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Transmissão de impulsos em banda-base
3
Formatação de impulsos para cancelamento da interferência
intersimbólica
3.1
O critério de Nyquist. O espectro dobrado. Impulsos de cosseno elevado
Interferência intersimbólica
A largura de banda dos canais de comunicação (linha telefónica, cabo coaxial, etc.) é limitada e leva a que impulsos transmitidos sucessivamente a uma cadência análoga à da largura de banda acabem por se sobrepor aos impulsos adjacentes, dificultando a identificação de cada um no receptor.
Esta interferência intersimbólica (ISI, “intersymbol interference”) é tanto maior quanto menor for a largura de banda do canal.
T t
1
T t
1
T t 2T 3T
Instantes de amostragem
ISI
T t2T 3T
1 1 0 1
Sinal transmitido (antes do canal)
Sinal recebido (depois do canal)
Modos de combater a interferência intersimbólica
• com impulsos com a forma adequada.
• usando a técnica de resposta parcial, que introduz uma quantidade controlada de ISI.
• com uma boa escolha do código de linha (um que ocupe “pouca” largura de banda)
• com um igualizador adaptativo no receptor.
A forma dos impulsos e o critério de Nyquist 2
Interferência intersimbólica
Diagrama de olho
Uma representação gráfica útil do sinal que permite uma avaliação qualitativa imediata da interferência intersimbólica é o diagrama de olho.
O diagrama de olho obtém-se, no osciloscópio ou no computador, sobrepondo vários impulsos no mesmo intervalo de tempo.
A – intervalo de tempo de amostragem
B – margem de decisão sobre o ruído
C – distorção dos cruzamentos por zero
D – declive (sensibilidade ao erro de temporização)
E – distorção máxima
• Quanto mais aberta for a abertura vertical do olho menor é a interferência intersimbólica.
• Quanto mais aberta for a abertura horizontal do olho maior é a imunidade do receptor à fase de amostragem e ao “jitter” de temporização.
A forma dos impulsos e o critério de Nyquist 3
Mais diagramas de olho
30-9-04 http://www.elecdesign.com/Articles/
30-9-04 http://owl.enel.ucalgary.ca/Labs/Enel571/Laboratories/
2B1Q ASK de 4 níveis 30-9-04 http://www.xcad.com/xcad/dsl.html 30-9-04 http://www.ee.ic.ac.uk/optical/Optics.html
A forma dos impulsos e o critério de Nyquist 4
Interferência intersimbólica
Impulsos com esta forma não provocam ISI:
A forma dos impulsos e o critério de Nyquist 5
Interferência intersimbólica e igualização
O canal com esta resposta impulsional introduz ISI:
-1 0 1 2 3 t/Tb
h(t)Resposta impulsional
do canal
-2
A ISI pode ser reduzida com um igualizador adaptativo:
Igualizador
T T T…
c0 c1 c2 cN-1
Decisor
Gerador de sequência de
treino
+-
Sinal recebido
Erro
Este é o efeito do igualizador adaptativo (eliminou a ISI):
Resposta impulsional conjunta
canal-igualizador
3 4 5 6 7 t/Tb 2
Este igualizador introduziu um atraso (arbitrário) de 4Tb.
A forma dos impulsos e o critério de Nyquist 6
Interferência intersimbólica e igualização
Antes da igualização
Depois da igualização
A forma dos impulsos e o critério de Nyquist 7
Interferência intersimbólica e forma dos impulsos
Na modulação discreta de impulsos a amplitude (PAM), duração (PDM) e posição (PPM) dos impulsos transmitidos varia de acordo com a sequência de dados a transmitir. Em banda-base a modulação discreta mais eficiente é PAM (em termos de utilização de potência e largura de banda) pelo que nos vamos restringir a PAM no que se segue.
Uma sequência de bits {bk} é gerada por uma fonte e aplicada ao sistema da figura.
