Introdução a Matrizes

Setor 813Setor 813Módulo 9Módulo 9

MatrizesMatrizes

Prof. HenriqueProf. Henrique

Definição:Definição: Chamamos de matriz a uma tabela de elementos Chamamos de matriz a uma tabela de elementos

dispostos em linhas e colunas.dispostos em linhas e colunas. Exemplo:Exemplo:

Ao abstrairmos os Ao abstrairmos os significados das linha e significados das linha e colunas, obtemos a colunas, obtemos a matriz:matriz:

mxnij

mnm3m2m1

3n333231

2n232221

1n131211

mxn ]a[

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A

Representação de uma matriz genérica:Representação de uma matriz genérica:

LINHA

COLUNAELEMENTOS

Matrizes EspeciaisMatrizes Especiais

Matriz QuadradaMatriz Quadrada

quando o número de linhas é igual ao quando o número de linhas é igual ao número de colunas (m=n).número de colunas (m=n).

Exemplo:Exemplo:

2221

12112x2 aa

aaA

Diagonal

Principal

Diagonal

Secundária

Matriz nula Matriz nula todos os elementos são zero.

Matriz diagonal Matriz diagonal os elementos fora da diagonal principal com valor zero.

Matriz identidade Matriz identidade é uma matriz diagonal no qual os elementos da diagonal principal são todos iguais a 1.

Matriz transpostaMatriz transposta as linhas viram colunas e colunas viram linhas.

2x3t

3x2

nxmt

mxn

AA

AA

Igualdade de matrizesIgualdade de matrizes

Dadas duas matrizes de mesma ordem

A = (aij) e B = (bij), dizemos que:

A = B aij = bij

Operações com Operações com matrizes:matrizes:

Adição e Subtração de matrizesAdição e Subtração de matrizes

Essas operações só podem ser feitas com matrizes de mesmo número de linhas e

mesmo número de colunas.Sejam duas matrizes Am×n e Bm×n.

Multiplicação entre um número Multiplicação entre um número real e uma matrizreal e uma matriz

).(. ijaA

35300

10515

760

2135.

Produto entre matrizesProduto entre matrizes

Existe o produto entre matrizes, Am×n e Bn×p, se somente se, duas matrizes tais que o número de

colunas da primeira (n) é igual ao número de linhas da segunda (n).

Exemplo:Exemplo:A3x2 . B2x2 = C3x2

2422

13

1412

5.44.15.24.3

0.41.10.21.3

3.42.13.22.3

A.BC

42

13Be

54

01

32

A

65

43

21

B e 654

321A

A2x3.B3x2 = C2x2

c11 = 1 x 1    +    2 x 3    +    3 x 5   =  1 + 6 + 15   = 22 c12 = 1 x 2    +    2 x 4    +    3 x 6   =  2 + 8 + 18   = 28 c21 = 4 x 1    +    5 x 3    +    6 x 5   =  4 + 15 + 30 = 49 c22 = 4 x 2    +    5 x 4    +    6 x 6   =  8 + 20 + 36 = 64

6449

2822C

Propriedades da multiplicaçãoPropriedades da multiplicação

1) AB BA

Embora existam matrizes M e N, tais que

MN = NM, neste caso dizemos que elas comutam entre si.

2) (AB) C = A (BC)

3) A (B + C) = AB + AC e (A + B)C = AC + BC

4) A. 0 = 0. A = 0

5) A. I = I. A = A

6) (AB)t = Bt. At