MOVIMENTO EM DUAS E TRÊS DIMENSÕES

CAPÍTULO 3O que um jogador de beisebol faz para saber onde deve estar para apanhar uma bola?

Posição, velocidade e aceleração:Vetores Posição e Deslocamento: O vetor posição (r) de uma partícula P é um vetor desenhado da origem de um sistema de coordenadas até a posição da partícula:

Vetores Posição e Deslocamento: O vetor posição (r) de uma partícula P é um vetor desenhado da origem de um sistema de coordenadas até a posição da partícula:

( 3 ) (2 ) (5 )r m i m j m k

Exemplo

2 1r r r

Assim, temos:

2 (9 ) (2 ) (8 )r m i m j m k

Exemplo 1:1. O vetor posição de uma partícula é inicialmente , e depois passa a ser . Qual é o deslocamento da partícula?

1 ( 3 ) (2 ) (5 )r m i m j m k

r

Exemplo 2Um coelho atravessa um estacionamento, no qual, por alguma razão, um conjunto de eixos coordenados havia sido desenhado. As coordenadas da posição do coelho em função do tempo t são dadas por

2

2

0,31 7,2 28

0,22 9,1 30

x t t

y t t

Com t em segundos e x e y em metros. Em t=15s, qual é o vetor posição do coelho na notação de vetores unitários e na notação de módulo - ângulo?

( ) ( )r x t i y t j

t

rvméd

O vetor velocidade média e o vetor deslocamento têm a mesma orientação:

Velocidade instantânea )(v

dt

rd

t

rv

t

0

lim

jvivjdt

dyi

dt

dxv

ou

jt

yi

t

x

t

jyix

t

rv

yx

tttt

ˆˆˆˆ

ˆlimˆlimˆˆ

limlim0000

A magnitude do vetor velocidade é dada por:

E a orientação da velocidade é dada por:

O vetor velocidade instantânea é a derivada do vetor posição em relação ao tempo. Sua magnitude é rapidez, sua direção é a da tangente à curva e seu sentido é o do movimento da partícula.

Exemplo 3Para o coelho do exemplo anterior encontre a velocidade vetorial no tempo t = 15s, na notação de vetores unitários e na notação de módulo – ângulo.

x yv v i v j

x y

dx dyv v

dt dt

médv

at

A aceleração instantânea é o limite desta razão quando )0( t

0limt

v dva

t dt

kajaiakdt

dvj

dt

dvi

dt

dva zyx

zyx ˆˆˆˆˆ

Para o coelho do exemplo anterior encontre a aceleração vetorial no tempo t = 15s, na notação de vetores unitários e na notação de módulo – ângulo.

x ya a i a j

yxx y

dvdva a

dt dt

Exemplo 4

Exemplo 5:

Obtenha sua velocidade e sua aceleração. Obtenha sua velocidade e sua aceleração.

Caso Especial 1: Movimento de ProjéteisO movimento de um projétil é a combinação de dois movimento: movimento uniforme (MU) na horizontal e movimento uniformemente variado (MUV) na vertical.As Equações utilizada para esta situação são as mesmas já utilizadas para estes movimentos separadamente.

O movimento de um projétil é a combinação de dois movimento: movimento uniforme (MU) na horizontal e movimento uniformemente variado (MUV) na vertical.As Equações utilizada para esta situação são as mesmas já utilizadas para estes movimentos separadamente.

0 0

0 0

cos

senx

y

v v

v v

A componente vertical da velocidade do skatista está variando, mas não a horizontal que é igual a do skate.

Fotografia estroboscópica de uma bola de tênis amarela quicando em uma superfície dura. Entre os impactos a trajetória da bola é balística.

• O fato de uma bola estar em se movendo horizontalmente enquanto está caindo não interfere o seu movimento vertical, ou seja, os movimentos horizontal e vertical são independentes.

Análise do movimento de um projétilMovimento Horizontal

2

y

gth

2

v gt

oA v .t

Movimento vertical

Na ausência da resistência do ar, a partícula fica sujeita apenas à aceleração de queda livre, verticalmente, para baixo.Na ausência da resistência do ar, a partícula fica sujeita apenas à aceleração de queda livre, verticalmente, para baixo.

gay A componente y da velocidade varia com o tempo devido a aceleração, logo:A componente y da velocidade varia com o tempo devido a aceleração, logo:

0yv v sen gt O deslocamento y será dado por:O deslocamento y será dado por:

20 0

1( )

2yy t y v t gt

Movimento vertical

Alcance horizontal (R): É a distância total na horizontal percorrida por um projétil. Se as elevações inicial e final forem iguais, pode-se obter o alcance pela expressão:

220 seng

vR

•O alcance será máximo quando θ=450;•Na altura máxima Vy=0

•Vx é constante em todo o movimento

Animação

6. Na figura um avião de salvamento voa a 198 km/h, a uma altura de 500 m, rumo a um ponto diretamente acima da vítima de um naufrágio, para deixar cair uma balsa.

a) Qual deve ser o ângulo da linha de visada do piloto para a vítima no instante em que o piloto deixa cair a balsa?

b) No momento em que a balsa atinge a água qual a sua velocidade?

11. A fig. Mostra um navio pirata a 560m de um forte que protege a entrada de um porto. Um canhão de defesa, situado ao nível do mar, dispara balas com uma velocidade de 82m/s.

a) Com que ângulo em relação a horizontal as balas devem ser disparadas para acertar o navio?

b) Qual é o alcance máximo das balas de canhão?

7. Com que velocidade inicial o jogador de basquete da Figura ao lado. Deve arremessar a bola, com um ângulo de 550 acima da horizontal, para converter o lance livre?

As distancias horizontais são d1 = 1,0 ft e d2 = 14 ft

e as alturas são h1 = 7 ft e h2 = 10 ft.

8. Um helicóptero descarrega um pacote de suprimentos para as vítimas de uma inundação que estão sobre uma balsa em uma área alagada. Quando o pacote é lançado, o helicóptero está 100m acima da balsa e voando a 25m/s para cima com um ângulo em relação a horizontal.

(a)Durante quanto tempo o pacote permanece no ar? (b) A que distância da balsa cai o pacote? (c)Se o helicóptero voa com velocidade constante, onde ele estará quando o pacote atingir a água?

09,36

200 2

1)( gttvyty y

0 0( cos )xx v t v t

0 0( ) yy t y v t

Movimento Circular UniformeÉ o movimento circular com velocidade constante. A aceleração centrípeta pode ser calculada pela relação:

r

vaa c

2

Equações do Movimento

Circular Uniforme

Para uma volta completa: , em que T é o período.

Se a velocidade for variável, aparece a aceleração tangencial a trajetória, dada por:

Trv 2

dt

dvat

Transmissão de movimento

Exemplo 9:

9. Um menino gira uma bola, amarrada a uma corda, em um circulo horizontal com raio de 0,8m. A quantas voltas por minuto a bola ficará sujeita se o módulo de sua aceleração centrípeta for g (o módulo da aceleração da gravidade)?

Exemplo 10:

10. Um Menino faz uma pedra girar descrevendo uma circunferência horizontal de raio 1,5m e 2m acima do chão. A corda se parte e a pedra é arremessada horizontalmente, chegando ao solo depois de percorrer uma distância horizontal de 10m. Qual era o módulo da aceleração centrípeta da pedra durante o movimento circular?

Exemplo 11:11. Na figura, qual é a rapidez inicial mínima que o dardo deve ter para atingir o macaco antes que este chegue ao chão, que está a 11,2 m abaixo da posição inicial do macaco, se x = 50 m e h = 10 m? (ignore a resistência do ar)