Ruído brancogaussiano w(t)
hR(t)hT(t)
ModuladorPAM
Filtro doemissor Canal Filtro
receptor Decisor
{bk}={0, 1} {ak}={±1}
c(t)
+
+
s(t) x(t) y(t) y(ti)
Duração de bk: Tb
ti=iTb1 se y(ti)>λ0 se y(ti)<λ
• Saída do emissor: s(t ) = akhT (t −kTb )k=−∞
∞
∑
hT(t) é a resposta impulsional do filtro do emissor.
• Saída do canal: x(t) = akhc (t − kTb )k=−∞
∞
∑ + w(t) (hc (t) = hT (t)∗ c( t))
• Saída do filtro receptor: y(t) = µ ak p( t − kTb )k=−∞
∞
∑ +n(t)
• p(t) — impulso a definir. Vamos normalizá-lo: p(0) =1.
• µ — factor de escala que reflecte o ganho do sistema.
• Deveria ter-se incluído um tempo de atraso mas fez-se td = 0.
A forma dos impulsos e o critério de Nyquist 8
Interferência intersimbólica e forma dos impulsos
• O impulso p(t) é o resultado de uma dupla convolução:
µp( t) = hT ( t)∗ c(t)∗ hR(t)
• Nas frequências temos:
µP( f ) = HT ( f )C( f )HR( f )
Amostrando o sinal y(t) nos instantes ti = iTb :
y(ti ) = µ ak p ( i −k )Tb[ ]k=−∞
∞
∑ + n(ti ) =
= µai p(0)1
Símboloa recuperar
+ µ ak p (i − k)Tb[ ]
k=−∞k≠i
∞
∑
Interferência intersimbólica
+ n(ti )Ruído
• Sem ruído nem ISI (situação ideal): y(ti ) = µai .
• Ruído e ISI provocam erros no dispositivo de decisão.
• Admitindo que a relação sinal-ruído é elevada, todos os erros são causados pela interferência intersimbólica ⇒ vamos ignorar n . (ti )
Qual é a forma dos impulsos p(t) para a qual a ISI é completamente eliminada?
Como a função de transferência do canal e a forma do impulso
transmitido são especificadas, o que precisamos é de
determinar as funções de transferência dos filtros do emissor e
do receptor.
A forma dos impulsos e o critério de Nyquist 9
A forma dos impulsos e o critério de Nyquist
Para que não haja ISI é necessário que em cada instante de amostragem ti o sinal p(t) tenha cruzamentos por zero nos múltiplos inteiros não nulos de Tb, isto é, que
p ( i −k )Tb[ ] =1 i = k0 i ≠ k
(*)
Nesse caso, e se não houver ruído, y(ti ) = µai em todos os instantes de amostragem.
A equação (*) é o chamado critério de Nyquist e assegura a recepção perfeita na ausência de ruído.
A amostragem no domínio dos tempos (antes do decisor) produz periodicidade no domínio das frequências. Logo, sendo { } ,
, uma sequência de amostras a sua transformada de Fourier é
p(nTb )n = 0,±1,±2,…
Pδ ( , f ) = Rb P( f − mRb )m=−∞
∞
∑ Rb = 1Tb
É a transformada de Fourier de p(t) e suas réplicas deslocadas.
Mas como a sequência de amostras representa uma sequência de impulsos de Dirac espaçados de Tb segundos,
p(nTb ){ }
n p(nTb )δ(t − nTb )
=−∞
∞
∑
então também, por definição de transformada de Fourier,
Pδ ( f ) = p(nTb )δ( t − nTb )[ ]n=−∞
∞
∑ e− j2πftdt−∞
∞
∫
Se p(t) satisfizer o critério de Nyquist (com n = i −k ) então
Pδ ( f ) = p(0)δ(t)e− j2πft dt−∞
∞
∫ = p(0) =1
A forma dos impulsos e o critério de Nyquist 10
A forma dos impulsos e o critério de Nyquist
O espectro dobrado
Portanto, para que não haja interferência intersimbólica nos instantes de amostragem a transformada de Fourier de p(t) , P(f), deve satisfazer
Pδ ( f ) = Rb P( f − mRb )
m=−∞
∞
∑ =1
ou
∑ (para qualquer f) (**) ( )b bm
P f mR T const∞
=−∞
− = = .
