Razões trigonométricas no triângulo retângulo

Prof. Miguel -

Significado:

Trigonometria

Tri trêsgono ângulosmetria medição

Objetivo:

É o ramo da matemática que estuda a relação entre as medidas dos

lados e dos ângulos de um triângulo retângulo

Aplicação:

É empregada na navegação, na aviação, na topografia, etc.

É indispensável à engenharia e à física.

Razões trigonométricas:

Seno, cosseno e tangente no triângulo retângulo.

Considerando um ângulo agudo de um triângulo retângulo definimos:

O seno do ângulo agudo é a razão entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa.

Seno do B = Cateto oposto

hipotenusa

Sen B = b

a

Obs: Sen c

aC = B

C

Ac

ba

O cosseno do ângulo agudo é a razão entre o cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa.

Cosseno do B = Cateto adjacente

hipotenusa

Cos B = c

a

Obs: Cos C = b

aB

C

Ac

ba

A tangente do ângulo agudo é a razão entre o cateto oposto e a cateto adjacente ao ângulo.

Tangente do B = Cateto oposto

Cateto adjacente

Tg B = c

b

Obs: Tg C = b

cB

C

Ab

ca

Exemplo: N o triângulo abaixo temos:

Sen B = 5

3= 0,6 C =

5

4= 0,8Sen e

B = Cos = 0,8 C = = 0,6Cose5

4

5

3

eB = Tg = 0,75 C = Tg4

3

3

4= 1,3

B

C

A4

35

Observação:

Sen B = Cos C

Cos B = Sen C

Tg B = 1

tg C

1

tg B

Tg C = ou

Tabela de razões trigonométricas:(ângulos notáveis 30º, 45º e 60º)

30º 45º 60º

Sen

Cos

Tg

2

1

2

2

2

3

2

3

2

22

1

1 3

30º 45º 60º

Sen

Cos

Tg 2

3

3

Aplicações:1) Calcular x e y no triângulo retângulo abaixo:

a)

x Cateto oposto ao ângulo de 30º

10 hipotenusa

y Cateto adjacente ao ângulo de 30º

B

C

A y

x10

30º

Sen 30º =10

x

2

1 =

10

x

2x = 10

x = 5

Cos 30º =10

y

=

10

y

2

3

2 y = 10 3

y = 5 3

b) Cateto adjacente ao ângulo de 30ºx

500 m hipotenusay Cateto oposto ao ângulo de 30º

30º

y500 m

Sen 30º =500

y

=500

y

2

1

2 y = 500

y = 250 m

Cos 30º = 500

x

=500

x

2

3

2x = 500 3

x = 250 3

2) Veja a ilustração abaixo:

Qual o comprimento dessa rampa?

20º

c 3 m

c =342,0

3 c = 8,77 m

Sen 20º =c

30,342 c =

c

3

0,342 c = 3

O comprimento da rampa é de 8,77 m.

20º

3 mC Sen 20º = 0,342

Você sabia que a rampa para

deficientes físicos são obrigatórias em vários lugares? Em ônibus e

outros tipos de transporte também.Procure se informar

mais sobre o assunto e discuta com seus

colegas.

Aplicações das Relações Trigonométricas no Triângulo

Retângulo

1) Vamos fazer algumas experiências com medidas, utilizando: 2 palitos de sorvete, transferidor e calculadora.

a) Calcule a altura do poste próximo à sua escola. Observe o esquema abaixo:

altura da criança

palitos

distância desconhecida

ângulo

b) Faça o mesmo com a altura de um prédio.

2) Na largura de um rio ou nas metragens de

terrenos e ruas, o topógrafo utiliza um instrumento

denominado teodolito. Ele

serve para medir ângulos. Veja a

foto ao lado.

Abaixo temos um esquema que foi feito por profissionais para saber a

largura de um rio no trecho considerado.

Ache esse valor com os dados fornecidos.

55º

l

A largura do rio é de 43,55 m .

Procure se informar sobre a profissão de agrimensor e topógrafo.

l = 1,428 . 30,5

l = 43,554 m

Tg 55º = 1,428

tg 55º = 5,30

l

1,428 = 5,30

l

20º60 m

3) Um navio se encontra a 60 m. de um farol. Calcule a altura desse farol, que é visto de um ponto de observação de navio, sob um ângulo de 20º?

tg 20º = 60

h

0,364 = 60

h

h = 60 . 0,364h = 21,84 m

A altura do farol é de 21,84 m.

N farol60

h

20º

4) Determine o valor das medidas desconhecidas no triângulo:

a)

8 cm

45ºx

tg 45º = 8

x

1 = 8

x

x = 8