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Teste de hipóteses
Tiago M. Magalhães
Departamento de Estatística - ICE-UFJF
Juiz de Fora, 25 de outubro de 2019
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 1 / 45
Roteiro
1 Teste de hipóteses
2 Valor-p
3 Principais teste de hipóteses
4 Teste de hipóteses para tabelas de contingência
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 2 / 45
Roteiro
1 Teste de hipóteses
2 Valor-p
3 Principais teste de hipóteses
4 Teste de hipóteses para tabelas de contingência
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 3 / 45
Teste de hipóteses
Hipótese estatística
É uma suposição que se faz, a partir de uma amostra, quanto ao pa-
râmetro da distribuição ou quanto a natureza da população (testes não-
paramétricos).
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 4 / 45
Teste de hipóteses
Hipótese estatísticaÉ uma suposição que se faz, a partir de uma amostra, quanto ao pa-
râmetro da distribuição ou quanto a natureza da população (testes não-
paramétricos).
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 4 / 45
Teste de hipóteses
Hipótese estatísticaÉ uma suposição que se faz, a partir de uma amostra, quanto ao pa-
râmetro da distribuição ou quanto a natureza da população (testes não-
paramétricos).
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 4 / 45
Teste de hipóteses
Tipos de hipóteses
H0 : hipótese de nulidade
H1 : hipótese alternativa
Teste de hipótesesÉ uma regra de decisão que consiste em aceitar ou rejeitar H0, baseado nos
dados amostrais.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 5 / 45
Teste de hipóteses
Tipos de hipóteses H0 : hipótese de nulidade
H1 : hipótese alternativa
Teste de hipóteses
É uma regra de decisão que consiste em aceitar ou rejeitar H0, baseado nos
dados amostrais.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 5 / 45
Teste de hipóteses
Tipos de hipóteses H0 : hipótese de nulidade
H1 : hipótese alternativa
Teste de hipóteses
É uma regra de decisão que consiste em aceitar ou rejeitar H0, baseado nos
dados amostrais.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 5 / 45
Teste de hipóteses
Tipos de hipóteses H0 : hipótese de nulidade
H1 : hipótese alternativa
Teste de hipótesesÉ uma regra de decisão que consiste em aceitar ou rejeitar H0, baseado nos
dados amostrais.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 5 / 45
Teste de hipóteses
Tipos de hipóteses H0 : hipótese de nulidade
H1 : hipótese alternativa
Teste de hipótesesÉ uma regra de decisão que consiste em aceitar ou rejeitar H0, baseado nos
dados amostrais.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 5 / 45
Exemplos
Sorteamos uma pessoa e as hipóteses são construídas em relação à nacio-
nalidade: H0 : Brasileira
H1 : Não brasileira
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 6 / 45
Exemplos
Sorteamos uma pessoa e as hipóteses são construídas em relação à nacio-
nalidade: H0 : Brasileira
H1 : Não brasileira
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 6 / 45
Exemplos
Em um estudo sobre a média salarial da população brasileira, deseja-se
avaliar: H0 : µ = 1000
H1 : µ 6= 1000
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 7 / 45
Exemplos
Em um estudo sobre a média salarial da população brasileira, deseja-se
avaliar: H0 : µ = 1000
H1 : µ 6= 1000
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 7 / 45
Exemplos
O mesmo estudo anterior, mas avaliando a diferença salarial entre homens
e mulheres: H0 : µ1 − µ2 = 0
H1 : µ1 − µ2 6= 0
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 8 / 45
Exemplos
O mesmo estudo anterior, mas avaliando a diferença salarial entre homens
e mulheres: H0 : µ1 − µ2 = 0
H1 : µ1 − µ2 6= 0
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 8 / 45
Exemplos
Um estudo sobre a proporção de estudantes que conseguem emprego, em
até um ano, após a formatura: H0 : p ≥ 0, 5
H1 : p < 0, 5
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 9 / 45
Exemplos
Um estudo sobre a proporção de estudantes que conseguem emprego, em
até um ano, após a formatura: H0 : p ≥ 0, 5
H1 : p < 0, 5
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 9 / 45
Teste de hipóteses
Tipos de erro
Erro do tipo I (α). Probabilidade de rejeitarmos H0 quando H0 é
verdadeira.
Erro do tipo II (β). Probabilidade de aceitarmos H0 quando H0 é falsa.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 10 / 45
Teste de hipóteses
Tipos de erroErro do tipo I (α).
Probabilidade de rejeitarmos H0 quando H0 é
verdadeira.
Erro do tipo II (β). Probabilidade de aceitarmos H0 quando H0 é falsa.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 10 / 45
Teste de hipóteses
Tipos de erroErro do tipo I (α). Probabilidade de rejeitarmos H0 quando H0 é
verdadeira.
Erro do tipo II (β). Probabilidade de aceitarmos H0 quando H0 é falsa.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 10 / 45
Teste de hipóteses
Tipos de erroErro do tipo I (α). Probabilidade de rejeitarmos H0 quando H0 é
verdadeira.
Erro do tipo II (β).
Probabilidade de aceitarmos H0 quando H0 é falsa.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 10 / 45
Teste de hipóteses
Tipos de erroErro do tipo I (α). Probabilidade de rejeitarmos H0 quando H0 é
verdadeira.
Erro do tipo II (β). Probabilidade de aceitarmos H0 quando H0 é falsa.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 10 / 45
Teste de hipóteses
Tipos de erroErro do tipo I (α). Probabilidade de rejeitarmos H0 quando H0 é
verdadeira.
