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MATEMÁTICA ELEMENTAR

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Carlos Alberto G. de Almeida(cviniro@dce.ufpb.com)

17 de setembro de 2012

MATEMÁTICA ELEMENTAR

Introdução

Olá a todos, sejam muito bem vindos a disciplinaMatemática Elementar

Estudaremos neste tópico o seguinte conteúdo:I Teoria dos Conjuntos.

Apresentaremos aqui alguns Exercícios Resolvidos sobre oassunto descrito acima, porém, é interessante que você estudeantes a teoria.

BOM ESTUDO!

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Questão 01: Dados os conjuntos A = {3,5,7,9}, B = {7,9} eC = {5,7,9}, determine (A ∩ B) ∪ C, (B ∪ C) ∩ A, ({B

C) ∩ A e{(B∩C)

A .

Solução:

I (A ∩ B) = {7,9}.Daí, teremos(A ∩ B) ∪ C = {7,9} ∪ {5,7,9} = {5,7,9} = C

I (B ∪ C) = {5,7,9}, logo(B ∪ C) ∩ A = {5,7,9} ∩ {3,5,7,9} = {5,7,9} = C

I Sabemos que {BC = C − B = {5}. Assim, temos que

({BC) ∩ A = {5} ∩ {3,5,7,9} = {5}.

I {B∩CA = A− (B ∩ C) = {3,5,7,9} − {7,9} = {3,5}

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Questão 02: Determine o conjunto A tal queA ∪ {a,b, c,d} = {a,b, c,d ,e}, A ∪ {c,d} = {a, c,d ,e} eA ∩ {b, c,d} = {c}.

Solução:I De acordo com a primeira igualdade, podemos concluir

que os possíveis elementos do conjunto A são a,b,c,d oue. Porém, a única certeza é que e ∈ A

I Da segunda igualdade, concluimmos que b /∈ A e tambémque a ∈ A

I Da terceira igualdade, segue que c ∈ A e d /∈ AI Portanto, o conjunto A = {a, c,e}

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Questão 03: Dados os conjuntos A = {n,u,m,e, r ,o} eB = {z,e, r ,o}, quantos são os subconjuntos de(A ∪ B)− (A ∩ B)?

Solução: Observe que:I (A ∪ B) = {n,u,m,e, r ,o, z} eI (A ∩ B) = {e, r ,o}. EntãoI (A ∪ B)− (A ∩ B) = {n,u,m, z} possui quatro elementos.I Portanto, o número de subconjuntos de (A ∪ B)− (A ∩ B)

será 24 = 16 subconjuntos.

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Questão 04: Os conjuntos A e B têm, respectivamente, 16 e 8subconjuntos. Sabendo que (A ∩ B) tem dois elementos,determine o número de elementos do conjunto (A ∪ B).

Solução:I Sabemos que o número de subconjuntos do conjunto A é

dado por 2n(A). Então, segue que2n(A) = 16⇒ 2n(A) = 24 ⇒ n(A) = 4.

I De modo análogo, o número de subconjutos do conjunto Bé dado por 2n(B). Então, segue que2n(B) = 8⇒ 2n(B) = 23 ⇒ n(B) = 3.

I Mas, n(A∪B) = n(A) + n(B)− n(A∩B). Então, segue quen(A ∪ B) = 4 + 3− 2 = 5.

I Portanto, (A ∪ B) tem 5 elementos.

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Questão 05: Um professor recomendou a leitura de obras doescritor Machado de Assis a um grupo de 30 jovens. Depois dealgum tempo, o professor realizou um levantamento para saberquais livros foram lidos. Verificou-se, então, que 21 alunostinham lido Dom Casmurro, 19 alunos leram Quincas Borba e 12alunos leram essas duas obras.

Solução: Vamos verificar então:I quantos leram apenas Dom Casmurro;I quantos leram apenas Quincas Borba;I quantos não leram quaisquer dessas obras.

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Questão 05 (Continuação)Para obter essas informações, vamos recorrer a um diagrama.O conjunto A representa os alunos que leram Dom Casmurro eo conjunto B, os alunos que leram Qunicas Borba. Como onúmero 12 indica a quantidade de alunos que leram os doislivros, ele será colocado na interseção (figura 1).

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Questão 05(Continuação)

No conjunto A, já estão colocados 12 alunos. Como eles sãoem número de 21, para saber quantos alunos leram apenasDom casmurro devemos fazer 21− 12 = 9 (figura 2).

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Questão 05(Continuação)No conjunto B, já estão colocados 12 alunos. Como eles sãoem número de 19, para saber quantos alunos leram apenasQuincas Borba devemos fazer 19− 12 = 7 (figura 3).

Agora sabemos que 28 jovens desse grupo já leram algumaobra de Machado de Assis, pois 9 + 12 + 7 = 28.Consequentemente, não leram quaisquer desses livros 2jovens (30− 28).

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Questão 06: Em uma cidade existem dois clubes, A e B, quetêm, juntos, 1 400 sócios. O clube A tem 600 sócios e 400 sóciospertencem aos dois clubes. Pergunta-se:

a) Quantos sócios pertencem exclusivamente aoclube A?

b) Quantos sócios pertencem ao clube B?

c) Quantos sócios pertencem exclusivamente aoclube B?

