View
248
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Teoria do Momento Linear
•O rotor do helicóptero é responsável por
Teoria do Momento Linear
•O rotor do helicóptero é responsável por
três funções básicas:
•Geração da sustentação
•Geração da força propulsiva•Geração da força propulsiva
•Geração das forças para controlar a posição•Geração das forças para controlar a posição
e atitude
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 1Teoria do momento linear - Pairar
Teoria do Momento Linear
• O helicóptero tem que operar sob vários
Teoria do Momento Linear
• O helicóptero tem que operar sob vários regimes de voo: – Pairar
– Subida (vertical)– Subida (vertical)
– Descida (vertical)
– Deslocamento para a frente (horizontal) – Deslocamento para a frente (horizontal)
– Deslocamento para trás (horizontal)
– Qualquer outro regime que é uma combinação – Qualquer outro regime que é uma combinação dos anteriores
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 2Teoria do momento linear - Pairar
Teoria do Momento Linear
• A grande vantagem (e objectivo) do helicóptero é
Teoria do Momento Linear
• A grande vantagem (e objectivo) do helicóptero é
a sua capacidade de pairar.
• A situação de pairar é também a mais simples dos• A situação de pairar é também a mais simples dos
todos o regimes de voo. Por esta razão deve ser a
mais fácil de modelar.mais fácil de modelar.
• Apesar de ser a mais simples, como vimos
anteriormente, continua a ser um regime muitoanteriormente, continua a ser um regime muito
complicado.
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 3Teoria do momento linear - Pairar
Teoria do Momento Linear
• Para o primeira abordagem realizar algumassimplificações e desenvolver um modelo simples
Teoria do Momento Linear
• Para o primeira abordagem realizar algumassimplificações e desenvolver um modelo simplescapaz de prever qual a potência necessária parauma determinada propulsão.uma determinada propulsão.
Teoria do momento LinearTeoria do momento Linear
• Foi desenvolvida pela primeira vez por Rankine(1895) para hélices marítimas e depoisgeneralizada e melhorada por outros autores.
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 4Teoria do momento linear - Pairar
generalizada e melhorada por outros autores.
PressupostosPressupostos
• Condições a pairar:• Condições a pairar:
– Não há velocidade horizontal
– Não há velocidade vertical– Não há velocidade vertical
– O escoamento é axisimétrico
– Há a esteira é limitada por uma fronteira. Fora dessa– Há a esteira é limitada por uma fronteira. Fora dessa
fronteira não há escoamento.
– As velocidades dentro da fronteira podem ter valores– As velocidades dentro da fronteira podem ter valores
bastantes elevados.
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 5Teoria do momento linear - Pairar
Pressupostos
• Para o desenvolvimento desta teoria apenas
Pressupostos
• Para o desenvolvimento desta teoria apenas
estamos interessados no balanço global da massa,
momento e energia.momento e energia.
• A teoria não entra em conta com os detalhes do
escoamento em volta das pás.escoamento em volta das pás.
• O resultado é uma boa representação do que
acontece a uma certa distância do rotor.acontece a uma certa distância do rotor.
• A teoria assume algumas simplificações.
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 6Teoria do momento linear - Pairar
Pressupostos
• O rotor é modelado como um disco actuador que
Pressupostos
• O rotor é modelado como um disco actuador que
fornece momento e energia ao escoamento.
• O escoamento é incompressível.• O escoamento é incompressível.
• O escoamento é estacionário, invíscido e
irrotacional.irrotacional.
• O escoamento é unidimensional, uniforme no
plano do rotor (disco actuador) e na esteira.plano do rotor (disco actuador) e na esteira.
• Não há rotação na esteira.
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 7Teoria do momento linear - Pairar
Representação e notaçãoRepresentação e notação
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 8Teoria do momento linear - Pairar
Conservação de massa
– Caudal mássico através da superfície de controlo (fronteira) 0:
– Não há escoamento através das fronteiras laterais. :
00 AVm cρ=
– Não há escoamento através das fronteiras laterais. :
0=⋅→
dsm– Caudal mássico através da superfície de controlo (fronteira) ∞:
0=⋅dsm
( ) 0mAwVAVm c =+== ∞∞∞∞ ρρ
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 9Teoria do momento linear - Pairar
Conservação de massa no plano do Conservação de massa no plano do
rotor
– Caudal mássico através da superfície de controlo no rotor 1:
( ) 11111 AvVAVm ic +== ρρ
– Caudal mássico através da superfície de controlo no rotor 2:
( ) 11111 AvVAVm ic +== ρρ
( ) 22222 AvVAVm ic +== ρρ
– Dado que as duas superfícies (A1=A2=A) são iguais:
vvvmm ==⇒=
( ) 22222 AvVAVm ic +== ρρ
– Não há nenhum salto de velocidade através do disco do rotor. vi (i induzida) é a velocidade induzida no disco do rotor.
iii vvvmm ==⇒= 2121
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 10Teoria do momento linear - Pairar
vi (i induzida) é a velocidade induzida no disco do rotor.
