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Editora Moderna
Encontro de professores de Matemática
Geometria no ensino fundamental
Equilíbrio entre experimentação e dedução
Prof. Luiz Márcio Imenes
imenes@uol.com.br
Exemplos de atividades experimentais em geometria
Montar um bloco retangular a partir de sua planificação.
Montar uma pilha de cubos e desenhar suas vistas simplificadas
Experiências com formas espaciais: quem rola?
Outros exemplos:• Transformar uma folha de papel na superfície
lateral de um cilindro.• Montar polígonos com canudos de tomar
suco.• Construir um esquadro de papel e usá-lo para
desenhar.• Construir retas perpendiculares e retas
paralelas dobrando papel.• Girar 90º para a direita ou para a esquerda
(brincar de robô).• Construir bissetriz dobrando papel.
Desenhar itinerários em malha de quadrados obedecendo certas instruções.• Avance 2
• Esquerda 90º
• Avance 3
• Esquerda 90º
• Avance 2
• Direita 90º
• Avance 3
• Direita 90º
• Avance 2
Mais alguns exemplos: • Desenhar retas paralelas deslizando o esquadro
na régua.• Desenhar uma circunferência usando barbante;
ou então, só uma régua.• Descobrir, por meio de tentativas, com quais
polígonos regulares se pode recobrir o plano.• Desenhando, observar que “o raio divide a
circunferência em seis partes iguais”.• Recortando papel, observar que a soma das
medidas dos ângulos de um triângulo é 180º.• Com dobraduras, observar que as bissetrizes de
um triângulo se encontram em um ponto.
Desenhar quadrados e investigar (experimentalmente): as medidas das diagonais são diretamente proporcionais às medidas dos
lados?
Desenhar triângulos retângulos e investigar (experimentalmente): a medida de um cateto é diretamente proporcional à medida do ângulo agudo oposto a ele?
Exemplos de atividades envolvendo dedução em
geometria
A experimentação leva a um fato: hexágonos regulares recobrem o plano.
A partir desse fato, pode-se deduzir a medida dos ângulos internos de um
hexágono regular.
O fato experimental: quadrados e triângulos equiláteros recobrem o plano (daí, as respectivas malhas).
Partindo desse fato, podem-se deduzir as medidas dos ângulos de polígonos desenhados sobre malhas triangulares ou quadriculadas.
Conhecimento prévio: a propriedade fundamental da circunferência
PROBLEMA• Se a circunferência de centro A
tem raio 5 cm e a de centro B tem raio 3 cm, então descubra as medidas de:AB, CB, AD, DB, EB e AE.
• Dos pontos assinalados na figura, qual está:
a) a 5 cm de A e a 3 cm de B?b) a mais de 5 cm de A e a menos de
3 cm de B?c) a menos de 5 cm de A e a menos
de 3 cm de B?d) a 5 cm de A e a 10 cm de B?
A experiência de traçar retas paralelas deslizando o esquadro na régua leva à percepção de que o paralelismo preserva ângulos (retas paralelas
cortadas por uma transversal formam pares de ângulos iguais).
A partir desse fato, pode-se deduzir que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual
a 180º.
Premissa: a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º.
A partir desse fato, pode-se deduzir a soma das medidas dos ângulos de um quadrilátero ou de qualquer outro polígono.
Construir um polígono regular de n lados usando transferidor (divide-se 360º por n).
Em seguida, deduzir a medida do ângulo interno do polígono regular.
Quais são os conhecimentos prévios envolvidos nesta atividade?
Conhecendo a fórmula da área do retângulo, pode-se deduzir a fórmula
da área do paralelogramo.
Conhecendo a fórmula da área do paralelogramo, deduz-se a do triângulo.
• E depois, a do losango e a do trapézio.
Conhecendo semelhança de triângulos, podem-se deduzir relações métricas típicas dos triângulos retângulos, entre as quais o
teorema de Pitágoras.
Questões para debate:
• Até 6º ou 7º anos só abordagem experimental e, depois, só o tratamento dedutivo?
