Vetores

Grandeza Vetorial Algumas vezes necessitamos mais que

um número e uma unidade para representar uma grandeza física.

Sendo assim, surgiu uma representação matemática que expressa outras característica de uma grandeza.

O VETOR

O que é um Vetor? É um ente matemático representado por um

segmento de reta orientado. E tem algumas características básicas.

Possuí módulo. (Que é o comprimento da reta)O módulo de um vetor é indicado utilizando-se duas barras verticais.

|A| (Lê-se: módulo de A)

Tem uma direção. E um sentido. (Que é pra onde a “flecha” está

apontando).

Módulo

Sentido

Direção da

Reta Suporte

Representação de uma Grandeza Vetorial As grandezas vetoriais são representadas da seguinte

forma: a letra que representa a grandeza, e uma a “flechinha” sobre a letra ou escritas em negrito.

V

F

d

Comparação entre vetores

Vetores Iguaisa

b

r

s

Mesmo Módulo

Mesma Direção

Mesmo Sentido

a = b

O vetor a é igual ao vetor b.

Comparação entre vetores Vetores Opostos

a

b

r

s

ct

Sobre os vetores b e c podemos afirmar:

Tem o mesmo módulo, mesma direção mas sentidos opostos.

a = b = - c

O vetor c é oposto aos vetores a e b.

Soma Vetorial

Através da soma vetorial encontramos o vetor resultante;

O vetor resultante seria como se todos os vetores envolvidos na soma fossem substituídos por um, e este tivesse o mesmo efeito;

Existem duas regras para fazer a soma vetores.

Regra do Polígono É utilizada na adição de qualquer quantidade de vetores. Exemplo:

a

b

c

Determinarmos a soma a + b + c

Para isto devemos posicionar cada vetor junto ao outro de forma que a extremidade de um vetor coloca-se junto à origem do outro.

E o vetor soma, ou também chamado vetor resultante, será o vetor que une a origem do primeiro com a extremidade do último, formando assim um polígono.

Fazendo a Soma através da Regra do Polígono

a

b c

S

Regra do Paralelogramo É utilizada para realizar a adição de apenas dois

vetores. Exemplo:

ab

Determinar a soma a + b.

Para isto devemos posicionar a origem dos dois vetores no mesmo ponto e traçar uma reta paralela a cada um passando pela extremidade do outro.

E o vetor soma, ou também chamado vetor resultante, será o vetor que une a origem dos dois vetores com o cruzamento das duas retas paralelas a cada vetor, formando assim um paralelogramo.

Regra do Paralelogramo

Ra

b

α

E o módulo, ou seja, o valor desse vetor resultante será dado por:

R = a + b + 2.a.b.cos α2 2 2

Reta Paralela ao vetor b e que passa pela extremidade do vetor a.

Reta Paralela ao vetor a e que passa pela extremidade do vetor b.

Regra do Paralelogramo: Casos Particulares

1º ) α = 0º

S = a + b

2º ) α = 180º

S = a - b

3º ) α = 90º

S = a + b22 2

Sendo assim, qualquer que seja o ângulo entre os dois vetores o valor da resultante será:

| a – b | ≤ R ≤ |a + b|

Leis dos senos e cossenos

Subtração de vetores Considere os dois vetores a seguir:

a

b

Realizar a subtração, a – b, é como somar a mais um vetor de mesma intensidade, mesma direção mas de sentido oposto ao do vetor b originalmente representado.

Na realidade, estaremos fazendo a adição do vetor a com um vetor oposto ao vetor b ( a + (-b) ).

Fazendo a Subtração de Vetores

a

- b

R

MULTIPLICAÇÃO DE UM VETOR POR UM NÚMERO REAL

Ao multiplicarmos um vetor qualquer (A) por um número real (n) positivo ou negativo, inteiro ou fracionário, obtemos como resultado um vetor produto (P), com as seguintes condições:

O módulo do vetor P é igual a n x |A|. A direção é a mesma de A. O sentido é igual ao de A se n for positivo ou sentido oposto ao de A

se n for negativo.

A Divisão de um vetor pelo seu módulo

Ao dividirmos um vetor qualquer (A) pelo seu módulo |A| obtemos como resultado um vetor unitátrio (â), com as seguintes propriedades:

O módulo do vetor â é igual a 1.

A direção é a mesma de A.

O sentido é igual ao de A se â for positivo ou sentido oposto ao de A se n for negativo.

Decomposição de um vetor

Estática

Componentes Cartesianas de uma Força

Em muito dos problemas envolvendo forças, é muitas vezes imprescindível a decomposição desta força segundo eixos ortogonais entre si(normalmente x e y).

Na figura é ilustrado a decomposição da força F em duas componentes ortogonais Fx e Fy. Essas componentes são denominadas componentes cartesianas.

Vetores Unitários

É conveniente agora definir dois vetores paralelos aos eixos x e y, orientados no sentido positivo dos eixos e de intensidade 1.

Esses vetores, chamados de unitários, são representados por i e j, respectivamente.

Convém observar que as componentes cartesianas Fx e Fy podem ser obtidas pela multiplicação dos vetores unitários por escalares apropriados (figura 3.2), podendo portanto escrever:

Fx = Fx i e Fy = Fy j

Logo:

F = Fx î+ Fy j

Vetores Unitários

Os escalares Fx e Fy podem ser positivos ou negativos, pois dependem do sentido de F e seus valores em módulo são iguais as intensidades das componentes Fx e Fy.

Os escalares Fx e Fy são chamados de componentes escalares da força F, enquanto as componentes Fx e Fy são chamadas de componentes vetoriais da força F.

As componentes escalares de F podem ser expressas da seguinte forma, onde q representa o ângulo entre F e o eixo x, medido no sentido antihorário:

Fx = F cosq Fy = F senq

Vetores Unitários

Os escalares Fx e Fy podem ser positivos ou negativos, pois dependem do sentido de F e seus valores em módulo são iguais as intensidades das componentes Fx e Fy.

Os escalares Fx e Fy são chamados de componentes escalares da força F, enquanto as componentes Fx e Fy são chamadas de componentes vetoriais da força F.

Exercício 1

Determine as componentes horizontal e vertical da força P para o sistema abaixo.

Exercício 2

Determine a resultante do sistema de forças abaixo.

Exercício 3

Atuam simultaneamente no pino da figura abaixo três forças, determine a resultante destas forças.

Exercício 4

Se a força resultante precisa atuar ao longo do eixo u positivo e ter uma intensidade de 5 kN, determine a intesidade de FB e sua direção θ.

Bibliografia

BEER, F. P.; JOHNSTON JR, E. R.; EISENBERG, E. R. Mecânica vetorial para engenheiros: estática. 7.ed. SP: McGraw Hill - Artmed, 2006.

CRAIG JR, R. R. Mecânica dos materiais. 2. ed. RJ: LTC, 2002. HIBBELER, R. C. Estática: mecânica para engenharia. v.1. 12.

ed. SP: Pearson, 2011. RESNICK, R.; HALLIDAY, D.; MERRILL, J. Fundamentos de

física. Vol.1. 8 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009. SEARS, ZEMANSKY & YOUNG, Eletromagnetismo. Vol I. 10 ed.

São Paulo: Pearson Addison Wesley, 2006. TIPLER, Paul A.; MOSCA, Gene.. Física: Eletricidade,

Magnetismo e Ótica. Vol. I. 6 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009.