Apostila Física Moderna I

8/14/2019 Apostila Física Moderna I

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NOTAS DE AULAS DEFÍSICA MODERNA

Prof. Carlos R. A. Lima

CAPÍTULO 1

TEORIA DA RELATIVIDADE ESPECIAL

Primeira Edição – junho de 2005



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CAPÍTULO 1 – TEORIA DA RELATIVIDADE ESPECIAL

Í NDICE

1.1- Introdução1.2- Transformações de Galileu1.3- Relatividade Newtoniana1.4- Eletromagnetismo e Relatividade Newtoniana1.5- Experiência de Michelson - Morley1.6- Tentativas para se “Salvar o Éter”

1.6.1- Hipótese da Contração de Lorentz - Fitzgerald1.6.2- Hipótese do Arrastamento do Éter

1.7- Postulados da Teoria da Relatividade Especial

1.8- Cinemática Relativística1.8.1- Sincronização e Simultaneidade1.8.2- Transformações de Lorentz1.8.3- Transformação de Velocidades1.8.4- Efeito Doppler na Relatividade1.8.6- Diagramas Espaço – Tempo1.8.6- Intervalo no Espaço – Tempo1.8.7- Paradoxo dos Gêmeos

1.9- Dinâmica Relativística1.9.1- Momento Relativístico1.9.2- Energia Relativística1.9.3- Transformações do Momento, Energia, Massa e Força.1.9.3- Invariância da Energia de Repouso1.9.4- Partículas sem Massa

Nessa apostila aparecem seções, sub-seções e exemplos resolvidos intitulados como

facultativos . Os assuntos que se referem esses casos, podem ser dispensados pelo professordurante a exposição de aula sem prejuízo da continuidade do curso de Estrutura da Matéria.Entretanto, é desejável que os alunos leiam tais assuntos e discutam dúvidas com o professorfora do horário de aula. Fica a cargo do professor a cobrança ou não dos tópicos facultativos.

Excluindo os tópicos facultativos, esse capítulo deve ser abordado no máximo em 6 aulas de quatro créditos .



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Lista de Exercícios

1- A vida média própria dos píons é . Se um feixe de píons tiver a velocidade de′ = × −τ 2 6 108. s

v c= 0 85. , (a) qual seria o respectivo tempo de vida média τ medido no laboratório? (b) Qual adistância L que os píons percorreriam, em média, antes de decaírem? (c) Qual seria a sua resposta àindagação da parte (b) se você não levasse em conta a dilatação dos tempos? Resp.: (a)

, (b)τ = × −4 94 10

8. s L m= 12 6. , (c) ′ = L m6 63. .

2- Uma nave espacial parte da terra em direção à alfa do Centauro, que está a 4 anos-luz de distância.A nave espacial desloca-se com a velocidade v c= 0 75. . Quanto tempo leva a nave para chegar ao seudestino (a) no referencial da terra? (b) no referencial de um passageiro da nave? Resp.(a) ∆t anos= 5 33. , (b) ∆ ′ =t anos353.

3- Qual deve ser a velocidade v de um múon para que a sua vida média seja τ = 46 s , sabendo-se

que a vida média em repouso é ′ =τ 2 s ? Resp. v c= 0 9991.

4- Qual deve ser a velocidade de uma vara de um metro, no referencial de um observador, para que oseu comprimento, medido pelo observador, seja , quando a vara se move na direção do próprio

eixo? Resp.:

50cm

2 6 108

. / × m s .

5- Observadores num referencial S vêm uma explosão localizada em . Uma segunda

explosão ocorre

x1

480= m

∆t s= 5 depois, em x2

1200m= . Num referencial S' , que se move sobre o eixo dos

+ x , com velocidade v para a direita, um observador nota que as explosões ocorrem num mesmo pontodo espaço. Evidentemente, para ele é o referencial S que se move para a esquerda com uma velocidade−v como mostra a figura abaixo. Qual a separação, no tempo ∆ ′t , entre as duas explosões, noreferencial S' ? Resp.: ∆ ′ =t s4 39. .

6- Os aviões supersônicos a jato têm velocidades máximas da ordem de 3 106

× −c . (a) Qual a contração

percentual do comprimento ∆ L% de um jato que estiver com esta velocidade, visto num referencialligado à terra? (b) Durante um intervalo de tempo de1 315 10

7ano s= ×. , marcado num relógio na terra,,

quantos minutos ∆ ∆ ∆T t t = − ′ perde o relógio do piloto em cada ano do relógio da terra? (Sugestão:

Defina contração percentual relativa como ∆ LL L

L% =

′ −

′

F H G

I K J ×100 , e observe que nesse caso v c<<

e portanto,1

1 11

2

2

2

1 22

2γ = −

F H G

I K J

≅ −v

c

v

c

/

). Resp.: (a) , (b)∆ L% . % = × −4 5 10

10 ∆T = × −2 37 10

6. min

′S

S

−v

x m2

1200=−v

′S

x m1

480=

S

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7- Um relógio está num satélite em órbita terrestre, com um período de T = 90min .Considerando o

raio da Terra e a velocidade do satélite RT = ×637 10

6. m v

T R

T =2π

, qual é o intervalo de período ∆T

que mede a diferença entre a leitura deste relógio e a de um outro, idêntico a ele, que ficou na Terra,

depois de um intervalo de tempo ∆t ano s= = ×1 316 107. ? .(Sugestão: Observe que nesse caso

e portanto,v << c1

1 11

2

2

2

1 22

2γ = −

F

H

GI

K

J ≅ −v

c

v

c

/

). Resp.: ∆T ms≈ 9 64. .

8- Uma estudante, na Terra, ouve num rádio uma gravação que parece estar sendo tocada num discoque gira muito depressa. A gravação é de um disco que sendo tocado por uma emissora de uma naveespacial, que se aproxima da terra com a velocidade v . Tendo um disco de 33 rpm, da mesmagravação, a estudante observa que o som é o mesmo que o do seu disco tocado a 78 rpm, isto é, arazão entre a freqüência de aproximação ν ap e a freqüência emitida ′ν é dada por 78 33. Qual deve

será a velocidade da nave? Resp.: v c= 0 696. .

9- Uma galáxia distante se afasta da Terra com a velocidade v m s= ×185 107. / . Calcular o

deslocamento relativo para o vermelho

λ λ

λ

af − ′

′

d ina luz proveniente da galáxia. Resp.: .0 0637.

10- A luz do sódio, de comprimento de onda ′ =λ 589nm , está sendo emitida por uma fonte que seafasta da terra com a velocidade v . Qual deve ser o valor desta velocidade, se o comprimento de ondamedido no referencial da terra é λ af nm= 620 . Resp.: v c= 0 0512. .

11- Um amigo seu, que tem a mesma idade, viaja para a alfa do centauro, que está ade distância, e retorna imediatamente. Ao voltar seu amigo assegura que a

viagem toda durou exatamente′ = = L anos luz c anos4 4. .

∆t anos= 6 . Qual a velocidade v com que viajou? (Sugestão: Note quepara o seu amigo é a terra que se move como velocidade −v ). Resp.: v c= 0 8. .

12- Uma nave espacial desloca-se da terra para um sistema estelar à distância de ′ = L c anos12 . (medida no referencial da terra). A viagem leva um tempo ∆t anos= 15 , no referencial da nave. (a) Quala velocidade v da nave em relação à terra? (b) Quando a nave chega ao seu destino, envia um sinalpara a terra. Quantos anos se passam até que a terra receba este sinal? (Sugestão: Note também aquique para a nave é a terra que se move como velocidade −v , e considere a duração da viagem da naveno referencial da terra no cálculo do tempo total para o sinal chegar a terra). Resp.: (a) v c= 0 625. , (b)T t anos anos= ′ + =∆ 12 312. .

