Extrapolaçao em espaços de K˜ othe¨ Esta versao da dissertaç˜ ão cont ém as correç oes e alteraç˜ oes sugeridas˜ pela Comissao Julgadora durante a

Extrapolacao em espacos de Kothe

Vıctor Juan Hernandez Del Toro

Dissertacao apresentadaao

Instituto de Matematica e Estatısticada

Universidade de Sao Paulopara

obtencao do tıtulode

Mestre em Ciencias

Area de Concentracao: MatematicaOrientador: Prof. Dr. Valentin Raphael Henri Ferenczi

Durante o desenvolvimento deste trabalho o autor recebeu auxılio financeiro da CNPq

Sao Paulo, novembro de 2014


Esta versao da dissertacao contem as correcoes e alteracoes sugeridaspela Comissao Julgadora durante a defesa da versao original do trabalho, realizada em

29/01/2015. Uma copia da versao original esta disponıvel noInstituto de Matematica e Estatıstica da Universidade de Sao Paulo.

Comissao Julgadora:

• Prof. Dr. Valentin Ferenczi (orientador) - IME-USP

• Prof. Dr. Eloi Medida Galego-IME-USP

• Prof. Dr. Jordi Lopez-Abad -ICMAT

Resumo


Neste trabalho apresentamos alguns resultados da teoria de extrapolacao desenvolvida por NigelKalton em [16].Nos introduzimos o conceito de Soma torcida e apresentamos algumas das suas propriedades.Em seguida descrevemos um metodo de construcao de somas torcidas ideado pelo Kalton ePeck para dar uma solucao alternativa ao problema 3SP de espacos de Hilbert (ver [19]).Nos estudamos um tipo de funcao Ω : X −→ L0(µ) definida em um espaco de Kothe chamadade Centralizador, que satisfaz:

• Ω(αx) = αΩ(x) para todo x ∈ X e todo α ∈ C.

• Existe uma constante ρ(Ω) > 0 tal que

‖Ω(ux) − uΩ(x)‖X ≤ ρ(Ω) ‖u‖∞‖x‖X.

para todo u ∈ L∞(µ) e todo x ∈ X.

Alem disso, se Ω( f ) e uma funcao real sempre que f seja uma funcao real, dizemos que Ω e umCentralizador real.Seja 0 < θ < 1. Se X = [X0, X1]θ e um espaco interpolado de Calderon (ver [1]), entaodefinimos um Centralizador neste espaco, chamado de Centralizador induzido, por Ω0(x) =

F′(θ), onde F : S −→ X0 + X1 e uma funcao definida na faixa S = z ∈ C : 0 ≤ Re(z) ≤ 1 quesatisfaz:

• F e analıtica no interior de S,

• F(it) ∈ X0 e F(1 + it) ∈ X1 para todo t ∈ R e as funcoes t 7→ F(it) e t 7→ F(1 + it) saocontınuas.

i

• F verifica‖F‖F = max

(supt∈R‖F(it)‖X0 , sup

t∈R‖F(1 + it)‖X1

)< ∞.

Logo, damos o conceito de funcao indicadora, que foi inicialmente introduzido por Gillespie(ver [25]) e usado pelo Kalton para resolver alguns problemas de extrapolacao. Nos apresenta-mos as provas dos seguintes resultados:Um de eles demonstrado pelo Pisier em [13]:

Se X e um espaco de Kothe p-convexo e q-concavo, onde1p

+1q

= 1, entao paraθ

2=

1q

e

0 < θ < 1 existe um unico espaco de Kothe Y tal que

X = Lθ2 Y1−θ.

Nos vamos apresentar a prova deste teorema usando como ferramenta as funcoes indicadoras(prova de Kalton).

E outro resultado usando centralizadores:

Seja X um espaco de Kothe p-convexo e q-concavo, onde 1/p + 1/q = 1, com 1 < p ≤ 2. SeΩ : X −→ L0(µ) e um centralizador real, com ρ(Ω) ≤ 1/200q, entao existem espacos de KotheX0 e X1 tais que X = [X0, X1]1/2 e se Ω0 e o centralizador induzido em X, entao

‖Ω(x) −Ω0(x)‖X ≤ C ‖x‖X, para todo x ∈ X

e alguma constante positiva C.

Palavras-chave: Espaco de Kothe, Espaco interpolado, Indicador de um espaco de Kothe ,Centralizador.

ii

Abstract

Extrapolation in Kothe spaces

In this work we present some results in the Extrapolation Theory of Banach Spaces develop byNigel Kalton in [16].We introduce the concept of Twisted sums and we present some properties. we describe amethod of construction of twisted sums develop by Kalton and Peck to give an alternate solutionto the problem 3SP for Hilbert spaces (ver [19]).We study a type of function Ω : X −→ L0(µ) defined on a Kothe space, called Centralizer, thatsatisfies:

• Ω(αx) = αΩ(x) for all x ∈ X and α ∈ C.

• There exists a constant ρ(Ω) > 0 such that

‖Ω(ux) − uΩ(x)‖X ≤ ρ(Ω) ‖u‖∞‖x‖X.

for all u ∈ L∞(µ) and x ∈ X,

furthermore, if Ω( f ) is a real function whenever f is a real function, then Ω is called Realcentralizer.Let 0 < θ < 1. If X = [X0, X1]θ is a Calderon interpolation space ( see [1] ), then we define aCentralizer in X, called Induced centralizer, by Ω0(x) = F′(θ), where F : S −→ X0 + X1 is afunction defined on S = z ∈ C : 0 ≤ Re(z) ≤ 1, that satisfies:

• F is analytic in the interior of S and bounded on ∂S.

• F(it) ∈ X0 and F(1 + it) ∈ X1 for all t ∈ R and t 7→ F(it) and t 7→ F(1 + it) are continuousfunctions.

iii

• F satisfies

‖F‖F = max(supt∈R‖F(it)‖X0 , sup

t∈R‖F(1 + it)‖X1

)< ∞.

We introduce the concept of Indicator function, which was initially introduced by Gilliespie(ver [25]) and used by Kalton to solve some extrapolation problems. We present the proofs ofthe following theorems :

Pisier proved the following theorem (ver [13]):

Let X be a Kothe space which isp-convex andq -concave where1 < p < 2 and 1/p + 1/q = 1.Then there is a Kothe space Y such that

X = Lθ2 Y1−θ,

where 1/q = θ/2.

We use indicator functions to prove this theorem (Kalton’s proof).

Using centralizers, we proved the following extrapolation theorem:

Let X be a Kothe space which isp-convex andq -concave where1 < p < 2 and 1/p + 1/q = 1.If Ω is a real centralizer on X with ρ(Ω) ≤ 1/200q, then there is a pair of Kothe spaces X0, X1

such thatX = [X0, X1]1/2 and if Ω0 is the induced centralizer, then

‖Ω(x) −Ω0(x)‖X ≤ C‖x‖X, for all x ∈ X

and some C > 0.

Keywords: Kothe space, Interpolation space, Indicator of a Kothe space, Centralizer.

iv

Indice

Indice v

1 Introducao 1

2 Resultados preliminares 52.1 Teoria da medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.1 Integracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1.2 Tipos de convergencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.1.3 Integral de Bochner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Funcoes diferenciaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2.1 Funcoes analıticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2.2 Funcoes de Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3 Espacos de Banach reticulados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3.1 p-potencias de espacos de funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3.2 Normas de ordem contınua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3.3 Espaco de Banach de sequencias (E.B.S) . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4 Espacos quase-normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.5 Outros resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Somas torcidas 21

4 Interpolacao em espacos de Banach 284.1 Generalidades da teoria de interpolacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.2 Interpolacao Complexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5 Espacos de Kothe e espacos de funcoes g-convexos 47

v

INDICE

6 O indicador de um espaco de funcoes g-convexo 626.1 Propriedades dos indicadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636.2 Aproximacao de funcionais semilineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

7 Centralizadores em espacos de Kothe 1217.1 Propriedades dos centralizadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1217.2 Auto-extensoes de espacos interpolados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

8 Teoremas de extrapolacao 137

Bibliografia 144

vi

Capıtulo 1Introducao

Sabemos que uma auto-extensao de um espaco de Banach Y, e um espaco de Banach X tal queY esta mergulhado em X e o espaco quociente X/Y e isomorfo a Y (ver [9]). O estudo dasauto-extensoes de um espaco nos conduz ao estudo das somas torcidas (ver Capıtulo 3). Umasoma torcida X de Y e Z tem associada uma sequencia exata curta

0 → Yi−→ X

j−→ Z → 0.

Em [19], Kalton e Peck apresentam um metodo para construir somas torcidas de espacos deBanach Y e Z. Eles consideram uma funcao F : Z −→ W, onde W e um espaco vetorial comY ⊂ W, que verifica

(i) F e homogenea,

(ii) existe K positivo, tal que para todo todo z1, z2 ∈ Z

‖F(z1 + z2) − F(z1) − F(z2)‖Y ≤ K(‖z1‖Z + ‖z2‖Z)

e demonstram queZ ⊕F Y = (z,w) ∈ Z ×W : w − F(z) ∈ Y

munido da quase-norma‖(z,w)‖Z⊕FY = ‖z‖Z + ‖w − F(z)‖Y

e uma soma torcida de Y e Z.Reciprocamente, Kalton e Peck demonstram que toda soma torcidaX de Y e Z e equivalente a uma soma torcida da forma Z ⊕F Y no seguinte sentido: existe umoperador linear limitado T : X → Z ⊕F Y tal que o seguinte diagrama comuta

0 // Y i // X

T

j // Z // 0

0 // X i′ // Z ⊕F Yj′ // X // 0

1

No caso Y = Z, denotamos Y ⊕F Y por dFY.

O Capıtulo 4 e dedicado ao estudo do metodo de interpolacao complexa desenvolvido porCalderon em [1].Calderon usa o espaco F = F (X0, X1) de funcoes analıticas no interior da faixa S = z ∈ C :0 ≤ Re(z) ≤ 1 com valores em X0 + X1 tais que as funcoes t 7→ F(it), t 7→ F(1 + it) saocontınuas e


t∈R‖F(1 + it)‖X1

)< ∞,

para definir o espaco intermedio entre X0 e X1 como

[X0, X1]θ = Xθ = F(θ) : F ∈ F

com norma‖x‖Xθ = inf‖F‖F : F(θ) = x,

onde 0 < θ < 1.Quando ou X0 ou X1 sao espacos reflexivos, o espaco Xθ pode-se fatorar da forma Xθ = X1−θ

0 Xθ1,

onde X1−θ0 Xθ

1 e definido por

X1−θ0 Xθ

1 = x ∈ L0 : existem u0 ∈ X0, u1 ∈ X1, tais que |x| = |u0|1−θ|u1|

θ,

munido da norma

‖x‖ = inf ‖u0‖1−θX0· ‖u1‖

θX1

: |x| = |u0|1−θ|u1|

θ.

Nos sempre vamos supor que Xθ = X1−θ0 Xθ

1.

No Capıtulo 5 damos os conceitos de espaco de Banach de funcoes g-convexo e espaco deKothe. Tambem apresentamos algumas propriedades destes espacos.

No Capıtulo 7 relacionamos as teorias de interpolacao e somas torcidas de espaco de Kothe.Nos consideramos as somas torcidas dΩ0 Xθ de Xθ, onde Ω0 : Xθ → L0(µ) verifica (i), (ii) e eobtida por diferenciacao complexa, i.e., dado C > 1 fixo, escolhemos F ∈ F tal que ‖F‖F <C‖x‖Xθ e x = F(θ), pondo assim Ω0(x) = F′(θ). A funcao Ω0 tem propriedades interessantescomo:

• Se Ω0 e uma funcao obtida por diferenciacao complexa definida por outra escolha de F,entao as somas torcidas dΩ0 Xθ e dΩ0

Xθ sao equivalentes. Alem disso, podemos dar umaformula explıcita para Ω0, i.e.,

Ω(x) = x (log x1 − log x0),

onde |x| = x1−θ0 xθ1 e ‖x‖Xθ = ‖x0‖X0 = ‖x1‖X1 .

2

• A soma torcida dΩ0 Xθ pode ser munida de uma norma equivalente a ‖ · ‖dΩ0 Xθ .

Neste capıtulo vemos que a funcao Ω0 satisfaz:

(iii) Existe uma constante ρ(Ω0) > 0 tal que

‖Ω0(ux) − uΩ0(x)‖Xθ ≤ ρ(Ω0) ‖u‖∞‖x‖Xθ .

para todo u ∈ L∞(µ) e todo x ∈ Xθ.

O estudo de auto-extensoes de um espaco de Kothe X, nos conduz a estudar funcoes Ω : X →L0(µ) que verificam as condicoes (i) e (iii). Estas funcoes sao chamadas de Centralizadores emX, as quais tambem verificam (ii). Esta situacao nos leva a seguinte questao :

Dado um centralizador Ω em X, encontrar espacos de Kothe X0, X1 tais que X = [X0, X1]θ eas somas torcidas dΩ0 Xθ, dΩX sejam equivalentes.

Portanto, o estudo das auto-extensoes de um espaco de Kothe e reduzido a um problema deextrapolacao. Para abordar este problema, nos estudamos um funcional semilinear convexo eK-contınuo definido por Gillespie em [25], que chamamos de Indicador de um espaco de Kothe(ver Capıtulo 6). Este foi definido por

ΦX( f ) = supx∈BX

∫Sf log |x| dµ,

onde X e um espaco de Kothe e f esta em um semi-ideal TX de L+1 = f ∈ L1 : f ≥ 0 q.s.. Este

funcional esta associado a um unico espaco de Kothe, i.e., se ΦX = ΦY , entao X = Y.Tambem provaremos algumas propriedades deste funcional, por exemplo:

• Se [X0, X1]θ = Xθ = X1−θ0 Xθ

1, entao

ΦXθ = (1 − θ)ΦX0 + θΦX1 ,

• para todo funcional semilinear Φ convexo em um semi-ideal de L1, tal que ΦL1− Φ seja

convexo, existe um espaco de Kothe X tal que Φ = ΦX.