.
ou ainda
( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( 2 )b b b b bP f P f R P f R P f R P f R T const+ − + + + − + + + = =…
• Não esquecer que P( f ) se refere ao conjunto “emissor + canal + receptor”, pois µ f ) = H . P( T ( f )C( f )HR( f )
• A equação (**) é a expressão do critério de Nyquist no domínio das frequências.
• Como, para qualquer P( f ) , o espectro é uma função periódica em f com período 1/T
( )P fδ
b, sem perda de generalidade podemos confinar a nossa consideração desta função ao intervalo
b – o chamado intervalo de Nyquist. [ ]1 2 ;1 2 bT T−
• Ao espectro Pδ ( f ) =1 ou a dá-se o nome de
espectro dobrado.
P( f − mRb )m=−∞
∞
∑ = Tb
A “dobra” ocorre na frequência 12 bT
.
A forma dos impulsos e o critério de Nyquist 11
A forma dos impulsos e o critério de Nyquist
Espectro dobrado
f1/Tb
P(f)
1/2Tb-1/2Tb-1/Tb
Espectro do impulso p(t)
A dobra do espectro ocorre em 1
2Tb:
P(f-1/Tb)P(f+1/Tb)
f1/Tb1/2Tb-1/2Tb-1/Tb
P(f)
Espectro dobrado
1/2Tb f
Pδ(f) Espectrodobradoideal
a)
1/2Tb f
Pδ(f) Espectrodobradocom vale
b)
1/2Tb f
Pδ(f) Espectrodobradocom zero
c) Vários espectros dobrados
A forma dos impulsos e o critério de Nyquist 12
A forma dos impulsos e o critério de Nyquist
. . .
-Rb
P(f) P(f-Rb)P(f+Rb)
Rb-WW
Isto não pode acontecer se desejarmos ISI nula. Tem de haver sobreposição.
f Rb Rb+W 0
. . .
Para que a interferência intersimbólica seja nula no decisor os impulsos devem obedecer às duas condições seguintes, que decorrem
do critério de Nyquist : P( f − mRb )m=−∞∑ = Tb
∞
1. Se se transmitirem impulsos com um débito binário de Rb símbolos/s por um canal passa-baixo rectangular este deve ter
uma largura de banda de, pelo menos, W = Rb2
=2Tb
1 hertz.
Porquê? Porque se 2bRW não há sobreposição de com
e o somatório deixa de ser constante.
<
m
∞
=−∑
( )P f
( bP f mR± ) )
1
( bP f mR∞
−
2. (Teorema da simetria vestigial) A função de transferência do canal de comunicações deve possuir simetria ímpar em relação à
frequência W =2Tb
Hz.
Exemplos de impulsos que satisfazem estas condições:
• Impulso de seno cardinal
Ocupa a largura de banda mínima mas é irrealizável!
• Impulso de cosseno elevado com factor de“roll-off”.
É o mais usado.
A forma dos impulsos e o critério de Nyquist 13
O impulso de seno cardinal e o canal ideal de Nyquist
A maneira mais simples de satisfazer (**) é considerar a função rectangular nas frequências
W f -W
1/2W P(f)
11( ) 2
2 2 0
W f WfP f rect WW W f W
− < < = = >
em que W = Rb2
= 12Tb
para que P( f ) , P( f ± Rb ) , P( f ± 2 Rb )
b
, etc., não
se sobreponham e a sua soma dê um valor constante, T .
• Rb = 2W — taxa de Nyquist
• W — largura de banda de Nyquist
• Nos tempos: sen2( ) sinc2 sinc
2 b
Wt tp t WtWt Tπ= = =
π
Mas isto é um seno cardinal!