13- Duas naves espaciais estão se aproximando uma da outra. (a) Se a velocidade de cada uma delasfor 0,6c, em relação à Terra, qual é a velocidade de uma em relação à outra? (b) Se a velocidade decada uma delas em relação à Terra for 30.000 m/s (cerca de 100 vezes a velocidade do som), qual a

velocidade de uma em relação à outra? Resp.: (a) u c x = −0 882, , (b) .u m x ≈ − − ×

−

60000 6 10

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/ s 14- Uma vara, de comprimento próprio , faz o ângulo L

pθ com o eixo dos x , num referencial S como

mostra a figura abaixo. Mostrar que o angulo ′θ que a vara faz com o eixo dos ′ x num outro referencial′S , que se move com a velocidade v sobre o eixo dos x em S , é dado por tg tg′ =θ γ θ e que o

comprimento da vara, em ′S é , ′ = + L L sen p

12

2 2

γ θ θ cos .

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′ Lv

′ = y y

′ x

′θ

L p

x

θ

y

′SS

15- A equação da frente de onda esférica de um pulso de luz que principia na origem, no instante t = 0 éx 2 + y 2 + z 2 - (ct)2 = 0 . Usando a transformação de Lorentz, mostrar que este pulso de luz também temuma frente de onda esférica no referencial S' pois, neste referencial, x' 2 + y’ 2 + z’ 2 - (ct’)2 = 0 .

16- Dois eventos em S estão separados pela distancia D = x 2 – x 1 e pelo intervalo de tempo T = t 2 – t 1.(a)Usar a transformação de Lorentz pare mostrar que no referencial S ', que se move com a velocidade V

em S , a separação no tempo é t t T vD

c2 1 2′ − ′ = −

F H G

I K J γ . (b) Mostrar que os eventos podem ser simultâneos

no referencial S' somente se D for maior que cT . (c) Se um dos eventos for a causa do outro, a

separação D deve ser menor que cT pois D/c é o menor tempo que um sinal leva para percorrer adistancia entre x 1 e x 2 no referencial S . Mostrar que se D for menor que cT , então t'2 é maior que t'1 emtodos os reverenciais. Isto mostra que se uma causa precede o seu efeito, num certo referencial, amesma causa precederá o seu efeito em todos os outros reverenciais. (d) Suponhamos que um sinalpudesse ser enviado com velocidade c'> c , de modo que no referencial S a causa precedesse o efeitopelo tempo T = D/c' . Mostrar que há então um referencial que se move com a velocidade v menor que c no qual o efeito precede a causa.

17- Um amigo da sua idade viaja para Alfa do Centauro, a 4 anos-luz de distância, e voltaimediatamente. Ele afirma que a viagem durou apenas 6 anos. (a) Com que velocidade seu amigoviajou? (b) Qual a diferença de idade entre vocês dois quando voltaram a se encontrar? (c) Desenhe umdiagrama espaço - tempo para confirmar as respostas dos itens (a) e (b).

18- No referencial S, o evento B ocorre 2µs depois do evento A e a uma distância ∆ x km= 15, desteevento. (a) Qual deve ser a velocidade de um observador no sentido positivo do eixo x para que os doiseventos ocorram simultaneamente? (b) É possível que o evento B preceda o evento A para algumobservador? (c) Desenhe um diagrama espaço – tempo que ilustre as respostas aos itens (a) e (b). (d)Determine o valor do intervalo no espaço – tempo e a distância própria entre os eventos.

19- Os referenciais S e S´ estão se movendo com os eixos x e x´ paralelos. Seus relógios são ajustadospara no momento em que as origens dos dois referenciais coincidem .No referencial S, oevento 1 ocorre em e t

t t = ′ = 0

x ano luz1

1= − ano1

1= e o evento 2 ocorre em x anos lu2

2 z= − e t anos2

0 5= , .Estes eventos ocorrem simultaneamente no referencial S´. (a) Mostre esses eventos num diagramaespaço - tempo (b) Determine o módulo e direção da velocidade em S´ em relação a S. (c) Em que

instante estes eventos ocorrem no referencial S´? (d) Calcule o intervalo no espaço – tempo ∆s entre oseventos. (e) O intervalo é do tipo espacial, temporal ou luminoso? (f) Qual é a distância própria entre

os eventos?

L p

20- Um elétron, com a energia em repouso 0,511 MeV, move-se com a velocidade u = 0,2c. Achar aenergia total, a energia cinética e o momento. Resp.: (a) E MeV = 0 522, , (b) K Mev= 0 0105, , (c)

. p Mev= 0 104, / c

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21- Um próton, com a energia em repouso de 938 MeV, tem a energia total 1400 MeV. (a) Qual a suavelocidade? (b) Qual o seu momento? Resp.: (a) u c= 0 74, , (b) p Mev c= 1034 / .

22- Qual a energia cinética K que seria necessária para acelerar uma partícula de massa m 0 desde orepouso até a velocidade de (a) 0,5c (b) 0,9c e (c) 0,99c ? Exprimir as respostas como múltiplos daenergia de repouso. Resp.: (a) , (b)K E = 0 155

0, K E = 1 294

0, , (c) K E = 6 089

0, .

23- Se a energia cinética K de uma partícula for igual à sua energia de repouso E o , qual o erro que secomete em usar como o seu momento? Resp.: p p m v= =

0 0erro = 50% .

24- Qual o erro percentual que se comete tomando-se1

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2m v como a energia cinética de uma partícula

quando a sua velocidade for (a) v c= 0 1, e (b) v c= 0 9, . Resp.: (a) erro = 0 751%, , (b) erro = 68 7%, .

25- O sol irradia energia à taxa de P=4 × 10 26 W , aproximadamente. Vamos admitir que esta energia sejaoriginada por uma reação nuclear cujo resultado é a fusão de 4 núcleos de H para formar um núcleo deHe , com a libertação de de energia por núcleo de He formado. Calcular o

número

E MeV 0

1225 4 10= = ×

− J

N E E P t E = =∆ ∆0 0

de reações nucleares e a perda da massa em repouso ∆ M Nm0 0

= ,

ocorridas no sol durante um dia, ou .∆t s= ×8 64 104, 26- Uma partícula, que tem a massa em repouso de 1 MeV/c 2 e energia cinética 2 MeV , colide com umapartícula estacionária de massa em repouso de 2 MeV/c 2 . Depois da colisão, as partículas ficamreunidas. Achar (a) a velocidade da primeira partícula antes da colisão, (b) a energia total da primeirapartícula antes da colisão, (c) o momento total inicial do sistema, (d) a energia cinética total depois dacolisão e (e) a massa em repouso do sistema depois da colisão. Resp.: (a) , (b)u c

10 943= , E MeV

13= ,

(c) , (d) , (e) p MeV 1

2 83= , / c eV M c MeV 0

24 12= , K M f = 0 88, .

27- O raio da órbita de uma partícula carregada, num campo magnético, está relacionado com omomento da partícula por p BqR= . Esta equação vale classicamente com p mu= e relativisticamente

com pm u

u c=

−

0

2 21

. Um elétron com a energia cinética K MeV = 150, , se desloca sobre uma órbita

circular perpendicular a um campo magnético uniforme B T = ×−

5 103 . (a) Achar o raio da órbita. (b) Qual

o resultado que se obteria se fosse usada a relação clássica p mu= e K p m=22 ? Considere nos

cálculos , para a carga do elétron, para a massa do elétron e

para a energia de repouso do elétron. Resp.:

e = × −1 6 10

19, C Kg

eV

me = ×−

91 1031

.

E M 0

0511= . R m= 1 3, , (b) R m= 0 826, .

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CAPÍTULO 2

RADIAÇÃO TÉRMICA E CORPO NEGRO




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CAPÍTULO 2 – RADIAÇÃO TÉRMICA E CORPO NEGRO

Í NDICE

2.1- Introdução2.2- Corpo Negro2.3- Teoria Clássica da Radiação de Cavidade de Rayleigh - Jeans2.4- Teoria de Planck da Radiação de Cavidade

Nessa apostila aparecem seções, sub-seções e exemplos resolvidos intitulados comofacultativos . Os assuntos que se referem esses casos, podem ser dispensados pelo professordurante a exposição de aula sem prejuízo da continuidade do curso de Estrutura da Matéria.Entretanto, é desejável que os alunos leiam tais assuntos e discutam dúvidas com o professorfora do horário de aula. Fica a cargo do professor a cobrança ou não dos tópicos facultativos.




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1- Um corpo negro tem que ser necessariamente negro? Explique o termo corpo negro.