Erro do tipo II (β). Probabilidade de aceitarmos H0 quando H0 é falsa.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 10 / 45
Teste de hipóteses
Decisão
Rejeitar H0 Aceitar H0
H0 verdade Erro do tipo I Decisão correta
H0 falsa Decisão correta Erro do tipo II
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 11 / 45
Teste de hipóteses
Decisão
Rejeitar H0 Aceitar H0
H0 verdade Erro do tipo I Decisão correta
H0 falsa Decisão correta Erro do tipo II
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 11 / 45
Exemplo
No estudo da proporção de alunos empregados, foi amostrado 20 dos for-
mados nos últimos 12 meses e todos ainda estavam desempregados após
um ano de formatura, isto é, a proporção (frequência) amostral foi igual a
zero. Porém, após um Censo, verificou-se que a proporção populacional era
0,75. Portanto, ocorreu o Erro do Tipo I.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 12 / 45
Exemplo
No estudo da proporção de alunos empregados, foi amostrado 20 dos for-
mados nos últimos 12 meses e todos ainda estavam desempregados após
um ano de formatura, isto é, a proporção (frequência) amostral foi igual a
zero. Porém, após um Censo, verificou-se que a proporção populacional era
0,75. Portanto, ocorreu o Erro do Tipo I.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 12 / 45
Procedimento para a realização de um teste de hipóteses
1 Enunciar as hipóteses H0 e H1.
2 Fixar o nível de significância, α, e identificar a distribuição associada
ao teste (normal, t, F, χ2).
3 Determinar as regiões de aceitação e rejeição de H0, baseados na hi-
pótese alternativa e no nível de significância.
4 Calcular a estatística do teste(
Z = X̄−µσ/√
n ; t = X̄−µS/√
n ; F = S2max
S2min
).
5 Conclusão: consiste em aceitar ou rejeitar H0, baseados em (3) e (4).
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 13 / 45
Procedimento para a realização de um teste de hipóteses
1 Enunciar as hipóteses H0 e H1.
2 Fixar o nível de significância, α, e identificar a distribuição associada
ao teste (normal, t, F, χ2).
3 Determinar as regiões de aceitação e rejeição de H0, baseados na hi-
pótese alternativa e no nível de significância.
4 Calcular a estatística do teste(
Z = X̄−µσ/√
n ; t = X̄−µS/√
n ; F = S2max
S2min
).
5 Conclusão: consiste em aceitar ou rejeitar H0, baseados em (3) e (4).
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 13 / 45
Procedimento para a realização de um teste de hipóteses
1 Enunciar as hipóteses H0 e H1.
2 Fixar o nível de significância, α, e identificar a distribuição associada
ao teste (normal, t, F, χ2).
3 Determinar as regiões de aceitação e rejeição de H0, baseados na hi-
pótese alternativa e no nível de significância.
4 Calcular a estatística do teste(
Z = X̄−µσ/√
n ; t = X̄−µS/√
n ; F = S2max
S2min
).
5 Conclusão: consiste em aceitar ou rejeitar H0, baseados em (3) e (4).
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 13 / 45
Procedimento para a realização de um teste de hipóteses
1 Enunciar as hipóteses H0 e H1.
2 Fixar o nível de significância, α, e identificar a distribuição associada
ao teste (normal, t, F, χ2).
3 Determinar as regiões de aceitação e rejeição de H0, baseados na hi-
pótese alternativa e no nível de significância.
4 Calcular a estatística do teste(
Z = X̄−µσ/√
n ; t = X̄−µS/√
n ; F = S2max
S2min
).
5 Conclusão: consiste em aceitar ou rejeitar H0, baseados em (3) e (4).
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 13 / 45
Procedimento para a realização de um teste de hipóteses
1 Enunciar as hipóteses H0 e H1.
2 Fixar o nível de significância, α, e identificar a distribuição associada
ao teste (normal, t, F, χ2).
3 Determinar as regiões de aceitação e rejeição de H0, baseados na hi-
pótese alternativa e no nível de significância.
4 Calcular a estatística do teste(
Z = X̄−µσ/√
n ; t = X̄−µS/√
n ; F = S2max
S2min
).
5 Conclusão: consiste em aceitar ou rejeitar H0, baseados em (3) e (4).
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 13 / 45
Procedimento para a realização de um teste de hipóteses
1 Enunciar as hipóteses H0 e H1.
2 Fixar o nível de significância, α, e identificar a distribuição associada
ao teste (normal, t, F, χ2).
3 Determinar as regiões de aceitação e rejeição de H0, baseados na hi-
pótese alternativa e no nível de significância.
4 Calcular a estatística do teste(
Z = X̄−µσ/√
n ; t = X̄−µS/√
n ; F = S2max
S2min
).
5 Conclusão: consiste em aceitar ou rejeitar H0, baseados em (3) e (4).
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 13 / 45
Roteiro
1 Teste de hipóteses
2 Valor-p
3 Principais teste de hipóteses
4 Teste de hipóteses para tabelas de contingência
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 14 / 45
Valor-p
Definição
O valor-p (ou nível descritivo) é a probabilidade de se obter uma estatística
de teste igual ou mais extrema que aquela observada em uma amostra, sob
a hipótese nula.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 15 / 45
Valor-p
DefiniçãoO valor-p (ou nível descritivo) é a probabilidade de se obter uma estatística
de teste igual ou mais extrema que aquela observada em uma amostra, sob
a hipótese nula.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 15 / 45
Valor-p
DefiniçãoO valor-p (ou nível descritivo) é a probabilidade de se obter uma estatística
de teste igual ou mais extrema que aquela observada em uma amostra, sob
a hipótese nula.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 15 / 45
Valor-p
Seja S uma estatística do teste qualquer e s o valor obtido com a amostra,
o valor-p é calculado da seguinte forma:
P(S ≥ s|H0) para testes unilaterais à direita.
P(S ≤ s|H0) para testes unilaterais à esquerda.
2×min {P(S ≤ s|H0), P(S ≥ s|H0)} para testes bilaterais.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 16 / 45
Valor-p
Seja S uma estatística do teste qualquer e s o valor obtido com a amostra,
o valor-p é calculado da seguinte forma:
P(S ≥ s|H0) para testes unilaterais à direita.
P(S ≤ s|H0) para testes unilaterais à esquerda.
2×min {P(S ≤ s|H0), P(S ≥ s|H0)} para testes bilaterais.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 16 / 45
Valor-p
Seja S uma estatística do teste qualquer e s o valor obtido com a amostra,
o valor-p é calculado da seguinte forma:
P(S ≥ s|H0) para testes unilaterais à direita.