• O sistema de transmissão caracterizado por um seno cardinal (nos tempos) ou por um impulso rectangular (nas frequências) chama-se canal ideal de Nyquist.
• O impulso p(t) pode ser encarado como a resposta impulsional de
um filtro passa-baixo ideal com resposta em amplitude 1
2W e
largura de banda W.
A forma dos impulsos e o critério de Nyquist 14
O impulso de seno cardinal e o canal ideal de Nyquist
Nas frequências
0 1/2Tb
Tb
f-1/2Tb
P(f)
Nos tempos
-1 0 1 2 3
-0.5
0.5
1
t/Tb
p(t) sen( ) sinc bb
b
t Tp t t Tt Tπ
π= =
• Duas dificuldades com o canal ideal de Nyquist:
1. O espectro de amplitude P(f) deve ser constante de -W a W e nulo fora desse intervalo ⇒ irrealizável!
2. A função p(t) decresce com 1
| |t para | elevado, isto é, as
caudas do seno cardinal decaem devagar ⇒ seria preciso extrema precisão nos instantes de amostragem.
|t
• Solução alternativa: o impulso de cosseno elevado (com 1
2Tb≤ W ≤
Tb
1)
A forma dos impulsos e o critério de Nyquist 15
Outros impulsos satisfazendo o critério de Nyquist
Nos tempos
0 Tb /2
1
t- Tb /2
p(t)
Nas frequências
0
1/Tb
f
P(f) ( ) sincb bP f T fT=
1/2Tb
Tb
Tb/2
-1/Tb
Estes impulsos também não introduzem ISI (pois não?):
Nas frequências
0 1/2Tb
Tb
f -1/2Tb
P(f)
1/Tb -1/Tb
Tb/2
0 1/2Tb
Tb
f
-1/2Tb
P(f)
1/Tb -1/Tb
Tb/2
A forma dos impulsos e o critério de Nyquist 16
A forma dos impulsos e o critério de Nyquist
O impulso de cosseno elevado
• Nos tempos:
p(t) = sinc tTb
cosαπ t Tb1 −4α 2t2 Tb
2 (α — factor de “roll-off”)
-3Tb -2Tb -Tb 0 Tb 2Tb 3Tb
0.5
1
t
α=0
α=0,5α=1
Tb/2
p(t)
• Nas frequências:
P( f ) =
Tb 0 ≤ f ≤ 1 − α2Tb
Tb2
1 − sen πTbα
f − 12Tb
1 −α2Tb
≤ f ≤ 1 +α2Tb
0 f > 1 +α2Tb
α=0α=0,5
α=1
0 1/2Tb
Tb/2
Tb
f-1/2Tb 1/Tb-1/Tb
P(f)
• Largura de banda ocupada: B = 12Tb
(1 +α )
A forma dos impulsos e o critério de Nyquist 17
O problema dos erros de temporização com o impulso de seno cardinal
Os impulsos de senos cardinais são pouco resistentes aos erros de temporização. Estes provocam “overshoots” de valores eventualmente elevados (teoricamente até podem ter valor infinito) que originam interferência intersimbólica.
Os “overshoots” podem produzir valores pico-a-pico do sinal
desnecessariamente elevados (só os instantes de amostragem nos
interessam e afinal os picos ocorrem “fora” deles).
Suponhamos que existe um erro de temporização t∆ : em vez de a amostragem no receptor se fazer no instante t faz-se no instante
. O que acontece? it=
ttt i ∆+=
Para simplificar vamos supor que t e que não existe ruído. Então no instante
0=i a entrada do decisor vale: t∆
∑∑∞
−∞=
∞
−∞=
−∆µ=−∆µ=∆
k b
bk
kbk T
kTtakTtpaty sinc)()(
Utilizando a expressão do seno da soma de dois ângulos (sen ) obtemos: bababa sencoscossen)( +=+
( ) ( )∑∞
≠−∞=
−∆−
∆+∆=∆
0
0)1(
sinc)(
kk b
kk
bb kTta
TtsenTtaty ππµµ
A série pode divergir (isto é, o somatório pode ser muito elevado), provocando decisões erradas no receptor devidas a ISI!