2- Um pedaço de metal brilha com uma cor avermelhada a 1100 K. Entretanto, nessa mesmatemperatura, um pedaço de quartzo não brilha. Explique este fato sabendo-se que, ao contráriodo metal, o quartzo é transparente à luz visível.

3- Uma das primeiras tentativas de se explicar a distribuição espectral de um corpo negro foifeita por Rayleigh – Jeans, a partir de conceitos clássicos da termodinâmica. Em que região doespectro eletromagnético a lei de Rayleigh – Jeans não se verifica, e que fato ficou conhecidocomo catástrofe do ultravioleta?

4- Na tentativa de explicar os resultados experimentais observados no espectro de um corponegro, Planck concluiu que o problema estava principalmente num conceito clássico datermodinâmica. Qual seria esse conceito, e que alteração foi sugerida por Planck ? Essaalteração invalida conceitos clássicos da termodinâmica, ou redefine esses conceitos de modoa incluir os casos clássicos como particulares? Explique.

5- Em muitos sistemas clássicos as freqüências possíveis são quantizadas, tal como porexemplo a propagação de ondas sonoras num tubo ressonante. Nestes casos, a energiatambém é quantizada? Explique.

6- Em que comprimento de onda um radiador de cavidade a 6000 K irradia mais por unidade decomprimento de onda? Resp.: 4830 Ao.

7- Um radiador de cavidade a 6000 K tem um orifício de 0,10 mm de diâmetro feito em suaparede. Ache a potência irradiada através do orifício no intervalo de comprimentos de ondaentre 5500 Ao a 5510 Ao. Resp.: 7,53 W.

8- Em uma explosão termonuclear, a temperatura no centro da explosão é momentaneamente10

7 K . Ache o comprimento de onda para o qual a radiação emitida é máxima.

9- A uma dada temperatura, para uma cavidade de corpo negro. Qual seráλ max

= 6500 Ao

λ max

se a taxa de emissão de radiação espectral for duplicada?

10- Faça uma estimativa para encontrar o comprimento de onda em que corpo humano emitesua radiação térmica máxima?

11- Utilizando a relação P ekT

kT

ε

ε

a f =

−

mostre que ε ε ε ε = =

∞

z P d kT a f0

.

12- Quando o sol está no zênite, a energia térmica incidente sobre a superfície da terra é cercade 1 4 . O diâmetro do sol é da ordem de 1 6 e a distância da terra ao sol

é de aproximadamente 1 3 . Supondo que o sol irradie como um corpo negro, use aequação de Rayleigh-Jeans para estimar a temperatura na sua superfície.

106

, / × ergs cm s2

1011

, × cm

1013

, × cm

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13- Na determinação clássica da energia média total de cada modo da radiação no interior deuma cavidade ressonante, adotou-se a lei da equipartição da energia. De acordo com essa lei,moléculas de um gás que se movem em equilíbrio térmico a uma temperatura T , a energia

cinética média por grau de liberdade da molécula é1

2kT . Essa lei poderia ser aplicada ao

problema do corpo negro desde que se adotasse um modelo mecânico de oscilador harmônicopara as partículas que compõe as paredes da cavidade, como se fossem pequenos sistemas

massa – molas, de modo que a energia potencial também deveria se incluída na determinaçãoda energia total. A vibração dessas partículas, por conseqüência da temperatura, daria origemas vibrações dos campos elétricos associados as ondas eletromagnéticas transversais.Baseado nesse modelo mecânico, conclui-se que a energia média total por grau de liberdadedeveria ser , isto é, o dobro da energia cinética média que se esperaria para cada partículaoscilante. Considerando-se que a energia total de um oscilador harmônico simples é

kT

1

2

1

2

2mv kx+ 2

K m

, onde é a constante elástica da mola, é a massa da partícula, sua

velocidade e sua posição em cada instante de tempo, mostre que essa energiatotal é o dobro da energia cinética média.

k m v

x x t =0

cosω

14- Obtenha a lei do deslocamento de Wien, λ , a partir da função

distribuição espectral de um corpo negro obtida por Planck

máxT = × ×−2 898 10

3,

ρ λπ

λ λT hc kT

hc

eb g =

−

8 1

15

. (Sugestão:

faça a substituição de variável xhc

kT =

λ, e reescreva a função distribuição na forma

ρ λπ

T

kT

h cg xb g

b gb g=

25

4 3, onde g x

x

e x

b g =−

5

1descreve a forma universal do espectro de um corpo

negro para qualquer temperatura. Encontre o valor para o qual a função é máxima,

derivando-a em relação a

xmáx g xb g

x e igualando a zero. Use esse valor na equação x hckT

máx

máx

=λ e

obtenha o resultado procurado).

15- Suponha que a radiação de uma cavidade de corpo negro a 5000K está sendo examinadaatravés de um filtro passa banda de ∆λ = 2nm centrado no comprimento de onda λ máx

, do picodo espectro. Se o orifício da cavidade é um círculo de raio r cm= 1 , encontre a potência P transmitida pelo filtro. (Sugestão: Usualmente, a potência irradiada seria calculada por

R RT T

nm

nm

= d z λ λb g579

581

multiplicada pela área do orifício. Entretanto, ∆λ é pequeno o suficiente para

permitir uma aproximação do tipo , em que R RT = ≈área abaixo da curva λb g∆λT máx λ máx pode sercalculado utilizando-se a lei do deslocamento de Wien). Resp.: P W ≈ 25 3, .

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CAPÍTULO 3

PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO




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CAPÍTULO 3 – PROPRIEDADES CORPUSCULARESDA RADIAÇÃO

Í NDICE 3.1- Efeito Fotoelétrico3.2- Efeito Compton3.3- Natureza Dual da Radiação3.4- Produção de Raios X3.5- Produção e Aniquilação de Pares





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1- Nas experiências do efeito fotoelétrico, a fotocorrente é proporcional à intensidade da luz. Esse resultadoisolado pode ser usado para distinguir as teorias quântica e clássica? Explique.

2- Por que mesmo para radiações incidente monocromáticas os fotoelétrons são emitidos com diferentesvelocidades?

3- O limiar fotoelétrico é considerado como sendo a objeção mais evidente da teoria ondulatória. Expliqueessa afirmativa.

4- (a) A energia necessária para que um elétron seja removido do sódio é 2 3. eV . Pode-se observar o efeito

fotoelétrico no sódio utilizando-se radiação de comprimento de onda ? (b) Qual é o

comprimento de onda limiar para a emissão fotoelétrica do sódio? Resp.: (b) 5400

λ = 5890 Ao

Ao .

5- Radiação de comprimento de onda 2000 Ao incide sobre uma superfície de alumínio. Para o alumínio, são

necessários para remover um elétron. Qual é a energia cinética do fotoelétron emitido (a) mais rápidoe (b) mais lento? (c) Qual é o potencial frenador? (d) Qual o comprimento de onda limiar para o alumínio? (e)

Se a intensidade da luz incidente é

4 2. eV

2 02

. / W m , qual é o número médio de fótons por unidade de tempo e

por unidade de área que atinge a superfície?6- A função trabalho para uma superfície de Lítio é 2 3. eV . Faça um esboço do gráfico do potencial frenador

em função da freqüência da luz incidente para uma tal superfície, indicando suas características

importantes.

V 0

7- O potencial frenador para fotoelétrons emitidos por uma superfície atingida por luz de comprimento de

onda éλ = 4910 Ao

0 71. V . Quando se muda o comprimento de onda da radiação incidente, encontra-separa este potencial um valor de 143. V . Qual é o novo comprimento de onda?

8- Numa experiência fotoelétrica na qual se usa luz monocromática e um fotocatodo de sódio, encontra-se

um potencial frenador de 185. V para , e deλ = 3000 Ao

0 82. V para . Destes dados,determine (a) o valor da constante de Planck, (b) a função trabalho do sódio, e (c) o comprimento de ondalimiar para o sódio? Resp.: (a) 6 6

λ = 4000 Ao

1034

. × ×−

J s , (b) 2 3. eV , (c) 5400 Ao .

9- Considere uma incidência de luz sobre uma placa fotográfica. A luz será “gravada” se houver umadissociação de moléculas de AgBr da placa. A energia mínima necessária para dissociar essas moléculas é

da ordem de 1019−

J . Calcule o comprimento de onda limiar, acima do qual a luz não vai sensibilizar a placafotográfica.

