UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANA Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica Aula04 -...

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANAPrograma de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica

Aula04 - Modelagem da Histerese Magnética

Aula04 - Modelagem da Histerese Magnética

Jean Vianei Leite

Maio de 2010.

Jean Vianei Leite

Maio de 2010.

Obtido a partir de considerações físicas;

Baseado em equações diferenciais;

Baixo esforço computacional e fácil implementação;

Conjunto de parâmetros relativamente baixo;

Pode ser diretamente empregado no MEF com formulação em potencial vetor magnético.

Modelo de Jiles-Atherton

Modelo de Jiles-Atherton

Laços medido e calculado

Modelo de Jiles-Atherton – Laços Menores

Laço experimental Laço Calculado

Jiles-Atherton – Laços Internos

Laços Medidos e calculados

Modelo Escalar de Preisach

Modelo proposto pelo físico alemão Frederick Preisach em 1935.

Estabelece uma relação entre a magnetização M e o campo H.

Supõe que o material é composto por um número finito de unidades elementares magnéticas biestáveis.

A magnetização total é calculada pela soma das contribuições elementares.

Modelo Escalar de Preisach• Cada unidade elementar (histeron) possui uma forma

retangular cíclica, função do campo H

Campos de chaveamentos a e b

Modelo Escalar de Preisach

Se Hsat representa o campo magnético de saturação e Msat a correspondente magnetização de saturação, quando H>Hsat, todos os histerons estão positivos e a magnetização é M=Msat.

Por outro lado, se H<Hsat, todos os histerons estão negativos e a magnetização é M = -Msat.

Das considerações anteriores temos:satHa

satHb

Plano de Preisach ou Triângulo de Preisach

• Como a histerese é energeticamente dissipativa:

• Com as condições anteriores define-se o plano de Preisach como:

ba

Cada par (a,b), caracterizando um histeron deve pertencer a este triângulo.

Plano de Preisach

• Um material ferromagnético é então determinado por uma distribuição estatística p(a,b) dos campos de chaveamento (a,b) pertencente ao triângulo.

• p(a,b) é também chamada de função de densidade de Preisach.

• A magnetização total é calculada por

dadbbapMHM basat ,),()(

Plano de Preisach

O estado desmagnetizado é representado pela linha b = - a.

O triângulo fica dividido em duas superfícies iguais S+ e S-.

S+ é a região do plano onde os pares (a,b) tais que S- é a região do plano onde os pares (a,b) tais que

1, ba1, ba

Modelo de Preisach

• Para qualquer estado magnético do sistema o triângulo é dividido entre duas superfícies S+ e S- separadas por uma linha descontínua.

A magnetização é dada pela integral sobre as duas superfícies S+ e S- .

S Ssat dadbbapdadbbapMHM ),(),()(

Modelo de Preisach

• O estado magnético do sistema é completamente caracterizado pela linha descontínua.

• A linha descontínua é chamada de vetor histórico, h, do material e contém informações sobre a divisão do triângulo e os pontos de inversão da excitação.

• O vetor histórico deve verificar as seguintes condições:

00 H

nHHHHH ,,,, 3210h

iiii

iiii

HHHH

HHHHnifor

11

11 0))((1,,1

Modelo de Preisach – Exemplo de construção de h

• Considerando o material desmagnetizado, o vetor h possui somente o ponto inicial H = 0.

0h

Modelo de Preisach – Exemplo de construção de h

• Com o crescimento de H, os histerons possuindo a menor do que H são chaveados para a posição +1. No plano de Preisach isso é representado pelo crescimento da linha vertical a = H1.

1,0 Hh

Modelo de Preisach – Exemplo de construção de h

• Se o campo continua aumentando até H2 = Hsat todos os histerons alcançam a e o triângulo de Preisach é totalmente S+.

2,0 Hh

Modelo de Preisach – Exemplo de construção de h

• Se o campo começa a decrescer, os histerons cujo b é maior do que H chaveiam para o seu estado negativo.

• O processo é representado pelo crescimento da linha horizontal b = H3.

32 ,,0 HHh

Modelo de Preisach – Exemplo de construção de h

• Se o campo atinge o valor de saturação negativo o plano de Preisach é totalmente S-.

52 ,,0 HHh

Modelo de Preisach – Exemplo de construção de h

• Se o campo torna a crescer, os histerons tenderão a atingir a saturação positiva novamente. A linha vertical a = H6 aparece no plano.

652 ,,,0 HHHh

Modelo de Preisach – Exemplo de construção de h

• Se o campo decresce novamente antes de atingir a saturação, um laço menor pode ser criado. No nosso exemplo H6 varia até H7 (surgimento da linha b = H7)

7652 ,,,,0 HHHHh

Modelo de Preisach – Exemplo de construção de h

• Se H retorna para H6 o laço menor é completo.

• Continuando a evolução de H, H6 desaparece de h. Esta é a maneira que o modelo de Preisach consegue representar os laços menores.

Note que somente os pontos de inversão são mantidos em h.

752 ,,,0 HHHh

Modelo de Preisach – Caracterização de Materiais

• A condição para se modelar um material usando Preisach é conhecer a função densidade do mesmo.

• Muitos métodos são propostos na literatura para a identificação da mesma através de dados experimentais.

• Esses métodos requerem integrações e derivações o que pode introduzir erros e instabilidade numérica na utilização do modelo.

2 22

0 00

0 0

2 1,

11 12c

c c c

p a ba b H a b HH arctg

H H

Modelo de Preisach – Caracterização de Materiais

• Outro método de caracterização é através da função de Everett:

– A partir de um ciclo centrado medido de amplitude Hm, para o braço descendente da curva, a magnetização pode ser escrita como:

,

2m

mM H M H

E H H

Ver obtenção da eq. anterior na minha tese

Modelo de Preisach – Caracterização de Materiais

• Para um conjunto de ciclos centrados, as curvas de Everret podem ser obtidas para diversos níveis de indução ou campo magnético.

• Usualmente são usadas entre 15 e 20 curvas medidas para caracterizar o material.

• É necessário determinar a função de Everett para todos os pares (H, Hm). Essa tarefa é realizada utilizando um método de interpolação entre as curvas o qual deve verificar a continuidade da função de Everett.

• Expressões para interpolação encontram-se detalhadas na literatura.

Modelo de Preisach – Caracterização de Materiais

• Função de Everett para um material ferromagnético projetada sobre o triângulo de Preisach.

Modelo de Preisach

• O modelo apresentado possui como variável independente o campo magnético H. As mesmas considerações são válidas para o caso onde a indução B é a variável independente.

• Com B como variável independente , a metodologia se mantém inalterada, entretanto uma nova função de Everett deve ser obtida e o método de interpolação também é outro para evitar instabilidade numérica.

• A necessidade de funções de Everett diferentes para caracterização do material a ser modelado com Preisach é um desvantagem do mesmo em relação ao modelo de Jiles-Atherton onde um único conjunto de parâmetros caracteriza o material independente da variável independente considerada.

• Convém destacar que a função de Everett possibilita o cálculo da magnetização total sem a necessidade de integração e derivação numérica simplificando de maneira significativa a utilização do modelo.

Atividade