P(S ≤ s|H0) para testes unilaterais à esquerda.
2×min {P(S ≤ s|H0), P(S ≥ s|H0)} para testes bilaterais.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 16 / 45
Valor-p
Seja S uma estatística do teste qualquer e s o valor obtido com a amostra,
o valor-p é calculado da seguinte forma:
P(S ≥ s|H0) para testes unilaterais à direita.
P(S ≤ s|H0) para testes unilaterais à esquerda.
2×min {P(S ≤ s|H0), P(S ≥ s|H0)} para testes bilaterais.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 16 / 45
Valor-p
Seja S uma estatística do teste qualquer e s o valor obtido com a amostra,
o valor-p é calculado da seguinte forma:
P(S ≥ s|H0) para testes unilaterais à direita.
P(S ≤ s|H0) para testes unilaterais à esquerda.
2×min {P(S ≤ s|H0), P(S ≥ s|H0)} para testes bilaterais.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 16 / 45
Valor-p
Interpretação
Um valor-p pequeno significa que a probabilidade de obter um valor da
estatística de teste como o observado é muito improvável, levando assim à
rejeição da hipótese nula.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 17 / 45
Valor-p
InterpretaçãoUm valor-p pequeno significa que a probabilidade de obter um valor da
estatística de teste como o observado é muito improvável, levando assim à
rejeição da hipótese nula.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 17 / 45
Valor-p
InterpretaçãoUm valor-p pequeno significa que a probabilidade de obter um valor da
estatística de teste como o observado é muito improvável, levando assim à
rejeição da hipótese nula.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 17 / 45
Roteiro
1 Teste de hipóteses
2 Valor-p
3 Principais teste de hipóteses
4 Teste de hipóteses para tabelas de contingência
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 18 / 45
Teste de hipóteses para média µ
1o caso.
A variância populacional é conhecida.
1
H0 : µ = µ0
(a) H1 : µ 6= µ0 (bilateral)
(b) H1 : µ > µ0 (unilateral à direita)
(c) H1 : µ < µ0 (unilateral à esquerda)
2 Fixar α, com distribuição associada normal padrão.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 19 / 45
Teste de hipóteses para média µ
1o caso. A variância populacional é conhecida.
1
H0 : µ = µ0
(a) H1 : µ 6= µ0 (bilateral)
(b) H1 : µ > µ0 (unilateral à direita)
(c) H1 : µ < µ0 (unilateral à esquerda)
2 Fixar α, com distribuição associada normal padrão.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 19 / 45
Teste de hipóteses para média µ
1o caso. A variância populacional é conhecida.
1
H0 : µ = µ0
(a) H1 : µ 6= µ0 (bilateral)
(b) H1 : µ > µ0 (unilateral à direita)
(c) H1 : µ < µ0 (unilateral à esquerda)
2 Fixar α, com distribuição associada normal padrão.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 19 / 45
Teste de hipóteses para média µ
1o caso. A variância populacional é conhecida.
1
H0 : µ = µ0
(a) H1 : µ 6= µ0 (bilateral)
(b) H1 : µ > µ0 (unilateral à direita)
(c) H1 : µ < µ0 (unilateral à esquerda)
2 Fixar α, com distribuição associada normal padrão.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 19 / 45
Teste de hipóteses para média µ
1o caso. A variância populacional é conhecida.
1
H0 : µ = µ0
(a) H1 : µ 6= µ0 (bilateral)
(b) H1 : µ > µ0 (unilateral à direita)
(c) H1 : µ < µ0 (unilateral à esquerda)
2 Fixar α, com distribuição associada normal padrão.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 19 / 45
Região de
rejeição de
H0
(α 2)
Região de
aceitação de
H0
(1 − α)
Região de
rejeição de
H0
(α 2)
− zα 2 0 zα 2x
f(x)
Figura 1: Região crítica para H1 (a), bilateral
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 20 / 45
Região de
aceitação de
H0
(1 − α)
Região de
rejeição de
H0
(α)
0 zαx
f(x)
Figura 2: Região crítica para H1 (b), unilateral à direita
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 21 / 45
Região de
rejeição de
H0
(α)
Região de
aceitação de
H0
(1 − α)
− zα 2 0x
f(x)
Figura 3: Região crítica para H1 (c), unilateral à esquerda
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 22 / 45
Teste de hipóteses para média µ
4. Calcular a estatística do teste:
Zc = X̄ − µ0σ/√
n .
5. Conclusão:
(a) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc < Zα/2.
(b) aceitaremos H0 se Zc < Zα.
(c) aceitaremos H0 se −Zα < Zc .
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 23 / 45
Teste de hipóteses para média µ
4. Calcular a estatística do teste:
Zc = X̄ − µ0σ/√
n .
5. Conclusão:
(a) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc < Zα/2.
(b) aceitaremos H0 se Zc < Zα.
(c) aceitaremos H0 se −Zα < Zc .
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 23 / 45
Teste de hipóteses para média µ
4. Calcular a estatística do teste:
Zc = X̄ − µ0σ/√
n .
5. Conclusão:
(a) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc < Zα/2.
(b) aceitaremos H0 se Zc < Zα.
(c) aceitaremos H0 se −Zα < Zc .
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 23 / 45
Teste de hipóteses para média µ
4. Calcular a estatística do teste:
Zc = X̄ − µ0σ/√
n .
5. Conclusão:
(a) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc < Zα/2.
(b) aceitaremos H0 se Zc < Zα.
(c) aceitaremos H0 se −Zα < Zc .
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 23 / 45
Teste de hipóteses para média µ
4. Calcular a estatística do teste:
Zc = X̄ − µ0σ/√
n .
5. Conclusão:
(a) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc < Zα/2.
(b) aceitaremos H0 se Zc < Zα.
(c) aceitaremos H0 se −Zα < Zc .
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 23 / 45
Teste de hipóteses para média µ
4. Calcular a estatística do teste:
Zc = X̄ − µ0σ/√
n .
5. Conclusão:
(a) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc < Zα/2.
(b) aceitaremos H0 se Zc < Zα.
(c) aceitaremos H0 se −Zα < Zc .
