Aula quinze precalculo2016 aluno

Professor: Carlos Alberto de Albuquerque

Blog: http://professorcarlosaa.blogspot.com.br/

Email:

Carlos.albuquerque@ifsuldeminas.edu.br

PRÉ-CÁLCULO

AULA

QUINZE

FUNÇÕES RACIONAIS

Definição de Função Racional

Uma função racional é qualquer função que

pode ser especificada por uma regra escrita

como f(x) = P(x) / Q(x), onde P(x) e Q(x) são

funções polinomiais.

Normalmente, é assumido que a expressão

racional P(x) / Q(x) está na forma de termos de

menor grau, ou seja, P(x) e Q(x) não tem

fatores em comum.

FUNÇÕES RACIONAIS

Exemplos

*,12

) fDdomíniocomx

xfa

.3,9

)2

2

xxgDdomíniocomx

xxgb

hDdomíniocom

x

xxxhc ,

4

41)

2

FUNÇÕES RACIONAIS

Gráfico de uma função Racional

O gráfico de uma função racional é analisado em

termos de simetria, interceptos, assíntotas e

comportamento do sinal da função.

1) Se Q(x) não tem zeros reais, o gráfico de P(x)/Q(x) é

uma curva suave para todo real x.

2) Se Q(x) tem zeros reais, o gráfico de P(x)/Q(x)

consiste de curvas suaves em cada intervalo aberto

que não inclui um zero. O gráfico tem assíntotas

verticais em cada zero de Q(x).

FUNÇÕES RACIONAIS

Assíntotas Verticais

A reta x = a é uma assíntota vertical do gráfico

de uma função se, à medida que x se aproxima

de a pelos valores maiores ou menores que a, o

valor da função cresce acima de quaisquer

valores positivos ou negativos.

FUNÇÕES RACIONAIS

FUNÇÕES RACIONAIS

FUNÇÕES RACIONAIS

FUNÇÕES RACIONAIS

FUNÇÕES RACIONAIS

Exercício 1

Explique por que a reta x = 2 é uma assíntota

vertical do gráfico

.2

3

xxf

SOLUÇÃO

FUNÇÕES RACIONAIS

Assíntotas Horizontais

A reta y = a é uma assíntota horizontal do

gráfico de uma função f se, à medida que x

cresce indefinidamente para valores positivos

ou negativos, f(x) se aproxima do valor a.

FUNÇÕES RACIONAIS

FUNÇÕES RACIONAIS

FUNÇÕES RACIONAIS

FUNÇÕES RACIONAIS

FUNÇÕES RACIONAIS

FUNÇÕES RACIONAIS

Exemplo

Encontre as assíntotas horizontais, se houver,

de

5

12

x

xxf

SOLUÇÃO

Como o grau do numerador é igual ao grau do

denominador (n = m), temos que a reta

y=an/bm é uma assíntota horizontal do gráfico

de f.

Aqui an=2 e bn=1, então a reta y = 2/1 é uma

assíntota horizontal

y = 2

FUNÇÕES RACIONAIS

Assíntotas Oblíquas

Seja

Então, se n=m+1, f(x) pode ser reescrito usando

a divisão longa (capítulo 14) na forma:

0001

01

mnm

m

n

n beacombxbxb

axaxa

xQ

xPxf

xQ

xRbaxxf

FUNÇÕES RACIONAIS

Onde o grau de R(x) é menor que o grau de

Q(x).

Logo, se

é uma assíntota oblíqua do gráfico da função.

baxyretaae

baxxfxoux

,

FUNÇÕES RACIONAIS

Exemplo

Encontre a assíntota oblíqua do gráfico da

função

.2

12

3

xx

xxf

SOLUÇÃO

Usando o procedimento da divisão longa, temos:

.

11

,,

.2

131

2

funçãodagráfico

doolíquaassíntotaumaé

xyretaaexxf

xouxseLogo

xx

xxxf

FUNÇÕES RACIONAIS

FUNÇÕES RACIONAIS

Exemplo

Esboce o gráfico de .12

xxf

FUNÇÕES RACIONAIS

Exemplo

Esboce o gráfico de

SOLUÇÃO

1 – O gráfico não tem interceptos x ou y. Como

f(-x) = - f(x), a função é ímpar e o gráfico tem

simetria em relação à origem.

2 – Já que 0 é o único zero do denominador, o

eixo y, x=0, é uma assíntota vertical.

.12

xxf

FUNÇÕES RACIONAIS

3 – Como o grau do denominador é maior que

o grau do numerador, o eixo x, y = 0, é a

assíntota horizontal.

4 – Uma vez que não há solução para a

equação -12/x = 0, o gráfico não intercepta a

assíntota horizontal.

5 – Se x é negativo, f(x) é positivo. Se x é

positivo, f(x) é negativo. Logo,

xfexfx

xlim

00

lim

FUNÇÕES RACIONAIS

O gráfico fica:

Gráfico feito no Matlab

FUNÇÕES RACIONAIS

Exercício 2

Encontre as assíntotas verticais do gráfico de:

42

x

xxf

SOLUÇÃO

FUNÇÕES RACIONAIS

Exercício 3

Encontre as assíntotas verticais do gráfico de:

4

122

x

xxf

SOLUÇÃO

FUNÇÕES RACIONAIS

Exercício 4

Encontre as assíntotas verticais do gráfico de:

2

122

xx

xxf

SOLUÇÃO

FUNÇÕES RACIONAIS

Exercício 5

Encontre as assíntotas verticais do gráfico de:

8

33

x

xf

SOLUÇÃO

FUNÇÕES RACIONAIS

Exercício 6

Encontre as assíntotas horizontais do gráfico

de:

4

42

2

x

xxf

SOLUÇÃO

FUNÇÕES RACIONAIS

Exercício 7

Encontre as assíntotas horizontais do gráfico

de:

4

2

x

xxf

SOLUÇÃO

FUNÇÕES RACIONAIS

Exercício 8

Encontre as assíntotas horizontais do gráfico

de:

4

22

x

xxf

SOLUÇÃO

FUNÇÕES RACIONAIS

Exercício 9

Encontre as assíntotas horizontais do gráfico

de:

14

2532

2

x

xxxf

SOLUÇÃO

EXERCÍCIO 10

Suponha que o custo de produção de 50

unidades de certa mercadoria seja de R$

27.000,00, enquanto o custo para produzir

100 unidades da mesma mercadoria seja R$

38.000,00. Se a função custo C(x) é

assumida como sendo linear, encontre a

regra para C(x). Use a regra para estimar o

custo da produção de 80 unidades da

mercadoria.

EXERCÍCIO 11

Um campo é delimitado no formato de um

retângulo no qual um lado é formado por um

rio de percurso retilíneo. Se 100 metros

estão disponíveis para o cercado, determine

as dimensões do retângulo de máxima área

possível, sendo que um dos lados do

retângulo é formado pela margem deste rio.

EXERCÍCIO 12

EXERCÍCIO 13

EXERCÍCIO 14

EXERCÍCIO 15

EXERCÍCIO 16

EXERCÍCIO 17

FIM

DA

AULA

QUINZE