Bases NuméRicas

Bases

Numéricas

Rodolfo Gregório de Moraes

Conceitos Envolvidos

• Este trabalho consiste na apresentação do desenvolvimento do conceito de número através da história das civilizações, passando à noção de bases numéricas

Problematização

• Pretendemos mostrar uma forma prática de abordar este tema nas relações de ensino-aprendizagem, com o subsídio do material concreto, de forma que as pessoas percebam que as variadas representações de um mesmo número não alteram o sentido quantitativo do mesmo, em especial aos discentes da Educação Básica.

• Buscamos responder a seguinte questão: COMO O MATERIAL CONCRETO – O ÁBACO DE PAPEL – PODE MEDIAR O ENSINO-APRENDIZAGEM DE BASES NUMÉRICAS?

Número• Atualmente, em todos os lugares aonde vamos e

em inúmeras atividades, nos deparamos com números. O número como vemos hoje é uma evolução histórica que se deu diferentemente em várias civilizações.

• As noções primitivas de número estavam relacionadas mais com contrastes do que com semelhanças –a diferença entre um lobo e muitos, por exemplo. Gradualmente através da realização de analogias essas próprias diferenças indicavam semelhanças, pois o contraste entre um carneiro e um rebanho, uma árvore e uma floresta têm algo em comum, sua unicidade

Egito

A numeração hieroglífica foi facilmente decifrada. O sistema baseava-se numa escala de dez, usando um esquema interativo simples e símbolos diferentes para a primeira meia dúzia de potências de dez, como mostra a fig abaixo.

Mesopotâmia

O sistema de numeração mesopotâmio, ao contrário da maioria das civilizações tanto antigas quanto modernas, não era decimal, era sexagesimal. Além disso eles utilizavam a notação posicional, isto é, os símbolos podem ter função dupla, tripla, quádrupla ou em qualquer grau, simplesmente recebendo valores que dependessem de suas posições relativas na representação de um número, assim como nosso atual sistema decimal.

Grécia

A cultura grega faz parte da base da nossa civilização ocidental. Foi nessa civilização que se organizavam pela primeira vez diversas ciências como a Medicina e a Matemática.Curiosamente, o sistema de numeração estabelecido pelos gregos, em que usavam letras do seu alfabeto para representar os números, não influenciou outros povos.Este povo utilizou a notação jônia com a seguinte associação entre letras e números:

Este sistema utilizava um esquema posicional e, para quantidades maiores que 1000, acrescentava-se uma vírgula no símbolo do número. Ex.: 8888 = ,ηωπη.

Roma

O sistema de numeração romano possuía regras especiais:Os símbolos I, X e C podem ser repetidos até três vezes.Se o símbolo de valor maior vem antes do de valor menor, somam-se seus valores, caso venham antes, subtraem-se o valor.Exemplos:III =3IV=5-1=4VII=5+2=7

China

Durante a longa história da civilização chinesa houve mais de um sistema de numeração, contudo o mais utilizado era um sistema decimal composto dos símbolos acima, porém com regras diferentes, explicitando os símbolos das potências de 10 para determinar as posições.

Maias

Os Maias, um povo que habitou a América Central pré-colombiana, desenvolveu uma cultura sofisticada. Em sua representação de intervalos de tempo entre datas do calendário, usavam numeração posicional,em geral com vinte como base primária e com cinco como base auxiliar. Além disso, este sistema de numeração complexo possui um símbolo para representação do zero.

Arábia

Os árabes eram rápidos na absorção da cultura dos povos vizinhos que conquistavam e, dentro da fronteira do império árabe viviam povos de variadas origens étnicas: sírios, gregos, egípcios, persas, e muitos outros.

Nossos números são chamados de arábicos porque os princípios nos dois sistemas são os mesmos e porque nossas formas derivam das arábicas. No entanto, os princípios dos números arábicos, presumivelmente, vieram da Índia, por isso chamam nosso sistema de hindu ou indo-arábico.