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 23 / 45
Teste de hipóteses para média µ
4. Calcular a estatística do teste:
Zc = X̄ − µ0σ/√
n .
5. Conclusão:
(a) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc < Zα/2.
(b) aceitaremos H0 se Zc < Zα.
(c) aceitaremos H0 se −Zα < Zc .
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 23 / 45
Teste de hipóteses para média µ
4. Calcular a estatística do teste:
Zc = X̄ − µ0σ/√
n .
5. Conclusão:
(a) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc < Zα/2.
(b) aceitaremos H0 se Zc < Zα.
(c) aceitaremos H0 se −Zα < Zc .
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 23 / 45
Exercício
Os indivíduos de um país apresentam altura média de 170cm e desvio padrão
de 5cm, com a altura seguindo uma distribuição normal.
Uma amostra de
40 indivíduos apresentou média 167cm. Podemos afirmar ao nível de 5%
que essa amostra é formada por indivíduos desse país?
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 24 / 45
Exercício
Os indivíduos de um país apresentam altura média de 170cm e desvio padrão
de 5cm, com a altura seguindo uma distribuição normal. Uma amostra de
40 indivíduos apresentou média 167cm.
Podemos afirmar ao nível de 5%
que essa amostra é formada por indivíduos desse país?
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 24 / 45
Exercício
Os indivíduos de um país apresentam altura média de 170cm e desvio padrão
de 5cm, com a altura seguindo uma distribuição normal. Uma amostra de
40 indivíduos apresentou média 167cm. Podemos afirmar ao nível de 5%
que essa amostra é formada por indivíduos desse país?
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 24 / 45
Exercício
Os indivíduos de um país apresentam altura média de 170cm e desvio padrão
de 5cm, com a altura seguindo uma distribuição normal. Uma amostra de
40 indivíduos apresentou média 167cm. Podemos afirmar ao nível de 5%
que essa amostra é formada por indivíduos desse país?
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 24 / 45
Teste de hipóteses para média µ
2o caso.
A variância populacional é desconhecida e n > 30, a estatística do
teste é dada por:
Zc = X̄ − µ0S/√
n ,
em que S é o desvio padrão da amostra.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 25 / 45
Teste de hipóteses para média µ
2o caso. A variância populacional é desconhecida e n > 30, a estatística do
teste é dada por:
Zc = X̄ − µ0S/√
n ,
em que S é o desvio padrão da amostra.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 25 / 45
Teste de hipóteses para média µ
2o caso. A variância populacional é desconhecida e n > 30, a estatística do
teste é dada por:
Zc = X̄ − µ0S/√
n ,
em que S é o desvio padrão da amostra.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 25 / 45
Teste de hipóteses para média µ
2o caso. A variância populacional é desconhecida e n > 30, a estatística do
teste é dada por:
Zc = X̄ − µ0S/√
n ,
em que S é o desvio padrão da amostra.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 25 / 45
Teste de hipóteses para a proporção
1
H0 : p = p0
(a) H1 : p 6= p0 (bilateral)
(b) H1 : p > p0 (unilateral à direita)
(c) H1 : p < p0 (unilateral à esquerda)
2 Fixar α, com distribuição associada normal padrão.
3 Região crítica: as mesmas apresentadas nas Figuras 1 a 3.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 26 / 45
Teste de hipóteses para a proporção
1
H0 : p = p0
(a) H1 : p 6= p0 (bilateral)
(b) H1 : p > p0 (unilateral à direita)
(c) H1 : p < p0 (unilateral à esquerda)
2 Fixar α, com distribuição associada normal padrão.
3 Região crítica: as mesmas apresentadas nas Figuras 1 a 3.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 26 / 45
Teste de hipóteses para a proporção
1
H0 : p = p0
(a) H1 : p 6= p0 (bilateral)
(b) H1 : p > p0 (unilateral à direita)
(c) H1 : p < p0 (unilateral à esquerda)
2 Fixar α, com distribuição associada normal padrão.
3 Região crítica: as mesmas apresentadas nas Figuras 1 a 3.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 26 / 45
Teste de hipóteses para a proporção
1
H0 : p = p0
(a) H1 : p 6= p0 (bilateral)
(b) H1 : p > p0 (unilateral à direita)
(c) H1 : p < p0 (unilateral à esquerda)
2 Fixar α, com distribuição associada normal padrão.
3 Região crítica: as mesmas apresentadas nas Figuras 1 a 3.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 26 / 45
Teste de hipóteses para a proporção
4. Calcular a estatística do teste:
Zc = f − p0√p0(1−p0)
n
.
5. Conclusão:
(a) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc < Zα/2.
(b) aceitaremos H0 se Zc < Zα.
(c) aceitaremos H0 se −Zα < Zc .
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 27 / 45
Teste de hipóteses para a proporção
4. Calcular a estatística do teste:
Zc = f − p0√p0(1−p0)
n
.
5. Conclusão:
(a) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc < Zα/2.
(b) aceitaremos H0 se Zc < Zα.
(c) aceitaremos H0 se −Zα < Zc .
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 27 / 45
Teste de hipóteses para a proporção
4. Calcular a estatística do teste:
Zc = f − p0√p0(1−p0)
n
.
5. Conclusão:
(a) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc < Zα/2.
(b) aceitaremos H0 se Zc < Zα.
(c) aceitaremos H0 se −Zα < Zc .
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 27 / 45
Teste de hipóteses para a proporção
4. Calcular a estatística do teste:
Zc = f − p0√p0(1−p0)
n
.
5. Conclusão:
(a) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc < Zα/2.
(b) aceitaremos H0 se Zc < Zα.
(c) aceitaremos H0 se −Zα < Zc .
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 27 / 45
Teste de hipóteses para a proporção
4. Calcular a estatística do teste:
Zc = f − p0√p0(1−p0)
n
.
5. Conclusão:
(a) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc < Zα/2.
(b) aceitaremos H0 se Zc < Zα.
(c) aceitaremos H0 se −Zα < Zc .
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 27 / 45
Teste de hipóteses para a proporção
4. Calcular a estatística do teste:
Zc = f − p0√p0(1−p0)
n
.
