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Sinais e SistemasUnidade 2 ‐
Conceitos de Matemática de
Variável Complexa
Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng.rech.cassiano@gmail.com
Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.rcbeltrame@gmail.com
1/5
2Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
•
Introdução
•
Propriedades dos números complexos
•
Operações com números complexos
•
Fundamentos axiomáticos
•
Funções de variável complexa
•
Funções harmônicas complexas
•
Resíduos e pólos
Conteúdo da unidade
Aula 01
Aula 02
Aula 03
1/5
3Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
Aula 01
•
Introdução–
Conjuntos numéricos
–
Definição formal de números complexos–
Representação gráfica
•
Propriedades dos números complexos–
Igualdade de números complexos
–
Números reais e números imaginários puros–
Conjugado complexo
•
Operações com números complexos–
Adição, subtração, multiplicação e divisão
–
Valor absoluto•
Fundamentos axiomáticos–
Igualdade, soma e produto
–
Leis: fechamento, comutativa, associativa e distributiva
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Introdução
•
Números Naturais (N)–
N = { 1, 2, 3, ... }
•
Números Inteiros (Z)–
Z = { ... , ‐3, ‐2, ‐1, 0, 1, 2, 3, ... }
•
Números Racionais (Q)–
Forma a/b { 1/2, 1/3, ... } e Dízimas periódicas { 0,9999... }
•
Números Irracionais (I)–
Não expressos como a/b { π
= 3,1415... , e
= 2,7183...
}
•
Números Reais (Z)–
União dos Racionais com Irracionais
Conjuntos numéricos
1/5
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Introdução
Conjuntos numéricos
1/5
6Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
Introdução
•
Seja a variável complexa z
= a
+ bj
–
Parte real de
z
a
= Re { z }
–
Parte imaginária de
z
b = Im { z }
•
Representação como par ordenado:
z
= (a, b)
Um Um nnúúmero complexomero complexo
possui a forma possui a forma a a ++
bjbj, onde , onde aa
e e bb
são são nnúúmeros reais emeros reais e
jj
éé
a unidade imagina unidade imagináária e possui a ria e possui a
propriedade propriedade jj²²
= = ‐‐11..
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7Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
Introdução
•
Plano complexo
| Diagrama
de Argand
| Plano z
Representação gráfica
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Introdução
Forma retangular
,z a bj a ba r cos θb r sen θ
2 2
z r θ
r a bzθ atan b a
Forma polar
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Propriedades
•
Igualdade–
Seja z1
= a
+ bj
e
z2
= c
+ dj–
z1
= z2
se e somente se
a
= c
e b
= d
•
Números reais como subconjunto dos números complexos–
Seja z
= a
+ bj, com
b
= 0
–
Ex: 0 + 0j = 0; ‐3 + 0j = ‐3
•
Número imaginário puro–
Seja z
= a
+ bj, com
a
= 0
–
z
= a
+ bj
= 0 + bj
= bj
•
Conjugado complexo–
Seja z
= a
+ bj
–
Seu conjugado será
z*
= a
–
bj
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Operações
•
Sejam
z1
= a
+ bj
e
z2
= c
+ dj•
z1
+
z2
= (a
+ bj) + (c
+ dj) = a
+ bj
+ c
+ dj
= (a
+ c) + (b
+ d)j
•
Sejam
z1
= a
+ bj
e
z2
= c
+ dj•
z1
‐
z2
= (a
+ bj) ‐
(c
+ dj) = a
+ bj
‐
c
‐
dj
= (a
‐
c) + (b
‐
d)j
Adição
Subtração
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Operações
•
Sejam
z1
= a
+ bj
e
z2
= c
+ dj•
z1
z2
= (a
+ bj)(c
+ dj) = ac
+ adj
+ bcj
+ bdj²
= (ac
‐
bd) + (ad
+ bc)j•
OBS: j²
= ‐1
•
Sejam
z1
= a
+ bj
e
z2
= c
+ dj
•
Multiplicação
Divisão
21
2 2 2 2 2 2 22
z a bj c dj ac adj bcj bdj ac bd bc adj
z c dj c dj c d j c d c d
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Operações
•
Seja
z
= a
+ bj•
Seu
valor absoluto
é
definido
como
–
Ex:
•
Propriedades1)
2)
3)
4)
Valor absoluto
2 2a ba bjz
2 24 2 204 2 j
1 2 1 2z z z z
1 2 1 2z z z z
112
2 2, se 0
zzz
z z
1 2 1 2z z z z Desigualdade
triangular
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Fundamentos axiomáticos