A importancia que desempenha o Indicador de um espaco de Kothe na teoria de extrapolacao eque permite reduzir um problema de extrapolacao a “solucionar uma equacao ”. Por exemplo,para demonstrar o resultado de Pisier

Teorema 1.1 (Pisier 1979) [16, pag.498] Se X e um espaco de Kothe p-convexo e q-concavo,

onde1p

+1q

= 1, entao paraθ

2=

1q, 0 < θ < 1 existe um espaco de Kothe Y tal que

X = Lθ2 Y1−θ,

3

basta encontrar um funcional semilinear convexo Φ, com ΦL1 − Φ convexo, tal que

ΦX =θ

2ΦL1 + (1 − θ)Φ.

Finalmente, no Capıtulo 8, alem do teorema acima, apresentamos um resultado de extrapolacaoprovado pelo Kalton em 1992.

4

Capıtulo 2Resultados preliminares

Apresentamos neste capıtulo alguns resultados omitindo suas provas, as quais podem ser encon-tradas nas referencias citadas, pois o objetivo deste capıtulo de nosso trabalho e fixar notacoese terminologias.

2.1 Teoria da medidaOs resultados apresentados nesta secao podem ser consultados em qualquer livro de teoria damedida, ver por exemplo [5] e [28].

2.1.1 IntegracaoDefinicao 2.1 (σ-algebra) Seja S um conjunto. Uma colecao Ω de subconjuntos de S , e umaσ-algebra sobre S se

• S ∈ Ω,

• Se A ∈ Ω, entao Ac ∈ Ω,

• Se A1, A2, ... ∈ Ω, entao⋃∞

i=1 Ai ∈ Ω e⋂∞

i=1 Ai ∈ Ω.

A dupla (S , Ω) e chamada de espaco mensuravel. Todo subconjunto de S que pertence a Ω edito mensuravel.

A proposicao seguinte da um jeito de construcao de σ-algebra.

Proposicao 2.2 Seja S um conjunto e F uma colecao de subconjuntos de S . Entao existe amenor σ-algebra sobre S que contem F . Esta σ-algebra e chamada de σ-algebra gerada porF .

5

2.1 Teoria da medida

A Proposicao 2.2 nos conduz a definir dois tipos de σ-algebra geradas:

Definicao 2.3 (σ-algebra gerada em forma enumeravel) Seja Ω uma σ-algebra gerada poruma colecao enumeravel de conjuntos F . Dizemos que Ω e gerada em forma enumeravel.

Definicao 2.4 (σ-algebra de Borel) Seja S um espaco topologico. A σ-algebra gerada pelosconjuntos abertos de S e chamada de σ-algebra de Borel.

Definicao 2.5 (Funcao mensuravel) Sejam (S , Ω) e (T, Ω0) espacos mensuraveis. A funcaof : (S ,Ω) −→ (T, Ω0) e dita mensuravel, se f −1(A) ∈ Ω para todo A ∈ Ω0. Um caso particulardesta definicao e quando Ω0 e um σ-algebra de Borel. Neste caso f : (S , Ω) −→ (T, Ω0) e ditaBorel mensuravel .

Quando T = C na Definicao 2.5 temos que:

Proposicao 2.6 Se f , g : (S , Ω) −→ C e λ ∈ C, entao λ f , | f |, f + g, f g, max(| f |, |g|) efg

(sempre que o quociente esteja bem definido) sao funcoes Borel mensuraveis.

Definicao 2.7 (σ-algebra gerada por funcoes ) Seja (S i, Ωi)i∈I uma classe indexada deespacos mensuraveis e seja fi : (S , Ω) → (S i, Ωi) uma colecao de funcoes mensuraveis. Aσ-algebra gerada pelo conjunto

f −1i (B) : i ∈ I, B ∈ Ωi,

e chamada de σ-algebra gerada pelas funcoes ( fi)i∈I .

Definicao 2.8 (Funcao medida) Seja S um conjunto e Ω uma σ-algebra sobre S . Uma funcaomedida em S ou simplesmente uma medida em S , e uma funcao µ : Ω −→ [0,+∞] tal que

• µ(∅) = 0,

• µ(⋃∞

i=1 Ai) =∑∞

i=1 µ(Ai) para qualquer colecao enumeravel de conjuntos de S disjuntosdois a dois,

A tripla (S , Ω, µ) e chamada de espaco de medida.

Definicao 2.9 Seja (S , Ω, µ) um espaco de medida. A medida µ e dita σ-finita se existe umasequencia A1, A2, ... ∈ Ω com µ(Ai) < ∞ e Ai ⊆ Ai+1 tal que S =

⋃∞i=1 Ai.

6


Definicao 2.10 (Funcao simples) Seja (S , Ω) um espaco mensuravel e µ uma medida sobre(S , Ω). Uma funcao f : (S , Ω) −→ R e chamada simples nao negativa em S se existemconjuntos disjuntos dois a dois Ai ∈ Ω com S =

⋃ni=1 Ai e numeros reais ai ≥ 0, para i = 0, ..., n

tais que

f =

n∑i=1

ai · 1Ai ,

onde 1Ai e a funcao caracterıstica do conjunto Ai. Definimos a integral em S de uma funcaosimples nao negativa f em relacao a µ como∫

Sf dµ =

n∑i=1

ai µ(Ai).

Na definicao acima pode ser provado que a integral nao depende dos Ai e ai.

Definicao 2.11 Vamos definir a integral de uma funcao f : (S , Ω) −→ C mensuravel.

• Primeiro consideremos o caso f : (S , Ω) −→ [0,+∞] mensuravel. Definimos a integralde f em S como∫

Sf dµ = sup

∫S

g dµ : g simples nao negativa e g ≤ f.

• Consideremos o caso f : (S , Ω) −→ [−∞,+∞] mensuravel. Seja f + = max( f , 0) ef − = max(− f , 0). Entao definimos a integral de f em S como∫

Sf dµ =

∫S

f + dµ −∫

Sf − dµ.

• Seja f : (S , Ω) −→ C mensuravel. Note que f = f1 + i f2. Dizemos que f e integravel emS , se f1, f2 sao integraveis em S . Definimos∫

Sf dµ =

∫S

f1 dµ + i∫

Sf2 dµ.

• Seja A ∈ Ω. Dizemos que f : (S , Ω) −→ C e integravel em A, se f · 1A e integravel em S .Sua integral esta dada por ∫

Af dµ =

∫S

f · 1Adµ.

7


Definicao 2.12 (Espaco Lp) Seja (S , Ω, µ) um espaco mensuravel. Para 1 ≤ p < ∞, definimoso espaco normado

Lp(S , µ) =f : S −→ C mensuravel :

∫S| f |p dµ < ∞

,

com norma ‖ f ‖Lp =( ∫

S| f |p dµ

)1/p.

O espaco Lp(S , µ) e um espaco de Banach. Tambem denotamos Lp(S , µ) simplesmente porLp(µ) ou Lp.

2.1.2 Tipos de convergenciasVamos definir alguns tipos de convergencia de funcoes que aparecem no trabalho.

Definicao 2.13 (Convergencias de funcoes ) Seja (S , Ω, µ) um espaco de medida e fn : S −→C uma sequencia de funcoes mensuraveis.

• Convergencia quase-sempre. Diz-se que a sequencia de funcoes fn : S −→ C convergequase-sempre em S (converge q.s.) para uma funcao mensuravel f : S −→ C, se existeum conjunto mensuravel A satisfazendo µ(A) = 0, tal que ( fn)n converge pontualmentepara f em S/A.Denotamos esta convergencia por fn −→ f q.s. ou fn

q.s.−→ f

• Convergencia em medida. Diz-se que a sequencia de funcoes fn : S −→ C convergeem medida para uma funcao mensuravel f : S −→ C, se para todo ε > 0 e todo Amensuravel, com µ(A) < ∞, temos

limn→∞

µ(s ∈ A : | f (s) − fn(s)| ≥ ε

)= 0.

Proposicao 2.14 [5, pag. 173, 180] Seja fn : (S , Ω, µ) −→ C uma sequencia de funcoes emum espaco de medida.

• Se µ e uma medida σ-finita e ( fn)n converge em medida para uma funcao f , entao existeuma subsequencia de ( fn)n que converge q.s. para f .

• Se ( fn)n converge q.s. para uma funcao f , entao ( fn)n converge em medida para f .

Definicao 2.15 (Espaco L0) Seja (S , Ω, µ) um espaco mensuravel. Definimos o espaco veto-rial

L0(S , dµ) = f : S −→ C funcao : f e mensuravel

munido da topologia da convergencia em medida.

8


Tambem denotamos L0(S , dµ) simplesmente por L0(µ) ou L0.

Proposicao 2.16 [5, pag. 178]Seja (S , Ω, µ) um espaco mensuravel. Se 1 ≤ p < ∞, entaoLp(S , µ) e mergulhado em L0(S , µ).

Teorema 2.17 [28, pag. 67] Seja ( fn)n uma sequencia em Lp tal que ‖ fn− f ‖Lp → 0, se n→ ∞.Entao existe uma subsequencia de ( fn)n que converge q.s. para f .

Teorema 2.18 [4, pag. 102] O espaco Lp(S , Ω, µ) e separavel, se µ e uma medida σ-finita eΩ e gerada em forma enumeravel.

2.1.3 Integral de BochnerNesta subsecao nos apresentamos alguns resultado da teoria de integracao em espacos normadosque podem ser encontrados na referencia [7].

Definicao 2.19 (Funcao simples) Sejam (S , Ω, µ) um espaco de medida e X um espaco nor-mado. Uma funcao f : S −→ X e chamada de simples, se existem x1, . . . , xn ∈ X eS 1, . . . , S n ∈ Ω tais que f =

∑nk=1 xk · 1S k . A integral de uma funcao simples em S e definida por∫

Sf dµ =

n∑k=1

xk µ(S k).

Definicao 2.20 (Funcao fortemente mensuravel) Uma funcao f : S −→ X e fortemente men-suravel ou µ-mensuravel, se existe uma sequencia de funcoes simples fn tais que

limn→∞‖ f (s) − fn(s)‖X = 0 q.s.

Definicao 2.21 (Funcao fracamente mensuravel) Uma funcao f : S −→ X e fracamentemensuravel ou fraca µ-mensuravel, se para todo ϕ ∈ X′ a funcao ϕ f e fortemente men-suravel.

Definicao 2.22 (Funcao essencialmente separavel) Uma funcao f : S −→ X e essencial-mente separavel, se existe A ⊂ S , com µ(A) = 0 e tal que f (S \A) e um subconjunto separavel(em norma) de X.

Teorema 2.23 (Teorema de Pettis) [7, pag. 42] Uma funcao f : S −→ X e fortemente men-suravel se, e somente se, f e fracamente mensuravel e essencialmente separavel.

Observacao 2.24 Quando X e um espaco separavel, a definicao de fracamente mensuravel efortemente mensuravel sao equivalentes.

9

2.2 Funcoes diferenciaveis

Definicao 2.25 (Funcao Bochner integravel) Uma funcao f : S −→ X e chamada de Bochnerintegravel em S , se existe uma sequencia de funcoes simples ( fn)n tal que

limn→∞

∫S‖ fn(s) − f (s)‖X dµ = 0.

A integral de Brochner de f em S e definida por∫S

f dµ = limn→∞

∫S

fn dµ.

A integral de Brochner de f em S nao depende da escolha da sequencia de funcoes simples( fn)n.

Teorema 2.26 Seja f : S −→ X uma funcao fortemente mensuravel. A funcao f e Bochnerintegravel em S se, e somente se, ∫

S‖ f (s)‖X dµ < ∞.

2.2 Funcoes diferenciaveis

2.2.1 Funcoes analıticasPara o estudo desta secao pode-se ver [15].

Definicao 2.27 (Funcao holomorfa) Seja X um quase-espaco de Banach e U ⊆ C aberto.Dizemos que uma funcao f : U −→ X e holomorfa em z0 ∈ U, se existe uma sequencia (an)n deX e U0 subconjunto aberto de U tais que

f (z) =

∞∑i=1

an(z − z0)n

para todo z ∈ U0.

Proposicao 2.28 Seja X um quase-espaco de Banach, U ⊆ C aberto e fn : U −→ X umasequencia de funcoes holomorfas. Se fn converge uniformemente em todo subconjunto com-pacto de U para uma funcao f , entao f e holomorfa em U.

Proposicao 2.29 Seja f : U ⊆ C −→ C uma funcao holomorfa, onde U e aberto e conexo. Sef e zero em uma sequencia de pontos distintos de U que tem ponto lımite em U, entao f e zeroem U.

Teorema 2.30 (Teorema da aplicacao de Riemann) [23, pag. 306] Seja A um subconjuntoproprio de C simplesmente conexo e D o disco unitario. Se z0 ∈ A, entao existe uma unicaaplicacao conforme ϕ : A −→ D tal que ϕ(z0) = 0 e ϕ′(z0) > 0.

10

2.3 Espacos de Banach reticulados

2.2.2 Funcoes de LipschitzDefinicao 2.31 (Funcao de Lipschitz) Sejam X e Y espacos de Banach. A funcao f : X −→ Ye uma funcao de Lipschitz, se existe uma constante K > 0 tal que

‖ f (x0) − f (x1)‖Y ≤ K‖x0 − x1‖Y

para todo x0, x1 ∈ X.

Teorema 2.32 [27, pag. 19] Seja X um espaco de Banach reflexivo. Entao toda funcao deLipschitz f : R −→ X e quase-sempre diferenciavel.

2.3 Espacos de Banach reticuladosPara o estudo desta secao, ver a referencia [11, cap. 1].

Definicao 2.33 (Espacos de Banach reticulados) Um espaco de Banach X sobre R, com umaordem parcial , e chamado de espaco de Banach reticulado, se

• x y, implica que x + z y + z para todo x, y, z ∈ X,

• a · x 0, para todo x 0 e todo real a ≥ 0,

• para todo x, y ∈ X, existem o supremo e o infimo de x, y, que denotamos respectiva-mente por x ∨ y e x ∧ y,

• se |x| ≤ |y|, entao ‖x‖X ≤ ‖y‖X, onde |x| = x ∨ (−x).

Denotamos por X+ = x ∈ X : x 0.

Definicao 2.34 (Elementos disjuntos) Seja X um espaco de Banach reticulado. Os elementosx, y ∈ X sao disjuntos, se |x| ∧ |y| = 0.

Definicao 2.35 (Cone) Seja X um espaco de Banach reticulado. Um Cone de X e um subcon-junto C de X tal que para todo x, y ∈ C e λ ≥ 0 temos que λ · x ∈ C e x + y ∈ C.