Condições a pairarCondições a pairar
• A pairar Vc→0 (c climb-subida):• A pairar Vc→0 (c climb-subida):
– A velocidade na superfície 0 é 0
– A velocidade no rotor é a velocidade induzida vi– A velocidade no rotor é a velocidade induzida vi
– A velocidade na esteira completamente desenvolvida é
a velocidade induzida na esteira wa velocidade induzida na esteira w
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 11Teoria do momento linear - Pairar
Equações de momento e energia
• A taxa de variação do momento linear é igual à força • A taxa de variação do momento linear é igual à força
aplicada:0−= wmT
• O trabalho produzido por unidade de tempo (potência)
pelo rotor é igual à taxa de variação da energiapelo rotor é igual à taxa de variação da energia
02
21 −= wmvT i
• Eliminando mT
hh vww
v 2=⇒= h hoover-pairar
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 12Teoria do momento linear - Pairar
hh vwv 22
=⇒= h hoover-pairar
Conservação de massa
• Na superfície de controlo 1: • Na superfície de controlo 1:
Avm hρ=1
• Na superfície de controlo ∞:
∞∞ = Awm ρ
• Como tem que haver conservação de massa:
∞∞ = Awm ρ
• Como tem que haver conservação de massa:
mmm == ∞1
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 13Teoria do momento linear - Pairar
Conservação de massaConservação de massa
== AwAvm ρρ = Av2ρ
• Então chegamos à relação:
∞== AwAvm h ρρ∞= Avh2ρ
• Então chegamos à relação:
AAAA212 =⇒= ∞∞
• Do nosso modelo simples chegamos às conclusões:
– A velocidade induzida na esteira desenvolvida é o dobroda velocidade induzida no rotor
2∞∞
da velocidade induzida no rotor
– A área da esteira desenvolvida é metade da área do rotor
– Na realidade AA 61.0=
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 14Teoria do momento linear - Pairar
– Na realidade AA 61.0=∞
Equação de BernoulliEquação de Bernoulli• Vamos considerar uma partícula cuja trajectória
vai da superfície 0 para a superfície ∞
• Podemos aplicar a equação de Bernoulli entre :
0
• Podemos aplicar a equação de Bernoulli entre :
– As superfícies 0 e 1,
– As superfícies 2 e ∞.v
– As superfícies 2 e ∞.
• Relembrar que assumimos o escoamento é
estacionário, irrotacional e invíscido
1
2
vh
( )1
∞ w
( )212
1hvpp ρ+=∞
∞ w 2
( ) ( )22
22
1
2
1wpvp h ρρ +=+ ∞
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 15Teoria do momento linear - Pairar
222
h ∞
Equação de BernoulliEquação de Bernoulli
• Da análise destas equações podemos concluir que: • Da análise destas equações podemos concluir que:
∞∞ >< pppp 21
pp∞
Disco∆p
v
p∞
Disco
w
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 16Teoria do momento linear - Pairar
Escoamento
p∞
Pressão Velocidade
w
Velocidade induzida no rotorVelocidade induzida no rotor
• Podemos calcular a velocidade induzida no rotor • Podemos calcular a velocidade induzida no rotor
em termos da propulsão T
( ) ( ) ( )222 111wpvpvpp ρρρ +=++= e( ) ( ) ( )22
2
2
12
1
2
1
2
1wpvpvpp hh ρρρ +=++= ∞∞
=−=∆ 12 ppp
e
=−=∆ 12 ppp
( ) ( ) ( ) =
−−
−+= ∞∞
222
2
1
2
1
2
1hh vpvwp ρρρ
222
( )22
1wρ=
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 17Teoria do momento linear - Pairar
( )2
wρ=
Velocidade induzida no rotorVelocidade induzida no rotor
• De onde obtemos:
( )21ρ=−=∆ ( )212
2
1wppp ρ=−=∆
( )1=⇒ T =∆pA ( )22
2
1hvA ρ
ρA
Tvh
2=
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 18Teoria do momento linear - Pairar
ρA2
Potencial idealPotencial ideal