•
Variável complexa como par ordenado
z
= a
+ bj
= (a, b)
1) Igualdade–
(a, b) = (c, d) se e somente se
a
= c
e b
= d
2) Soma–
(a, b) + (c, d) = (a
+ c, b
+ d)
3) Produto –
(a, b)(c, d) = (ac
–
bd, ad
+ bc)
–
m(a, b) = (ma, mb)
Redefinição das propriedades
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Fundamentos axiomáticos
•
a
+ bj
= (a, b)•
(a, b) = a(1, 0) + b(0, 1)
•
j
= 1j
= (0, 1)•
j²
= (0, 1)(0, 1) = (‐1, 0)
•
(‐1, 0)
Equivalente ao número real “‐1”•
(1, 0)
Equivalente ao número real “1”
•
(0, 0)
Equivalente ao número real “0”
Observações
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Fundamentos axiomáticos
•
Se z1
, z2
e z3
pertencem a um conjunto S
de números complexos, então:
1)
z1
+ z2
e z1
z2
pertencem a S2)
z1
+ z2
= z2
+ z13)
z1
+ (z2
+ z3
) = (z1
+ z2
) + z34)
z1
z2
= z2
z15)
z1
(z2
z3
) = (z1
z2
) z36)
z1
(z2
+ z3
) = z1
z2
+ z1
z3
Leis axiomáticas
Lei do fechamento
Lei comutativa da adição
Lei associativa da adição
Lei comutativa da multiplicação
Lei associativa da multiplicação
Lei distributiva
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Fundamentos axiomáticos
7)
z1
+ 0 = 0 + z1
= z18)
1 z1
= z1
1 = z19)
Para qualquer z1
existe um único z
tal que z
+ z1
= 0 z
inversa de z1
com relação à adição (‐
z1
)
10)
Para qualquer existe um único z tal que z1
z
= zz1
= 1z
inversa de z1
com relação à
multiplicação (1/z1
)
Leis axiomáticas
CorpoCorpo: qualquer conjunto : qualquer conjunto SS
cujos membros satisfazem cujos membros satisfazem ààs s leis axiomleis axiomááticasticas
1 0z
“0”
Identidade com relação à
adição
“1”
Identidade com relação à
multipl.
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Ferramentas de auxílio
Comandos MATLAB
help complex
% Exibe todos os comandos para números complexos
z = 10 + 20j
% Definição do número complexoz = 10 + 20i
r = abs
(z)
% Cálculo do módulotheta
= angle
(z)
% Cálculo do argumento (rad)
a = real (a)
% Extrai a parte real de zb = imag
(z)
% Extrai a parte imaginária de z
z1 = conj
(z)
% Calcula o conjugado de z (z1
= 10 – 20j)
plot
(z)
% Plotagem
no plano complexo
help complex
% Exibe todos os comandos para números complexos
z = 10 + 20j
% Definição do número complexoz = 10 + 20i
r = abs
(z)
% Cálculo do módulotheta
= angle
(z)
% Cálculo do argumento (rad)
a = real (a)
% Extrai a parte real de zb = imag
(z)
% Extrai a parte imaginária de z
z1 = conj
(z)
% Calcula o conjugado de z (z1
= 10 – 20j)
plot
(z)
% Plotagem
no plano complexo
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Ferramentas de auxílio
•
MODE:
RPN, Degrees, Rectangular ou
Polar
Comandos calculadora HP
z = 10 + 20j
% Número complexo desejado (retangular)z = 22.36 ∟63.43º
% (polar)
Forma retangular
( ) 10 SPC
20 ENTER
% Definição do número complexo
(10. , 20. )
% Exibição na forma de par ordenado
Forma polar
( )
22.36 ALFA
6
63.43
ENTER
% Definição do número complexo
(22.36 < 63.43)
Salvando na memóriaALFA
z STO
% Salva na memória
Manipulaçãoz CMLPX
% Menu para manipulação de números complexos
z = 10 + 20j
% Número complexo desejado (retangular)z = 22.36 ∟63.43º
% (polar)
Forma retangular
( )
10 SPC
20 ENTER
% Definição do número complexo
(10. , 20. )
% Exibição na forma de par ordenado
Forma polar
( )
22.36 ALFA
6
63.43
ENTER
% Definição do número complexo
(22.36 < 63.43)
Salvando na memóriaALFA
z STO
% Salva na memória
Manipulaçãoz CMLPX
% Menu para manipulação de números complexos
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Exercícios de revisão
•
Sejam
z1
= 3 + 2j
e z2
= ‐7 ‐ja)
Calcular
z1
+ z2
e z1
‐
z2b)
Calcular
z1
z2
e z1
/z2c)
Obter
a forma polar de z1
e z2d)
Representar
no plano
complexo
z1
e z2e)
Representar
no plano
complexo
z1
+
z2
e
z1
‐
z2
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