Produto vetorial Anliy N. N. Sargeant José Antônio A. Andrade Mariane Urias da Silva Solange G. F....

Produto vetorialAnliy N. N. Sargeant

José Antônio A. AndradeMariane Urias da SilvaSolange G. F. Martins

Produto vetorial

e sendo vetores,v

u

é um número real u v

é um vetoru v

• Se , então por definição: //u v

0u v

Exemplo 1: De acordo com a definição acima temos:

2 0,u u

pois // 2u u

2 4 2u v u v

2 2 2u v u v

pois 2 // 2 2u v u v

0 0u

e , uma vez que0 0u

0 // .u

0,

Para definir o produto vetorial , com e não-paralelas, será preciso conhecer a área do paralelogramo formado por e .

u v

v

u

uv

u

v h

D C

BA

u h

? I

E

AB h

Do triângulo retângulo , temos que:AED

hsen

AD

hsen

v

h v sen

Substituindo em , temos que:h I

Área do paralelogramo = u v sen

• Se e não são paralelos, o produto vetorial de e é um vetor com as seguintes características: uv

uv

u v

(a) é a área de um paralelogramo determinado por

e :

u v

uv

u v u v sen

(c) O sentido de é dado pela Regra da Mão Direita.u v

(b) é ortogonal a e a . (direção)u v

uv

u

v

v u

v

u

u v

Teorema I: Sejam e vetores e um escalar, são válidas as seguintes propriedades:

v

u

(a) ,v w w v

(b) 0 //v w v w

(c) v w v w v w

isto é, o produto vetorial é anti-comutativo

Vetores canônicos

, e ˆ 0,0,1k ˆ 0,1,0j ˆ 1,0,0i

são vetores unitários (de norma igual a um) paralelos aos eixos coordenados.

eixo ˆ //i x

eixoˆ //j y

eixo ˆ //k z

Um vetor pode ser escrito em termos de uma soma:

1 2 3, ,v v v v

1 2 3, ,v v v v

1 2 31,0,0 0,1,0 0,0,1v v v

1 2 3

ˆˆ ˆv i v j v k

1 2 3,0,0 0, ,0 0,0,v v v

z

y

x

k

ji

z

y

x

1ˆv i

2ˆv j

3ˆv k

1 2 3ˆˆ ˆv v i v j v k

Relações entre os vetores canônicos

ˆ ˆi i 0

ˆ ˆi j kˆ ˆj i k

ˆ ˆj j 0

ˆj k i

i

ˆ ˆk k 0

ˆ ˆk i jˆ ˆk j ˆi k j

1 2 3 1 2 3Sejam , , e , , vetores no espaço.

Entao, o produto e dado por:

u u u u v v v v

u v

u v

1 1 1 2 1 3ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆu v i i u v i j u v i k

2 1 2 2 2 3ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆu v j i u v j j u v j k

3 1 3 2 3 3ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆu v k i u v k j u v k k

1 2 3 1 2 3, , , ,u u u v v v

1 2 3 1 2 3ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆu i u j u k v i v j v k

1 2 1 3 2 1 2 3 3 1 3 2

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆu v k u v j u v k u v i u v j u v i

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆu v i u v i u v j u v j u v k u v k

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1ˆˆ ˆu v u v i u v u v j u v u v k

2 3 3 1 1 2

2 3 3 1 1 2

ˆˆ ˆdet det detu u u u u u

i j kv v v v v v

2 3 1 3 1 2

2 3 1 3 1 2

ˆˆ ˆdet det detu u u u u u

i j kv v v v v v

Logo,

2 3 1 3 1 2

2 3 1 3 1 2

det , det ,detu u u u u u

u vv v v v v v

Para obter as componentes de :u v

1º) Escreva as componentes de e , como segue: uv

1 2 3

1 2 3

u u u

v v v

terceira componente, elimine a terceira coluna da matriz Φ e calcule

2 3

2 3

detu u

v v

1 3

1 3

detu u

v v

1 2

1 2

detu u

v v

2º) Para calcular a:

primeira componente, elimine a primeira coluna da matriz Φ e calcule o

segunda componente, elimine a segunda coluna da matriz Φ e calcule

Exemplo 2: Sejam e Determine o produto vetorial

ˆˆ ˆ2 2u i j k 3 .v i k

.u v

Exemplo 2 (novamente):

Usando os vetores , e o produto vetorial pode ser escrito como:

i j k ,u v

u v

2 3 1 3 1 2

2 3 1 3 1 2

ˆˆ ˆdet det detu u u u u u

i j kv v v v v v

1 2 3

1 2 3

ˆˆ ˆ

det

i j k

u u u

v v v

22

Q

4

3

x y

z

1

2R

P

Exemplo 3: Calcule a área do triângulo determinado pelos pontos 2,2,0 , 0,4,3 e 1,0,2 .P Q R