10- (a) É mais fácil observar o efeito Compton com alvos compostos de átomos com número atômico alto oubaixo? Explique. (b) O efeito Compton pode ser observado com luz visível? Explique. (c) Discuta oespalhamento Thomson, comparando-o com o espalhamento Compton.

11- Fótons de comprimento de onda incidem sobre elétrons livres. (a) Ache o comprimento de

onda de um fóton espalhado de um ângulo de em relação à direção de incidência e a energia cinética

transmitida ao elétron. Resp.: (a)

λ = 0 024. Ao

30o

0 027. Ao , 0 057. MeV , (b) 0 060. A

o , 0 31. MeV .

12- Um fóton de energia inicial 10 que se move no sentido positivo do eixo x, incide sobre um

elétron livre em repouso. O fóton é espalhado de um ângulo de , dirigindo-se no sentido positivo do eixoy. Ache as componentes do momento do elétron.

105

. × eV

90o

33



13- Qual é a energia cinética máxima possível de um elétron envolvido no processo Compton em termos da

energia do fóton incidente hν e da energia de repouso do elétron ?m co

2

14- Determine a variação máxima do comprimento de onda no espalhamento Compton de fótons por prótons.

Resp.: 2 64 105

. ×−

Ao .

15- Pensando nas energias dos elétrons num tubo de televisão, você esperaria que esse eletrodomésticopoderia emitir raios X? Explique.

16- Quais efeitos que se tem sobre o espectro resultante quando se diminui a voltagem num tubo de raios X?

17- Discuta o processo de bremsstrahlung como sendo o inverso do efeito Compton e do efeito fotoelétrico.

18- (a) Mostre que o comprimento de onda mínimo no espectro contínuo de raios X é dado por

λ min

.= 12 4 A V o , onde V é a voltagem aplicada em quilovolts. (b) Se a voltagem aplicada a um tubo de

raios X é 186 kV, qual deve ser o valor de λ min

?

19- (a) Qual a voltagem mínima que deve ser aplicada a um tubo de raios X para que seja produzido raios X

com o comprimento de onda Compton do elétron? E com o comprimento de onda de 1 Ao ? (b) Qual é a

voltagem mínima necessária para que a radiação de bremsstrahlung resultante seja capaz de produzir umpar?

20- Um raio γ de comprimento de onda incide sobre um elétron inicialmente em repouso e é retro

espalhado. Calcule o comprimento de onda do raio

0 005. nm

γ espalhado e a energia cinética , em keV , do elétronrecuado.

21- Um raio γ de comprimento de onda incide sobre um elétron inicialmente em repouso. O

elétron é recuado com energia cinética de 60 . Calcule a energia do raio

0 0062. nm

keV γ espalhado, em keV , e

determine a direção de espalhamento. Resp.: 140keV , 95 .0

22- Um raio γ cria um par elétron - pósitron. Mostre diretamente que, sem a presença de um terceiro corpopara absorver uma parte do momento, a energia e o momento e o momento não podem conservarsimultaneamente. (Sugestão: Iguale as energias e mostre que isto implica em momentos diferentes antes edepois da interação).

23- Um raio γ pode produzir um par elétron - pósitron na vizinhança de um elétron em repouso, da mesmamaneira que na vizinhança de um núcleo, como representado abaixo:

γ + → + +− − −

e e e e+

Mostre que nesse caso a energia mínima é 4 . (Sugestão: Suponha que as três partículas se afastam

juntas e determine a energia mínima do fóton0

2m c

ε ν = hmin

para que o processo possa ocorrer. Use as leis da

conservação do momento linear e da energia, para mostrar que vc

m c=

+

ε

ε 0

2, ou 1

22

2

0

2

0

2 4

0

22

− =+

+

v

c

m c m c

m c

ε

ε c h

. Substitua esses resultados na equação resultante da conservação do momento e mostre que

ε ν = =−

=hm c m c

m cmin

9

24

0

2

0

2

0

2 ).

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CAPÍTULO 4

MODELOS ATÔMICOS




CAPÍTULO 4 – MODELOS ATÔMICOS

Í NDICE

4.1- Modelo de Thomson4.2- Modelo de Rutherford

4.2.1- Trajetória da Partícula α Espalhada4.2.2- Cálculo Estatístico do Espalhamento de Partículas α 4.2.3- Cálculo da Seção de Choque de Espalhamento

4.3- Espectro Atômico4.4- Modelo de Bohr4.5- Experimento de Franck e Hertz4.6- Integral de Ação e Regras da Quantização

4.7- Modelo de Sommerfeld



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m1- O modelo de Thomson para o átomo de hidrogênio prevê um freqüência única de oscilação para o elétron.Considerando o raio do átomo de hidrogênio como sendo R n= 0 05, , calcule o comprimento de onda daradiação emitida por esse átomo.

2- Qual deve ser o raio de um átomo de um elétron, no modelo de Thomson, para que ele irradie um linha

espectral de comprimento de onda λ = 600nm ?

3- Por que é necessário considerar uma folha fina em experiências que visam verificar a fórmula doespalhamento de Rutherford?

4- Compare a atração gravitacional entre um elétron e um próton no estado fundamental de um átomo dehidrogênio com a atração coulombiana entre eles. É razoável ignorar a atração gravitacional nesses casos?

Resp.: F F grav elet

≈ −10

40 .

5- A fórmula do espalhamento de Rutherford não está de acordo para ângulos de espalhamento muitopequenos. Explique o motivo disso.

6- Em que a relação 1 12

12

r bsen D

b= +ϕ ϕ cosa f− , que dá a trajetória de uma partícula que se move sob

ação de uma força coulombiana repulsiva proporcional ao inverso do quadrado da distância , difere dadedução da trajetória de um planeta que se move sob influência do campo gravitacional do sol?

7- Qual é a distância de maior aproximação de uma partícula α com 5 30, MeV a um núcleo de cobre em

uma colisão frontal? Resp.: 15 .8 1015

, × − m

8- Um feixe de partículas α de energia 3 MeV bombardeia uma lâmina de alumínio. Determine a distânciaD de menor aproximação ao núcleo do átomo de alumínio associada a uma colisão frontal e o número denúcleos por unidade de volume na lâmina, sabendo-se que o número atômico do alumínio é 13, o número de

massa é 27 e a densidade é ρ = 2 70

3

, g cm .

9- De acordo com a mecânica clássica, um elétron deve sempre se mover em um átomo com qualquermomento angular. Entretanto, de acordo a teoria de Bohr para o átomo de hidrogênio, o momento angular équantizado na forma L nh= 2π . O princípio da correspondência pode reconciliar essas duas afirmações?Explique.

10- Mostre que a constante de Planck tem unidades de momento angular.

11- Para as órbitas do átomo de hidrogênio de Bohr, a energia potencial é negativa e maior em módulo doque a energia cinética. Qual a implicação disso?

12- Um átomo de hidrogênio pode absorver um fóton cuja energia exceda sua energia de ligação 13 ?6,eV

13- A energia de ionização do deutério é diferente da do hidrogênio? Explique.

14- Mostre que a freqüência de revolução de um elétron no modelo atômico de Bohr para o átomo dehidrogênio é dada por ν = 2 E hn , onde E é a energia total do elétron.

15- (a) Mostre que no estado fundamental do átomo de hidrogênio a velocidade do elétron pode ser escritacomo v c= α , onde α é a constante de estrutura fina. (b) A partir do valor de α , o que se pode concluir arespeito do fato de se desprezar os efeitos relativísticos nos cálculos de Bohr?



16- (a) Calcule os três maiores comprimentos de onda da série de Balmer a partir da fórmula de Bohr. (b) Asérie de Balmer está entre que limites de comprimento de onda?

17- Calcule o menor comprimento de onda da série de Lyman, da série de Paschen e da série de Pfund parao átomo de hidrogênio. Em qual região do espectro eletromagnético está cada uma?

