Prova1 Eng 2007

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ - UESC

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXATAS E TECNOLOGICAS - DCET

1a AVALIACAO - ALGEBRA LINEAR- 10/10/2007

Profa CLAUDIA SANTANA

1. Necessita-se adubar um terreno acrescentando a cada 10m2 140g de nitrato, 190 g de fosfato e 205 g

de potassio.

Dispoe-se de quatro qualidades de adubo com as seguintes caracterısticas:

(a) Cada quilograma de adubo I custa 5 u.c.p e contem 10 g de nitrato, 10 g de fosfato e 100 g de

potassio.

(b) Cada quilograma de adubo II custa 6 u.c.p e contem 10 g de nitrato, 100 g de fosfato e 30 g de

potassio.

(c) Cada quilograma de adubo III custa 5 u.c.p e contem 50 g de nitrato, 20 g de fosfato e 20 g de

potassio.

(d) Cada quilograma de adubo IV custa 15 u.c.p e contem 20 g de nitrato, 40 g de fosfato e 35 g de

potassio.

Quanto de cada adubo devemos misturar para conseguir o efeito desejado se estamos dispostos a

gastar 54 u.c.p. a cada 10 m2 com a adubacao?

2. Em cada item a seguir, classifique as afirmacoes em verdadeiras ou falsas. Mostre caso a afirmacao

seja verdadeira ou de um contra-exemplo, caso a afirmacao seja falsa.

Considere An(F ) , Bn(F ) e Pn(F ) onde F = R ou C .

(a) Se det(A) = 1 entao A−1 = A.

(b) Se A e uma matriz triangular, entao det(A) = a11 + · · ·+ ann.

(c) det(kA) = kn · det(A), k ∈ F e uma constante.

(d) Se A2 = A, e A 6= In entao det(A) = 0.

(e) det(A + B) = det(A) + det(B).

(f) Se B = P−1AP entao det(B) = det(A).

1

3. Dado o sistema a seguir:

x + y + z − 2w = −4

2y + z + 3w = 4

2x + y − z + 2w = 5

x− y + w = 4

Determine:

(a) se o sistema e possıvel e determinado, impossıvel ou possıvel e indeterminado.

(b) o determinante da matriz

0BBBBBB@ 1 1 1 −2

0 2 1 3

2 1 −1 2

1 −1 0 1

1CCCCCCA.

4. Dado o sistema linear 8>><>>: 3x + 5y + 12z − w = −3

x + y + 4z − w = −6

2y + 2z + w = 5

(a) Discuta a solucao do sistema.

(b) Acrescente a equacao 2z + kw = 9 a este sistema, encontre um valor de k que torne o sistema

impossıvel.

Em cada questao, justifique todos os seus passos.

Questao valor

1 3.0

2 3.0

3 2.0

4 2.0

BOA SORTE!!!!!!!

2

RESPOSTAS

1. RESPOSTA: Devemos colocar

64519619

kg,43819619

kg,143969619

kg,259279619

kg

dos adubos I, II, III e IV respectivamente.

Dica:

Analise o seguinte sistema:

8>>>><>>>>:x + y + 5z + 2w = 14000

x + y + 2z + 4w = 19000

100x + 30y + 20z + 35w = 205000

5x + 6y + 5z + 15w = 54000

, onde x, y, z e w representam as

quantidades, em gramas, dos adubos I, II, III e IV respectivamente.

Analise o seguinte sistema:

8>>>><>>>>:x + y + 5z + 2w = 14

x + y + 2z + 4w = 19

100x + 30y + 20z + 35w = 205

5x + 6y + 5z + 15w = 54

, onde x, y, z e w representam as

quantidades, em kilogramas, dos adubos I, II, III e IV respectivamente.

2. (a) FALSO. Considere A =

�i 0

0 −i

�Considere A−1 =

�−i 0

0 i

�(b) FALSO. Como consequencia do Teorema de Laplace temos que: det(A) =

Qni=1 aii.

(c) VERDADEIRO. Consequencia do Teorema de Laplace.

(d) VERDADEIRO. Como A2 = A ⇔ A(A − I) = 0. Daı se det(A) 6= 0 segue que ∃A−1 e portanto

terıamos A = I.

(e) FALSO. Considere A =

�1 0

0 0

�e Considere B =

�0 0

0 1

�Observe que det(A + B) = 1 e det(A) = det(B) = 0.

(f) VERDADEIRO. Use que: det(AB) = det(A) · det(B). Observe que neste item estamos supondo

que P e uma matriz inversıvel.

3. (a) O sistema e possıvel e determinado. A solucao deste sistema e (1,−1, 0, 2).

(b) det(A) = −30.

4. (a) O sistema e possıvel e indeterminado.

(b) Para k = −1 o sistema dado e impossıvel.

3