Sistemas Estuarinos Costeiros Carlos Ruberto Fragoso Júnior, Centro de Tecnologia, UFAL MÓDULO IV:...

Sistemas Estuarinos Costeiros

Carlos Ruberto Fragoso Júnior, Centro de Tecnologia, UFAL

MÓDULO IV:

Formulação Matemática dos processos ambientaisParte 1 – Introdução e Escoamento

2

CONTEÚDO:-

I Conceitos

Fundamentais

II Equações Básicas do

Escoamento

III Exercício

3

I CONCEITOS FUNDAMENTAIS

4

Processos no Sistema

Equações Matemáticas

Métodos Numéricos

Predições do Modelo

Representados usando

Resolvidas usando

Modelo Computacional

I CONCEITOS FUNDAMENTAIS

5

Processos no Sistema

Hidrólise

Nitrificação

Deoxigenação

Reaeração

Assimilação de Nutrientes

Decaimento

Crescimento

Respiração

Mortalidade

Hidrodinâmica

Transporte de Massa

QuímicosFísicos Biologicos

I CONCEITOS FUNDAMENTAIS

6

• Cada processo é representado usando equações “Equações governantes”

• Uso de equações diferenciais– Descrevendo continuamente mudanças de quantidades e suas

taxas de mudança

• Equações diferenciais podem ser complexas + dificuldade de resolver analiticamente

• Métodos numéricos são requeridos para estimar soluções aproximadas

– Converte EDs em formas algebricas de diferenças podem ser resolvidas em um número finito de pontos no espaço e no tempo

– E.g. Esquema numérico de diferenças finitas

I CONCEITOS FUNDAMENTAIS

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I CONCEITOS FUNDAMENTAIS

Modelo Numérico

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

MÉTODO NUMÉRICO

EQUAÇÕES DE DIFERENÇAS FINITAS

MODELO COMPUTACION

AL

ESTIMATIVAS DO

MODELO

ENTRADA

PROCESSOS NO SISTEMA

8

9

II EQUAÇÕES GOVERNANTES

Processos no Sistemas

Hidrólise

Nitrificação

Deoxigenação

Reaeração

Assimilação de Nutrientes

Decaimento

Crescimento

Respiração

Mortalidade

Hidrodinâmica

Transporte de Massa

QuímicosFísicos Biological

10

• Representadas usando as Equações de Navier-Stokes– Representação do escoamento em toda a sua complexidade (convecção e

turbulência)

• Derivação das ENS começa com a análise da conservação na massa e da quantidade de movimento em um elemento infinitesinal arbitário

• As ENS assume que um fluido é um continuum, consequentemente na realidade um fluido é uma coleção de moléculas discretas

• A solução analítica das ENS não é conhecida UTILIZAÇÃO DE MÉTODOS NUMÉRICOS

y

xzU

VW

• Velocidade (U, V, W) e nível da água

II EQUAÇÕES GOVERNANTES

11

•Conservação da quantidade de movimento– Balanço de forças no volume de controle

U

VW

•Conservação da massa– Balanço de massa através de um volume de controle

II EQUAÇÕES GOVERNANTES

12

Equação da continuidade

Princípio da conservação da massa:

Taxa de matéria que entra

Taxa de matéria que sai

Taxa de variação interna

- =

II EQUAÇÕES GOVERNANTES

13

dx dy

x

y

z

j

ik dz esqm dirm

baixom

cimamEquação da continuidade

II EQUAÇÕES GOVERNANTES

14

Princípio da conservação da massa

Taxa de massa = vazão mássica = VAρ

Taxa de variação interna dxdydzt

Equação da continuidade

II EQUAÇÕES GOVERNANTES

15

As vazões mássicas das faces da esquerda, de baixo e de trás, são, respectivamente