5. Conclusão:
(a) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc < Zα/2.
(b) aceitaremos H0 se Zc < Zα.
(c) aceitaremos H0 se −Zα < Zc .
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 27 / 45
Teste de hipóteses para a proporção
4. Calcular a estatística do teste:
Zc = f − p0√p0(1−p0)
n
.
5. Conclusão:
(a) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc < Zα/2.
(b) aceitaremos H0 se Zc < Zα.
(c) aceitaremos H0 se −Zα < Zc .
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 27 / 45
Exercício
Um fabricante de droga medicinal afirma que ela é eficaz em pelo menos
90% do casos de alergia.
Em uma amostra de 200 pacientes, a droga
curou 150 pessoas. A um nível de significância de 1% (z0,01 = −2, 33), a
afirmação do fabricante é legítima?
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 28 / 45
Exercício
Um fabricante de droga medicinal afirma que ela é eficaz em pelo menos
90% do casos de alergia. Em uma amostra de 200 pacientes, a droga
curou 150 pessoas.
A um nível de significância de 1% (z0,01 = −2, 33), a
afirmação do fabricante é legítima?
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 28 / 45
Exercício
Um fabricante de droga medicinal afirma que ela é eficaz em pelo menos
90% do casos de alergia. Em uma amostra de 200 pacientes, a droga
curou 150 pessoas. A um nível de significância de 1% (z0,01 = −2, 33), a
afirmação do fabricante é legítima?
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 28 / 45
Exercício
Um fabricante de droga medicinal afirma que ela é eficaz em pelo menos
90% do casos de alergia. Em uma amostra de 200 pacientes, a droga
curou 150 pessoas. A um nível de significância de 1% (z0,01 = −2, 33), a
afirmação do fabricante é legítima?
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 28 / 45
Teste de hipóteses para a diferença entre as médias
1o caso.
As variâncias populacionais são conhecidas.
1
H0 : µ1 − µ2 = δ
(a) H1 : µ1 − µ2 6= δ (bilateral)
(b) H1 : µ1 − µ2 > δ (unilateral à direita)
(c) H1 : µ1 − µ2 < δ (unilateral à esquerda)
2 Fixar α, com distribuição associada normal padrão.
3 Região crítica: as mesmas apresentadas nas Figuras 1 a 3.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 29 / 45
Teste de hipóteses para a diferença entre as médias
1o caso. As variâncias populacionais são conhecidas.
1
H0 : µ1 − µ2 = δ
(a) H1 : µ1 − µ2 6= δ (bilateral)
(b) H1 : µ1 − µ2 > δ (unilateral à direita)
(c) H1 : µ1 − µ2 < δ (unilateral à esquerda)
2 Fixar α, com distribuição associada normal padrão.
3 Região crítica: as mesmas apresentadas nas Figuras 1 a 3.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 29 / 45
Teste de hipóteses para a diferença entre as médias
1o caso. As variâncias populacionais são conhecidas.
1
H0 : µ1 − µ2 = δ
(a) H1 : µ1 − µ2 6= δ (bilateral)
(b) H1 : µ1 − µ2 > δ (unilateral à direita)
(c) H1 : µ1 − µ2 < δ (unilateral à esquerda)
2 Fixar α, com distribuição associada normal padrão.
3 Região crítica: as mesmas apresentadas nas Figuras 1 a 3.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 29 / 45
Teste de hipóteses para a diferença entre as médias
1o caso. As variâncias populacionais são conhecidas.
1
H0 : µ1 − µ2 = δ
(a) H1 : µ1 − µ2 6= δ (bilateral)
(b) H1 : µ1 − µ2 > δ (unilateral à direita)
(c) H1 : µ1 − µ2 < δ (unilateral à esquerda)
2 Fixar α, com distribuição associada normal padrão.
3 Região crítica: as mesmas apresentadas nas Figuras 1 a 3.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 29 / 45
Teste de hipóteses para a diferença entre as médias
1o caso. As variâncias populacionais são conhecidas.
1
H0 : µ1 − µ2 = δ
(a) H1 : µ1 − µ2 6= δ (bilateral)
(b) H1 : µ1 − µ2 > δ (unilateral à direita)
(c) H1 : µ1 − µ2 < δ (unilateral à esquerda)
2 Fixar α, com distribuição associada normal padrão.
3 Região crítica: as mesmas apresentadas nas Figuras 1 a 3.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 29 / 45
Teste de hipóteses para a diferença entre as médias
1o caso. As variâncias populacionais são conhecidas.
1
H0 : µ1 − µ2 = δ
(a) H1 : µ1 − µ2 6= δ (bilateral)
(b) H1 : µ1 − µ2 > δ (unilateral à direita)
(c) H1 : µ1 − µ2 < δ (unilateral à esquerda)
2 Fixar α, com distribuição associada normal padrão.
3 Região crítica: as mesmas apresentadas nas Figuras 1 a 3.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 29 / 45
Teste de hipóteses para a diferença entre as médias
4. Calcular a estatística do teste:
Zc = (X̄1 − X̄2)− δ√σ2
1n1
+ σ22
n2
.
5. Conclusão:
(a) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc < Zα/2.
(b) aceitaremos H0 se Zc < Zα.
(c) aceitaremos H0 se −Zα < Zc .
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 30 / 45
Teste de hipóteses para a diferença entre as médias
4. Calcular a estatística do teste:
Zc = (X̄1 − X̄2)− δ√σ2
1n1
+ σ22
n2
.
5. Conclusão:
(a) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc < Zα/2.
(b) aceitaremos H0 se Zc < Zα.
(c) aceitaremos H0 se −Zα < Zc .
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 30 / 45
Teste de hipóteses para a diferença entre as médias
4. Calcular a estatística do teste:
Zc = (X̄1 − X̄2)− δ√σ2
1n1
+ σ22
n2
.
5. Conclusão:
(a) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc < Zα/2.
(b) aceitaremos H0 se Zc < Zα.
(c) aceitaremos H0 se −Zα < Zc .