A forma dos impulsos e o critério de Nyquist 18
Erro de temporização com senos cardinais
Exemplo com uma sequência de senos cardinais de amplitudes {1, 1, -1, 1}
0 1 2 3 4
-1
-0.5
0.5
1
1.5 1 1 -1 1
t/T
“Overshoot”
Sequência binária:
Neste exemplo o sinal resultante da soma dos vários impulsos de
Nyquist atinge um pico superior a 1,5, ou seja, superior ao valor
“desejado” (+1) em mais de 50%.
Com outras sequências binárias a interferência intersimbólica nos
instantes poderá ser menor mas… também poderá ser muito
maior!
ttt i ∆+=
A forma dos impulsos e o critério de Nyquist 19
O receptor óptimo com ruído e ISI
Consideremos o diagrama de blocos habitual:
Ruído brancogaussiano w(t)
hR(t)hT(t)
ModuladorPAM
Filtro doemissor Canal Filtro
receptor Decisor
{bk}={0, 1} {ak}={±1}
c(t)
+
+
s(t) x(t) y(t) y(ti)
Duração de bk: Tb
ti=iTb1 se y(ti)>λ0 se y(ti)<λ
• Vimos já que na presença de ruído AWGN e sem interferência intersimbólica (ISI) o receptor óptimo é constituído por um filtro adaptado aos impulsos recebidos.
• Vimos também que sem ruído e apenas com ISI o filtro global (emissor/receptor) deve formatar os impulsos como cossenos elevados ou como impulsos de resposta parcial.
• E se houver ruído e ISI ao mesmo tempo?
A resposta é mais complexa e resume-se no que se segue (ver Haykin, 4ª edição). Nesse caso o receptor óptimo é aquele cuja função de transferência é
2)(
)()(
0NfSfH
fch
C+
=∗
H R
em que:
• ∑ +=k
bCb
h TkfHT
fS c2)(1)( representa a densidade espectral
de potência da sequência de valores { } . )( bc kTh
• (pois ) )()()( fCfHfH TC = )()()( tcthth Tc ∗=
• 20N é a densidade espectral de potência do ruído gaussiano.
A forma dos impulsos e o critério de Nyquist 20
O receptor óptimo com ruído e ISI
A resposta em frequência do filtro linear óptimo
2)(
)()(
0NfSfH
fch
C+
=∗
H R
é periódica com período T , dada a periodicidade de . b )( fS ch
Esta resposta pode ser interpretada como a ligação em cascata de
dois componentes:
1. um filtro adaptado de resposta impulsional . )( thc −
2. um filtro (igualizador) transversal cuja resposta em frequência é o
inverso de 2)( 0NfSh +c .
)( fHC∗
2)(1
0NfS ch +hc(-t)
Receptor óptimo
Filtro adaptado Igualizador transversal
Para realizar rigorosamente o igualizador teria de ter um
número infinito de coeficientes. Na prática usa-se um número finito
(suficientemente grande) de coeficientes.
)( fH R
A forma dos impulsos e o critério de Nyquist 21
A forma dos impulsos e o critério de Nyquist 22
O receptor óptimo com ruído e ISI
• Em determinadas aplicações o canal de comunicação tem
características variáveis.
Na transmissão telefónica, por exemplo, o canal é diferente de
assinante para assinante.
• As características do canal poderão até ser variáveis no tempo.
É o caso das transmissões de rádio, incluindo as comunicações
móveis.
Isto significa que um filtro transversal com coeficientes fixos não é o
melhor nestas situações.
• O que de facto se usa hoje em dia, invariavelmente, é um
igualizador adaptativo.
Trata-se de um igualizador cujos coeficientes
variam no tempo
de acordo com um determinado
algoritmo de aprendizagem
cujo objectivo é
minimizar o valor quadrático de um certo erro
(designado em inglês por “mean square error”, ou MSE).
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