Definicao 2.36 (Cone L+1 (µ)) Definimos um cone de L1(µ) por

L+1 (µ) = f ∈ L+

1 (µ) : f ≥ 0 q.s..

Simplesmente denotamos L+1 (µ) por L+

1 .

11


Definicao 2.37 (Espaco de Banach de funcao) Seja (S , µ) um espaco de medida. Um espacode Banach cujos elementos sao funcoes µ-mensuraveis de valores reais ou complexos, e tal que

| f | ≤ |g| ⇒ ‖ f ‖X ≤ ‖g‖X,

e chamado de espaco de Banach de funcoes .

Observe que um espaco de Banach de funcoes e um espaco de Banach reticulado.

Definicao 2.38 (Espacos p-convexos e q-concavos) Seja X um espaco de Banach de funcoescom valores em C e 1 ≤ p < ∞. O espaco X e dito p-convexo se∥∥∥∥∥∥( n∑

i=1

|xi|p)1/p

∥∥∥∥∥∥X

≤ C0

( n∑i=1

‖xi‖pX

)1/p

para todo n ∈ N e alguma constante C0 > 0.

O espaco X e dito q-concavo, com 1 ≤ q < ∞, se

C1

∥∥∥∥∥∥( n∑i=1

|xi|q)1/q

∥∥∥∥∥∥X

≥( n∑

i=1

‖xi‖qX

)1/q

para todo n ∈ N e alguma constante C1 > 0.

Neste trabalho, vamos assumir que C0 = C1 = 1.

Proposicao 2.39 Sejam 1 ≤ p < ∞ e 1 ≤ q ≤ ∞, tais que 1p+ 1

q = 1. Se X e um espaco p-convexo(respectivamente q-concavo), entao o espaco dual X′ e um espaco q-concavo (respectivamenteq-convexo).

Proposicao 2.40 Seja X e Y espacos de Banach de funcoes e assuma que Y e isomorfo (emsentido topologico) a um subespaco de X. Entao

• Se X e p-convexo e q-concavo para algum 1 < p ≤ 2 e q < ∞, entao Y e p-convexo.

• Se X e q-concavo para algum q ≥ 2, entao Y e q-concavo.

2.3.1 p-potencias de espacos de funcoesAs definicoes e a prova dos resultados desta secao podem ser consultados em [24, Pag. 55].

Definicao 2.41 Dado 0 < p < ∞ e X um espaco de Banach de funcao, definimos a p-potenciasde X por

X(p) = x mensuravel: |x|1/p ∈ X .

12


Observacao 2.42 O conjunto X(p) e um espaco vetorial.

Proposicao 2.43 Seja X um espaco de Banach de funcoes . Definimos uma funcao em X(p) por

‖x‖X(p) =∥∥∥∥|x|1/p

∥∥∥∥p

X.

Se 0 < p ≤ 1, entao (X(p), ‖ · ‖X(p)) e um espaco de Banach funcoes.

2.3.2 Normas de ordem contınuaPara consultar a prova dos resultados ver a referencia [20, pag. 86]

Definicao 2.44 Seja X um espacos de Banach reticulado. A norma ‖·‖X e chamada de norma deordem contınua, se para toda rede decrescente (xα)α tal que infxα = 0, temos que inf ‖xα‖X =

0.

Proposicao 2.45 Seja X um espacos de Banach reticulado. As seguintes afirmacoes sao equi-valentes

1. ‖ · ‖X e uma norma de ordem contınua.

2. Toda sequencia monotona limitada e convergente.

3. Toda sequencia disjunta limitada de X+ converge em norma para zero.

Exemplo 2.46 O espaco Lp(µ) munido da norma usual, onde 1 ≤ p < ∞, tem norma de ordemcontınua.

2.3.3 Espaco de Banach de sequencias (E.B.S)As definicoes desta secao podem ser encontradas [29, pag. 1161].

Um espaco de Banach de sequencias (E.B.S) X, e um espaco de sequencias normado e completotal que

• Os vetores da base canonica en pertencem a X.

• Se |yn| ≤ |xn|, onde x ∈ X, entao y ∈ X e ‖y‖X ≤ ‖x‖X.

• Para todo n ∈ N, o funcional x 7−→ xn e contınuo.

13

2.4 Espacos quase-normados

• A bola unitaria BX e fechada na topologia da convergencia pontual.

Definimos o espaco dual de Kothe ou dual de Kothe de um E.B.S, que denotamos por X∗, como

X∗ =x∗ :

∞∑n=1

|xn||x∗n| < ∞, para todo x ∈ BX

munido da norma

‖x‖X∗ = supx∈BX

∞∑n=1

|xn||x∗n|.

2.4 Espacos quase-normadosDefinicao 2.47 Seja X um espaco vetorial. Uma funcao ‖ · ‖X : X −→ [0, ∞) e chamadaquase-norma em X, se verifica:

• se ‖x‖X = 0, entao x = 0,

• ‖λx‖X = |λ| · ‖x‖X para todo λ escalar e x ∈ X,

• existe um C > 0 tal que para todo x, y ∈ X, temos

‖x + y‖X ≤ C ·(‖x‖X + ‖y‖X

).

O par (X, ‖ · ‖X) e chamado de espaco quase-normado. A menor constante que verifica adesigualdade acima e chamada modulo de concavidade da quase-norma.

Definicao 2.48 (Quase-normas equivalentes) Seja X um espaco quase-normado e ‖ · ‖, ‖| · ‖|duas quase-normas em X. Dizemos que ‖ · ‖ e ‖| · ‖| sao quase-normas equivalentes se existemconstantes positivas M e m tais que

m · ‖x‖ ≤ ‖|x‖| ≤ M · ‖x‖

para todo x ∈ X.

Sejam r > 0 e x0 ∈ X. Os conjuntos da forma Br(x0) = x ∈ X : ‖x − x0‖X < r induzem umatopologia em X, que chamamos de topologia induzida por ‖ · ‖X. Note que uma quase-normanem sempre e uma metrica (pode nao verifica a desigualdade triangular). Entao para definir umanocao de completude em um espaco quase-normado, precisamos de uma metrica que induza amesma topologia que induz ‖ · ‖X. O seguinte teorema soluciona este problema:

14

2.4 Espacos quase-normados

Teorema 2.49 (Teorema de Aoki-Rolewicz) [2] Se X e um espaco quase-normado cujaquase-norma satisfaz

‖x + y‖X ≤ C · (‖x‖X + ‖y‖X)

para algum C > 1 e para todo x, y ∈ X, entao ‖ · ‖ dada por

‖|x‖| = inf( n∑

k=1

‖xk‖pX

)1/p: x =

n∑k=1

xk

para todo x ∈ X, e uma quase-norma em X que verifica

‖|x‖| ≤ ‖x‖X ≤ 2C · ‖|x‖| para todo x ∈ X

e‖|x + y‖|p ≤ ‖|x‖|p + ‖|y‖|p

para todo x, y ∈ X, onde p e o numero tal que C = 21/p−1.

Observacao 2.50 O Teorema de Aoki-Rolewicz garante que a funcao d definida por

d(x, y) = ‖|x − y‖|p para todo x, y ∈ X,

define uma metrica em X que induz a mesma topologia que ‖ · ‖X.

Este fato motiva a seguinte definicao :

Definicao 2.51 (Espaco quase-Banach) Seja X um espaco quase-normado. Dizemos que X eum espaco quase-Banach, se (X, d) e um espaco metrico completo, onde

d(x, y) = ‖|x − y‖|p para todo x, y ∈ X

e ‖| · ‖|, p sao dados pelo Teorema de Aoki-Rolewicz.

Definicao 2.52 (Operador linear limitado) Seja (X, ‖ · ‖X) e (Y, ‖ · ‖Y) espacos quase-normados. Um operador linear T : X −→ Y e chamado limitado, se

‖T‖ = sup‖x‖X≤1

‖T (x)‖Y < ∞.

Definicao 2.53 (Isomorfismo entre espacos quase-normados ) Seja (X, ‖ · ‖X) e (Y, ‖ · ‖Y)espacos quase-normados. Um operador linear limitado bijetor T : X −→ Y e chamadoisomorfismo de X em Y, se T−1 e um operador linear limitado. Dizemos que dois espacosquase-normados X e Y sao isomorfos, se existe um isomorfismo de X em Y.

Outras definicoes, como espaco quociente de espacos quase-normados sao definidas de maneiraanaloga ao caso de espacos normados. Resultados como os teoremas da aplicacao aberta e dografo fechado tambem sao validos para espacos quase-Banach (Ver [28, Pag. 43-54]).

15

2.5 Outros resultados

Proposicao 2.54 (Existencia de funcao de escolha homogenea limitada) Seja T : X −→ Yum operador linear sobrejetor entre espacos quase-Banach complexos. Entao existe umafuncao φ : Y −→ X e uma constante C > 0 tal que:

1. ‖φ(y)‖X ≤ C ‖y‖Y para todo y ∈ Y,

2. T (φ(y)) = y para todo y ∈ Y,

3. φ(λ · y) = λ · φ(y) para todo y ∈ Y e λ complexo.

Demonstracao. Dado que T e sobrejetora, pelo teorema da aplicacao aberta temos que

existe uma constante C > 0 tal que1C

BY ⊆ T (BX). Vamos definir inicialmente uma funcao φ emS Y = y ∈ Y : ‖Y‖Y = 1. Considere sobre S Y a relacao de equivalencia y1 ∼ y1 se, e somentese, existe λ complexo com |λ| = 1 tal que y2 = λy1. Escrevemos como y a classe de equivalenciado elemento y. O axioma da escolha garante a existencia de um conjunto J = ∪α∈Iyα quecontem um unico elemento de cada classe de equivalencia. Seja Aα = x ∈ BX : yα = T (Cxα).Note que (Aα)α∈I e uma colecao de conjuntos nao vazios disjuntos dois a dois, portanto, peloaxioma da escolha, existe um conjunto A = ∪α∈Ixα que contem um unico elemento de Aα, istoe, A∩ Aα = xα. Para cada yα ∈ J, definamos φ(yα) = Cxα. Deste modo ‖φ(yα)‖X ≤ C para todoα ∈ I. Agora dado y ∈ S Y , definamos φ(y) = yα se y ∈ yα. Tambem, para cada λ escalar e y ∈ S Y

definamos φ(λy) = λφ(y). Logo, para y ∈ Y nao nulo, seja

φ(y) = ‖y‖Y φ( y‖y‖Y

).

E imediato ver que φ satisfaz as condicoes 1, 2 e 3.

2.5 Outros resultadosTeorema 2.55 (Desigualdade de Jensen) [28, pag. 61] Seja (S , Ω, µ) um espaco de medidatal que µ(S ) < ∞. Seja ϕ : I ⊆ R→ R uma funcao convexa, onde I e um intervalo. Se g : S → Ie uma funcao integravel, entao

ϕ

(1

µ(S )·

∫S

g dµ)≤

1µ(S )

·

∫S(ϕ g) dµ.

O proximo corolario e uma consequencia da desigualdade de Jensen

Corolario 2.56 (Versao da desigualdade de Jensen para funcoes de densidades) Seja(S , Ω, µ) onde S e um subconjunto da reta real. Seja f : R −→ R uma funcao nao negativa talque ∫ ∞

−∞

f (t) dt = 1.

16


Seja g uma funcao de valor real mensuravel e ϕ : Im(g)→ R uma funcao convexa. Entao

ϕ

( ∫ ∞

−∞

g(t) f (t) dt)≤

∫ ∞

−∞

(ϕ g)(t) f (t) dt.

Teorema 2.57 (Teorema de Komlos) [10] Seja µ uma medida σ-finita. Se ( fn)n e umasequencia em L1(µ) limitada, entao existe uma subsequencia (gn)n de ( fn)n e uma funcaog ∈ L1(µ) tal que toda subsequencia (hn)n de (gn)n e Cesaro-convergente para g, isto e,

1n

n∑k=1

hkq.s.−→ g.

Teorema 2.58 (Teorema de Convergencia Monotona) [28, pag. 21] Seja ( fn)n umasequencia crescente de funcoes em L1(S , µ) tal que

supn

∫fn dµ < ∞.

Se ( fn)n converge q.s. em S para uma funcao f , entao f ∈ L1(S , µ) e ‖ fn − f ‖L1 −→ 0, sen→ ∞.

Teorema 2.59 (Teorema de Convergencia Dominada) [28, pag. 26] Seja ( fn)n umasequencia de funcoes mensuraveis em S de valores complexos tais que fn → f q.s. Se ex-iste uma funcao g ∈ L1(µ) tal que | fn(s)| ≤ gn(s) para todo s ∈ S , entao f ∈ L1(µ),

limn→∞‖ fn − f ‖L1 = 0,

e

limn→∞

∫S

fn dµ =

∫S

f dµ.

Teorema 2.60 (Desigualdade de Holder) [28, pag. 62] Se f ∈ Lp e g ∈ Lq com 1/p+1/q = 1,entao f g ∈ L1 e ∫

| f g| dµ ≤ ‖ f ‖Lp‖g‖Lq .

Teorema 2.61 (Teorema de Egorov) [4, pag. 81] Seja (S , µ) um espaco de medida e E umconjunto tal que µ(E) < ∞. Seja ( fn)n uma sequencia de funcoes mensuraveis tal que fn → fq.s. em E, onde f e uma funcao mensuravel. Entao para ε > 0, existe um conjunto mensuravelA ⊆ E tal que µ(E\A) < ε e ( fn)n converge uniformemente para f em A.

17


Usando o teorema acima demostramos o seguinte resultado:

Corolario 2.62 Seja (S , µ) um espaco de medida, onde µ e σ-finita. Seja ( fn)n uma sequenciade funcoes mensuraveis tal que fn → f q.s. em S , onde f e uma funcao mensuravel. Entao ,existe uma sequencia de conjuntos (An)n mensuraveis, tais que, An ⊆ An+1, µ(S \ ∪n An) = 0 e( fn)n converge uniformemente para f em cada An.

Teorema 2.63 [5, pag. 180] Seja µ uma medida σ-finita. Entao a bola unitaria BL1(µ) ⊆ L0(µ)e fechada na topologia da convergencia em medida.

Teorema 2.64 (Teorema de Hahn-Banach para funcionais contınuos) [12, pag. 40] Seja Xum espaco normado real (ou complexo) e Y um subespaco normado de X. Se ϕ e um funcionallinear contınuo em Y, entao existe um funcional linear contınuo ϕ em X, tal que ϕ(y) = ϕ(y)para todo y ∈ Y e ‖ϕ‖ = ‖ϕ‖.