dydzρVm

dxdyρVm dxdzρVm

xtrás

zbaixoyesq

As restantes se obtém expandindo as anteriores com a série de Taylor

Equação da continuidade

II EQUAÇÕES GOVERNANTES

16

dxdzdyρVy

ρVm yydir

dxdydzρVz

ρVm zzcima

dydzdxρVx

ρVm xxfrente

x

y

z

j

ik

Equação da continuidade

II EQUAÇÕES GOVERNANTES

17

Taxa de matéria que entra

Substituindo no princípio da conservação da massa

= dydzρV

dxdyρVdxdzρV

x

zy

Equação da continuidade

II EQUAÇÕES GOVERNANTES

18

Taxa de matéria que sai

Substituindo no princípio da conservação da massa

= frentecimadir mmm

II EQUAÇÕES GOVERNANTES

Equação da continuidade

19

Substituindo no princípio da conservação da massa

Taxa que entra

Taxa que sai

- =

= dxdydzρVz

ρVy

ρVx zyx

II EQUAÇÕES GOVERNANTES

Equação da continuidade

20

Substituindo no princípio da conservação da massa com a taxa de variação interna

dxdydztρ

dxdydzρVz

ρVy

ρVx zyx

II EQUAÇÕES GOVERNANTES

Equação da continuidade

21

Substituindo no princípio da conservação da massa equação da continuidade para qualquer escoamento

0tρ

ρVz

ρVy

ρVx zyx

0tρ

Vρ

II EQUAÇÕES GOVERNANTES

Equação da continuidade

22

Casos particulares

- Escoamento permanente:

0

ρwz

ρvy

ρux

0tρ

II EQUAÇÕES GOVERNANTES

Equação da continuidade

23

Casos particulares

- Fluido incompressível:

0z

w

y

v

x

u

const

0V

II EQUAÇÕES GOVERNANTES

Equação da continuidade

24

II EQUAÇÕES GOVERNANTES

Equação da quantidade de movimento

• Balanço de forças no elemento infinitesimal– Gravitacionais (forças de campo)

• Força peso e Força de Coriolis– Perpendiculares à superfície (força superficial)

• Pressão– Tangenciais à superfície (força superficial)

• Viscosas (cisalhamento e compressão)

25

ElemElem dt

Vddm

F

ElemdtVd

FF

dmCampoisSuperficia

Elem

dtVd

mFFFF

outrasnaisGravitacioascosVisessãoPr

II EQUAÇÕES GOVERNANTES

Equação da quantidade de movimento

26

Da 2ª lei de Newton para um elemento infinitesimal de massa dm

elemdtVd

dmF

tV

VVDtVD

dtVd

II EQUAÇÕES GOVERNANTES

Equação da quantidade de movimento

27

zyx VzV

VyV

VxV

tV

DtVD

Aceleração convectiva

Aceleração instantânea

II EQUAÇÕES GOVERNANTES

Equação da quantidade de movimento

28

Da 2ª lei de Newton Para um elemento infinitesimal de massa dm

ElemdtVd

dmF

tV

VVDtVD

dtVd

dxdydzdxdydzdm

II EQUAÇÕES GOVERNANTES

Equação da quantidade de movimento

29

• Atua na direção vertical;• Sua componente longitudinal é quem promove o escoamento.

• Significativa em simulações de rompimento de barragem;

x1

x2

II EQUAÇÕES GOVERNANTES

Equação da quantidade de movimento (Força Peso)

30

kdmgFG

kdxdydzgFG

II EQUAÇÕES GOVERNANTES

Equação da quantidade de movimento (Força Peso)

31

• A força de Coriolis, embora não possa causar o movimento da água, é importante porque pode modificar, significativamente, a direção do movimento da água, especialmente em lagos e estuários grandes.

• A força de Coriolis é uma força aparente que surge porque analisamos o escoamento fixando o referencial à Terra, que está em movimento de rotação.

II EQUAÇÕES GOVERNANTES

Equação da quantidade de movimento (Força de Coriolis)

32

• Assim, o resultado é que, no hemisfério Sul, os fluidos escoando para o Sul são desviados para Leste e os fluidos escoando para o Norte são desviados para Oeste, ou seja, os escoamentos são sempre desviados para a esquerda no hemisfério Sul.

