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COORDENADAS CARTESIANASDESLOCAMENTODISTÂNCIA PERCORRIDA
Movimentos à superfície da Terra -
COORDENADAS CARTESIANAS
“Quando se estudam movimentos à superfície da
Terra e quando sua curvatura se pode aproximar
de uma superfície plana, é conveniente o uso de
coordenadas cartesianas” (René Descartes,
século XVII).
Referencial cartesiano a três dimensões, criado por
René Descartes, que serve para localizar pontos no
espaço.
A localização de um ponto é dada pelas coordenadas
cartesianas x, y e z.
Quando é que uma partícula está em movimento?
Uma partícula está em movimento quando, em relação a um
referencial, a sua posição varia no tempo.
O movimento tal comoo repouso é relativo!
Tipos de trajetórias
Trajetória é a linha que une as sucessivas posições ocupadas por um corpo
em movimento à medida que o tempo passa.
Pode ser curvilínea (linha curva), circular (círculos) ou retilínea (linha reta).
Trajetória curvilínea
Trajetória retilínea
Trajetória circular e curvilínea
Descrição da posição de um corpo ou do seu centro demassa (CM) com COORDENADAS CARTESIANAS
• Se uma partícula sedeslocar num plano, ésuficiente o uso de doiseixos (uma coordenadahorizontal e umacoordenada vertical).
P (x,y)•
• Se uma partícula apenas sedeslocar em linha reta, umeixo coincidente com atrajetória é suficiente para alocalizar (uma coordenada).
P (x)•xA
• Se uma partícula sedeslocar com trajetóriacurvilínea irregular, énecessário o uso de trêseixos (duas coordenadashorizontais e umacoordenada vertical).
•P (x,y,z)
x
y
z
Deslocamento
O deslocamento é:
• a grandeza física que indica a variação da posição de uma partícula;
• independente da trajetória;
• representado por um vetor.
O vetor deslocamento é definido pela diferença entre os vetores que definem a posição final e a posição inicial e representa-se por: r
if rrr
O deslocamento nada diz sobre a trajétória efetuada!
Deslocamento no Movimento Rectilíneo
Δx = xf - xiSentido do movimento
> 0 positivo
< 0 negativo
Num movimento retilíneo, para um eixo coincidente com a trajetória,chama-se componente escalar do vetor ao valor da diferença entre ascoordenadas da posição final e da posição inicial, Δx:
r
O sinal desta diferença é o sentido do movimento.
∆t = 20 min
∆x = 0 m
d = Δs = 200 m
Simbolizada pelaletra s, mede ocomprimento dopercurso efetuadoe, por isso, ésempre umagrandeza positiva.
O deslocamento global , mede a variação de posição e é igual ao somatório dos deslocamentos parciais:
A distância percorrida é igual ao somatório dos módulos dos deslocamentos parciais:
Deslocamento global
A distância percorrida
Distância Percorrida sobre a trajetória
Distância percorrida em função do tempo
Um bom modo de representar o movimento de um corpo é utilizar gráficos e tabelas.
Consideremos o movimento de queda de uma pequena esfera.
t (s)
y (m)
y (m)
t (s)
Posição ocupada em função do tempo (origem no ponto de partida)
Posição ocupada em função do tempo(origem no solo)
Gráficos de posição ocupada em função do tempo e do referencial
Referencial 0y com origem no ponto de partida.
Referencial 0y com origem no solo.
X(t) é crescente
A partícula desloca-se no sentido positivo da trajetória.
X(t) é decrescente
A partícula desloca-se no sentido negativo da trajetória.
Resumo da função x(t)
Como calcular a velocidade média, quando ela é constante?
A fotografia ao lado mostra um percurso a pé,aproximadamente retilíneo, feito com GPS num pontãonuma praia.
O movimento iniciou-se na praia, foi-se até ao final dopontão e regressou-se. Mas, como se pode ver nográfico, nem sempre se esteve em movimento…
D
Como calcular a velocidade média para movimentos retilíneos sem inversão de sentido?
No percurso de ida, a velocidade foi aproximadamente constante porque, por
exemplo, em cada 10 s percorreu-se sempre a mesma distância.
Sendo
a componente escalar davelocidade média, nopercurso de ida, vale:
t
d
t
xvm
14,175
105 mss
mvm
Num movimento retilíneo sem inversão de sentido, quando a velocidade média é constante, basta dividir a distância percorrida pelo tempo gasto
para obter o seu valor.
Calculemos do valor da velocidade média no percurso de volta, onde primeirose andou mais devagar e depois um pouco mais depressa (entre 125 s e 160 s odeclive é menor que entre 160 s e 190 s):
t
d
t
xvm
t
d
t
xvm
Gráfico de posição-tempo do movimento de ida e volta
No movimento de ida e de volta à praia:• a distância percorrida aumentou ao longo do tempo
(exceto quando se esteve parado, claro!)
mas… a coordenada de posição x no eixo 0x, que coincide
com a trajetória, primeiro aumentou (sentido positivo) edepois diminuiu (sentido negativo).
Em representaçãográfica:
Sentido negativo da trajetória
Rapidez média e Velocidade média
Rapidez média Velocidade média
• Grandeza escalar. • Valor Positivo.• Indica se um corpo percorreu uma
maior ou menor distância num dado intervalo de tempo.
• Grandeza vetorial.• Valor positivo, negativo ou nulo.• Indica se um corpo se desloca mais
ou menos num dado intervalo de tempo.
• Indica a direção e o sentido dodeslocamento.
Rapidez média = 𝑠
∆𝑡 𝑣𝑚 =∆ 𝑟
∆𝑡
Se o movimento for retilíneo s/
inversão de marcha: 𝑣𝑚 = ∆𝑥
∆𝑡
Velocidade: • define-se num dado instante;• é uma grandeza vetorial tangente à trajetória;• aponta no sentido do movimento;• o seu módulo indica a rapidez do movimento.
Movimento curvilíneo
Nestes casos: a direção da velocidade 𝑣 varia; a direção da velocidade 𝑣 varia;o módulo da velocidade não varia. o módulo da velocidade varia.
Movimento retilíneo
Neste caso: a direção da velocidade 𝑣 não varia;o módulo da velocidade varia.
Velocidade e gráficos posição - tempo
Para determinar a projeção escalar da velocidade num certo instante, t, basta traçar a reta tangente à curva x(t) nesse instante e achar o seu declive.
Gráfico posição - tempo e velocidade média – tempoExemplo 1
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
0 50 100 150 200 250
v (m/s)
t (s)
Gráfico velocidade - tempo Gráfico posição - tempoX (m)
t (s)
• Nos primeiros 10 s e [85, 125]s o declive das retas tangente ao gráfico x(t) é nulo e a velocidade
anula-se nesses intervalos.
• A componente escalar da velocidade é positiva até 85 s porque os declives das tangentes são
positivos, movendo-se por isso o corpo no sentido positivo.
• No intervalo [125, 190]s as duas componente escalares da velocidade média são negativas,
movendo-se o corpo no sentido negativo.
Gráfico posição - tempo e velocidade média – tempo
Gráfico v(t) e o módulo do deslocamento
deslocamento positivo
deslocamento negativo
A área do gráfico compreendida entre o gráfico e o eixo dos tempos dá ovalor do deslocamento, Δx.
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