18- Quanta energia é necessária para remover um elétron de um átomo de hidrogênio em um estado com?n = 8

19- Um átomo de hidrogênio é excitado de um estado com n = 1 até n = 4 . (a) Calcule a energia que deveser absorvida pelo átomo. (b) Calcule e trace sobre um diagrama de níveis de energia as energias dosdiferentes fótons que serão emitidos se o átomo voltar a seu estado n = 1 . (c) Calcule a velocidade de recuodo átomo de hidrogênio, ao fazer uma transição de n = 4 a n = 1 em um único salto quântico, supondo queele está inicialmente em repouso.

20- Um átomo de hidrogênio com energia de ligação ( energia necessária para remover um elétron) desofre uma transição para um estado com energia de excitação (diferença de energia entre este

estado e o fundamental) de 10 . (a) Calcule a energia do fóton emitido. (b) Mostre essa transição em umdiagrama de níveis de energia para o hidrogênio, designando os números quânticos apropriados.

0 85, eV

2, eV

21- Calcule a energia necessária para remover um elétron de um átomo de hélio ionizado utilizando o modeloatômico de Bohr. Resp.: 54 .4, eV

22- O segundo pico na experiência de Franck e Hertz, exatamente abaixo de 10 , se deve a duasexcitações consecutivas do primeiro estado excitado do mercúrio ou a uma excitação do segundo estadoexcitado?

eV

23- Em um experiência do tipo Franck e Hertz, bombardeia-se hidrogênio atômico com elétrons, e obtém-seos potenciais de excitação em 10 e . (a) Trace um diagrama de níveis de energia para as trêspossíveis transições observadas. (b) Supondo que as diferenças de energia podem ser expressas como

21, V 1210, V

∆ E h= ν , obtenha os três possíveis valores de ν e dos respectivos comprimentos de onda λ .

24- Suponha que, na experiência de Franck e Hertz, a energia eletromagnética emitida por um átomo de Hg,devido à absorção de energia de elétrons com seja expressa por4 9, eV ∆ E h= ν , onde ν é a freqüênciacorrespondente à linha de ressonância λ = 253 6, nm do mercúrio. Calcule o valor de h de acordo com essaexperiência e compare com o valor obtido por Planck.

25- Nas estrelas observa-se a série de Pickering no espectro do íon de hélio . Ela é emitida quando o

elétron no salta para o nível n a partir de níveis de mais altas energias. (a) Obtenha a fórmula doscomprimentos de onda das linhas que pertencem a essa série. (b) Encontre o comprimento de onda limitedessa série. (c) Essa série pertence a qual região do espectro eletromagnético? (d) Calcule o potencial de

ionização em elétrons-volt, se o estiver no estado fundamental.

He+

He+ = 4

He+

26- Se o momento angular da terra de massa , devido ao seu movimento em torno do sol

numa órbita de raio , fosse quantizado segundo a relação de Bohr

M = ×6 0 10

24, kg

m R = ×15 1011

, L nh= 2π , qual seria ovalor do número quântico n ? Poderíamos detectar tal quantização?

27- De outro exemplo de degenerescência na física clássica, além do movimento planetário.

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CAPÍTULO 5

PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA




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CAPÍTULO 5 – PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA

Í NDICE

5.1- Postulados de de Broglie5.2- Interpretação Probabilística da Dualidade Onda - Partícula5.3- Propriedades das Ondas de Matéria5.4- Princípio da Incerteza5.5- Experimento de Franck e Hertz5.6- Integral de Ação e Regras da Quantização5.7- Modelo de Sommerfeld





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1- Por que a natureza ondulatória da matéria não é evidente em nossas observações diárias? O comportamentoondulatório de uma partícula clássica pode ser obtido assumindo-se m → ∞ na fórmula de de Broglie? Explique.

2- O comprimento de onda de de Broglie pode ser menor que a dimensão da partícula? Pode ser maior? Énecessário que haja alguma relação entre essas grandezas?

3- A difração de elétrons pode ser utilizada para se estudar a estrutura de sólidos cristalinos? Explique.

4- Discuta a analogia: A óptica ondulatória é para a óptica geométrica assim como a mecânica quântica é para amecânica clássica.

5- Afinal de conta o que é um elétron, uma partícula ou uma onda? Explique.

6- Discuta semelhanças e diferenças entre uma onda de matéria e uma onda eletromagnética

7- Um projétil de massa move-se a uma velocidadem = 40g v m s= 1000 / . (a) Qual é o comprimento deonda de de Broglie que se pode associar a ele? (b) Por que sua natureza ondulatória não se revela por meio deefeitos de difração?

8- O comprimento de onda da emissão espectral amarela do sódio é . Com que energia cinética um

elétron teria o mesmo comprimento de onda de de Broglie?

λ = 58900

A

9- Um elétron e um fóton tem ambos um comprimento de onda . Quais são (a) seus momentos? (b)suas energias totais? (c) Compare as energias cinéticas do elétron e do fóton.

λ = 2 00

. A

10- Um nêutron térmico tem uma energia cinética 3 2b gkT , onde T K = 300 é a temperatura ambiente. Estes

nêutrons estão em equilíbrio térmico com o ambiente. (a) Qual é a energia em elétrons - volt de um nêutrontérmico? (b) Qual é o comprimento de onda de de Broglie?11- Um feixe de nêutrons de 1 atinge um cristal cujo planos cristalinos estão separados poreV d nm= 0 025, .Determine o ângulo de fase ϕ para o qual o primeiro máximo de interferência é observado.

12- O espaçamento planar em um cristal de cloreto de potássio é d A= 3140

. . Compare o ângulo de reflexão de

Bragg de primeira ordem, por esses planos, de elétrons com energia cinética 40keV com o de fótons comenergia 40keV .

40

13- Considere a interferência de duas ondas ψ

1e ψ

2,

emitidas de duas fendas estreitas e paralelas de distância d ,como mostra a figura ao lado. As ondas têm mesmasamplitude , mesma freqüência ω e diferença de fase A δ .Construa a superposição usando a notaçãoψ ψ

1+

2

complexa para a função de onda e mostre que a dependênciado padrão de interferência resultante com o ângulo θ é,

I Akd

sen=F

H G

I

K J 4

2

2cos θ . ( Sugestão: mostre primeiramente

que, ψ ψ ψ δ δ ω δ= + = +− +

1 2

2 2 2 A e e e

i i i t b g , em seguida escreva as exponenciais complexa entre colchetes na

forma trigonométrica. Escreva a distribuição de intensidades do padrão de interferência I = ψ2

, e observe que a

diferença de fase entre as duas ondas pode ser escrita na forma δπ

λθ=

2dsen ).

dsenθ

ψ ω

1= Ae

i t

ψω δ

1=

+ Ae

i t b g

θ

θd

14- Referindo-se ao princípio da incerteza de Heisenberg, dê exemplo de algum caso em que o processo demedida perturba o sistema que está sendo medido.



15- Dê uma justificativa à partir do princípio da incerteza de Heisenberg ( ∆ ∆ E t ≥ 2 ) que a energia de um

oscilador harmônico não pode ser nula. (Sugestão: Será que o período de um oscilador pode ser infinito? Pensenisso).

16- Qual seria a voltagem aceleradora dos elétrons em um microscópio eletrônico necessária para que se tenha amesma resolução máxima que pode ser obtida em um "microscópio de raios γ " usando raios γ de 0 2. MeV ?

17- A resolução máxima atingida por um microscópio é limitada apenas pelo comprimento de onda utilizado, isto é,

o menor detalhe que se pode distinguir é aproximadamente igual ao comprimento de onda. Suponhamos que sequeira ver o interior de um átomo de diâmetro 10

0. A , com detalhes da ordem de 01

0. A . (a) Se usarmos um

microscópio eletrônico, qual seria a energia mínima necessária para os elétrons? (b) Se usarmos um microscópioóptico, qual seria a energia mínima para os fótons? Em que região do espectro eletromagnético estão essesfótons? (c) Qual dos microscópios seria mais prático para esse objetivo? Explique.

18- Mostre que para uma partícula livre pode-se escrever a relação de incerteza também na forma

∆ ∆λ λ x ≥ 24π , onde ∆ x é a incerteza na posição da onda e ∆λ é a incerteza simultânea no comprimento de

onda.

19- Mostre que se a incerteza na posição de uma partícula for aproximadamente igual a seu comprimento de ondade de Broglie, então a incerteza em sua velocidade é aproximadamente igual a sua velocidade.

