=1−P [Y >60]⋅P [Z>60]

=1−e−λ⋅60⋅e−(1/T )⋅60

=1−e−60⋅(λ+T−1)

“Finding Opponent”

● Parâmetros

– Taxa de chegada λ jogadores / segundo

– Uma partida termina em média a cada T segundos

● Qual a probabilidade de esperar até 1 minuto?

– Tempo até chegada Y

– Tempo até término de partida Z

– Tempo de espera W

P [W≤60]=1−P [W >60]

=1−P [(Y >60)∩(Z>60)]

=1−P [Y >60]⋅P [Z>60]

=1−e−λ⋅60⋅e−(1/T )⋅60

=1−e−60⋅(λ+T−1)

Distribuição exponencial!