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Produto Vetorial

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Produto Vetorial. Produto Vetorial. Para definir o produto vetorial entre dois vetores é indispensável distinguir o que são bases positivas e bases negativas Para isso, considere uma base do espaço {v 1 , v 2 , v 3 } e um observador - PowerPoint PPT Presentation

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  • Produto Vetorial

  • Produto VetorialPara definir o produto vetorial entre dois vetores indispensvel distinguir o que so bases positivas e bases negativasPara isso, considere uma base do espao {v1, v2 , v3} e um observadorO observador deve estar com os ps em um plano que contm representantes de v1 e v2 (os dois primeiros vetores da base)v3 (o terceiro vetor da base), esteja dirigido para os seus olhos

  • Produto VetorialNo exemplo considere OA =v1 e OB =v2Considere agora, a rotao de menor ngulo em torno de O, que torna o vetor v1 ( o primeiro vetor da base) com mesmo sentido do vetor v2 ( o segundo vetor)Se esta rotao for no sentido contrrio ao dos ponteiros de um relgio (anti-horrio), dizemos que a base positiva Caso contrrio (sentido horrio), a base negativa.Assim, a base {v1, v2 , v3}, do exemplo, positiva

  • A base {v2 , v1, v3} positiva?

  • E {v3 , v2 , v1}?

  • Produto VetorialNote que nem sempre o observador est no mesmo semi-espao que ns Neste caso, o sentido da rotao que ele ver contrrio ao que ns vemosPara ilustrar este fato, desenhe em uma folha de papel dois vetores LI com a mesma origem e considere uma rotao que torna um deles com mesmo sentido do outro

  • Produto VetorialA folha de papel pode ser considerada com um plano, assim, a folhade papel divide o espao em dois semi-espaosNote que, em um desses semi-espaos vemos esta rotao com um sentido. Se mudarmos de semi-espao vemos esta rotao com um sentido contrrio ao anterior

  • Esta observao til na identificao de bases positivas e negativas, quando o observador no est no mesmo semi-espao que nsPor exemplo, ao analisar a base {v2 , v1,- v3} vemos a rotao no sentido horrio, porm o observador, por estar no semi-espao distinto do qual nos encontramos, v esta rotao no sentido anti-horrioPortanto esta base positiva.

  • ExemploConsidere o sistema {O, i, j, k}

  • ExemploQuais as bases positivas e negativas?

  • ExemploAs bases {i , j, k}, { j, k, i} e {k, i , j} so positivas.

    As bases { j, i , k}, {i , k, j} e {k, j, i} so negativas.

  • Produto VetorialDefinio: Sejam u e v vetores no colineares.O produto vetorial de u por v, indicado u x v, um vetor, tal que:| u x v |= | u | | v | sen(u, v)O vetor u x v ortogonal ao plano que contm representantes dos vetores u e vA base {u, v, u x v} positiva

  • ExemploSejam u e v vetores com representantes no plano alpha , onde | u |= 2, | v |= e (u, v) = 30

  • | u x v | = | u || v | sen 30==2 =

    | v x u | = | v | | u |sen 30= 2 =

  • Exemplo|u x v| = |v x u|, mas estes vetores so opostos

  • Exemplo 3Dada a base ortonormal positiva {i, j, k}i x i= j x j= k x k= 0i x j= k, j x k =i e k x i= jj x i =-k, k x j=- i e i x k=- j

  • Interpretao GeomtricaConsideremos o paralelogramo ABCD,

  • Interpretao GeomtricaSabemos que a rea S desse paralelogramo :S = base x altura, ou seja S = | AB | h.Do tringulo AMD, temos:h =| AD | sen teta

  • Interpretao GeomtricaS = | AB | |AD | sen teta

    S =| AB x AD|

  • Interpretao GeomtricaEncontre a rea do tringulo ABD

  • S = |AB | |AD | sen teta

    S =|AB x AD|

    Logo a rea do tringulo |AB x AD|/2

  • Exemplo 4Encontre a rea do paralelogramo, onde A(1,1,0), B(0,1,2) e C(4,1,0)

  • | AB| =| (-1,0,2)| = | AD| =| (4,0,-2)|= 2Cos(AB,AD) = (AB.AD)/(|AB||AD|) = -4/5Sen2x + cos2 x =1Sen(AB,AD)=3/5S = 3/5 2 = 6 u.a.

  • PropriedadesConsidere u, v e w vetores quaisquer e t um nmero real1) u x v = v x u2) (t v) x u = v x(t u) = t (v x u) 3) u x (v + w)= u x v + u x w

  • Expresso cartesiana do produto vetorialDados uma base ortonormal positiva {i, j, k} e dados os vetores u = (x1, y1, z1) e v = (x2 , y2 , z2 )u x v = (x1i + y1j + z1k) x (x2i + y2j + z2k)=(x1x2 ) ixi + (x1y2 ) ixj + (x1z2 ) ixk+ +(y1x2 ) jxi + (y1y2 ) jxj + (y1z2 )jxk+ +(z1x2) kxi + (z1y2 ) kxj+ (z1z2) kxk

  • Expresso cartesiana do produto vetorialu x v = (y1z2-y2z1)i + (z1x2-z2x1)j + (x1y2-x2y1)k

  • Exemplo 5Dados os vetores u = (1,2,3), v = (3,1,2) e w = (2,4,6), calcule:u x v = ?u x w = ?

  • Exemplo 5Dados os vetores u = (1,2,3), v = (3,1,2) e w = (2,4,6), calcule:u x v = (4-3) i + (9-2) j + (1-6) k = (1,7,-5)

    u x w = (12-12)i+(6-6)j+(4-4)k = (0,0,0)=0

  • Exemplo 6Observe os paralelogramos ABCD e ABCC

  • Exemplo 6S e S so as reas dos paralelogramos ABCD e ABCC, respectivamente

    Determine a relao de S e S

  • Exemplo 6S e S so as reas dos paralelogramos ABCD e ABCC, respectivamenteS =| AB x AD|S =| AB x AC|| AB x AC|= | AB x (AB+ BC) |=

  • Exemplo 6| AB x(AB +BC)|= | AB x AB + AB x BC|

    =| 0 + AB x AD|

    = | AB x AD| = S

  • Exemplo 7Determine a rea S do retngulo, onde A(1,0,2), C(- 2,3,3) e AB = (-1,0,0)

  • S =| AB x AC| e AC = (- 3,3,1)Como AB _ BC, temos que AB= projAB AC =(-3,0,0)

    S =| (- 3,3,1)x(- 3,0,0)| =| ( 0,-3, 9 )| =