Fsica 1

Fsica 12 Movimento Retilneo1

Nessa aula ns vamos estar discutindo conceitos fundamentais de cinemtica.

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IntroduoDescrever o movimento dos corpos e fazer previses acerca do movimento.

2Objetivo de estudo da cinemtica

A cinemtica a parte da mecnica que se ocupa da descrio dos movimentos.

A mecnica estuda os movimentos e suas causas.

Uma parte da mecnica que estuda apenas a descrio dos movimentos se chama cinemtica. A relao do movimento com suas causas abordado pela dinmica que assunto para uma futura aula.

E dentro da cinemtica ento, esse estudo, essa descrio do movimento, a gente vai se ater hoje ao movimento mais simples que o movimento unidimensional.2

PosioCinemtica 1-D: 1 coordenada

3Definio

Por movimento unidimensional ou cinemtica unidimensional, ns entendemos um movimento que pode ser descrito em funo de apenas 1 coordenada. Seja por exemplo a coordenada em cima de um eixo.

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PosioCinemtica 1-D: 1 coordenada

4Definio

Ou pode ser o estudo de uma partcula que descreve um movimento circular. Se eu adotar como referncia uma reta arbitrria (x), eu posso descrever esse movimento apenas com a varivel angular teta.

Embora esse movimento seja plano, seja bidimensional, eu posso tratar o movimento de uma partcula assim em funo de uma coordenada s.

Ento, nesse sentido, isso tambm assunto da cinemtica unidimensional.4

PosioPosio e Tempo

5Conceitos primitivos

Existem conceitos em cinemtica que so primitivos, dois deles so os conceitos de posio e tempo.

Posio o lugar onde voc est e tempo o que o seu relgio marca.

As outras grandezas ns vamos descrever em termos desses conceitos primitivos.5

Movimento6

O que seria movimento de uma partcula?O movimento de uma partcula a mudana da sua posio em relao ao tempo.6

Movimento7

Uma curiosidade sobre o movimento que ele um conceito relativo.Ou seja, pra se falar em movimento, necessrio especificar um referencial em relao ao qual esse movimento vai estar sendo descrito.7

Trajetria8

E, um outro conceito intuitivo a trajetria.A trajetria de uma partcula so os lugares, os pontos do espao que ela ocupa enquanto se move. o lugar geomtrico, o conjunto de pontos que a partcula descreve enquanto se move.Ento, eu vou imaginar que eu possa localizar uma partcula em cima de um eixo pela posio que ela ocupa nesse eixo.8

Deslocamento9

Deslocamentos Observados:

Os xs so as posies e os ts os tempos.A gente sabe que o tempo evolui.No tempo t1 ela est em x1, no tempo t2 ela est em x2 e assim por diante. Esse meu eixo orientado. E esse conceito fundamental.Um bom grfico para descrever esse movimento esse aqui.

Primeira pergunta que vou fazer para vocs. O grfico de linha amarela a trajetria?No. Qual a trajetria?A trajetria o eixo (x).Este grfico uma maneira de mostrar como que esta posio varia no tempo.

E o fato do eixo (x) ser orientado vai me permitir ver algumas grandezas com seus respectivos sinais.Ns sabemos que velocidade uma grandeza vetorial.A gente pode camuflar essa natureza vetorial da velocidade admitindo que esse eixo orientado.

Antes, vamos falar do conceito de deslocamento.9

Deslocamento e Velocidade mdia10A velocidade mdia com que um mvel vai do ponto A ao ponto B a razo entre o deslocamento de A at B e o intervalo de tempo decorrido nesse deslocamento.

Ou, simplesmente

A velocidade pode ser (v > 0 ) positiva, (v < 0) negativa ou (v = 0) nula. 10

Velocidade mdia11

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Velocidade mdia12Interpretao grfica

Inclinao da reta P1 , P2

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Velocidade mdia13A velocidade mdia a razo entre a distncia percorrida e o intervalo de tempo decorrido.

A velocidade mdia no intervalo uma coisa que informa mais ou menos sobre o movimento.A gente as vezes quer saber mais detalhes sobre o movimento, por exemplo: Quando eu vou de Colatina a Santa Teresa, admitindo que a distncia de Colatina at Santa Teresa seja de 90km e dirigindo pra l eu gasto 1 hora de carro. A minha velocidade mdia portanto de 90km/h.E o movimento, como foi? Eu no sei, por exemplo, em alguns trechos dirijo devagar por causa das curvas, mas se eu quero chegar em santa teresa dentro de 1 hora, eu tenho que acelerar depois. A informao de 90km/h pouco ou nada diz sobre como foi minha velocidade instantnea daqui a Colatina.A velocidade que d detalhes sobre a viagem a velocidade instantnea.13

Velocidade Instantnea14Aproximando-se cada vez mais o ponto B do ponto A, a velocidade mdia entre A e B tende para a velocidade instantnea em A.