Teorema 2.65 (Teorema de Hahn-Banach geometrico) [12, pag. 43] Seja X um espaco deBanach real. Sejam A, B subcojuntos convexos e disjuntos de X. Se A e aberto, entao existe umfuncional linear contınuo ϕ : X −→ R tal que

ϕ(b) < ϕ(a) para todo a ∈ A e todo b ∈ B.

Teorema 2.66 (Teorema de Separacao) [12, pag. 43] Seja X um espaco normado real oucomplexo e C ⊂ X fechado convexo. Se x0 < C, entao existe ϕ ∈ X′ tal que

Re(ϕ(x0)) > supx∈C

Re(ϕ(x)).

Teorema 2.67 [7, pag. 59] Seja µ e uma medida σ-finita e ϕ ∈ (L1(µ))′. Entao existe u ∈ L∞(µ)unico tal que

ϕ( f ) =

∫u f dµ.

Proposicao 2.68 [6, pag. 97] Seja T : X −→ Y uma aplicacao linear sobrejetora entre espacosvetoriais. Entao existe uma aplicacao linear S : Y −→ X tal que TS = idY .

Proposicao 2.69 [9, pag. 3] Sejam Y, X, Z, R ,W e S espacos quase-Banach. Suponha que oseguinte diagrama comuta

0 // Yα

i1 // Xγ

j1 // Zβ

// 0

0 // Ri2 // W

j2 // S // 0

onde ik e injetor e jk e sobrejetor com Im(ik) = ker( jk) para k = 1, 2. Se α, β sao isomorfismostopologicos, entao γ e um isomorfismo topologico.

18


Teorema 2.70 [21] Sejam X e Y espacos de Banach e T : X −→ Y um operador linear limi-tado. As seguintes afirmacoes sao equivalentes:

1. T (X) e fechado.

2. X/ ker(T ) e isomorfo a T(X).

3. Existe uma constante C tal que para todo x ∈ X, existe y ∈ X com T (x) = T (y) e‖y‖X ≤ C ‖T (x)‖Y .

Teorema 2.71 (Banach-Dieudonne) [12, pag. 125] Seja X um espaco de Banach e K umsubconjunto convexo em X′. Se K ∩ nBX e w?-fechado para todo n ∈ N, entao K e w?-fechado.

Teorema 2.72 [12, pag. 70] Seja X um espaco de Banach real. Se K e um subconjuto convexow?-fechado de X′ e ϕ ∈ X′\K, entao existe x0 ∈ X tal que ϕ(x0) > sup

Ψ∈KΨ(x0).

Definicao 2.73 (Funcional de Minkowski) [28, pag. 24] Seja X um espaco vetorial sobreum corpo (R ou C). Seja K um subconjunto de X. O funcional de Minkowski do conjunto K,ρK : X 7−→ [0, ∞], e definido por

ρK(x) =

inf

α > 0 : α−1x ∈ K

, seα−1x ∈ K, para algum α > 0

∞, seα−1x < K, para todo α > 0.

Definicao 2.74 [28, pag. 6,24-25] Seja X um espaco vetorial sobre um corpo (R ou C). SejaK um subconjunto de X.

• K e chamado de balancado, se para todo |λ| ≤ 1 e x ∈ K, temos que λx ∈ K

• K e chamado de absorvente, se para x ∈ X, existe λ > 0 escalar tal que λ−1x ∈ K.

Proposicao 2.75 (Propriedades do funcional de Minkowski) [28, pag. 25] Seja ρK o fun-cional de Minkowski e suponha que K e absorvente e convexo. Entao

• ρK(λx) = λρK(x) para todo λ ≥ 0 escalar e x ∈ X,

• ρK(x + y) ≤ ρK(x) + ρK(y), para todo x, y ∈ X,

• ρK e uma seminorma, se K e balancado.

19


Lema 2.76 [18, pag. 256] Suponha ε > 0 e

Bε = log( ∞∑

k=1

(1k

)1+ε).

Se ξ1 ≥ ξ2, . . . ≥ ξn ≥ 0 e∑n

k=1 ξk = 1, entaon∑

k=1

ξk log k ≤n∑

k=1

ξk log1ξk≤ (1 + ε)

n∑k=1

ξk log k + Bε.

Proposicao 2.77 [3] Se (an)n, (bn)n, (cn)n sao sequencias de numeros positivos tais que an =

bncn,limn→∞

an = a,

limn→∞

(1n

(b1 + b2 + ... + bn))

= b

elimn→∞

(1n

(c1 + c2 + ... + cn))

= c,

entao a ≤ bc.

Definicao 2.78 (Subespaco normante) Seja X′ o espaco dual usual de X. Um subespaco nor-mado Y de X′, e chamado de subespaco normante de X′ se

‖x‖X = supx′∈BY

|x′(x)|.

Definicao 2.79 (Predual) [26] Seja Y um espaco de Banach. Um espaco de Banach Y∗ e umpredual para Y, se o dual Y ′∗ e isometrico a Y.

Teorema 2.80 (Extensao uniformemente contınua de funcoes ) [14, pag. 176 ] Seja M umsubespaco metrico de algum espaco metrico X e Y um espaco metrico completo.Se f : M −→ Y e uma funcao uniformemente contınua, entao existe uma unica extensaof : M −→ Y uniformemente contınua. A extensao esta definida por

f (x) = limn→∞

f (xn),

onde (xn)n e qualquer sequencia de M que converge para x.

Teorema 2.81 (Teorema da intersecao de Cantor) [22, pag. 134] Seja X um espaco de Ba-nach. Entao X e reflexivo se, e somente se, para qualquer sequencia (Cn)n de subconjuntosnao vazio fechado, limitados e convexos de X tais que Cn+1 ⊆ Cn para todo n ∈ N, temos que⋂

n Cn , ∅

Teorema 2.82 [22, pag. 245] Um espaco normado X e reflexivo se, e somente se, a bolaunitaria BX e fracamente compacta.

20

Capıtulo 3Somas torcidas

Comecamos este capıtulo dando as definicoes de soma torcida e sequencia exata curta.Vamos apresentar o metodo de construcao de somas torcidas de Kalton e Peck por meio defuncoes quase-lineares.

Definicao 3.1 (Soma torcida e extensao) Seja Y e Z espacos de Banach. Uma soma torcidade Y e Z e um quase-espaco normado X que contem um espaco Y ′ isomorfo a Y tal que X/Y ′ eisomorfo a Z. Se X e um espaco de Banach, dizemos que X e uma extensao de Y por Z. QuandoY = Z e X e um espaco de Banach, dizemos que X e uma auto-extensao de Y.

Definicao 3.2 (Sequencia exata curta) Sejam Y, Z espacos de Banach e X um quase-espacode Banach. Um diagrama

0 → Yi−→ X

j−→ Z → 0, (3.1)

onde

• i e linear, contınua e injetora,

• i(Y) = ker( j),

• j e linear, contınua e sobrejetora

e chamado de sequencia exata curta.

A seguinte proposicao mostra que uma soma torcida induz uma sequencia exata curta.

Proposicao 3.3 Seja Y e Z espacos de Banach. O espaco quase-normado X e uma soma torcidade Y e Z se, e somente se, existem funcoes i e j como na Definicao 3.2 tais que

0 → Yi−→ X

j−→ Z → 0

seja uma sequencia exata curta.

21

Demonstracao. Seja X uma soma torcida de Y e Z. Seja Y ′ um subespaco de X tal queexistem T : Y ′ → Y e S : X/Y ′ → Z isomorfismos lineares. Se π : X → X/Y ′ e a aplicacaoquociente, entao

0 → Yi=T−−→ X

j=S π−−−−→ Z → 0

e uma sequencia exata curta.

Agora suponha que 0 → Yi−→ X

j−→ Z → 0 seja uma sequencia exata curta. Alem disso,

j(X) e um subespaco fechado de X. O Teorema da Aplicacao Aberta implica que Y e isomorfoa i(Y) e X/i(Y) (lembre-se que ker( j) = i(Y)) e isomorfo a Z. Pondo Y ′ = i(Y), obtemos que Y eisomorfo Y ′ e X/Y ′ e isomorfo a Z, assim X e soma torcida de Y e Z.

Proposicao 3.4 Uma soma torcida e um espaco quase-Banach.

Demonstracao. Sejam Y, Z espacos de Banach e X uma soma torcida de Y e Z. Seja

0 → Yi=T−−→ X

j=S π−−−−→ Z → 0

a sequencia exata curta definida como na Proposicao 3.3. Seja (xn)n uma sequencia de Cauchyem (X, d), onde d(x, y) = ‖|x − y‖|p e a metrica definida em Definicao 2.51. Vejamos que(xn)n converge em (X, d). De fato, o Teorema 2.49 garante que ‖| · ‖| e ‖ · ‖X sao quase-normasequivalentes, portanto, ‖ · ‖X verifica que dado ε > 0, existe N ∈ N, tal que

‖xn − xm‖X < ε,

se n, m ≥ N. Este fato implica que j(xn) e uma sequencia de Cauchy em Z, portanto convergenteem Z, sem perda de generalidade assumamos que converge para 0.Note que j(xn) = S

(xn+i(Y)

).

Por S ser um isomorfismo, temos que a sequencia (xn + i(Y))n converge (na quase-norma deX/i(Y)) para i(Y), portanto , encontramos uma subsequencia de (xn)n, que denotamos por (xkn

)n,

tal que ‖xkn− i(yn)‖X ≤

1n1/p para todo n ∈ N. Isto implica que d(xkn

, i(yn)) ≤1n

para todo n ∈ N(Teorema de Aoki-Rolewicz). Afirmamos que i(yn) e uma sequencia de Cauchy em (X, d). Defato,

d(i(yn), i(ym)

)≤ d

(i(yn), xkn

)+ d

(i(ym), xkm

)+ d

(xkn, xkm

)≤

1n

+1m

+ d(xkn, xkm

),

isto mostra que i(yn) e uma sequencia de Cauchy em (X, d). Agora como i : Y −→ i(Y) e umisomorfismo entre espacos quase-lineares, demonstramos que (yn) e uma sequencia de Cauchyde Y, portanto, converge para algum y ∈ Y. Note que (i(yn))n converge para i(y) em (X, d).

22

Pelo fato d(xkn, i(yn)) ≤

1n

para todo n ∈ N, demonstramos que (xkn)n e uma subsequencia de

(xn)n convergente, portanto, (xn)n converge, concluindo assim que (X, d) e um espaco metricocompleto.

Definicao 3.5 (Sequencias exatas curtas equivalentes) Seja 0 → Yi−→ X

j−→ Z → 0 e 0 →

Yi′−→ X′

j′−→ Z → 0 duas sequencias exatas curtas. Dizemos que sao equivalentes, se existe um

operador linear limitado T : X −→ X′ tal que o seguinte diagrama comuta

0 // Y i // XT

j // Z // 0

0 // Y i′ // X′j′ // Z // 0

Proposicao 3.6 T na Definicao 3.5 e um isomorfismo entre espacos quase-normados.

Demonstracao. O resultado e imediato da Proposicao 2.69.

Definicao 3.7 (Somas torcidas equivalentes) Seja Y e Z espacos de Banach e X, X′ somas tor-cidas de Y e Z.Dizemos que X e X′ sao somas torcidas equivalentes, se existem duas sequencias

exatas curtas 0 → Yi−→ X

j−→ Z → 0 e 0 → Y

i′−→ X′

j′−→ Z → 0 equivalentes.

Definicao 3.8 (Aplicacao quase-linear) Sejam Y, Z espacos de Banach e W um espaco veto-rial topologico de Hausdorff. Dizemos que F : Z → W e uma aplicacao quase-linear em Y, seY e subespaco vetorial de W, onde a inclusao de Y em W e contınua e F verifica

1. F(λz) = λF(z) para todo z ∈ Z e λ complexo,

2. F(z0 + z1) − F(z0) − F(z1) ∈ Y para todo z0, z1 ∈ Z e existe uma constante K > 0 tal que

‖F(z0 + z1) − F(z0) − F(z1)‖Y ≤ K(‖z0‖Z + ‖z1‖Z)

para todo z0, z1 ∈ Z. Quando W = Y, dizemos que F : Z → Y e quase-linear.

O seguinte teorema da uma forma de construir somas torcidas usando aplicacoes quase-lineares.

Teorema 3.9 Seja F : Z → W uma aplicacao quase-linear em Y. Seja

Z ⊕F Y = (z,w) ∈ Z ×W : w − F(z) ∈ Y

e definamos para (z,w) ∈ Z ⊕F Y

‖(z,w)‖Z⊕FY = ‖z‖Z + ‖w − F(z)‖Y .

O espaco (Z ⊕F Y, ‖ · ‖Z⊕FY) e uma soma torcida de Y e Z.

23

Demonstracao. Note que ‖λ · (z,w)‖Z⊕FY = |λ| · ‖(z,w)‖Z⊕FY e ‖(z,w)‖Z⊕FY = 0 se, e somentese, (z,w) = (0, 0). Agora

‖(z,w) + (u, v)‖Z⊕FY = ‖z + u‖Z + ‖w + v − F(z + u)‖Y

≤(‖z‖Z + ‖u‖Y

)+ ‖w − F(z)‖Y + ‖v − F(u)‖Y

+‖F(z) + F(u) − F(z + u)‖Y

≤(‖z‖Z + ‖u‖Y

)+ ‖w − F(z)‖Y + ‖v − F(u)‖Y

+K ·(‖z‖Z + ‖u‖Y

)≤

(K + 1

) (‖(z,w)‖Z⊕FY + ‖(u, v)‖Z⊕FY

)isto mostra que Z ⊕F Y e um espaco quase-normado.Agora definamos o subespaco Y0 = (0, y) : y ∈ Y de Z ⊕F Y. Este subespaco e isometrico a Y,pois ‖(0, y)‖Z⊕FY = ‖y‖Y . Demonstraremos que (Z ⊕F Y)/Y0 e isometrico a Z. De fato,

‖(z,w) + Y0‖(Z⊕FY)/Y′ = inf ‖(z,w) + (0, v)‖Z⊕FY : y ∈ Y

= inf ‖v − F(z)‖Y + ‖z‖Z : y ∈ Y

= ‖z‖Z.