• Potência consumida = taxa de variação da energia• Potência consumida = taxa de variação da energia
( ) ( ) hhI TvvTwwmwmP ===−= 22
1
2
10
2
1 2
• Então:
hhI222
TTP = I ideal
ρATPI
2= I ideal
• Ou em termos da velocidade induzida:
( ) 3222 AvvAvTvP ρρ ===
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 19Teoria do momento linear - Pairar
( ) 22 hhhhI AvvAvTvP ρρ ===
Carregamento de discoCarregamento de disco
• O carregamento de disco é definido como o rácio entre a propulsão e a área do disco:
• O carregamento de disco é definido como o rácio entre a propulsão e a área do disco:
A
TDL =
• A expressão da velocidade induzida no rotor pode ser expressa em termos do carregamento de disco:
A
ρρ 22
DL
A
Tvh ==
• Não esquecer que a pairar T=W
ρρ 22 Avh ==
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 20Teoria do momento linear - Pairar
• Não esquecer que a pairar T=W
Carregamento de potênciaCarregamento de potência
• O carregamento de potência é definido como:T
• O carregamento de potência é definido como:
• Relembrando que a velocidade induzida pode serP
TPL =
• Relembrando que a velocidade induzida pode ser
obtida de:( ) 1−
==⇒= PLP
vTvP
P
( ) 1−==⇒= PL
T
PvTvP hh
DL• Então pode-se escrever: ( ) 1
2
−== PL
DLvh
ρ
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 21Teoria do momento linear - Pairar
2ρ
Rácio da velocidade induzidaRácio da velocidade induzida
• A velocidade induzida pode ser escrita por:• A velocidade induzida pode ser escrita por:
tiphhh VRv λλ =Ω=
• λh é chamado o rácio da velocidade induzida
• Nos aparelhos de asa rotativa é convenção• Nos aparelhos de asa rotativa é convenção
adimensionalizar as velocidade pela velocidade da
ponta da pá a pairar.ponta da pá a pairar.
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 22Teoria do momento linear - Pairar
Coeficiente de PropulsãoCoeficiente de Propulsão
• Dado que pela convenção adimensionalizamos a• Dado que pela convenção adimensionalizamos a
velocidade com a velocidade da ponta da pá
podemos definir o coeficiente de propulsão:podemos definir o coeficiente de propulsão:
222 RA
T
AV
TC
tip
TΩ
==ρρ
• E o rácio da velocidade induzida pode ser
expressa por:
RAAVtip Ωρρ
expressa por:
==vhλ
( )==
1 TTTC
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 23Teoria do momento linear - Pairar
=Ω
=R
hhλ
( )=
Ω=
Ω 222 RAAR ρρ 2
TC
Coeficiente de PotênciaCoeficiente de Potência
PP• O coeficiente de potência do rotor é definido por:
333 RA
P
VA
PC
tip
PΩ
==ρρ
• O coeficiente de potência do rotor é definido por:
RAVA tip Ωρρ• Dado que a potência está relacionada com obinário por P=ΩQ e o coeficiente de binário é
322
QQCQ
Ω==
ρρ
binário por P=ΩQ e o coeficiente de binário édefinido por:
322 RARVAC
tip
QΩ
==ρρ
• Então concluímos que: CP=CQ
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 24Teoria do momento linear - Pairar
• Então concluímos que: CP=CQ
Coeficiente de potência e propulsãoCoeficiente de potência e propulsão
• Estes dois coeficientes podem ser relacionados• Estes dois coeficientes podem ser relacionados
através da teoria do momento linear.
⇒=TvP vT⇒= hTvP ==
33
tip
h
tip AV
Tv
VA
P
ρρ tip
h
tip V
v
AV
T2ρ
• Ou seja 23
TCCC == λ
tiptip tiptip
2
ThTP CC == λ
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 25Teoria do momento linear - Pairar
Eficiência Eficiência
• Todas as expressões anteriores foram calculadas• Todas as expressões anteriores foram calculadas
para um rotor ideal num escoamento ideal.