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 30 / 45
Teste de hipóteses para a diferença entre as médias
4. Calcular a estatística do teste:
Zc = (X̄1 − X̄2)− δ√σ2
1n1
+ σ22
n2
.
5. Conclusão:
(a) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc < Zα/2.
(b) aceitaremos H0 se Zc < Zα.
(c) aceitaremos H0 se −Zα < Zc .
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 30 / 45
Teste de hipóteses para a diferença entre as médias
4. Calcular a estatística do teste:
Zc = (X̄1 − X̄2)− δ√σ2
1n1
+ σ22
n2
.
5. Conclusão:
(a) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc < Zα/2.
(b) aceitaremos H0 se Zc < Zα.
(c) aceitaremos H0 se −Zα < Zc .
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 30 / 45
Teste de hipóteses para a diferença entre as médias
4. Calcular a estatística do teste:
Zc = (X̄1 − X̄2)− δ√σ2
1n1
+ σ22
n2
.
5. Conclusão:
(a) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc < Zα/2.
(b) aceitaremos H0 se Zc < Zα.
(c) aceitaremos H0 se −Zα < Zc .
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 30 / 45
Teste de hipóteses para a diferença entre as médias
4. Calcular a estatística do teste:
Zc = (X̄1 − X̄2)− δ√σ2
1n1
+ σ22
n2
.
5. Conclusão:
(a) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc < Zα/2.
(b) aceitaremos H0 se Zc < Zα.
(c) aceitaremos H0 se −Zα < Zc .
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 30 / 45
Exercício
Testar a hipótese da igualdade entre as médias, usando α = 4% (z0,04 =
2, 05), para o seguinte resultado amostral:
Amostra 1: n1 = 60; X̄1 = 5, 71; σ21 = 43.
Amostra 2: n2 = 35; X̄2 = 4, 12; σ22 = 28.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 31 / 45
Exercício
Testar a hipótese da igualdade entre as médias, usando α = 4% (z0,04 =
2, 05), para o seguinte resultado amostral:
Amostra 1: n1 = 60; X̄1 = 5, 71; σ21 = 43.
Amostra 2: n2 = 35; X̄2 = 4, 12; σ22 = 28.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 31 / 45
Exercício
Testar a hipótese da igualdade entre as médias, usando α = 4% (z0,04 =
2, 05), para o seguinte resultado amostral:
Amostra 1: n1 = 60; X̄1 = 5, 71; σ21 = 43.
Amostra 2: n2 = 35; X̄2 = 4, 12; σ22 = 28.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 31 / 45
Teste de hipóteses para a diferença entre as proporções
1
H0 : p1 − p2 = δ
(a) H1 : p1 − p2 6= δ (bilateral)
(b) H1 : p1 − p2 > δ (unilateral à direita)
(c) H1 : p1 − p2 < δ (unilateral à esquerda)
2 Fixar α, com distribuição associada normal padrão.
3 Região crítica: as mesmas apresentadas nas Figuras 1 a 3.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 32 / 45
Teste de hipóteses para a diferença entre as proporções
1
H0 : p1 − p2 = δ
(a) H1 : p1 − p2 6= δ (bilateral)
(b) H1 : p1 − p2 > δ (unilateral à direita)
(c) H1 : p1 − p2 < δ (unilateral à esquerda)
2 Fixar α, com distribuição associada normal padrão.
3 Região crítica: as mesmas apresentadas nas Figuras 1 a 3.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 32 / 45
Teste de hipóteses para a diferença entre as proporções
1
H0 : p1 − p2 = δ
(a) H1 : p1 − p2 6= δ (bilateral)
(b) H1 : p1 − p2 > δ (unilateral à direita)
(c) H1 : p1 − p2 < δ (unilateral à esquerda)
2 Fixar α, com distribuição associada normal padrão.
3 Região crítica: as mesmas apresentadas nas Figuras 1 a 3.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 32 / 45
Teste de hipóteses para a diferença entre as proporções
1
H0 : p1 − p2 = δ
(a) H1 : p1 − p2 6= δ (bilateral)
(b) H1 : p1 − p2 > δ (unilateral à direita)
(c) H1 : p1 − p2 < δ (unilateral à esquerda)
2 Fixar α, com distribuição associada normal padrão.
3 Região crítica: as mesmas apresentadas nas Figuras 1 a 3.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 32 / 45
Teste de hipóteses para a diferença entre as proporções
1
H0 : p1 − p2 = δ
(a) H1 : p1 − p2 6= δ (bilateral)
(b) H1 : p1 − p2 > δ (unilateral à direita)
(c) H1 : p1 − p2 < δ (unilateral à esquerda)
2 Fixar α, com distribuição associada normal padrão.
3 Região crítica: as mesmas apresentadas nas Figuras 1 a 3.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 32 / 45
Teste de hipóteses para a diferença entre as proporções
4. Calcular a estatística do teste:
Zc = (f1 − f2)− δ√f1(1−f1)
n1+ f2(1−f2)
n2
.
5. Conclusão:
(a) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc < Zα/2.
(b) aceitaremos H0 se Zc < Zα.
(c) aceitaremos H0 se −Zα < Zc .
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 33 / 45
Teste de hipóteses para a diferença entre as proporções
4. Calcular a estatística do teste:
Zc = (f1 − f2)− δ√f1(1−f1)
n1+ f2(1−f2)
n2
.
5. Conclusão:
(a) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc < Zα/2.
(b) aceitaremos H0 se Zc < Zα.
(c) aceitaremos H0 se −Zα < Zc .
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 33 / 45
Teste de hipóteses para a diferença entre as proporções
4. Calcular a estatística do teste:
Zc = (f1 − f2)− δ√f1(1−f1)
n1+ f2(1−f2)
n2
.
5. Conclusão:
(a) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc < Zα/2.
(b) aceitaremos H0 se Zc < Zα.
(c) aceitaremos H0 se −Zα < Zc .
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 33 / 45
Teste de hipóteses para a diferença entre as proporções
4. Calcular a estatística do teste:
Zc = (f1 − f2)− δ√f1(1−f1)
n1+ f2(1−f2)
n2
.
5. Conclusão:
(a) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc < Zα/2.