Observacao 3.10 A sequencia exata curta

0 → Yi−→ Z ⊕F Y

j−→ Z → 0

onde i(y) = (0, y) e j(z,w) = z, e chamada de sequencia exata associada a Z ⊕F Y.

Teorema 3.11 Toda soma torcida X de Y e Z e equivalente a Z ⊕F Y para F : Z → Y quase-linear oportuna.

Demonstracao. Considere a sequencia exata curta 0 → Yi−→ X

j−→ Z → 0. Dado que j e

sobrejetora, temos que existe uma aplicacao linear θ : Z → X tal que jθ = idZ (ver Proposicao2.68) e pela Proposicao 2.54 temos que existe uma constante C > 0 e uma funcao φ : Z −→ Xque satisfaz

24

• ‖φ(z)‖X ≤ C ‖z‖Z para todo z ∈ Z,

• j(φ(z)) = z, para todo z ∈ Z,

• φ(λz) = λφ(z), para todo z ∈ Z e λ escalar.

Os fatos φ(z) − θ(z) ∈ ker( j) = Im(i) e i injetora, conduzem a definir F : Z → Y por F(z) =

i−1(φ(z)− θ(z)). Seja ‖i−1‖ uma constante tal que ‖i−1(x)‖Y ≤ ‖i−1‖ ‖x‖X para todo x ∈ Im(i). Paraz1, z2 ∈ Z

‖F(z1 + z2) − F(z1) − F(z2)‖Y = ‖i−1(φ(z1 + z2) − φ(z1) − φ(z2)

)‖Y

≤ ‖i−1‖ ‖φ(z1 + z2) − φ(z1) − φ(z2)‖X

≤ ‖i−1‖K1

(‖φ(z1 + z2)‖X + ‖φ(z1)‖X + ‖φ(z2)‖X

)≤ ‖i−1‖K1C

(‖z1 + z2‖Z + ‖z1‖Z + ‖z2‖Z

)≤ 2‖i−1‖K1C

(‖z1‖Z + ‖z2‖Z

).

logo, F e uma aplicacao quase-linear, pois, F(λz) = λF(z) para todo λ escalar.Definamos um operador T : X → Z ⊕F Y por

T (x) =(

j(x), i−1(x − θ( jx))).

Demonstraremos que T e contınuo. De fato,

‖T (x)‖Z⊕FY = ‖ j(x)‖Z + ‖i−1(x − θ( jx)) − i−1(φ( jx)) − θ( jx)‖Y

= ‖ j(x)‖Z + ‖i−1(x − φ( jx))‖Y

≤ ‖ j(x)‖Z + ‖i−1‖ ‖x − φ( j(x))‖X

≤ ‖ j(x)‖Z + K‖i−1‖(‖x‖X + ‖φ( j(x))‖X

)≤ ‖ j‖ ‖x‖X + K ‖i−1‖

(‖x‖X + C ‖ j‖ ‖x‖X

)=

(‖ j‖ + K ‖i−1‖ + C K ‖i−1‖ ‖ j‖

)‖x‖X.

25

Provemos que o seguinte diagrama comuta

0 // Y i // X

T

j // Z // 0

0 // Y i′ // Z ⊕F Yj′ // Z // 0

onde i′(y) = (0, y) e j′(z, y) = z. De fato,

T (i(y)) =

(j(i(y)), i−1

(i(y) − θ( j(iy)

)), como Im(i) = ker(j) temos que

= (0, y)= i′(y) para todo y ∈ Y

e j′T (x) = j(x) para todo x ∈ X.

Definicao 3.12 (Aplicacoes quase-lineares equivalentes) Sejam F, G : Z −→ W aplicacoesquase-lineares em Y.Dizemos que elas sao equivalentes, se existe M > 0 e uma aplicacao linearA : Z −→ Y tais que F(z) −G(z) + A(z) ∈ Y e

‖F(z) −G(z) + A(z)‖Y ≤ M‖z‖Z

para todo z ∈ Z.

Na proxima proposicao damos uma condicao necessaria para que duas aplicacoes quase-linearessejam equivalentes.

Proposicao 3.13 Se F, G : Z −→ W sao aplicacoes quase-lineares em Y equivalentes, entaoZ ⊕F Y e Z ⊕G Y sao somas torcidas equivalentes.

Demonstracao. Suponha que F e G sao funcoes quase-lineares em Y equivalentes, i.e., existeM > 0 e uma aplicacao linear A : Z −→ Y tal que F(z)−G(z)+A(z) ∈ Y e ‖F(z)−G(z)+A(z)‖Y ≤M‖z‖Z para todo z ∈ Z. Note que w − F(z) ∈ Y se, e somente se, w + A(z) − G(z) ∈ Y. SejaT : Z ⊕F Y −→ Z ⊕G Y definida por T (z,w) = (z,w + A(z))

‖T (z,w)‖Z⊕GY = ‖z‖Z + ‖w + A(z) −G(z)‖Y≤ ‖z‖Z + ‖w − F(z)‖Y + ‖A(z) + F(z) −G(z)‖Y≤ (M + 1)‖z‖Z + ‖w − F(z)‖Y≤ (M + 1)‖(z,w)‖Z⊕FY

26

Isto mostra que T e contınuo. Observe que as sequencias associadas de Z ⊕F Y e Z ⊕G Y saoequivalentes, pois o diagrama

0 // Y i // Z ⊕F Y

T

j // Z // 0

0 // Y i′ // Z ⊕G Yj′ // Z // 0

comuta.

27

Capıtulo 4Interpolacao em espacos de Banach

Na primeira parte deste capıtulo fornecemos algumas definicoes e resultados da teoria deinterpolacao (ver [8]).Na segunda parte do capıtulo abordamos o metodo de interpolacao complexa definido porCalderon em [1]. Provaremos que todo espaco interpolado pode ser fatorado de certa maneitacomo o producto de dois espacos

4.1 Generalidades da teoria de interpolacaoDefinicao 4.1 (Par interpolado) Sejam X0 e X1 espacos de Banach reais ou complexos. O par[X0, X1] e chamado de par interpolado, se X0 e X1 estao mergulhados continuamente em V, ondeV e um espaco topologico de Hausdorff.

A definicao acima permite definir dois subespacos lineares normados de V, os quais sao: oespaco intersecao X0 ∩ X1 = v ∈ V : v ∈ X0 e v ∈ X1 dotado pela norma

‖v‖X∩Y = max (‖v‖X0 , ‖v‖X1)

e o espaco soma X0 + X1 = v ∈ V : existem x0 ∈ X0 e x1 ∈ X1 tais que v = x0 + x1 dotadopela norma

‖v‖X0+X1 = inf‖x0‖X0 + ‖x1‖X1 : v = x0 + x1.

Os espacos definidos acima sao de Banach e

X0 ∩ X1 ⊂ X0, X1 ⊂ X0 + X1.

Definicao 4.2 (Espaco intermedio) Seja [X0, X1] um par interpolado. Um espaco intermedioentre X0 e X1, e um espaco de Banach E tal que

X0 ∩ X1 ⊂ E ⊂ X0 + X1.

28

4.2 Interpolacao Complexa

Definicao 4.3 (Espaco interpolado) Um espaco interpolado e um espaco intermedio E entreX0 e X1 com a seguinte propriedade:se T : X0 + X1 → X0 + X1 e um operador linear tal que as restricoes a X0 e X1, respectivamente,sao T : X0 → X0 e T : X1 → X1, entao a restricao de T a E e T : E → E.

4.2 Interpolacao ComplexaO metodo de interpolacao complexa desenvolvida por Calderon em [1] sera usado ao longo donosso trabalho.

O seguinte teorema da condicoes para que uma funcao holomorfa de valores em um espaco deBanach verifique o Princıpio do Modulo Maximo na faixa S = z ∈ C : 0 ≤ Re(z) ≤ 1. Nosdenotamos o interior de S por S.

Teorema 4.4 (Princıpio do Modulo Maximo) Seja X um espaco de Banach complexo e F :S −→ X uma funcao holomorfa em S, contınua e limitada . Entao

supz∈S‖F(z)‖X ≤ max

(supt∈R‖F(it)‖X, sup

t∈R‖F(1 + it)‖X

).

Demonstracao. Primeiro provemos o teorema para X = C, assumindo que F verificalim

| Im(z)|→∞F(z) = 0. Consideremos a aplicacao h : S −→ C, definida por

h(z) =eiπz − ieiπz + i

.

A aplicacao h e uma bijecao entre S e D − ±1, holomorfa em S e h(∂S) = ∂D − ±1. Ob-serve que g(z) = F(h−1(z)) e contınua, limitada em D − ±1 e holomorfa em D. Pelo fato

lim| Im(z)|→∞

F(z) = 0, obtemos que limz→±1

g(z) = 0 e portanto estendemos g continuamente a D. Apli-

cando o Princıpio do Modulo Maximo no disco temos

|g(z)| ≤ maxw∈∂D|g(w)| ≤ max

(supt∈R|F(it)|, sup

t∈R|F(1 + it)|

).

Com isso terminamos a prova para este caso.Agora seja F uma funcao qualquer. Definamos Fε, z0(z) = eε (z−z0)2

F(z) onde ε > 0 e z0 earbitrario em S. Como |eε (z−z0)2

| ≤ eε (x2−y2) com z − z0 = x + iy e −1 ≤ x ≤ 1, temoslim

|Im(z)|→∞Fε, z0(z) = 0. A aplicacao Fε, z0 assim definida satisfaz as condicoes do caso anterior,

portanto

29


|F(z0)| = |Fε, z0(z0)|

≤ max(supt∈R|Fε, z0(it)|, sup

t∈R|Fε, z0(1 + it)|

)≤ eε max


t∈R|F(1 + it)|

)para qualquer ε > 0. Como z0 foi escolhido arbitrariamente, obtemos

supz∈S|F(z)| ≤ max


t∈R|F(1 + it)|

).

Isto mostra o teorema para o caso X = C.Demonstraremos o caso geral, onde X e um espaco de Bancah complexo. De fato, seja z0 ∈ Sarbitrario. O teorema de Hahn-Banach garante a existencia de um funcional linear ϕ de norma 1em X tal que |ϕ(F(z0))| = ‖F(z0)‖X. Definamos gϕ(z) = ϕ(F(z)) para z ∈ S. Como F e holomorfaem S, para w ∈ S, escrevemos F(z) =

∑∞n=1 an(z − w)n, onde an ∈ X. Entao

gϕ(z) = ϕ(F(z))

= ϕ( ∞∑

n=1

an(z − w)n)

=

∞∑n=1

ϕ(an)(z − w)n

assim gϕ e holomorfa em S. Tambem gϕ e contınua e limitada, alem disso gϕ verifica ascondicoes do caso X = C, logo

‖F(z0)‖X = |gϕ(z0)|

≤ max(supt∈R|gϕ(it)|, sup

t∈R|gϕ(1 + it)|

)≤ max

(supt∈R‖F(it)‖X, sup

t∈R‖F(1 + it)‖X

)para z0 arbitrario em S. Isto termina a prova do teorema.

Definicao 4.5 (Espaco de funcoes holomorfas) Seja [X0, X1] um par interpolado. Seja S =

z ∈ C : 0 ≤ Re(z) ≤ 1. Denotemos por F o conjunto das funcoes F : S→ X0 + X1 tais que

30


1. F e holomorfa em S, contınua e limitado no bordo de S.

2. F(it) ∈ X0 e F(1 + it) ∈ X1 para todo t ∈ R.

3. As funcoes t 7−→ F(it) e t 7−→ F(1 + it) sao contınuas e


t∈R‖F(1 + it)‖X1

)< ∞.

Notemos que o espaco F assim definido e um espaco vetorial. A expressao que aparece em (3)na Definicao 4.5 define uma norma. De fato, se ‖F‖F = 0, entao ‖F(1 + it)‖X1 = ‖F(it)‖X0 = 0para todo t ∈ R. Como

‖F(1 + it)‖X0+X1 ≤ ‖F(1 + it)‖X1 e ‖F(it)‖X0+X1 ≤ ‖F(it)‖X0 ,

temos que ‖F(it)‖X0+X1 = ‖F(1 + it)‖X0+X1 = 0 para todo t ∈ R, assim o Teorema 4.4 implica queF = 0. E imediato provar que ‖λF‖F = |λ| ‖F‖F para λ ∈ C. A desigualdade triangular e umaconsequencia da igualdade de numeros positivos

max (a + b, c + d) = max (a, c) + max (b, d).

De fato,

‖F + G‖F = max(supt∈R‖(F + G)(it)‖X0 , sup

t∈R‖(F + G)(1 + it)‖X1

)≤ max

(supt∈R‖F(it)‖X0 + sup

t∈R‖G(it)‖X0 , sup

t∈R‖F(1 + it)‖X1 + sup

t∈R‖G(1 + it)‖X1

)= ‖F‖F + ‖G‖F .

Observacao 4.6 Vamos dar algumas observacoes em relacao a (F , ‖ · ‖F )

• Algumas vezes denotamos o espaco F por F (X0, X1) para indicar que as aplicacoes deF sao definidas de S em X0 + X1.

• Se ϕ : S −→ D e uma aplicacao conforme que pode ser estendida continuamente a ∂S,entao ‖ϕF‖F = ‖F‖F , pois ϕ(∂S) = ∂D − ±1 e

‖ϕF‖F = max(supt∈R‖ϕ(it)F(it)‖X0 , sup

t∈R‖ϕ(it + 1)F(1 + it)‖X1

)= max

(supt∈R|ϕ(it)| ‖F(it)‖X0 , sup

t∈R|ϕ(it + 1)| ‖F(1 + it)‖X1

)= max


t∈R‖F(1 + it)‖X1

)= ‖F‖F .

31


Teorema 4.7 F e um espaco de Banach.

Demonstracao. Suponha que (Fn)n seja uma sequencia de Cauchy em F . Pelo Teorema 4.4temos para cada z ∈ S

‖Fn(z) − Fm(z)‖X0+X1 ≤ max(supt∈R‖(Fn − Fm)(it)‖X0+X1 , sup

t∈R‖(Fn − Fm)(1 + it)‖X0+X1

)≤ max

(supt∈R‖(Fn − Fm)(it)‖X0 , sup

t∈R‖(Fn − Fm)(1 + it)‖X1

)= ‖Fn − Fm‖F

por X0 + X1 ser de Banach, temos que Fn(z) converge para algum F(z) ∈ X0 + X1.Demonstraremos que a sequencia (Fn)n converge uniformemente em norma de X0 + X1 para F.De fato, seja z ∈ S. Entao existe N(z) ∈ N, que depende de z, tal que

n ≥ N(z)⇒ ‖Fn(z) − F(z)‖X0+X1 < ε.