• Em 1940 Prewitt da Kellet Aircraft introduziu• Em 1940 Prewitt da Kellet Aircraft introduziu
uma expressão para o cálculo da eficiência do
rotor a que chamou “Figure of Merit” (FM)rotor a que chamou “Figure of Merit” (FM)
pairar para Ideal Potência=FM
pairar a consumida realmente Potência=FM
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 26Teoria do momento linear - Pairar
Eficiência Eficiência
• Na expressão anterior a potência ideal é calculada• Na expressão anterior a potência ideal é calculada
utilizando a teoria do momento linear:
CP3
P
T
meas
I
C
C
P
PFM
2
23
==
measPmeas CP 2
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 27Teoria do momento linear - Pairar
Eficiência
• Dado que o helicóptero passa uma parte
Eficiência
• Dado que o helicóptero passa uma parte
considerável das suas missões a pairar
normalmente os projectistas tentam optimizar onormalmente os projectistas tentam optimizar o
rotor para esta situação (FM~0.8).
• Um rotor com uma eficiência menor (FM~0.6)• Um rotor com uma eficiência menor (FM~0.6)
não é necessariamente um rotor pior. Pode
simplesmente ter sido optimizado para uma outrasimplesmente ter sido optimizado para uma outra
situação (por exemplo para uma velocidade
horizontal elevada).
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 28Teoria do momento linear - Pairar
horizontal elevada).
Efeitos não - ideaisEfeitos não - ideais
• Até agora considerámos uma situação ideal• Até agora considerámos uma situação ideal
• Não entrámos em conta com outras situações:
– Escoamento não uniforme– Escoamento não uniforme
– Perdas na ponta da pá
– Rotação no esteira
– Contracção da esteira não ideal
– Número finito de pás
• Podemos entrar em conta com cada um destesfactores o que nos permitirá calcular um valor depotência mais próximo da realidade.
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 29Teoria do momento linear - Pairar
potência mais próximo da realidade.
Efeitos não - ideaisEfeitos não - ideais
• Podemos corrigir o coeficiente de potência• Podemos corrigir o coeficiente de potência
utilizando um factor de correcção (factor de
potência induzida).23
Cpotência induzida).
2
23
TP
CC
iκ=
i de induzida
• Onde κ é o factor de potência induzida
2
• Onde κ é o factor de potência induzida
• O valor típico de κ é à volta de 1.15
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 30Teoria do momento linear - Pairar
• O valor típico de κ é à volta de 1.15
Efeitos não - ideaisEfeitos não - ideais
• Podemos adicionar a resistência aerodinâmica da • Podemos adicionar a resistência aerodinâmica da
pá:
– D (Drag) é a força de resistência por unidade de – D (Drag) é a força de resistência por unidade de
comprimento
– &b (N number b blades) é o número de pás– &b (N number b blades) é o número de pás
– y é a distância do elemento à cabeça do rotor
• A potência para vencer a resistência aerodinâmica• A potência para vencer a resistência aerodinâmica
é (profile power):
∫Ω=R
b dyDy&P0
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 31Teoria do momento linear - Pairar
∫Ω= b dyDy&P
0
0
Efeitos não - ideaisEfeitos não - ideais
• A resistência por unidade de comprimento pode• A resistência por unidade de comprimento pode
ser obtida a partir do coeficiente de resistência da
perfil da secção em causaperfil da secção em causa
( ) 02
2
1dCcyD Ω= ρ
• Assumimos que:
– C é independente de Re e de M
2
– Cd0 é independente de Re e de M
– A pá é rectangular
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 32Teoria do momento linear - Pairar
Efeitos não - ideaisEfeitos não - ideais
• Então a potência para vencer a resistência• Então a potência para vencer a resistência
aerodinâmica é (profile power):
431RCc&P Ω= ρ
• E o respectivo coeficiente :
40
30
8
1RCc&P dbΩ= ρ
• E o respectivo coeficiente :
1 cR& = 1 c& 1
08
10 d
bP C
A
cR&C
=
08
1d
b CR
c&
=
π 08
1dCσ=
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 33Teoria do momento linear - Pairar
8
Efeitos não - ideaisEfeitos não - ideais
• Na expressão anterior introduziu-se a solidez• Na expressão anterior introduziu-se a solidez
(solidity) do rotor :
c&cR&
=
=
R
c&
A
cR& bb
πσ
• Com valores típicos entre 0.07 e 0.12
RA π
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 34Teoria do momento linear - Pairar
Efeitos não - ideaisEfeitos não - ideais
• Então a potência real (actual) poder ser expressa • Então a potência real (actual) poder ser expressa
por:
0PPP CCCia+= 0
8
1
2
23
dT C
Cσκ +=
• Utilizando a expressão acima a eficiência do rotor
0PPP ia 082
d
• Utilizando a expressão acima a eficiência do rotor
vem:
33
+
= 0
8
1
22
23
23
dTT C
CCFM σκ
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 35Teoria do momento linear - Pairar
822
Perdas induzidas na ponta da páPerdas induzidas na ponta da pá
• Há uma parte da pájunto à ponta quejunto à ponta quenão produz tantasustentação devidoao escoamento que
R
ao escoamento que“escapa” da partesuperior para a parte
BR
superior para a parteinferior da pá.