II EQUAÇÕES GOVERNANTES

Equação da quantidade de movimento (Força de Coriolis)

33

II EQUAÇÕES GOVERNANTES

Equação da quantidade de movimento (Força de Coriolis)

34

• Força de Coriolis é dada por

• onde u e v são as componentes de velocidade da água na direção x e y, respectivamente (m.s-1); é a velocidade angular da terra (7,29 . 10-5 rad.s-1); e l é a latitude.

lf sin2

II EQUAÇÕES GOVERNANTES

Equação da quantidade de movimento (Força de Coriolis)

dmufF

dmvfF

Cy

Cx

35

• É necessário um gradiente de pressão para promover escoamento.

• O sentido do escoamento é de um ponto com maior pressão para um ponto com menor pressão

II EQUAÇÕES GOVERNANTES

Equação da quantidade de movimento (Força de Pressão)

36

Balanço de pressões

II EQUAÇÕES GOVERNANTES

Equação da quantidade de movimento (Força de Pressão)

37

dy dx

x

y

z

j

ik dz

xp xxp

xxp-xpFpx zy

II EQUAÇÕES GOVERNANTES

Equação da quantidade de movimento (Força de Pressão)

38

xxpxpdydzFpx

Pela 2ª lei de Newton, têm-se:

Analogamente para as outras direções

dxx

pxpxpdydzFpx

dxdydzx

pFpx

39

• Força de atrito entre duas superfícies ou entre duas camadas; • A nível molecular, as forças de tensão que atua em um volume de

água são produzidas pela viscosidade do fluido (atrito interno das moléculas de água) que seria uma força intrínseca do fluido)

II EQUAÇÕES GOVERNANTES

Equação da quantidade de movimento (Força de Cisalhamento)

40

Vento

Atrito do fundo

• Nos contornos

II EQUAÇÕES GOVERNANTES

Equação da quantidade de movimento (Força de Cisalhamento)

41

Forças de superfície normais na direção x.

dxdydzx

σxx

42

Forças de superfície normais na direção x.

x

u

xxσ

43

Tangenciais na direção x:

dxdydzzyzxyx

ττ

44

Tangenciais na direção x:

z

u

zxτ

y

u

yxτ

45

Um resultado análogo é obtido nas demais direções

dxdydz2

2

2

2

22

z

u

y

u

x

u

A resultante na direção x é:

II EQUAÇÕES GOVERNANTES

Equação da quantidade de movimento (Força de Cisalhamento)

46

A EQM se torna, nas 3 direções:

2

2

2

2

2

2

z

u

y

u

x

u

x

p

z

uw

y

uv

x

uu

t

u

2

2

2

2

2

2

z

v

y

v

x

v

y

p

z

vw

y

vv

x

vu

t

v

2

2

2

2

2

2

z

w

y

w

x

w

z

pg

z

ww

y

wv

x

wu

t

w z

II EQUAÇÕES GOVERNANTES

Equação da quantidade de movimento

47

Casos particulares

- Escoamento permanente:

2

2

2

2

2

2

z

u

y

u

x

u

x

p

z

uw

y

uv

x

uu

Equação da quantidade de movimento

2

2

2

2

2

2

z

v

y

v

x

v

y

p

z

vw

y

vv

x

vu

2

2

2

2

2

2

z

w

y

w

x

w

z

pg

z

ww

y

wv

x

wu z

48

Casos particulares

- Escoamento bidimensional (w=0):

2

2

2

2

y

u

x

u

x

pg

y

uv

x

uu x

Equação da quantidade de movimento

2

2

2

2

y

v

x

v

y

pg

y

vv

x

vu y

49

Casos particulares

- Escoamento unidimensional (v=w=0):

2

2

x

u

x

pg

x

uu

x

Equação da quantidade de movimento

50

• Ver lista

EXERCÍCIOS