20- Um microscópio óptico é utilizado para localizar um elétron em um átomo em uma região de dimensão linear

de 0 20

. A . Qual é a incerteza na velocidade de um elétron localizado dessa forma?

21- Uma partícula de massa está confinada em uma região unidimensional de comprimento a . Use o princípioda incerteza para obter uma expressão para a energia mínima da partícula. Calcule o valor dessa energia parauma gota de massa m

m

g= 1 mantida sobre um fio de comprimento a cm= 10 , e para um elétron em uma região

de comprimento a n .m= 0 1,

22- (a) Considere um elétron em algum ponto dentro de um átomo de diâmetro 10 A . Qual é a incerteza no

momento do elétron? Esse resultado é consistente com a energia de ligação de elétrons em átomos? Pense emtermos de energias das transições atômicas pertencente a região visível do espectro eletromagnético. (b) Imagine

que um elétron esteja em algum ponto no interior de um núcleo de 10 . Qual é a incerteza no momento doelétron? Esse resultado é consistente com a energia de ligação de partículas constituintes do núcleo? Pense emtermos de energias das transições nucleares pertencente a região dos raios

12− cm

X e γ do espectro eletromagnético.(c) Considere um nêutron, ou um próton, no interior desse núcleo atômico. Qual é a incerteza no momento donêutron, ou do próton? Esse resultado é consistente com a energia de ligação de partículas constituintes donúcleo?

23- A vida média de um estado excitado de um núcleo é normalmente de cerca de 10 . Qual é a incerteza naenergia do fóton de raio

12− sγ emitido?

24- um garoto no alto de uma escada de altura H está jogando bolas de gude de massa m em uma fenda existenteno solo. Para atingi-la, ele utiliza um equipamento que tem a maior precisão possível. (a) Mostre que as bolas de

gude vão deixar de atingir a fenda por uma distância em média da ordem de xm

H

g≈ F

H G I K J F

H G I K J

1 2 1 4

, onde g é a

aceleração da gravidade. (b) Utilizando valores razoáveis de H e m, calcule esta distância.

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CAPÍTULO 6

MECÂNICA QUÂNTICA DE DE SCHRÖDINGER




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CAPÍTULO 6 – MECÂNICA QUÂNTICA DE SCHRÖDINGER

Í NDICE

6.1- Introdução6.2- Equação de Schrödinguer6.3- Interpretação Probabilística6.4- Equação de Schrödinger Independente do Tempo6.5- Valores Esperados6.6- Compreensão do Movimento da Partícula Quântica e

Limite da Teoria Clássica

6.7- Comportamento Geral das Autofunções







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1- Como o postulado de de Broglie entra na teoria quântica de Schröedinger?

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h2- Uma vez que a equação de Schröendiger não é válida para partículas relativísticas, qual seria o efeito sobre ateoria quântica de Schröedinger da mudança na definição de energia total, na relação E = =ω ν , se fosseconsiderado a energia relativística de repouso da partícula.

3- A massa de uma partícula aparece explicitamente na equação de Schröendiger, mas sua carga não, emboraambas possam afetar seu movimento. Alguma grandeza que aparecem na equação de Schröendiger embuteimplicitamente esse parâmetro? Explique.

m

4- As equações de onda da teoria clássica contém uma segunda derivada espacial e uma segunda derivadatemporal. A equação de Schröendiger por outro lado, contém uma segunda derivada espacial e uma primeiraderivada temporal. Use esses fatos para explicar por que as soluções de onda clássica podem ser funções reais,enquanto as soluções da equação de Schröendiger devem ser funções complexas.

5- No eletromagnetismo, calculamos a intensidade de uma onda tomando o quadrado de sua amplitude. Por quenão fazemos exatamente o mesmo com as ondas da mecânica quântica?

6- Por que a função densidade de probabilidade tem que ser real, positiva, finito e definida em todos os pontos?Explique o significado da normalização de uma função de onda.

7- Por que a mecânica quântica de Schrödinger fornece apenas informações estatísticas? Em sua opinião, issoreflete-se como um fracasso da teoria ou uma propriedade da natureza?

8- O que significa o valor esperado de uma grandeza?

9- Por que uma autofunção deve ser bem comportada para ser aceitável na teoria quântica de Schrödinger? Por

que é necessariamente uma função oscilatória quando V x ? E a f <

10- Se as funções de onda , e são três soluções da equação de Schrödinger para um

potencial particular V x , mostre que a combinação linear arbitrária

também é uma solução desta equação.

ψ 1

x t ,a f ψ 2

x t ,a f ψ 3

x t ,a f

, f

t ,a fψ ψ ψ ψ x t c x t c x t c x t , , ,a f a f a f a= + +1 1 2 2 3 3

11- Considere a função de onda para o primeiro estado excitado de uma partícula de massa que pode semover livremente sobre o eixo

m

x entre os pontos x a= − 2 e x a= + 2 , mas que está estritamente proibida

de ser encontrada fora dessa região:

Asenx

ae

iEt 2π −

para − < < +a x a2 2

Ψ x t ,a f =

0 para x a≤ − 2 ou, x a≥ + 2

onde A é uma constante real arbitrária e E é a energia total da partícula. (a) Mostre que essa função é umasolução da equação de Schrödinger. (b) Encontre o valor de E para esse primeiro estado excitado, (c) Trace um

gráfico da dependência espacial dessa função de onda. (d) Encontre os valores esperados de x , , p x2

e dapartícula associada a função de onda, (e) Use a condição de normalização para determinar o valor da constante

p2

A em termos de . (f) Use as grandezas calculadas no item (d) para calcular o produto das incertezasa ∆ ∆ x p na posição e no momento dessa partícula.

12- A função de onda para o estado fundamental de um oscilador harmônico simples constituído de uma

partícula de massa sob ação de uma força restauradora linear de constante elástica , pode ser escrita como:

Ψ x t ,a fm C



Ψ x t Cm

e eCm x i C m t

,a f a fa f

d i b gd i=

− −

1 8

1 4

2 22

π

(a) Calcule os valores esperados da energia cinética K p

m=

2

2e da energia potencial V x kxa f =

1

2

2. (b)

Compare com as médias no tempo das energias cinética e potencial para um oscilador harmônico simples clássico

com a mesma energia total E .13- Em um certo instante, uma função de onda depende da posição conforme está mostrado na figura (a) abaixo.(a) Se fosse feita uma medida que possa localizar a partícula associada em um elemento dx do eixo x nesseinstante, onde seria maior a probabilidade de encontrá-la? (b) Onde seria menor essa probabilidade? (c) Aschances de que ela seja encontrada em qualquer valor positivo do eixo seriam melhores do que as chances deque seja encontrada em qualquer valor negativo?

x

aa f

x t ,a f

x

t fixo( )

0 5 10−5

5

−5

V xa f

x 0

ba f

14- Considere uma partícula se movendo sob influência do potencial V x C xa f = , onde C é uma constante,

ilustrado na figura (b) acima. (a) Use argumentos qualitativos para fazer um esboço da primeira autofunção de dadécima autofunção para o sistema. (b) Faça um esboço das duas funções densidade de probabilidadecorrespondentes. (c) Use então a mecânica clássica para calcular as funções densidade de probabilidade previstapor esta teoria. (d) Trace um gráfico das funções densidade de probabilidade clássicas juntamente com as funçõesdensidade de probabilidade quânticas, e discuta sua comparação.