Solução: De acordo com os dados temos quen(A ∪ B) = 1 400, n(A) = 600 e n(A ∩ B) = 400.

I a) Sócios exclusivos do clube A:Observe o diagrama

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Questão 06 (Continuação)

Seja x o número de sócios exclusivos do clube A, representadono diagrama pela parte hachurada. Entãon(A) = x + 400⇒ 600 = x + 400⇒ x = 200.Portanto, 200 sócios são exclusivos do clube A.

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Questão 06 (Continuação)I b) Sócios do clube B:

Sabemos que n(A ∪ B) = n(A) + n(B)− n(A ∩ B).Substituindo os dados, temos1 400 = 600 + n(B)− 400⇒ n(B) = 1 200.Portanto, o clube B tem 1 200 sócios.

I c) Sócios exclusivos do clube B:Observe o diagrama

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Questão 06 (Continuação)

Seja y o número de sócios exclusivos do clube B, representadono diagrama pela parte hachurada. Então:y = n(A ∪ B)− n(A) = 1 400− 600⇒ y = 800ouy = n(B)− n(A ∩ B) = 1 200− 400⇒ y = 800.Portanto, 800 sócios são exclusivos do clube B.

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Questão 07: Verifique se A ⊂ B nos seguintes casos:a) A = {5,7,11} e B={números primos}b) A = {x ∈ N|x + 2 < 7} e B = {x ∈ N|1 < x < 4}c) A = {x ∈ N|x2−11x +18 = 0} e B = {x ∈ N|x < 10}

a) Solução: A ⊂ B, pois todos os elementos do conjunto Asão também elementos do conjunto B.

b) Determinando os elementos do conjunto A e do conjuntoB, temos: A = {0,1,2,3,4} e B = {2,3, }. Então B ⊂ Apois todos os elementos do conjunto B estão também noconjunto A.

c) Determinando os elementos do conjunto A e do conjuntoB, temos: A = {2,9} e B = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. EntãoA ⊂ B pois todos os elementos do conjunto A estãotambém no conjunto B.

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Questão 08: Mostre que (A− B) ⊂ A para todo conjunto A.

Solução: Sempre que quisermos demonstrar uma fórmulaenvolvendo a inclusão entre conjuntos, isto é, fórmulas com ⊂ou ⊃, devemos considerar um elemento qualquer em um dosconjuntos, e mostrarmos que ele pertence também ao outroconjunto.Dessa forma, seja x ∈ (A− B). Então, por definição dediferença entre conjuntos, temos que x ∈ A e x /∈ B. Portantox ∈ A.Isto nos garante que todo elemento x ∈ (A− B), também éelemento do conjunto A. Ou seja

(A− B) ⊂ A.

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Questão 09: Se adicionarmos 4 novos elementos a um conjuntoX , obteremos um conjunto Y . Que relação existe entre asquantidades de elementos de P(X ) e P(Y )?

Solução: Vamos supor que o conjunto X tenha n elementos.Então o conjunto Y terá n + 4 elementos.Daí, o número de elementos de P(X ) será 2n, enquanto que onúmero de elementos de P(Y ) será 2n+4.Observe que 2n+4 = 2n.24 = 16.2n.Portanto a quantidade de elementos do conjunto P(Y ) será 16vezes a quantidade de elementos de P(X ).

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Questão 10: Sendo o conjunto A = {1,2, {3}, {3,4,5}}, analiseas afirmações abaixo:I a) 1 ∈ A ou {1} ∈ A?I b) {3,4,5} ∈ A ou {3,4,5} ⊂ A?I c) {1,2} ∈ A ou {1,2} ⊂ A?

Solução: Observe que o conjunto A tem quatro elementos.Vamos denotá-los por x = 1, y = 2, z = {3} e w = {3,4,5}.

I a) Daí, podemos ver claramente que x = 1 é um doselementos de A, enquanto {1} é um subconjunto de A.Portanto, 1 ∈ A está verdadeira, enquanto que {1} ∈ Aestá falsa.

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Questão 10 (Continuação)

I b) De modo análogo, w = {3,4,5} também é um doselementos de A, enquanto {3,4,5} não é um subconjuntode A. Logo, {3,4,5} ∈ A está verdadeira, enquanto que{3,4,5} ⊂ A está falsa. Nessa segunda parte, o corretoseria escrever {{3,4,5}} ⊂ A.

I c) A afirmação {1,2} ∈ A está falsa, pois como 1 e 2 sãoelementos de A, segue que {1,2} é subconjunto de A, eportanto a relação correta é {1,2} ⊂ A.

I É importante lembrar que os símbolos ∈ e /∈ são usadospara relacionar elemento com conjunto, chamados deRelação de Pertinência. Já a relação de inclusão, isto é,os símbolos ⊂ e ⊃ devem ser usados para relacionarconjunto com conjunto.

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OBSERVAÇÕES:

I Caros alunos e alunas, é de extrema importância quevocês não acumulem dúvidas e procurem, dessa forma,estarem em dia com o conteúdo.

I Sugiro que estudem o conteúdo apresentado neste tópico,e coloquem as dúvidas que tiverem no fórum, para que eupossa tentar esclarecê-las.

BOM ESTUDO!