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física rotações
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Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias
Rotação
Temos tratado corpos olhando para seus centros de massa
Introduzimos o conceito de movimento do centro de massa + rotação de um
centro de massa
Vimos o movimento circular do centro de massa
Agora vamos estudar a rotação
Vamos nos concentrar na rotação de corpos sólidos e extensos
Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias
Rotação de corpos extensos e não-sólidos
Galáxia de Andrômeda Furacão
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Cinemática do movimento circular
Começaremos com alguns conceitos familiares que usamos para descrever
o movimento circular
Deslocamento angular
Velocidade angular
Aceleração angular
Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias
Movimento linear e circular
Relacionamos as variáreis que descrevem o movimento circular às variáveis
que descrevem o movimento linear
Deslocamento, velocidade e aceleração
Energia cinética para o movimento linear
Energia cinética para o movimento circular (partícula pontual)
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Várias partículas pontuais
Agora vamos discutir a energia cinética de várias partículas pontuais
Se assumirmos que estas partículas mantêm suas distâncias fixas em relação
umas às outras (corpo sólido, todas se movem com a mesma velocidade
angular) podemos descrever
Em que I é o momento de inércia dado por
Compare
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Cálculo da inércia rotacional
Agora usemos a expressão para o momento de inércia de partículas discretas e vamos estendê-la para corpos extensos e contínuos
Aproximamos nosso corpo como uma coleção de cubos pequenos de tamanho idêntico e de volume V e densidade
Assim como antes, tomamos o limite para o qual o volume de cada cubo vai a zero e obtemos
Compare com
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Momento de inércia para densidade constante
Se pegarmos nossos resultados para o momento de inércia e assumirmos
que a densidade é constante, obtemos
O momento de inércia para densidade constante
A massa para densidade constante
Resultado final
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Rotação de um eixo em torno do centro de massa
Podemos usar a fórmula que acabamos de derivar
para calcular o momento de inércia de um corpo com relação à rotação de um
centro de massa
Normalmente escolhemos o sistema de coordenadas que torne o cálculo o
mais fácil possível
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Alguns momentos de inércia
Cilindro sólido
Girando em torno
de um eixo de
simetria
Também descreve
um disco sólido
Cilindro oco
Girando em torno
de um eixo de
simetria
Também descreve
uma roda
Cilindro sólido girando
perpendicular ao eixo de simetria
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Cálculo de I em um cilindro oco (1)
Vamos derivar os momentos de inércia de uma roda, um cilindro oco ou um
disco oco girando em torno de seu eixo de simetria
Considere um cilindro oco com
Densidade constante
Raio externo R1
Raio interno R2
Altura h
Veremos que h é simplificada
Uma roda, um cilindro oco ou um
disco oco terão a mesma forma
em seu momento de inércia
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Cálculo de I em um cilindro oco (2)
Escolhemos as coordenadas cilíndricas para este problema
O elemento da diferencial do volume é dado por
Nas coordenadas cilíndricas, r = r
Agora calculemos a massa do cilindro oco
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Cálculo de I em um cilindro oco (3)
Para a massa obtemos
Para a densidade podemos escrever:
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Cálculo de I em um cilindro oco (4)
Agora calcule I
Insira o resultado da densidade
E finalmente obtemos
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Momento de inércia para outras formas geométricas
Bloco retangular
Girando em torno
do centro
Esfera sólida
Girando em torno
de um eixo
passando pelo
seu centro
Casca esférica fina
Girando em torno
de um eixo
passando pelo seu
centro
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Exemplo: energia cinética rotacional da Terra
Questão: Qual é a energia cinética rotacional da Terra?
Resposta:
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Momentos de inércia
Cilindro sólido
Anel cilíndrico
Cilindro oco
Haste
Esfera sólida
Esfera oca
Bloco retangular
Questão: Qual é a forma comum?
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Teorema do eixo paralelo
Agora que já resolvemos o problema do momento de inércia de um corpo
girando em torno de um eixo que passa pelo seu centro de massa, vamos ver
o momento de inércia para corpos girando em torno de um
eixo que não passa através do
centro de massa
Estabeleça os eixos do nosso
sistema de coordenadas de
modo que ele tenha eixos
paralelos aos eixos do sistema
para o qual já calculamos o
momento de inércia de rotação
em torno do centro de massa!
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Teorema do eixo paralelo (2)
Relação entre as coordenadas anteriores e as novas
Distância perpendicular das novas coordenadas
Momento de inércia do novo eixo
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Teorema do eixo paralelo (3)
É preciso avaliar as integrais individualmente
1a: I em torno do centro de massa
2a: d2M
3a e 4a: localização do centro de massa das coordenadas x e y => entretanto por construção estas integrais são 0.
Resultado final:
Modo geral de escrever qualquer momento de inércia
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Rolamento
Vamos dizer que temos um objeto arredondado com raio R e rolando
sem escorregar
Este objeto tem uma relação especial entre suas quantidades lineares
e angulares
Deslocamento e deslocamento angular
Velocidade e velocidade angular
Aceleração e aceleração angular
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Rolamento e energia cinética
Um objeto rolando tem ambas as energias cinéticas de translação e de
rotação
Usamos nosso conhecimento sobre a relação entre as quantidades linear e
angular para obter
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Corrida de rolamento
A aceleração de um objeto pela gravidade independe da massa deste objeto
(queda livre)
E no rolamento, a massa importa?
Próxima pergunta: o raio importa?
Vamos observar o caso de três objetos de mesma massa, mesmo raio mas
diferente distribuição da massa, rolando por um plano inclinado
Uma esfera maciça
Um cilindro maciço
Um cilindro oco
Qual deles vencerá?
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Explicação da corrida
Podemos escrever a energia de cada objeto
Cesfera = 0,4 , menor denominador, maior v
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"Loops" (1)
Uma esfera maciça é solta a partir do repouso e rola
através de um plano inclinado, entrando em um
segmento circular de raio R.
Questão:
De que altura h mínima a esfera deve ser solta para
que não caia durante o traçado no “loop”?
Resposta:
A chave para resolver este problema é dar-se conta de
que no topo do "loop" a aceleração centrípeta tem que
ser maior ou igual à aceleração gravitacional
gacv2
R
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"Loops" (2)
A energia potencial em h é
A energia potencial no topo do “loop” é
A energia cinética é
A conservação de energia nos dá
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"Loops" (3)
Solução de v2
Coloque nossa condição para que a bola não caia do traçado
Solução de h nos dá
Inserindo c = 2/5 para uma esfera