Tambem existe N ∈ N satisfazendo

n,m ≥ N ⇒ ‖Fn(z) − Fm(z)‖X0+X1 < ε,

para qualquer z. Agora

‖Fn(z) − F(z)‖X0+X1 ≤ ‖Fn(z) − Fm(z)‖X0+X1 + ‖F(z) − Fm(z)‖X0+X1

< ‖Fn(z) − Fm(z)‖X0+X1 + ε se m ≥ N(z), N

< 2ε se n ≥ N.

Isto mostra que (Fn)n converge uniformemente em norma de X0 + X1 para F.A Proposicao 2.28 garante que F e holomorfa em S. Como Fn(it) ∈ X0 e Fn(1 + it) ∈ X1

convergem uniformemente em norma de X0 + X1 para F(it) e F(1 + it) respectivamente, entaodevido a que X0 e X1 sao espacos de Banach temos que F(it) ∈ X0 e F(1 + it) ∈ X1.Provaremos a continuidade da funcao t 7−→ F(it). Seja t0 real fixo e ε > 0. Entao existe N ∈ Ntal que ‖FN(it) − F(it)‖X0 < ε para qualquer t. Por t 7−→ FN(it) ser contınua, temos que paraε > 0 existe δ > 0 tal que

|t − t0| < δ⇒ ‖FN(it) − FN(it0)‖X0 < ε,

32


usando este fato temos

‖F(it) − F(it0)‖X0 ≤ ‖F(it0) − FN(it0)‖X0 + ‖FN(it) − F(it)‖X0 + ‖FN(it0) − FN(it)‖X0

< ε + ε + ‖FN(it0) − FN(it)‖X0 .

< 3ε sempre que |t − t0| < δ.

Isto termina a prova da continuidade de t 7−→ F(it). Similarmente provamos que a funcaot 7−→ F(+1it) e contınua.Como (Fn)n e uma sequencia de funcoes limitadas no bordo que converge uniformemente emnorma para F, temos que F e limitada no bordo, assim F ∈ F .

Definicao 4.8 Seja [X0, X1] um par interpolado. Seja 0 < θ < 1. Definimos um subespacolinear Xθ de X0 + X1 por

Xθ = x ∈ X0 + X1 : x = F(θ) para algum F ∈ F .

O subespaco Xθ e denotado por [X0 X1]θ.

A expressao ‖x‖Xθ = inf‖F‖F : x = F(θ)

e uma norma no espaco Xθ.

Proposicao 4.9 Xθ e um espaco intermedio.

Demonstracao. Primeiro demonstraremos que se 0 < θ < 1, entao

X0 ∩ X1 ⊆ Xθ ⊆ X0 + X1.

De fato, seja x ∈ X0 ∩ X1 e considere a funcao constante F(z) = x para todo z ∈ S. Note queF ∈ F , portanto, x ∈ Xθ e ‖x‖Xθ ≤ ‖F‖F = max (‖x‖X0 , ‖x‖X1) = ‖x‖X0∩X1 e assim X0 ∩ X1 ⊆ Xθ.Provemos que Xθ ⊆ X0 + X1. Suponha que x ∈ Xθ e x = F(θ). Entao pelo Princıpio do ModuloMaximo temos

‖x‖X0+X1 ≤ max(supt∈R‖F(it)‖X0+X1 , sup

t∈R‖F(1 + it)‖X0+X1

)≤ max


t∈R‖F(1 + it)‖X1

)= ‖F‖F ,

assim ‖x‖X0+X1 ≤ ‖x‖Xθ .Para terminar a prova da proposicao, basta demonstrar que Xθ e Banach. Consideremos umafuncao δθ : F −→ X0 + X1 definida por δθ(F) = F(θ). Como ‖F(θ)‖X0+X1 ≤ ‖F‖F , temos que

33


δθ e contınuo, portanto N = ker(δθ) = F ∈ F : F(θ) = 0 e fechado, alem disso F /Ne de Banach. Consideremos C > 1 e F ∈ F . Entao existe G ∈ F tal que G(θ) = F(θ) e‖G‖F ≤ C‖F(θ)‖Xθ , isto e, ‖G‖F ≤ C‖δθ(F)‖Xθ , portanto δθ verifica (3) do Teorema 2.70, assimδθ(F ) = Xθ e isomorfo a F /N .

O seguinte teorema mostra que Xθ e um espaco interpolado entre X0 e X1.

Teorema 4.10 Seja [X0, X1] e [Y0, Y1] pares interpolados. Seja T : X0 + X1 −→ Y0 + Y1 umoperador linear contınuo tal que T seja contınuo de Xi em Yi para i = 0, 1. Entao T e umoperador contınuo de Xθ em Yθ e sua norma, que denotamos por ‖T‖θ, verifica

‖T‖θ ≤ ‖T‖1−θ0 ‖T‖θ1,

onde ‖T‖i denota a norma de T : Xi −→ Yi, para i = 0, 1.

Demonstracao. Denotemos por ‖T‖i a norma do operador T : Xi −→ Yi para i = 0, 1.Primeiro assumamos que as normas sao nao nulas. Seja x ∈ Xθ. Entao existe F ∈ F (X0, X1) talque F(θ) = x. Definamos uma funcao G no conjunto S por

G(z) =(‖T‖0‖T‖1

)z−θT (F(z)).

Demonstraremos que G ∈ F (Y0, Y1). De fato, como T : X0 −→ Y0 e F(it) ∈ X0, entaoT (F(it)) ∈ Y0, portanto G(it) ∈ Y0. Do mesmo modo mostramos que G(1 + it) ∈ Y1. ComoT e contınua e a funcao t 7−→ F(it) e contınua, obtemos que t 7−→ G(it) e contınua. Analoga-mente demonstramos que a funcao t 7−→ G(1 + it) e contınua. Vejamos que G e holomorfa S.Como F e holomorfa em S, para w ∈ S, escrevemos F(z) =

∑∞n=1 an(z − w)n, onde an ∈ X0 + X1,

portanto

G(z) =( ∞∑

m=1

ζm(z − w)m)

T (F(z))

=( ∞∑

m=1

ζm(z − w)m)

T( ∞∑

n=1

an(z − w)n)

=( ∞∑

m=1

ζm(z − w)m) ∞∑

n=1

T (an)(z − w)n

=

∞∑m=1

∞∑n=1

ζmT (an)(z − w)n+m,

onde (‖T‖0‖T‖1

)z−θ=

∞∑m=1

ζm(z − w)m

34


e ζm ∈ C, assim G e holomorfa em S. Agora

‖G(it)‖Y0 =∥∥∥∥(‖T‖0‖T‖1

)it−θT (F(it))

∥∥∥∥Y0

=(‖T‖0‖T‖1

)−θ‖T (F(it))‖Y0

≤ ‖T‖1−θ0 ‖T‖θ1 ‖F(it)‖X0 .

Similarmente mostramos que

‖G(1 + it)‖Y1 ≤ ‖T‖1−θ0 ‖T‖

θ1 ‖F(1 + it)‖X1 .

Isto prova que G e limitado no bordo de S e alem disso

‖G‖F (Y0,Y1) ≤ ‖T‖1−θ0 ‖T‖θ1 ‖F‖F (X0, X1).

Observe que T (x) = T (F(θ)) = G(θ) e assim

‖T (x)‖Yθ ≤ ‖G‖F (Y0,Y1) ≤ ‖T‖1−θ0 ‖T‖θ1 ‖F‖F (X0, X1),

tomando o ınfimo sobre os F ∈ F (X0, X1) tais que x = F(θ), deduzimos

‖T (x)‖Yθ ≤ ‖T‖1−θ0 ‖T‖

θ1 ‖x‖Xθ .

Agora, suponha sem perda de generalidade que ‖T‖0 , 0 e ‖T‖1 = 0. Definamos para ε > 0

G(z) =(‖T‖0ε

)z−θT (F(z)).

De uma maneira similar ao caso anterior provamos que G ∈ F (Y0, Y1), G(θ) = T (x),

‖G(it)‖Y0 = ‖T‖1−θ0 εθ ‖F(it)‖X0

e‖G(1 + it)‖Y1 = 0,

assim,‖G‖F (Y0,Y1) = ‖T‖1−θ0 εθ ‖F‖F (X0, X1),

logo

‖T (x)‖Yθ ≤ ‖G‖F (Y0,Y1) ≤ ‖T‖1−θ0 εθ ‖F‖F (X0, X1)

para qualquer ε > 0 o que implica T = 0, e portanto limitado.Se ‖T‖0 = ‖T‖1 = 0, defina G(z) = T (F(z)). Como G(θ) = T (x) e G(it) = G(1 + it) = 0 temosque G = 0, portanto T = 0 e assim limitada.

Agora vamos dar um exemplo de espaco interpolado de Calderon.

35


Exemplo 4.11 (Interpolacao de espacos Lp) Seja µ uma medidaσ-finita em S e consideremosos espacos Lp0 e Lp1 mergulhados em Lp0 + Lp1 . Se 0 < θ < 1 e 1 ≤ p0, p1 ≤ ∞, entao[Lp0 , Lp1]θ = Lp, onde p verifica

1p

=1 − θ

p0+θ

p1.

De fato, seja f uma funcao de soporte compacto. Sem perda de generalidade assumamos que‖ f ‖Lp = 1. Definamos uma funcao em F : S −→ Lp0 + Lp1 por

F(z)(s) =

| f (s)|

p(

1−zp0

+ zp1

)·

f (s)| f (s)|

se s ∈ S , f (s) , 0.

0 se s ∈ S , f (s) = 0.

A funcao F e holomorfa em S e contınua em S, com

|F(it)(s)| = | f (s)|p/p0 , se f (s) , 0

|F(1 + it)(s)| = | f (s)|p/p1 , se f (s) , 0,

isto e, F(it) ∈ Lp0 e F(1 + it) ∈ Lp1 , com

‖F(it)‖Lp0≤ ‖ f ‖p/p0

Lp= 1,

‖F(1 + it)‖Lp1≤ ‖ f ‖p/p1

Lp= 1.

Tambem as funcoes t ∈ R 7−→ F(it) e t ∈ R 7−→ F(1 + it) sao contınuas, portanto,F ∈ F (Lp0 , Lp1), com ‖F‖F (Lp0 Lp1 ) ≤ 1. Como F(θ) = f , obtemos que f ∈ [Lp0 , Lp1]θ e‖ f ‖[Lp0 , Lp1 ]θ ≤ 1 = ‖ f ‖Lp . Isto prova que Lp ⊂ [Lp0 , Lp1]θ.

Demostraremos que [Lp0 , Lp1]θ ⊂ Lp. De fato, seja f ∈ [Lp0 , Lp1]θ e sem perda de generalidadesuponha que 1 = ‖ f ‖[Lp0 , Lp1 ]θ . Entao existe F ∈ F (Lp0 , Lp1) tal que f = F(θ). Sejam q, q0

e q1 os conjugados de p, p0 e p1, respectivamente, e y uma funcao simples, com ‖y‖Lq = 1.Definamos uma funcao G em S por

G(z)(s) =

|y(s)|

q(

1−zq0

+ zq1

)·

y(s)|y(s)|

se s ∈ S , y(s) , 0.

0 se s ∈ S , y(s) = 0.

Note que G assim definida e holomorfa em S verifica G(it) ∈ Lq0 e G(1 + it) ∈ Lq1 , com

‖G(it)‖Lq0≤ ‖y‖q/q0

Lq= 1,

36


‖G(1 + it)‖Lq1≤ ‖y‖q/q1

Lq= 1.

Definamos outra funcao H em S de valor complexo por

H(z) =

∫S

F(z)(s)G(z)(s) dµ.

Por F e G ser funcoes holomorfas em S, obtemos que a funcao H e holomorfa em S. Tambema funcao H e contınua e limitada em S. Entao pelo Teorema 4.4 obtemos que

|H(z)| ≤ max(supt∈R|H(it)|, sup

t∈R|H(1 + it)|

)para todo z ∈ S.

A desigualdade de Holder implica que

|H(it)| ≤ ‖F(it)‖Lp0· ‖G(it)‖Lq0

≤ ‖F(it)‖Lp0· ‖y‖q/q0

Lq= ‖F(it)‖Lp0

.

Similarmente

|H(1 + it)| ≤ ‖F(1 + it)‖Lp1· ‖G(1 + it)‖Lq1

≤ ‖F(1 + it)‖Lp1· ‖y‖q/q1

Lq= ‖F(1 + it)‖Lp1

,

isto e,

|H(z)| ≤ max(supt∈R‖F(it)‖Lp0

, supt∈R‖F(1 + it)‖Lp1

)= ‖F‖F (Lp0 Lp1 ), para todo z ∈ S,

em particular para z = θ, temos que∣∣∣∣ ∫S

f (s)y(s) dµ∣∣∣∣ = |H(θ)| ≤ ‖F‖F (Lp0 Lp1 ),

para toda funcao simples y em Lq com ‖y‖Lq = 1, portanto, f ∈ Lp e

‖ f ‖Lp = sup∣∣∣∣ ∫

Sf (s)y(s) dµ

∣∣∣∣ : y funcao simples com ‖y‖Lq = 1≤ ‖F‖F (Lp0 Lp1 ),

como F foi escolhida arbitrariamente em F (Lp0 Lp1) com F(θ) = f , obtemos que‖ f ‖Lp ≤ ‖ f ‖[Lp0 , Lp1 ]θ . Assim temos que [Lp0 , Lp1]θ ⊂ Lp e portanto [Lp0 , Lp1]θ = Lp.

Se aplicamos o Teorema 4.10 ao Exemplo 4.11, obtemos um resultado interessante:

Teorema 4.12 (Teorema de Riesz-Thorin) Seja µ uma medida σ-finita sobre S e 0 < θ < 1.Se T : Lp0 + Lp1 −→ Lq0 + Lq1 e um operador linear limitado tal que

T : Lp0 −→ Lq0 e T : Lp1 −→ Lq1

37


sao operadores limitados, com normas respectivas ‖T‖0 e ‖T‖1, entao a restricao de T aoespaco Lp, com

1p

=1 − θ

p0+θ

p1,

e limitada eT : Lp −→ Lq,

onde1q

=1 − θ

q0+θ

q1.