Nesse grfico ns vamos fazer com que a velocidade mdia vire uma velocidade instantnea.Voc est vendo que o x dividido pelo t que a tangente daquele ngulo a velocidade mdia entre os instantes t e t+t.Eu vou fazendo este t menor. Eu aproximo mais o ponto B do ponto A.Isso continua sendo a velocidade mdia, a tangente do ngulo que a medida da inclinao da reta azul. At uma hora que se eu fizer t tender a zero eu me aproximo e chego em t0.Ento aquele arco vai tendendo pra tangente. Quando eu chego em t0, aquele arco vira a tangente na curva do ponto considerado. 14

Velocidade Instantnea15A velocidade instantnea o limite da velocidade mdia quando o intervalo de tempo tende a zero. Ela igual taxa de variao da posio com o tempo. a derivada primeira da funo x(t) em relao a t.Definio

Ento a velocidade instantnea v o limite quando t tende a zero de....

Isto recebe um apelido, ou em clculo I o qu?Este limite quando delta x tende a zero se chama derivada de x em relao ao tempo e tem uma interpretao geomtrica muito prpria.

Nessa altura do campeonato, dx/dt o primeiro gargalo pra quem ainda no estudou isto.

O que a derivada de uma funo em um ponto? o coeficiente angular da reta tangente quele ponto.

Ento, dado uma curva x(t), voc quer saber a velocidade num ponto t, trace a tangente a essa curva no ponto t e mea o coeficiente angular dessa reta tangente. Isso a derivada ou a velocidade instantnea.

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Algumas derivadas importantes16

Embora a interpretao geomtrica ajude muito, essa operao uma operao que a gente vai ter que memorizar pra alguns casos.

Essa tabelinha mostra as funes e suas respectivas derivadas.

Por exemplo uma propriedade interessante a derivada de uma soma af(t) + bg(t), a e b constantes, a derivada de f + b derivada de g.

E de todas as funes que a gente vai usar, a mais frequente um polinmio.

A derivada de um polinmio de grau n : abaixa o expoente multiplicando e diminui o expoente de uma unidade.

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Visualizao grfica da derivada17

Aqui est o procedimento de como achar uma derivada.

No ponto mximo de y, paralela a qu a tangente? Ao eixo xEnto a derivada neste ponto quanto vale?Zero.

Derivada de uma constante. A tangente constantemente paralela a prpria reta do x ento a derivada nula.

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Velocidade escalar mdia e velocidade mdiaA velocidade escalar mdia uma forma de descrever a rapidez com que um objeto se move. Ela envolve apenas a distncia percorrida, independentemente da direo e do sentido:

A velocidade escalar o mdulo da velocidade, ela destituda de qualquer indicao de direo e sentido. (O velocmetro de um carro marca a velocidade escalar instantnea e no a velocidade, j que ele no pode determinar a direo e o sentido do movimento).

A velocidade mdia, traz embutida em si um carter vetorial e a outra no.18

Velocidade Instantnea(Equao do MRU)

Voltando ao caso da velocidade instantnea, vamos pegar o caso particular em que ela constante.

Se ela constante, ela coincide com a velocidade mdia ento ela vale x-x0/t-t0

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Velocidade InstantneaUm caso particular: velocidade constanteOu:Graficamente:

Graficamente, x uma funo linear do tempo.

A relao entre x e t uma reta.

A velocidade o coeficiente angular desta reta que uma funo constante.

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O clculo de x(t) a partir de v(t)Este o problema inverso. Considere inicialmente o caso de velocidade constante, isto :

Calculando a rea do grfico, encontramos (x)Conhecendo-se v, como que calculamos x?

E quando a velocidade no for constante?21

O clculo de x(t) a partir de v(t)

Vamos demonstrar que a rea sobre a curva o deslocamento percorrido.

Pra isso, vamos dividir a rea total em pequenas reas.

Eu substituo minha curva lisa por retngulos.22

O clculo de x(t) a partir de v(t)

Nesse intervalo a funo constante.Projetando eu tenho um v instantneo constante, de modo que a areazinha d um x, um acrscimo do deslocamento.

A rea dentada no muito diferente da rea lisa. Os pedaos so compensados. Elas no so iguais, mas elas so prximas.

Se eu pegar e fazer o t muito pequenininho, e que d um nmero muito grande de intervalos, quem est no fundo da sala no distingue mais a linha da curva.

X x0 a rea total do retangulinhos. Se eu fizer um nmero muito grande de intervalos tender ao infinito, com t tendendo a 0 (zero), x x0 vai virar uma soma metida a besta. (integral).

O intervalo vdt virou um intervalo infinitesimal

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ResumindoA velocidade obtida derivando-se a posio em relao ao tempo; geometricamente, a velocidade o coeficiente angular da reta tangente curva da posio em funo do tempo no instante considerado.

O deslocamento obtido pela anti-derivao (ou integrao) da velocidade; geometricamente, o deslocamento a rea sob a curva da velocidade em funo do tempo.

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Acelerao

Vamos falar agora sobre a acelerao.

Observando a figura, a velocidade est variando. Quando uma velocidade varia, existe uma acelerao.

O que devo fazer para encontrar o deslocamento total da partcula? Calcular a rea da figura.25

Acelerao

Fazer a definio da posio em funo do tempo e equao de torriccelli.26