Rotacões I - física

Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias

Rotação

Temos tratado corpos olhando para seus centros de massa

Introduzimos o conceito de movimento do centro de massa + rotação de um

centro de massa

Vimos o movimento circular do centro de massa

Agora vamos estudar a rotação

Vamos nos concentrar na rotação de corpos sólidos e extensos

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Rotação de corpos extensos e não-sólidos

Galáxia de Andrômeda Furacão

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Cinemática do movimento circular

Começaremos com alguns conceitos familiares que usamos para descrever

o movimento circular

Deslocamento angular

Velocidade angular

Aceleração angular

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Movimento linear e circular

Relacionamos as variáreis que descrevem o movimento circular às variáveis

que descrevem o movimento linear

Deslocamento, velocidade e aceleração

Energia cinética para o movimento linear

Energia cinética para o movimento circular (partícula pontual)

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Várias partículas pontuais

Agora vamos discutir a energia cinética de várias partículas pontuais

Se assumirmos que estas partículas mantêm suas distâncias fixas em relação

umas às outras (corpo sólido, todas se movem com a mesma velocidade

angular) podemos descrever

Em que I é o momento de inércia dado por

Compare

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Cálculo da inércia rotacional

Agora usemos a expressão para o momento de inércia de partículas discretas e vamos estendê-la para corpos extensos e contínuos

Aproximamos nosso corpo como uma coleção de cubos pequenos de tamanho idêntico e de volume V e densidade

Assim como antes, tomamos o limite para o qual o volume de cada cubo vai a zero e obtemos

Compare com

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Momento de inércia para densidade constante

Se pegarmos nossos resultados para o momento de inércia e assumirmos

que a densidade é constante, obtemos

O momento de inércia para densidade constante

A massa para densidade constante

Resultado final

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Rotação de um eixo em torno do centro de massa

Podemos usar a fórmula que acabamos de derivar

para calcular o momento de inércia de um corpo com relação à rotação de um

centro de massa

Normalmente escolhemos o sistema de coordenadas que torne o cálculo o

mais fácil possível

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Alguns momentos de inércia

Cilindro sólido

Girando em torno

de um eixo de

simetria

Também descreve

um disco sólido

Cilindro oco

Girando em torno

de um eixo de

simetria

Também descreve

uma roda

Cilindro sólido girando

perpendicular ao eixo de simetria

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Cálculo de I em um cilindro oco (1)

Vamos derivar os momentos de inércia de uma roda, um cilindro oco ou um

disco oco girando em torno de seu eixo de simetria

Considere um cilindro oco com

Densidade constante

Raio externo R1

Raio interno R2

Altura h

Veremos que h é simplificada

Uma roda, um cilindro oco ou um

disco oco terão a mesma forma

em seu momento de inércia

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Cálculo de I em um cilindro oco (2)

Escolhemos as coordenadas cilíndricas para este problema

O elemento da diferencial do volume é dado por

Nas coordenadas cilíndricas, r = r

Agora calculemos a massa do cilindro oco

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Cálculo de I em um cilindro oco (3)

Para a massa obtemos

Para a densidade podemos escrever:

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Cálculo de I em um cilindro oco (4)

Agora calcule I

Insira o resultado da densidade

E finalmente obtemos

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Momento de inércia para outras formas geométricas

Bloco retangular

Girando em torno

do centro

Esfera sólida

Girando em torno

de um eixo

passando pelo

seu centro

Casca esférica fina

Girando em torno

de um eixo

passando pelo seu

centro

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Exemplo: energia cinética rotacional da Terra

Questão: Qual é a energia cinética rotacional da Terra?

Resposta:

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Momentos de inércia

Cilindro sólido

Anel cilíndrico

Cilindro oco

Haste

Esfera sólida

Esfera oca

Bloco retangular

Questão: Qual é a forma comum?

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Teorema do eixo paralelo

Agora que já resolvemos o problema do momento de inércia de um corpo

girando em torno de um eixo que passa pelo seu centro de massa, vamos ver

o momento de inércia para corpos girando em torno de um

eixo que não passa através do

centro de massa

Estabeleça os eixos do nosso

sistema de coordenadas de

modo que ele tenha eixos

paralelos aos eixos do sistema

para o qual já calculamos o

momento de inércia de rotação

em torno do centro de massa!

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Teorema do eixo paralelo (2)

Relação entre as coordenadas anteriores e as novas

Distância perpendicular das novas coordenadas

Momento de inércia do novo eixo

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Teorema do eixo paralelo (3)

É preciso avaliar as integrais individualmente

1a: I em torno do centro de massa

2a: d2M

3a e 4a: localização do centro de massa das coordenadas x e y => entretanto por construção estas integrais são 0.

Resultado final:

Modo geral de escrever qualquer momento de inércia

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Rolamento

Vamos dizer que temos um objeto arredondado com raio R e rolando

sem escorregar

Este objeto tem uma relação especial entre suas quantidades lineares

e angulares

Deslocamento e deslocamento angular

Velocidade e velocidade angular

Aceleração e aceleração angular

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Rolamento e energia cinética

Um objeto rolando tem ambas as energias cinéticas de translação e de

rotação

Usamos nosso conhecimento sobre a relação entre as quantidades linear e

angular para obter

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Corrida de rolamento

A aceleração de um objeto pela gravidade independe da massa deste objeto

(queda livre)

E no rolamento, a massa importa?

Próxima pergunta: o raio importa?

Vamos observar o caso de três objetos de mesma massa, mesmo raio mas

diferente distribuição da massa, rolando por um plano inclinado

Uma esfera maciça

Um cilindro maciço

Um cilindro oco

Qual deles vencerá?

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Explicação da corrida

Podemos escrever a energia de cada objeto

Cesfera = 0,4 , menor denominador, maior v

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"Loops" (1)

Uma esfera maciça é solta a partir do repouso e rola

através de um plano inclinado, entrando em um

segmento circular de raio R.

Questão:

De que altura h mínima a esfera deve ser solta para

que não caia durante o traçado no “loop”?

Resposta:

A chave para resolver este problema é dar-se conta de

que no topo do "loop" a aceleração centrípeta tem que

ser maior ou igual à aceleração gravitacional

gacv2

R

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"Loops" (2)

A energia potencial em h é

A energia potencial no topo do “loop” é

A energia cinética é

A conservação de energia nos dá

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"Loops" (3)

Solução de v2

Coloque nossa condição para que a bola não caia do traçado

Solução de h nos dá

Inserindo c = 2/5 para uma esfera