A norma da restricao de T a Lp, que denotamos por ‖T‖p, e estimada por

‖T‖p ≤ ‖T‖1−θ0 · ‖T‖θ1.

Definicao 4.13 Sejam X0, X1 espacos de Kothe e 0 < θ < 1. Definamos um espaco de Banachpor

X1−θ0 Xθ

1 = x ∈ L0 : existem u0 ∈ X0, u1 ∈ X1, tais que |x| = |u0|1−θ|u1|

θ,

normado por

‖x‖ = inf ‖u0‖1−θX0· ‖u1‖

θX1

: |x| = |u0|1−θ|u1|

θ.

Note que espaco X1−θ0 Xθ

1 pode ser escrito como

X1−θ0 Xθ

1 = x ∈ L0 : existem u0 ∈ BX0 , u1 ∈ BX1 , λ ≥ 0 tais que |x| ≤ λ|u0|1−θ|u1|

θ,

com norma

‖x‖ = inf λ : existem u0 ∈ BX0 , u1 ∈ BX1 tais que |x| ≤ λ|u0|1−θ|u1|

θ.

Vamos comentar a prova de un resultado apresentado por Calderon em [1].

Teorema 4.14 Sejam X0 e X1 espacos de Banach de funcoes, tais que ou X0 ou X1 e reflexivo.Entao

Xθ = X1−θ0 Xθ

1,

onde a igualdade e no sentido isometrico.

Demonstracao. Vamos provar o teorema em partes:

Passo 1. Vamos estabelecer algumas notacoes e definicoes .Seja X um espaco de Banach de funcoes (ver Definicao 2.37) e B um espaco de Banach. Umafuncao f : S −→ B e chamada de funcao com B-valores. Denotamos por X(B), o conjunto de

38


todas as funcoes com B-valores f tais que ‖ f (·)‖B ∈ X. Note que o conjunto X(B) e um espacode Banach, com

‖ f ‖X(B) =∥∥∥∥‖ f (·)‖B

∥∥∥∥X.

Sejam X0, X1 espacos de Banach de funcoes de valores reais contidos em L0(S , µ) eseja [B0, B1] um par interpolado. Denotamos por F0

(X0(B0), X1(B1)

)o subconjunto de

F(X0(B0), X1(B1)

)de todas as funcoes F da forma

F(s, ξ) = eδξ2

N∑k=1

eλnξ f (s),

onde as fn sao funcoes em X0(B0) ∩ X1(B1), λn sao numeros reais, δ > 0, s ∈ S e ξ ∈ S. Osubconjunto F0

(X0(B0), X1(B1)

)e denso em F

(X0(B0), X1(B1)

). Definamos outro espaco de

funcoes , que denotamos por G (Y0, Y1), como o conjunto das funcoes G : S −→ Y0 +Y1 tais que

1. G e holomorfa em S e contınua no bordo S.

2. ‖G(z)‖Y0+Y1 ≤ c(1 + |z|), para alguma constante c > 0.

3. A funcao G verifica G(it1)−G(it2) ∈ Y0, G(1 + it1)−G(1 + it2) ∈ Y1 para todo t1, t2 ∈ R e

‖G‖G = max(

supt1, t2∈R

∥∥∥∥G(it1) −G(it2)t1 − t2

∥∥∥∥Y0, sup

t1, t2∈R

∥∥∥∥G(1 + it1) −G(1 + it2)t1 − t2

∥∥∥∥Y1

)< ∞.

O espaco X[θ] = G′(θ) : G ∈ G (Y0, Y1) munido da norma

‖x‖X[θ] = inf‖G‖G : G′(θ) = x

define um espaco interpolado entre Y0 e Y1. Tambem denotamos o espaco X[θ] por [X0 X1][θ].

Vamos denotar X = X1−θ0 Xθ

1 e B = [B0, B1]θ.

Vamos provar o resultado para espacos de funcoes com B-valores.

Passo 2. Os espacos interpolados verificam

[X0(B0), X(B1)]θ ⊂ X(B) ⊂ [X0(B0), X(B1)][θ],

onde as inclusoes sao contınuas.

39


Passo 2.A. Demostremos que [X0(B0), X(B1)]θ ⊂ X(B). De fato, consideremos uma funcao emF

(X0(B0), X1(B1)

)da forma

F(s, ξ) = eδξ2

N∑k=1

eλnξ f (s),

onde as fn sao funcoes em X0(B0) ∩ X1(B1), λn sao numeros reais, δ > 0, s ∈ S e ξ ∈ S. Asfn sao funcoes com B-valores, pois B0 ∩ B1 ⊂ B. Agora damos uma estimativa da norma deF(s, ξ), demonstrando as desigualdades seguintes:

• log ‖F(s, θ)‖B ≤∫ +∞

−∞

ρ0(θ, t) log ‖F(s, it)‖B0 dt +

∫ +∞

−∞

log ‖F(s, 1 + it)‖B1ρ1(θ, t) dt

• ‖F(s, θ)‖B ≤(

11 − θ

∫ +∞

−∞

‖F(s, it)‖B0 ρ0(θ, t) dµ)1−θ

·

(1θ

∫ +∞

−∞

‖F(s, 1 + it)‖B1 ρ1(θ, t) dt)θ

onde

ρ0(ξ, t) =e−π(t−r) sin πτ

sin2 πτ + (cos πτ − e−π(t−r))2, onde ξ = τ + ir

e

ρ1(ξ, t) =e−π(t−r) sin πτ

sin2 πτ + (cos πτ + e−π(t−r))2, onde ξ = τ + ir,

sao os kernel de Poisson (ver [23]).

Demonstraremos a primeira desigualdade. De fato, seja M ∈ N e ε > 0. Calderon encontrouduas funcoes ϕ0, n, ε e ϕ1, n, ε infinitamente diferenciaveis em R tais que lim

|t|→∞ϕ j, n, ε(t) = −n + ε e

max(

log ‖F(·, j + it)‖B j , −n)≤ ϕ j, n, ε(t) ≤ max

(log ‖F(·, j + it)‖B j , −n

)+ 2ε (4.1)

para todo t ∈ R e j = 0, 1. Ele demonstrou que existe uma funcao analıtica, limitada e contınuaem S, que denotamos por φ, tal que Re(φ(it)) = ϕ0, n, ε(t), Re(φ(1 + it)) = ϕ1, n, ε(t) e

Re(φ(ξ)) =

∫ +∞

−∞

ρ0(ξ, t)ϕ0, n, ε(t) dt +

∫ +∞

−∞

ρ1(ξ, t)ϕ1, n, ε(t) dt.

Note que

40


‖e−φ(it)F(s, j + it)‖B j = eRe(−φ( j+it)) · ‖F(s, j + it)‖B j

= e−ϕ j, n, ε(t) · ‖F(s, j + it)‖B j pela desigualdade(4.1) temos que

≤ 1

para j = 0, 1 e todo s ∈ S . Isto implica que e−φ(·)F(s, ·) ∈ F (B0, B1) e

‖e−φ(·)F(s, ·)‖F (B0, B1) ≤ 1,

portanto,‖F(s, θ)‖B ≤ eRe(φ(θ)),

que equivale a

log ‖F(s, θ)‖B ≤ Re(φ(θ)) =

∫ +∞

−∞

ρ0(θ, t)ϕ0, n, ε(t) dt +

∫ +∞

−∞

ρ1, n, ε(θ, t)ϕ1(t) dt.

Se n→ ∞ e ε→ 0, obtemos pela desigualdade (4.1) que

log ‖F(s, θ)‖B ≤∫ +∞

−∞

ρ0(θ, t) log ‖F(s, it)‖B0 dt +

∫ +∞

−∞

log ‖F(s, 1 + it)‖B1ρ1(θ, t) dt. (4.2)

Isto mostra a primeira desigualdade.

Agora demonstraremos a segunda desigualdade. De fato, o kernel de Poisson verifica que∫ +∞

−∞

ρ0(θ, t) dt = 1 − θ e∫ +∞

−∞

ρ1(θ, t) dt = θ,

portanto, pela desigualdade de Jensen (ver Corolario 2.56) obtemos que

exp( 11 − θ

∫ +∞

−∞

ρ0(θ, t) log ‖F(s, it)‖B0 dt)≤

11 − θ

∫ +∞

−∞

ρ0(θ, t) ‖F(s, it)‖B0 dt

e

exp(1θ

∫ +∞

−∞

ρ1(θ, t) log ‖F(s, 1 + it)‖B1 dt)≤

1θ

∫ +∞

−∞

ρ1(θ, t) ‖F(s, 1 + it)‖B1 dt.

Aplicando logaritmo nas duas desigualdades acimas, multiplicado a primeira por (1 − θ) e asegunda por θ, somando as desigualdades obtidas e por ultimo aplicando (4.2), temos que

log ‖F(s, θ)‖B ≤ log[( 1

1 − θ

∫ +∞

−∞

ρ0(θ, t) ‖F(s, it)‖B0 dt)1−θ(1

θ

∫ +∞

−∞

ρ1(θ, t) ‖F(s, 1 + it)‖B1 dt)θ],

41


demonstrando assim que

‖F(s, θ)‖B ≤(

11 − θ

∫ +∞

−∞

‖F(s, it)‖B0 ρ0(θ, t) dµ)1−θ

·

(1θ

∫ +∞

−∞

‖F(s, 1 + it)‖B1 ρ1(θ, t) dt)θ.

Se definirmos

g(s) =1

1 − θ

∫ −∞

∞

‖F(s, it)‖B0 ρ0(θ, t) dµ,

e

h(s) =1θ

∫ −∞

∞

‖F(s, 1 + it)‖B1 ρ1(θ, t) dt,

temos que g ∈ X0 e h ∈ X1, pois ‖F(·, it)‖B0 ∈ X0 e ‖F(·, 1 + it)‖B1 ∈ X1, resumindo

‖F(s, θ)‖B ≤ g(s)1−θh(s)θ,

para todo s ∈ S . Por X ser um espaco de Banach de funcoes , obtemos que ‖F(·, θ)‖B ∈ X e‖g‖X0 , ‖h‖X1 ≤ ‖F‖F , assim ∥∥∥∥‖F(·, θ)‖B

∥∥∥∥X≤ ‖g1−θhθ‖X,

logo‖F(θ)‖X(B) ≤ ‖F‖F , se F ∈ F0

(X0(B0) X1(B1)

).

Seja x ∈ [X0(B0), X(B1)]θ. Entao , existe F ∈ F(X0(B0) X1(B1)

)tal que x = F(θ) com

‖F‖F ≤ ‖x‖θ + ε. Por F0

(X0(B0) X1(B1)

)ser denso em F

(X0(B0) X1(B1)

), temos que existe

uma sequencia (Fn)n em F0

(X0(B0) X1(B1)

)tal que Fn → F em ‖ · ‖F . Alem disso,

‖Fn(θ) − F(θ)‖θ ≤ ‖Fn − F‖F → 0, se n→ ∞.

Por outro lado,

‖Fn(θ) − Fm(θ)‖X(B) ≤ ‖Fn − Fm‖F ,

isto prova que (Fn(θ))n e uma sequencia de Cauchy em X(B), portanto, converge em X(B), assimF(θ) ∈ X(B). Tambem

‖Fn(θ)‖X(B) ≤ ‖Fn‖F

e se n→ ∞, obtemos‖F(θ)‖X(B) ≤ ‖F‖F ≤ ‖x‖θ + ε.

Isto demonstra que‖x‖X(B) ≤ ‖x‖θ + ε,

42


para ε arbitrario, logo ‖x‖X(B) ≤ ‖x‖θ. Em conclusao [X0(B0), X(B1)]θ ⊂ X(B).

Passo 2.B. Demonstraremos que X(B) ⊂ [X0(B0), X(B1)][θ].De fato, seja f ∈ X(B) uma funcaocuja imagem seja um conjunto enumeravel, isto e, f toma os valores u1, . . . , un, . . . ∈ B. Escol-hamos g ∈ X0 e h ∈ X1, com ‖g‖X0 , ‖h‖X1 ≤ 1 e

‖ f (·)‖B = ‖ f ‖X(B)(1 + ε)g(·)1−θh(·)θ.

Seja S j = s ∈ S : f (s) = u j. Como u j ∈ B = [B0 B1]θ, entao existe ϕ ∈ F (B0, B1), com

‖ϕ j‖F ≤ 1 + ε, tal que ϕ(θ) =u j

‖u j‖B. Definamos uma funcao F por

F(s, ξ) =

‖ f ‖X(B)(1 + ε)g(s)1−ξh(s)ξ

∑∞j=1 1S j(s) · ϕ(ξ) se h(s)g(s) , 0,

0 se h(s)g(s) = 0

Seja Γ um caminho contido na faixa z : 0 ≤ Re(z) ≤ 1 que liga os pontos 1/2 e ξ. Definamosuma funcao F1(s, ξ) =

∫Γ

F(s, η) dη. A definicao de F1 nao depende da escolha do caminho Γ.A funcao F1 pertence a F (X0(B0), X1(B1)) e ‖F1‖F ≤ (1 + ε)‖ f ‖X(B). Tambem satisfaz que

ddξ

F1(s, θ) = F(s, θ) = f (s),

portanto, f ∈ [X0(B0) X(B1)][θ] e ‖ f ‖[θ] ≤ (1 + ε)‖ f ‖X(B), como ε e arbitrario, obtemosque ‖ f ‖[θ] ≤ ‖ f ‖X(B). Resumindo, se f ∈ X(B) tem imagem enumeravel, entao f ∈F (X0(B0), X1(B1)) e ‖ f ‖[θ] ≤ ‖ f ‖X(B).Vamos demonstrar o caso geral. Seja f ∈ X(B) arbitrario. Como o conjunto das funcoesem X(B) com imagem enumeravel e denso em X(B), entao existe uma sequencia de funcoes( fn)n com imagem enumeravel tal que ‖ fn − f ‖X(B) → 0, se n → ∞. Note que fn − fm ∈

[X0(B0), X1(B1)][θ], com ‖ fn − f ‖[θ] ≤ ‖ fn − f ‖X(B). Isto prova que ( fn)n e uma sequenciade Cauchy em [X0(B0), X1(B1)][θ], portanto, convergente em [X0(B0, ) X1(B1)][θ], isto e, f ∈[X0(B0), X1(B1)][θ]. Agora

‖ f ‖[θ] = limn→∞‖ fn‖[θ] ≤ lim

n→∞‖ fn‖X(B) = ‖ f ‖X(B).