(b) aceitaremos H0 se Zc < Zα.
(c) aceitaremos H0 se −Zα < Zc .
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 33 / 45
Teste de hipóteses para a diferença entre as proporções
4. Calcular a estatística do teste:
Zc = (f1 − f2)− δ√f1(1−f1)
n1+ f2(1−f2)
n2
.
5. Conclusão:
(a) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc < Zα/2.
(b) aceitaremos H0 se Zc < Zα.
(c) aceitaremos H0 se −Zα < Zc .
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 33 / 45
Teste de hipóteses para a diferença entre as proporções
4. Calcular a estatística do teste:
Zc = (f1 − f2)− δ√f1(1−f1)
n1+ f2(1−f2)
n2
.
5. Conclusão:
(a) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc < Zα/2.
(b) aceitaremos H0 se Zc < Zα.
(c) aceitaremos H0 se −Zα < Zc .
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 33 / 45
Teste de hipóteses para a diferença entre as proporções
4. Calcular a estatística do teste:
Zc = (f1 − f2)− δ√f1(1−f1)
n1+ f2(1−f2)
n2
.
5. Conclusão:
(a) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc < Zα/2.
(b) aceitaremos H0 se Zc < Zα.
(c) aceitaremos H0 se −Zα < Zc .
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 33 / 45
Roteiro
1 Teste de hipóteses
2 Valor-p
3 Principais teste de hipóteses
4 Teste de hipóteses para tabelas de contingência
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 34 / 45
Teste de hipóteses para tabelas de contingência
Tabelas de contingência
São tabelas utilizadas para registrar observações independentes de duas ou
mais variáveis aleatórias, normalmente qualitativas.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 35 / 45
Teste de hipóteses para tabelas de contingência
Tabelas de contingênciaSão tabelas utilizadas para registrar observações independentes de duas ou
mais variáveis aleatórias, normalmente qualitativas.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 35 / 45
Teste de hipóteses para tabelas de contingência
Tabelas de contingênciaSão tabelas utilizadas para registrar observações independentes de duas ou
mais variáveis aleatórias, normalmente qualitativas.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 35 / 45
Tabelas de contingência
Exemplo 1Número de alunos nos cursos de Enfermagem e Estatística por sexo.
Tabela 1: Distribuição dos alunos por sexo e curso escolhido.
CursoSexo
TotalMasculino Feminino
Enfermagem 15 85 100
Estatística 90 10 100
Total 105 95 200
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 36 / 45
Tabelas de contingência
Exemplo 1Número de alunos nos cursos de Enfermagem e Estatística por sexo.
Tabela 1: Distribuição dos alunos por sexo e curso escolhido.
CursoSexo
TotalMasculino Feminino
Enfermagem 15 85 100
Estatística 90 10 100
Total 105 95 200
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 36 / 45
Tabelas de contingência
Exemplo 1Número de alunos nos cursos de Enfermagem e Estatística por sexo.
Tabela 1: Distribuição dos alunos por sexo e curso escolhido.
CursoSexo
TotalMasculino Feminino
Enfermagem 15 85 100
Estatística 90 10 100
Total 105 95 200
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 36 / 45
Tabelas de contingência
Exemplo 2Número de alunos aprovados e reprovados por três professores.
Tabela 2: Distribuição dos aprovados por professores.
SituaçãoProfessor
TotalA B C
Aprovado 50 55 60 165
Reprovado 10 10 15 35
Total 60 65 75 200
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 37 / 45
Tabelas de contingência
Exemplo 2Número de alunos aprovados e reprovados por três professores.
Tabela 2: Distribuição dos aprovados por professores.
SituaçãoProfessor
TotalA B C
Aprovado 50 55 60 165
Reprovado 10 10 15 35
Total 60 65 75 200
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 37 / 45
Tabelas de contingência
Exemplo 2Número de alunos aprovados e reprovados por três professores.
Tabela 2: Distribuição dos aprovados por professores.
SituaçãoProfessor
TotalA B C
Aprovado 50 55 60 165
Reprovado 10 10 15 35
Total 60 65 75 200
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 37 / 45
Teste de hipóteses para tabelas de contingência
Situação 1O teste do qui-quadrado é utilizado quando queremos verificar a existência
de associação (dependência) entre duas variáveis qualitativas
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 38 / 45
Teste de hipóteses para tabelas de contingência
Situação 1O teste do qui-quadrado é utilizado quando queremos verificar a existência
de associação (dependência) entre duas variáveis qualitativas
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 38 / 45
Teste de hipóteses para tabelas de contingência
1 H0 : Existe independência (não existe associação)
H1 : Não existe independência (existe associação)
2 Fixar α, com distribuição qui-quadrado com l − 1 e c − 1 graus de
liberdade, em que l é o número de linhas e c é o número de colunas
da tabela de contingência.
3 Região crítica:
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 39 / 45
Teste de hipóteses para tabelas de contingência
1 H0 : Existe independência (não existe associação)
H1 : Não existe independência (existe associação)
2 Fixar α, com distribuição qui-quadrado com l − 1 e c − 1 graus de
liberdade, em que l é o número de linhas e c é o número de colunas
da tabela de contingência.
3 Região crítica:
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 39 / 45
Teste de hipóteses para tabelas de contingência
1 H0 : Existe independência (não existe associação)
H1 : Não existe independência (existe associação)
2 Fixar α, com distribuição qui-quadrado com l − 1 e c − 1 graus de
liberdade, em que l é o número de linhas e c é o número de colunas
da tabela de contingência.
3 Região crítica:
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 39 / 45
Teste de hipóteses para tabelas de contingência
1 H0 : Existe independência (não existe associação)
H1 : Não existe independência (existe associação)
2 Fixar α, com distribuição qui-quadrado com l − 1 e c − 1 graus de
liberdade, em que l é o número de linhas e c é o número de colunas
da tabela de contingência.