Representação em Base NuméricaA definição de base pode ser traduzida coloquialmente como a quantidade de elementos definida para efetuarmos agrupamentos, isto é, dado qualquer número inteiro e positivo n e um inteiro positivo b>1, este n admite uma única representação da forma:

abababababam

m

m

mn

01

2

2

3

3

1

1... ++++++= −

−

),,,,...,,( 01231 aaaaaa mmnb−=

Este polinômio pode ser representado, de modo abreviado, pela notação:

O inteiro positivo b>1 chama-se base, e costuma-se dizer que n está escrito na base b.

A proposta

• Para o desenvolvimento de nossa proposta o material utilizado é uma folha de papel A4 e, pequenas peças em diferentes cores, como botões ou confeitos de chocolate. O papel é dividido em colunas e linhas conforme a figura a seguir: Ábaco de Papel

Regras de utilização• Primeiro Passo: separamos uma quantidade de peças de uma

mesma cor para contarmos.• Segundo Passo: definimos uma quantidade b de peças para

formar grupos.• Terceiro Passo: na primeira coluna à direita separamos as

peças, substituindo cada agrupamento formado por uma peça de outra cor na coluna ao lado.

• Quarto Passo: repetimos o passo anterior para todas as colunas até em que nenhuma haja uma quantidade de peças c ≥ b.

• Quinto Passo: escrevemos os números referentes à quantidade de peças em cada coluna, da esquerda para a direita.

Ábaco de Papel

Coluna 1

(verdes)

Coluna 2

(azuis)

Coluna 3

(vermelhas)

Coluna 4

(outra cor)

Quantidade de peças escolhidas para contarmos:

Quantidade de peças em cada agrupamento : 10

Coluna 1

(verdes)

Coluna 2

(azuis)

Coluna 3

(vermelhas)

Coluna 4

(outra cor)

Quantidade de peças escolhidas para contarmos:

Quantidade de peças em cada agrupamento : 10

51

Coluna 1

(verdes)

Coluna 2

(azuis)

Coluna 3

(vermelhas)

Coluna 4

(outra cor)

Quantidade de peças escolhidas para contarmos:Quantidade de peças em cada agrupamento : 10

Coluna 1

(verdes)

Coluna 2

(azuis)

Coluna 3

(vermelhas)

Coluna 4

(outra cor)

Quantidade de peças escolhidas para contarmos:

Quantidade de peças em cada agrupamento : 3

Coluna 1

(verdes)

Coluna 2

(azuis)

Coluna 3

(vermelhas)

Coluna 4

(outra cor)

Quantidade de peças escolhidas para contarmos:

Quantidade de peças em cada agrupamento : 3

Coluna 1

(verdes)

Coluna 2

(azuis)

Coluna 3

(vermelhas)

Coluna 4

(outra cor)

Quantidade de peças escolhidas para contarmos:

Quantidade de peças em cada agrupamento : 3

021

Coluna 1

(verdes)

Coluna 2

(azuis)

Coluna 3

(vermelhas)

Coluna 4

(outra cor)

Quantidade de peças escolhidas para contarmos:

Quantidade de peças em cada agrupamento : 3

Na primeira forma tínhamos: 1 vale 10

Então (1,5)10 vale: 1x10 + 5 = 15 peças

Na segunda forma tínhamos: 1 vale 3 e, 1 vale 3

Então (1,2,0)3 vale 1x3x3 +2x3 +0x1 = 15 peças

Conclusões

Concluímos que podemos desenvolver o pensamento numérico, desassociado de um sistema de numeração específico, utilizando material de fácil acesso e baixo custo.

Além disso, deixamos a proposta de utilização desse material como mediador do conhecimento na apresentação ao aluno das operações fundamentais – adição, subtração, multiplicação e divisão –, e potenciação.

Por fim, esperamos que os estudantes de licenciatura e profissionais da Educação Básica consigam, com este estudo, otimizar seu desempenho e criar meios inovadores de transmitir o tema abordado, assim como diversos conteúdos matemáticos.

“Como Aristóteles observou, o uso hoje difundido do sistema decimal é apenas resultado do acidente anatômico de que quase todos nós nascemos como dez dedos nas mãos e dez nos pés.”

Para reflexão