• Até que ano pode-se usar da experimentação?
• Que importância tem a geometria na formação das pessoas?
• Para que deduzir se os alunos não se interessam por isso?
• Por que não tratar a geometria só dedutivamente?
Este livro didático, para estudantes de 13 anos, foi muito usado no Brasil nas décadas de 1950 e 1960.
Vejamos como o autor apresenta a geometria.
O autor anuncia aos estudantes que, agora, fazendo uso somente da razão, tomarão contato com a geometria dedutiva.
A seguir, apresenta as noções primitivas.
Nessa abordagem, a partir de alguns conceitos primitivos e de alguns postulados, demonstram-se teoremas.
Capa de edição em inglês de Os Elementos de Euclides (1570)
Essa forma de tratar a Matemática foi desenvolvida pelos gregos e exposta na obra fundamental Os Elementos, de Euclides (por volta de 300 a.C.).
“Nenhum trabalho, exceto a Bíblia, foi tão largamente usado ou estudado e, provavelmente, nenhum exerceu influência maior no pensamento científico.”Introdução à História da Matemática. Eves, H. Campinas: Editora da UNICAMP, 1995.
Manfredo Perdigão do Carmo é um matemático brasileiro vinculado ao IMPA – Instituto de Matemática Pura e Aplicada, do Rio de Janeiro. Em 1973, em uma conferência para professores de Matemática, dentre outras considerações, ele afirma:
“Um dos maiores mal-entendidos do ensino da Matemática proveio da adoção dos livros de Euclides, ou de pequenas modificações deles, no ensino da Geometria. De início, devemos absolver Euclides de toda e qualquer culpa no caso. Euclides escreveu os seus livros com uma finalidade metodológica e não didática.
A formalização global, por ele obtida do volume de fatos geométricos conhecidos até então foi uma obra de gênio, melhor compreendida por filósofos e pensadores do que por jovens estudantes. Em oposição a Arquimedes, que usava uma combinação de formalização local e métodos heurísticos e cujas técnicas de pesquisas continham o germe de uma forma de ensino mais efetiva, a obra de Euclides foi tomada como um modelo didático. As consequências desastrosas deste fato se fazem sentir até hoje.”Considerações sobre o ensino de Matemática. Manfredo Perdigão do Carmo. Revista de Ensino de Ciências, n.2. São Paulo: FUNBEC, 1981.
Entendo que o professor Manfredo não estivesse exagerando. • De fato, boa parte das pessoas que, naquela época,
foram apresentadas à geometria dedutiva ou aprendeu muito pouco ou, o que é mais grave, aprendeu a detestar Matemática e a odiar os teoremas.
• O problema é ainda maior: na verdade, o modelo formal inspirou todo o ensino de Matemática. Euclides não escreveu sobre combinatória, mas a maneira habitual de apresentá-la segue o modelo.
• Por fim: Euclides e sua obra são jóias preciosas demais para serem tratadas de modo equivocado. É preciso construir a compreensão do espírito dos Elementos.
Algumas tendências e orientações atuais
• Estudar conjuntamente figuras planas e espaciais.
• Explorar atividades experimentais e de construção (não se trata do clássico desenho geométrico!). Essa estratégia implica o uso de uma série de recursos (nenhum deles dispendioso).
• Estabelecer conexões com: Artes e Arquitetura, atividades profissionais, forma e função de objetos do cotidiano, outras disciplinas (Geografia, Ciências) etc.
• Incorporar programas de geometria dinâmica ao trabalho com geometria.
• No PISA e nos PCN usa-se a expressão espaço e forma para referir-se à geometria. A intenção é destacar que, além do estudo das formas, contemplam-se também as noções relativas a posição, localização, deslocamentos e representação de formas espaciais sobre o plano (vistas, mapas e plantas, cortes, perspectiva).
• Adotar abordagens problematizadoras, o que significa buscar sempre as justificativas para os fatos observados.
• Tais justificativas podem ser fruto da experimentação ou da argumentação dedutiva.
• Explorar formalizações locais.
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