3 Região crítica:
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 39 / 45
Região de
aceitação de
H0
(1 − α)
Região de
rejeição de
H0
(α)
0 χα2
x
f(x)
Figura 4: Região crítica para o teste χ2.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 40 / 45
Teste de hipóteses para tabelas de contingência
4. Calcular a estatística do teste:
χ2c =
n∑i=1
m∑j=1
(Oij − Eij)2
Eij,
em que Oij e Eij são, respectivamente, as frequências observadas e
esperadas na tabela de contingência e
Eij = total da linha i × total da coluna jtotal geral .
5. Conclusão: aceitaremos H0 se χ2c < χ2
[α;(l−1)(c−1)].
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 41 / 45
Teste de hipóteses para tabelas de contingência
4. Calcular a estatística do teste:
χ2c =
n∑i=1
m∑j=1
(Oij − Eij)2
Eij,
em que Oij e Eij são, respectivamente, as frequências observadas e
esperadas na tabela de contingência e
Eij = total da linha i × total da coluna jtotal geral .
5. Conclusão: aceitaremos H0 se χ2c < χ2
[α;(l−1)(c−1)].
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 41 / 45
Teste de hipóteses para tabelas de contingência
4. Calcular a estatística do teste:
χ2c =
n∑i=1
m∑j=1
(Oij − Eij)2
Eij,
em que Oij e Eij são, respectivamente, as frequências observadas e
esperadas na tabela de contingência e
Eij = total da linha i × total da coluna jtotal geral .
5. Conclusão: aceitaremos H0 se χ2c < χ2
[α;(l−1)(c−1)].
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 41 / 45
Teste de hipóteses para tabelas de contingência
4. Calcular a estatística do teste:
χ2c =
n∑i=1
m∑j=1
(Oij − Eij)2
Eij,
em que Oij e Eij são, respectivamente, as frequências observadas e
esperadas na tabela de contingência e
Eij = total da linha i × total da coluna jtotal geral .
5. Conclusão:
aceitaremos H0 se χ2c < χ2
[α;(l−1)(c−1)].
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 41 / 45
Teste de hipóteses para tabelas de contingência
4. Calcular a estatística do teste:
χ2c =
n∑i=1
m∑j=1
(Oij − Eij)2
Eij,
em que Oij e Eij são, respectivamente, as frequências observadas e
esperadas na tabela de contingência e
Eij = total da linha i × total da coluna jtotal geral .
5. Conclusão: aceitaremos H0 se χ2c < χ2
[α;(l−1)(c−1)].
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 41 / 45
Teste de hipóteses para tabelas de contingência
4. Calcular a estatística do teste:
χ2c =
n∑i=1
m∑j=1
(Oij − Eij)2
Eij,
em que Oij e Eij são, respectivamente, as frequências observadas e
esperadas na tabela de contingência e
Eij = total da linha i × total da coluna jtotal geral .
5. Conclusão: aceitaremos H0 se χ2c < χ2
[α;(l−1)(c−1)].
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 41 / 45
Teste de hipóteses para tabelas de contingência
Situação 2O teste do qui-quadrado é utilizado quando queremos verificar se a distri-
buição de duas ou mais variáveis aleatórias são iguais, isto é, homogêneas.
As hipóteses neste teste são: H0 : Existe homogeneidade
H1 : Não existe homogeneidade
Os passos seguintes são exatamente os mesmos do teste para independência.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 42 / 45
Teste de hipóteses para tabelas de contingência
Situação 2O teste do qui-quadrado é utilizado quando queremos verificar se a distri-
buição de duas ou mais variáveis aleatórias são iguais, isto é, homogêneas.
As hipóteses neste teste são:
H0 : Existe homogeneidade
H1 : Não existe homogeneidade
Os passos seguintes são exatamente os mesmos do teste para independência.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 42 / 45
Teste de hipóteses para tabelas de contingência
Situação 2O teste do qui-quadrado é utilizado quando queremos verificar se a distri-
buição de duas ou mais variáveis aleatórias são iguais, isto é, homogêneas.
As hipóteses neste teste são: H0 : Existe homogeneidade
H1 : Não existe homogeneidade
Os passos seguintes são exatamente os mesmos do teste para independência.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 42 / 45
Teste de hipóteses para tabelas de contingência
Situação 2O teste do qui-quadrado é utilizado quando queremos verificar se a distri-
buição de duas ou mais variáveis aleatórias são iguais, isto é, homogêneas.
As hipóteses neste teste são: H0 : Existe homogeneidade
H1 : Não existe homogeneidade
Os passos seguintes são exatamente os mesmos do teste para independência.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 42 / 45
Teste de hipóteses para tabelas de contingência
Situação 2O teste do qui-quadrado é utilizado quando queremos verificar se a distri-
buição de duas ou mais variáveis aleatórias são iguais, isto é, homogêneas.
As hipóteses neste teste são: H0 : Existe homogeneidade
H1 : Não existe homogeneidade
Os passos seguintes são exatamente os mesmos do teste para independência.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 42 / 45
Teste de hipóteses para tabelas de contingência
Exercício 1Para os dados da Tabela 1, verificar ao nível de significância de 5% (χ2
0.05,1 =
3, 84), a existência de associação entre as variáveis sexo e curso escolhido.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 43 / 45
Teste de hipóteses para tabelas de contingência
Exercício 1Para os dados da Tabela 1, verificar ao nível de significância de 5% (χ2
0.05,1 =
3, 84), a existência de associação entre as variáveis sexo e curso escolhido.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 43 / 45
Teste de hipóteses para tabelas de contingência
Exercício 2Para os dados da Tabela 2, testar a um nível de 5% (χ2
0.05,2 = 5, 99), a hi-
pótese de que as proporções de estudantes reprovados pelos três professores
serem iguais.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 44 / 45
Teste de hipóteses para tabelas de contingência
Exercício 2Para os dados da Tabela 2, testar a um nível de 5% (χ2
0.05,2 = 5, 99), a hi-
pótese de que as proporções de estudantes reprovados pelos três professores
serem iguais.
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 44 / 45
Obrigado!
B tiago.magalhaes@ice.ufjf.br
Í ufjf.br/tiago_magalhaes
Departamento de Estatística, Sala 319
Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Teste de hipóteses 25 de outubro de 2019 45 / 45
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