15- Considere uma partícula se movendo no potencial V x ilustrado na figura abaixo. Para os seguintes

intervalos de valores da energia total

a f E , diga quando há algum valor possível de E , e , se isso ocorrer, se eles

são separados discretamente ou distribuídos continuamente. (a) E V <0

, (b) V E V 0 1

< < , (c) V E V 1 2

< < , (d)

, (e) .V E V 2 3

< < E V >3

−∞

+∞ V 3

V 0

V 1

V 2

0 x

V xa f

50



16- Considere uma partícula se movendo no potencial V x ilustrado na figura (a) abaixo, que tem uma região

retangular de profundidade V e largura a , no qual a partícula pode estar ligada. Estes parâmetros estão

relacionados com a massa m da partícula de uma forma tal que o estado de menor energia possível se

encontra a uma energia de aproximadamente

a f0

E 1

V 04 acima do fundo. (a) Use argumentos qualitativos para fazer

um esboço da forma aproximada da autofunção correspondente ψ 1

xa f . (b) Substitua o potencial da região

x a> + 2 diretamente na equação de Schrödinger independente do tempo para mostrar que nessa região a

autofunção tem a forma matemática ψ a x Aem V E xf b g

=− −2 0

. (c) Use a densidade de probabilidade

correspondente a esta autofunção para estimar a distância D fora da região de ligação do potencial na qualhaverá uma probabilidade apreciável de encontrar a partícula na região classicamente proibida. (Sugestão:

Considere x D= como sendo a distância até o ponto no qual Ψ Ψ* é 1 e vezes o seu valor na borda da região

de ligação x a= + 2 ). (d) O potencial dessa figura dá uma boa descrição das forças que atuam sobre um elétron

se movendo através de um metal. A diferença de energia V E 0

− , para o elétron mais fracamente ligado ao metal,

é a função trabalho do metal. Tipicamente, V E eV 0

5− ≈ . Use esse dado para estimar o valor da distância D

estima no item (c).

V 0

a 4

E 1

− a 2 + a 2

V 010

x

V xa f

x 0

V 0

E 1

+ a 2− a 2

V xa f

ba f aa f

17- Suponha que o fundo da função potencial da questão anterior seja modificado pela adição de uma saliência nocentro, de altura aproximadamente V

010 e largura a 4 , como mostra a figura (b) acima. Considere

qualitativamente o que ocorre com a curvatura da autofunção na região da saliência, e como isso afetará oproblema de obter um comportamento aceitável para a autofunção na região externa ao poço. A partir dessasconsiderações, faça uma previsão, de forma qualitativa, do efeito da saliência sobre o valor da menor energiapossível . E

1

18- Considere a autofunção ilustrada na figura abaixo. (a) Qual dos três potenciais ilustrados na mesma figura

poderia levar a tal autofunção? Dê argumentos qualitativos que justifiquem sua resposta. (b) Essa autofunção nãoé associada ao estado de menor energia possível para o potencial. Esboce a autofunção que corresponde aoestado de menor energia. (c) Indique em outro esboço o intervalo de energias no qual você esperaria estados deenergia possíveis discretos e o intervalo de energias no qual você esperaria que os estados de energia possíveisfossem distribuídos continuamente.

51



V xa f

V xa f

0 x

x0

ψ xa f

x 0

0

x

V xa f

19- Usando as duas primeiras funções de onda normalizadas Ψ 1

21 x t

a

x

ae

iE t , cos a f =

−π

e

Ψ 2

2 22 x t

asen

x

ae

iE t ,a f =

−π

, para uma partícula se movendo livremente e confinada em uma região de

comprimento , construa a combinação lineara Ψ Ψ Ψ x t c x t c x t , , ,a f a f a f= +1 1 2 2

. Obtenha então uma relação

em função das constantes ajustáveis e que, quando satisfeitas, garanta que seja normalizada.c1 c2 Ψ x t ,a f

52





CAPÍTULO 7

SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER INDEPENDENTE DO TEMPO




2

CAPÍTULO 07 – SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGERINDEPENDENTE DO TEMPO

Í NDICE

7.1- Partícula Livre7.2- Potencial Degrau7.3- Barreira de Potencial7.4- Poços de Potenciais Finito e Infinito7.5- Oscilador Harmônico





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1- Por que na mecânica clássica não é possível ter-se E V x< a f? Por que isto é possível na mecânica

quântica , desde que haja alguma região na qual ? E V x> a f 2- Se duas ondas de mesmas amplitudes se propagam em sentidos contrários obtém-se uma onda

estacionária. Que tipo de onda obtém-se se as amplitudes não forem iguais?

3- O que você entende exatamente sobre o fluxo de probabilidade?

4- O que significa exatamente afirmar que o coeficiente de reflexão é unitário para uma partículaincidindo sobre um potencial degrau com energia total menor do que a altura do degrau? O que significaexatamente afirmar que o coeficiente de reflexão é menor do que a unidade se a energia total for maiorque a altura do degrau? O coeficiente de reflexão pode ser maior que a unidade?

5- Uma partícula incide sobre uma barreira de potencial, com energia total menor do que a altura dabarreira, e é refletida. A reflexão envolve apenas a primeira descontinuidade do potencial? Se a outradescontinuidade fosse retirada, de forma que a barreira se transformasse em um degrau, o coeficiente

de reflexão mudaria?

6- No sol, dois núcleos de Hidrogênio em movimento térmico violento podem colidir penetrando abarreira coulombiana que os separam. A massa do núcleo resultante é menor do que a soma dasmassas dos dois núcleos de iniciais, de forma que ocorre grande liberação de energia. Este processo defusão nuclear é responsável pela emissão de calor pelo sol. Quais seriam as conseqüências para a vidana terra se isso não pudesse ocorrer?

7- Por que os poços quadrados finitos têm apenas um número finito de autovalores ligados? Quais sãoas características dos autovalores não ligados?

8- Como seria uma autofunção de onda estacionária para um autovalor não ligado de um poço de

potencial quadrado finito?

9- Se as autofunções de um potencial tem paridades definidas, a de menor energia tem sempreparidade positiva. Explique por que.

10- Para o caso de um degrau de potencial com em que os coeficientes de reflexão e

transmissão são

E V >0

Rk k

k k =

−

+

F H G

I K J

1 2

1 2

2

e T k k

k k =

+

41 2

1 2

2

b g, mostre que R T + = 1.

11- Mostre que a expressão T senh k a

E

V

E

V

= +

−

F H G

I K J

L

N

MMMM

O

Q

PPPP

−

1

4 1

2

2

0 0

1

, para o coeficiente de transmissão para a

penetração de uma barreira de potencial retangular, se reduz à T E

V

E

V e

k a≈ −

F H G

I K J

−

16 1

0 0

2 2 se .k a2

1>>

50



12- (a) Calcule o coeficiente de transmissão para um elétron de energia total E eV = 2 incidente sobre

uma barreira de potencial retangular de altura V e0

4 V = e largura a m=−

1010 (dimensão atômica),

usando a relação exata e aproximada citadas na questão anterior. (b) Repita os cálculos para uma

barreira de largura a m .=−

109

13- Um próton e um dêutron ( partícula de mesma carga do próton, mas de massa duas vezes maior)

tentam penetrar em uma barreira de potencial retangular de altura V Me0

10 V = e largura a m=−

1014

(dimensão nuclear). As duas partículas tem energias totais E MeV = 3 . Use argumentos qualitativospara prevê qual das partículas tem mais chance de consegui-lo.

14- Um átomo do gás nobre Kriptônio exerce um potencial atrativo sobre um elétron não ligado, quevaria muito bruscamente. Devido a isto, é uma aproximação razoável descrever o potencial como um

poço quadrado atrativo, de dimensão da ordem do raio atômico , 4 1010

×− m . As experiências que um

elétron com energia cinética E eV = 0 7. , nas regiões fora do átomo, pode atravessá-lo sem sofrerreflexão alguma. Esse é o fenômeno do efeito Ramsauer para uma poço quadrado atrativo. Use essasinformações para fazer uma estimativa da profundidade do poço de potencial quadrado. (Sugestão: Useo fato que cabe exatamente um comprimento de onda de de Broglie na largura do poço nas condiçõesdo efeito Ramsauer ).

15- Sabendo–se que as massas do elétron e do nêutron são respectivamente, m k e

, faça uma estimativa das energias de ponto zero de um elétron e de um nêutron

em um poço quadrado infinito de largura igual ao diâmetro nuclear , e compare esseresultados.

g

kg

m

e= ×

−

91 1031

.

mn

= ×−

167 1027

.

a =−

1014

16- Sabendo-se que as energias permitidas para uma partícula num poço de potencial infinito são

, onde é a energia do estado fundamental, mostre que a diferença fracional em energia

entre autovalores adjacentes é

E n E n

=2

0E

0

∆ E

E

n

n

n

n

=+2 1

2. Use esta relação para discutir o limite clássico do

sistema.