• Podemos entrar em• Podemos entrar emconta com esteefeito utilizando um
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 36Teoria do momento linear - Pairar
efeito utilizando umraio menor BR
Perdas induzidas na ponta da páPerdas induzidas na ponta da pá
• O raio efectivo da pá Re que produz sustentaçãoé menor que o raio geométrico da pá R:
• O raio efectivo da pá Re que produz sustentaçãoé menor que o raio geométrico da pá R:
RRBRe <⋅=
• Onde B<1. A área efectiva do disco é:
RRBRe <⋅=
• Onde B<1. A área efectiva do disco é:
( ) ABRBRA ee222 === ππ
• Que é menor do que a área geométrica do rotorpor um factor de B2.
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 37Teoria do momento linear - Pairar
por um factor de B2.
Perdas induzidas na ponta da páPerdas induzidas na ponta da pá
• Há várias propostas para calcular o factor B:• Há várias propostas para calcular o factor B:
– Teoria de Prandtl
2
386.11 i
&B
λ
λ
+−=
– Podemos fazer a seguinte aproximação para rotores de
211
ib&B
λ+−=
– Podemos fazer a seguinte aproximação para rotores de
HelicópterosT
&
CB −=1
Dado que λh é pequeno e é relacionado, ao pairar, com CT:b&
B −=1
=λHelicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 38Teoria do momento linear - Pairar
2Th C=λ
Perdas induzidas na ponta da páPerdas induzidas na ponta da pá
• Há aproximações empíricas:c
• Há aproximações empíricas:
– Gessow & Meyers
c é a corda da ponta da pá R
cB
21−=
c é a corda da ponta da pá R2
( )c 7.01 τ+– Sissingh
( )R
cB r
5.1
7.011 0 τ+
−=
c0 é a corda da raiz e τr é o afilamento (rácio) da pá
R5.1
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 39Teoria do momento linear - Pairar
Coeficiente de carregamento da páCoeficiente de carregamento da pá
• O coeficiente de carregamento da pá é definido• O coeficiente de carregamento da pá é definido
por:
=σTC
( ) A
A
RA
T2
Ωρ ( )2RA
T
Ω=
ρ
– Onde Ab é a área das pás
=σ ( ) bARA
2Ωρ ( )2RAb Ω
=ρ
– Onde Ab é a área das pás
• O valor máximo realizável é cerca de 0.12
devido à ocorrência da entrada em perda da pá.devido à ocorrência da entrada em perda da pá.
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 40Teoria do momento linear - Pairar
Carregamento de potênciaCarregamento de potência
• O carregamento de potência foi definido como:• O carregamento de potência foi definido como:
P
W
P
TPL ==
( )T
CR
C
Ω=
• Dado que
– T depende de (ΩR)2
PP ( ) PCRΩ
– T depende de (ΩR)2
– P depende de (ΩR)3
• Para maximizar PL →ΩR deve ser mínimo
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 41Teoria do momento linear - Pairar
Carregamento de potênciaCarregamento de potência
• Substituindo as relações obtidas:• Substituindo as relações obtidas:
AT
T
T
P
ρ2
23
=A
T
ρ2=
ρ2
DL= hv= ( ) 1−
= PL
• Ou utilizando a teoria do momento linear
ATT ρ2=
Aρ2=
ρ2= hv= ( )= PL
• Ou utilizando a teoria do momento linear
modificada:PTP
T
P
A
T
T
P 0
2+=
ρκ
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 42Teoria do momento linear - Pairar
TAT 2ρ
Carregamento de potênciaCarregamento de potência
• Podemos também escrever:• Podemos também escrever:
PCRP
Ω=
+Ω= PTCC
R 0κT
P
C
CR
T
PΩ=
+Ω=
T
PT
C
CCR 0
2κ
+
Ω=
82
023
dT CC
C
R σκ
+=82TC
κ
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 43Teoria do momento linear - Pairar
Carregamento de potênciaCarregamento de potência
• De outro modo:• De outro modo:
DLDLP∝=
• Ou seja:
FMFMT∝=
ρ2
• Ou seja:
( ) FMactualPL ∝( )
DL
FMactualPL ∝
Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 44Teoria do momento linear - Pairar
Recommended