17- Aplique a condição de normalização para mostrar que o valor da constante multiplicativa para a

autofunção com do poço de potencial infinito én = 3 B a3

2= .

18- Use as autofunções1

e ψ 3

para o poço de potencial infinito para mostra a propriedade de

ortogonalidade

ψ ψ 1 3

0 x x dxa f a f =−∞

+∞

z

(Sugestão: Use a relaçãocos cos cos cos

u v u v u v= + + −1

2 a f a f .

19- A constante da força restauradora K para as vibrações interatômicas de uma molécula diatômica

típica é da ordem de 103 2 J m / . (a) Use esse valor para fazer uma estimativa da energia de ponto zero

das vibrações moleculares. (b) Faça uma estimativa da diferença em energia entre o estadofundamental e o primeiro estado excitado da molécula vibrante. (c) A partir dessa estimativa, determinea energia do fóton emitido por vibrações da distribuição de carga quando o sistema faz uma transiçãoentre o primeiro estado excitado e o estado fundamental. (d) Determine o comprimento de onda destatransição e descubra em que região do espectro eletromagnético está a radiação emitida.

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CAPÍTULO 8

ÁTOMOS DE UM ELÉTRON




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CAPÍTULO 08 – ÁTOMOS DE UM ELÉTRON

Í NDICE

8.1- Introdução8.2- Força Central8.3- Equação de Schrödinger em Coordenadas Esféricas8.4- Dependência Angular das Autofunções8.5- Regras de Seleção Dipolo Elétrico8.6- Simetria de Paridade em Coordenadas Esféricas8.7- Equação Diferencial Radial8.8- Distribuição de Probabilidade





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1- Por que a função tem que ser unívoca na solução da equação de Schrödinger para o átomo de

hidrogênio? Por que isso leva a restrição de que m deve ser um inteiro?

Φ ϕ a f

l

2- Por que devem aparecer três números quânticos no tratamento do átomo de um elétron sem "spin"?

3- O que é a degenerescência?

4- Faça uma comparação entre as previsões dos tratamentos de Bohr e Schrödinger para o átomo de hidrogênio(desprezando spin e efeitos relativísticos), com relação à localização do elétron, sua energia total, e seu momentoorbital.

5- Hidrogênio, deutério e hélio mono ionizado são exemplos de átomos de um elétron. O núcleo do deutério tem amesma carga do núcleo de hidrogênio e massa quase duas vezes maior. O núcleo de hélio tem carga duas vezesmaior do que o núcleo de hidrogênio e massa quase quatro vezes maior. Faça uma previsão da razão entre asenergias dos estados fundamentais desses átomos. (Sugestão: Considere a variação da massa reduzida).

64

ϕ

6- Mostre por substituição que e, são soluções da equação diferencial paraΦ ϕ ϕ a f = cosml

Φ ϕ a f = senml

Φa f .

7- Verifique por substituição que a autofunção100

do estado fundamental e autovalor desse estado

satisfazem a equação de Schrödinger independente do tempo, para a átomo de hidrogênio.

E 1

8- Sabe-se que é uma autofunção do operador energia total para o problema unidimensional de potencialnulo. (a) Mostre que também é autofunção do operador momento linear

ψ = eikx

p e determine o autovalor associado. (b)

Repita os cálculos para .ψ =−

eikx

9- Mostre que a função R r Ar

ae

r ab g = −F H G

I K J −

12

2 é uma solução da equação diferencial radial para o átomo de um

elétron no caso l = 0 . Qual é o autovalor da energia correspondente?

10- Determine a constante de normalização do problema anterior. A 11- Seja o átomo de um elétron num estado de números quânticos n = 2 e l = 1 . Determine a distância maisprovável entre o elétron e o núcleo. Calcule os valores esperados r e V pela integração explícita.

12- Repita os cálculos do problema anterior para um estado de números quânticos n e .= 3 l = 1 13- Seja o átomo de um elétron no seu estado fundamental. Calcule a probabilidade de encontrar o elétron além daprimeira órbita de Bohr.

14- (a) Calcule a posição em que a densidade radial de probabilidade é máxima, para o estado n = 2 , l = 1 do

átomo de hidrogênio. (b) Calcule em seguida o valor esperado da coordenada radial nesse estado. (c) Interprete osignificado físico da diferença das respostas de (a) e (b).

15- (a) Calcule o valor esperado V da energia potencial no estado fundamental do átomo de hidrogênio, e

mostre que E V = 2 , onde E é a energia total. (b) Calcule o valor esperado V agora para o estado

, l , do átomo de hidrogênio.n = 2 = 1

16- Mostre por substituição que a forma é uma solução da equação diferencial para , quando R r r la f ∝ R r a f

r → 0 . (Sugestão: Despreze os termos que se tornam pequenos diante dos demais quando r → 0 ).



17- Uma partícula de massa reduzida está presa numa extremidade de uma barra rígida de massa desprezível

e comprimento . A outra extremidade da barra gira no plano R xy em torno de um suporte localizado na origem, ecujo eixo tem direção . Esse "Rotor Rígido" bidimensional está ilustrado na figura abaixo. z

ϕ x

y

z

R

(a) Escreva uma expressão para a energia total do sistema em termos de seu momento angular . (Sugestão:Tome o valor zero para a energia potencial constante e expresse a energia cinética em termos de ). (b)Introduzindo operadores apropriados na equação da energia, converta-a na equação de Schrödinger

L L

−∂

∂=

∂

∂

2 2

22 I

t it

t ϕ

ϕ ϕ Ψ Ψ, ,a f a f

onde é o momento de inércia da rotação, e I R= µ 2

Ψ ϕ ,t a f é a função de onda escrita em termos da

coordenada angular ϕ e do tempo t . (Sugestão: Como o momento angular só tem direção z , isto é L L z

= e o

operador correspondente é L i z

= − ∂ ∂ϕ ). (c) Aplicando a técnica de separação de variáveis, desdobre a

equação de Schrödinger do rotor rígido e obtenha a equação de Schrödinger independente do tempo:

− =

2 2

2 I

d

d E

ϕ ϕ ϕ Φ Φa f a f

e a equação para a dependência temporal da função de onda

d

dt T t

iE T t

a f a f= −

onde E é a constante de separação e . (d) Resolva a equação para a dependência

temporal da função de onda e mostre que a constante de separação

Ψ Φϕ ϕ ,t T a f a f a= t f E é a energia total. (e) tre que uma

solução particular da equação de Schrödinger independente do tempo para o rotor rígido é Φ , onde

Mos

ϕ ϕ a f = e

im

mIE

=2

. (f) Utilize a solução na equação diferencial e mostre que os valores permitidos de energia total para

o rotor rígido quântico bidimensional são: E m

I =

2 2

2

, com m = 0 1 2, , ,.... .

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NOTAS DE AULAS DEESTRUTURA DA MATÉRIA


CAPÍTULO 9

INTERAÇÃO MAGNÉTICA E SPIN




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CAPÍTULO 9 - INTERAÇÃO MAGNÉTICA E SPIN

Í NDICE

9-1- Momento de Dipolo Magnético Orbital9.2- Interação com um Campo Magnético Externo9.3- Experiência de Stern-Gerlach e Spin do Elétron9.4- Momento Angular Total9.5- Interação Spin-Órbita9.6- Correção da Teoria Quântica Relativística9.7- Efeito Zeeman

9.7.1- Introdução9.7.2- Efeito Zeeman Normal

9.7.3- Efeito Zeeman Anômalo – Facultativo9.8- Estrutura Hiperfina - Facultativo





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1- Por que o torque que atua sobre um dipolo magnético num campo magnético faz o dipoloprecessionar em torno do campo em vez de alinhá-lo ao campo?

2- Exatamente porque se concluiu que os números quânticos de spin são semi inteiros?

3- Por que a equação de Schrödinger, na forma que se considerou, não previu o spin doelétron?

4- Qual é a diferença entre o efeito Zeeman normal e o efeito Zeeman anômalo?

5- O que é o efeito Paschen – Bach no efeito Zeeman anômalo?

6- Calcule o campo magnético produzido por um anel circular de corrente num ponto situadosobre o eixo de simetria do anel e longe deste Calcule em seguida o campo magnético

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Apostila Física Moderna I