Em conclusaoX(B) ⊂ [X0(B0), X(B1)][θ].

Passo 3. Vejamos que se ou X0(B0) ou X1(B1) e reflexivo, entao X(B) = [X0(B0), X(B1)]θ.Basta provar que [X0(B0), X(B1)][θ] ⊂ [X0(B0), X(B1)]θ.Denotemos por X0(B0) = Y0 e X1(B1) = Y1. Neste passo usamos o seguinte lema provado peloCalderon em [1, pag. 118].

43


Lema 4.15 Se F ∈ G (Y0, Y1) eF(it + ih) − F(it)

hconverge em Y0 em um conjunto de medida positiva quando h → 0 (h real), entao F′(θ) ∈[Y0, Y1]θ = Yθ, para todo 0 < θ < 1.

Suponha que Y0 e reflexivo. Seja F ∈ G (Y0, Y1). Entao p(t) = F(it) e uma funcao contınuaem relacao a t, portanto, a imagem de p esta contida em um subespaco separavel de Y0 (tome oespaco gerado pela imagem de p), que denotamos por V. Sejam

Fn(z) =(F(z +

in

) − F(z))·

ni,

Rm(t) o fecho fraco do conjunto Fn(it) : n ≥ m e R(t) =⋂

m∈N Rm(t). Para todo t ∈ R, osconjuntos Rm(t) e R(t) estao contidos em um conjunto limitado de Y0, pois como F ∈ G (Y0, Y1),obtemos que

‖Fn(it)‖Y0 =∥∥∥∥F

(i(t +

1n

))− F(it)

∥∥∥∥Y0· n

≤ ‖F‖G∣∣∣∣t +

1n− t

∣∣∣∣ · n= ‖F‖G , para todo n ∈ N.

Agora como Rm(t) e um conjunto limitado, entao existe uma bola centrada em zero, que deno-tamos por D0, tal que Rm(t) ⊂ D0, pelo fato de Y0 ser reflexivo, obtemos que D0 e fracamentecompacta (ver Teorema 2.82). Devido a que Rm(t) e fracamente fechado e esta contido em umconjunto fracamente compacto, entao Rm(t) e fracamente compacto, portanto, convexo e limi-tado. O teorema da intersecao de Cantor (ver Teorema 2.81) implica que R(t) e nao vazio. Sejag uma funcao tal que g(t) ∈ R(t) para todo t ∈ R. Note que R(t) ⊂ V, logo a imagem de g eseparavel.Demonstraremos que

F(it) = F(0) + i∫ t

0g(τ) dτ.

Seja L um funcional linear contınuo em Y0 e ϕ(t) = −iL(F(it)). Como F ∈ G (Y0, Y1), entao ϕ euma funcao de Lipschitz. Agora

L(Fn(it)) = n(ϕ(t +

1n

)− ϕ(t)

).

Note que a imagem do conjunto Rm(t) pelo operador L e o fecho fraco do conjunton(ϕ(t +

1n

)− ϕ(t)

): n ≥ m

,

44


portanto, a imagem de R(t) por L e a intersecao dos conjuntos acimas. Como ϕ e uma funcaode Lipschitz, entao ϕ e quase-sempre diferenciavel em R (ver Teorema 2.32), isto e, existe umconjunto de medida zero A, tal que ϕ′(t) existe para todo t ∈ R\A, e ϕ′ e fortemente mensuravel.Isto equivale a dizer que L(g(t)) existe quase-sempre e e fortemente mesuravel, em consequenciag e fracamente mensuravel. Devido a que a imagem de g e separavel, da Observacao 2.24deduzimos que g e fortemente mensuravel. Lembre-se que a imagem de g esta contida em R(t),portanto, g e uma funcao limitada, em particular, limitada em qualquer intervalo finito real,assim o Teorema 2.26 garante que g e Bochner integravel em todo intervalo finito real. Noteque

L(F(it)) = iϕ(t) = iϕ(0) + i∫ t

0ϕ′(τ) dτ = L(F(0)) + i

∫ t

0L(g(τ)) dτ,

para todo L operador linear contınuo em Y0, assim

F(it) = F(0) + i∫ t

0g(τ) dτ.

Da igualdade acima temos que F(it) e quase-sempre diferenciavel em relacao a t, portanto,

1h·

F(it + ih) − F(it)h

→ 0,

quando h → 0 em um conjunto de medida positiva de R. Daqui deduzimos que F′(θ) ∈[Y0, Y1][θ].Vejamos que a inclusao e contınua. De fato, seja x ∈ X[θ], isto e, existe F ∈ G (Y0, Y1)tal que x = F′(θ) e ‖F‖G ≤ ‖x‖[θ] + ε. Consideremos a funcao

hn(z) = eεz2Fn(z),

ondeFn(z) =

(F(z +

in

) − F(z))·

ni.

Observe que hn ∈ F (Y0, Y1) e

‖hn(it)‖Y0 = ‖e−εt2 Fn(it)‖Y0

= n · e−εt2‖F(it +in

) − F(it)‖Y0

≤ e−εt2‖F(it +in

) − F(it)‖Y0

≤ ‖F‖G .

45


Similarmente provamos que ‖hn(1 + it)‖Y1 ≤ eε‖F‖G , portanto,

‖hn‖F ≤ (1 + eε)‖F‖G

≤ (1 + eε)(‖x‖[θ] + ε),

logo‖hn(θ)‖θ ≤ (1 + eε)(‖x‖[θ] + ε).

Agora

‖hn(θ) − eεθ2x‖θ = eεθ

2

∥∥∥∥∥∥(F(θ +

in

)− F(θ)

)·

ni− F′(θ)

∥∥∥∥θ

= eεθ2

∥∥∥∥∥∥F(θ + λn) − F(θ)λn

− F′(θ)∥∥∥∥θ, onde λn =

in

→ 0, se n→ ∞.

Entao

‖x‖θ = ‖hn(θ)e−εθ2− hn(θ)e−εθ

2+ e−εθ

2· eεθ

2x‖θ

≤ e−εθ2‖hn(θ)‖θ + e−εθ

2‖hn(θ) − eεθ

2x‖θ

≤ e−εθ2(1 + eε)(‖x‖[θ] + ε) + e−εθ

2‖hn(θ) − eεθ

2x‖θ

→ e−εθ2(1 + eε)(‖x‖[θ] + ε), se n→ ∞.

Se ε → 0, entao ‖x‖θ ≤ ‖x‖[θ], portanto, a inclusao e contınua. Em conclusao[Y0, Y1][θ] ⊂ [Y0, Y1]θ.

Neste trabalho, nos sempre vamos assumir que Xθ = X1−θ0 Xθ

1.

46

Capıtulo 5Espacos de Kothe e espacos de funcoesg-convexos

Definicao 5.1 (Espaco admissıvel) Seja S um espaco polones e µ uma medida σ-finita deBorel em S . Dizemos que a funcao f 7−→ ‖ f ‖X (L0 7−→ [0,∞]) e uma norma admissıvel, seo conjunto X = x ∈ L0 : ‖x‖X < ∞ verifica as seguintes condicoes :

1. (X, ‖ · ‖X) e um espaco normado.

2. BX = x : ‖x‖X ≤ 1 e fechado em L0 e contem um elemento positivo.

3. Existe h positivo em L0 tal que‖hx‖L1 ≤ ‖x‖X

para todo x ∈ L0.

O espaco X assim definido e chamado de espaco admissıvel.

Definicao 5.2 (Espaco de Kothe) Um espaco admissıvel e chamado de espaco de Kothe se|x(s)| ≤ |y(s)| para todo s ∈ S com x mensuravel e y ∈ X, entao x ∈ X e ‖x‖X ≤ ‖y‖X.

Observacao 5.3 Se uma norma (ou quase-norma) verifica esta propriedade, entao dizemos quea norma (ou quase-norma) ‖ · ‖X preserva ordem.

Definicao 5.4 (Espaco de funcoes g-convexo ) Seja x 7−→ ‖x‖X (L0 7−→ [0,∞]) uma funcao eX = x ∈ L0 : ‖x‖X < ∞. O espaco X e chamado de espaco de funcoes g-convexo, se verifica:

1. BX = x : ‖x‖X ≤ 1 e fechado em L0 e contem um elemento positivo.

2. ‖α · x‖X = |α| · ‖x‖X para todo x ∈ X e todo α ∈ C.

47

3. Para todo x, u, v ∈ L0 e 0 ≤ θ ≤ 1, com |x| ≤ |u|1−θ|v|θ, temos que ‖x‖X ≤ ‖u‖1−θX ‖v‖θX.

4. Para cada 0 < τ < ∞, existe um numero N(τ), com limτ→0

N(τ) = 0, tal que, se x, y ∈ X,com supp(x) ∩ supp(y) = ∅ e ‖x‖X ≤ 1, ‖y‖X ≤ τ, entao ‖x + y‖X ≤ 1 + N(τ). Denotemoso menor numero N(τ) ≥ 0 que verifica as condicoes acima por η(τ).

Observacao 5.5 Seja X um espaco de funcoes g-convexo.

1. Se θ = 0 e x, u ∈ X em 3 na definicao acima, temos que |x| ≤ |u| implica ‖x‖X ≤ ‖u‖X.

2. Um espaco de Kothe X e um espaco de funcoes g-convexo. De fato:

Note que X satisfaz 1. e 2. da Definicao 5.4, portanto, basta apenas provar 3 e 4. Para demonstrar3, nos usamos a desigualdade

aθb1−θ ≤ θa + (1 − θ)b,

onde a, b ≥ 0 e 0 ≤ θ ≤ 1,

|u|θ|v|1−θ = |c1/θu|θ · |c−1/(1−θ)v|1−θ

≤ θ · |c1/θu| + (1 − θ) · |c−1/(1−θ)v|,

para todo u, v ∈ L0 e c ≥ 0, o que implica∥∥∥∥ |u|θ|v|1−θ∥∥∥∥X≤ θc1/θ · ‖u‖X + (1 − θ)c1/(1−θ) · ‖v‖X.

Em particular, se c = (‖v‖X/‖u‖X)θ(1−θ), obtemos que∥∥∥∥ |u|θ · |v|1−θ∥∥∥∥X≤ ‖u‖θX · ‖v‖

1−θX .

Agora, supondo que |x| ≤ |u|θ|v|1−θ, temos imediatamente que ‖x‖X ≤ ‖u‖θX · ‖v‖1−θX .

Demonstraremos que X verifica a parte 4. da Definicao 5.4. Sejam 0 < τ < ∞ e x, y ∈ X, comsupp(x) ∩ supp(y) = ∅ e ‖x‖X ≤ 1, ‖y‖X ≤ τ. Por ‖ · ‖X ser uma norma, temos que ‖x + y‖X ≤‖x‖X + ‖y‖X ≤ 1+τ e pela definicao de η(τ) (ver Definicao 5.4, parte 4.), segue que 0 ≤ η(τ) ≤ τ,assim lim

τ→0η(τ) = 0.

Observacao 5.6 Se X e um espaco g-convexo, entao toda funcao f de X, e quase-finita, isto e,o conjunto dos elementos E = s : f (s) = ∞ tem medida zero. De fato:

Se f ∈ X, entao ‖ f ‖X < ∞. Observe que n · |1E | ≤ | f | para todo n ∈ N, portanto, n · |1E | ∈ X en · ‖1E‖X ≤ ‖ f ‖X para todo n ∈ N, assim 1E = 0, isto e, µ(E) = 0.

48

Proposicao 5.7 Todo espaco g-convexo e um espaco quase-normado de Banach. Em particu-lar, todo espaco de Kothe e um espaco de Banach.

Demonstracao. Vejamos que X e um espaco quase-normado. De fato, sejam x, y ∈ X edefinamos duas funcoes como

x0(s) =

x(s) + y(s) se |x(s)| ≤ |y(s)|

0 se |x(s)| > |y(s)|e,

y0(s) =

x(s) + y(s) se |x(s)| > |y(s)|,

0 se |x(s)| ≤ |y(s)|.

Observe que supp(x0) ∩ supp(y0) = ∅ e x0 + y0 = x + y.

Agora pela parte 4. da Definicao 5.4 temos∥∥∥∥∥∥ x0

2(‖x‖X + ‖y‖X)+

y0

2(‖x‖X + ‖y‖X)

∥∥∥∥∥∥X

≤ 1 + η(1),

logo‖x + y‖X ≤ 2

(1 + η(1)

)·(‖x‖X + ‖y‖X

),

para todo x, y ∈ X.Demonstraremos que ‖x‖X = 0, implica x = 0. De fato, suponha por contradicao que x , 0.Observe que ‖nx‖X = 0 para todo n ∈ N, portanto, nx ∈ BX para todo n ∈ N. Escolha y < BX.Se xn = min(n|x|, |y|), entao xn ≤ n|x| e pelo item 1. desta observacao , temos que xn ∈ BX.Tambem xn −→ |y| q.s., isto e, (xn)n converge em medida para |y|. Como X e um espaco defuncoes g-convexos, temos que BX e fechada em L0, assim |y| ∈ BX, o que contradiz a escolhade y.Com isto, nos concluımos que ‖ · ‖X e uma quase-norma.Vamos demonstrar que X e um espaco quase-Banach. Para isso demonstraremos que o espaco(X, d) e completo, onde d e a metrica definida em Definicao 2.51, para facilitar os calculos,escrevamos ‖x − y‖ = d(x, y) = ‖|x − y‖|p. De fato, seja (xn)n uma sequencia de Cauchy em(X, ‖ · ‖). Vejamos que ela e convergente. De fato, por (xn)n ser de Cauchy, encontramos umasubsequencia de (xn)n, que denotamos por (yn)n, tal que

∞∑k=1

‖yk+1 − yk‖ < ∞.

49

Definamos uma funcao y por

y(s) = |y1(s)| +∞∑

k=1

|yk+1(s) − yk(s)|,

a qual pode tomar o valor∞ para alguns s.Seja ϑn(s) = |y1(s)| +

∑nk=1 |yk+1(s) − yk(s)|. Note que (ϑn)n e uma sequencia de X, com ϑn → y

q.s. (portanto, converge em medida), se definimos ρm(s) = infn≥m ϑn(s), entao ρm ≤ ϑn, sen ≥ m, e ρm → y q.s. quando m → ∞, portanto, ρm ∈ X e ‖ρm‖X ≤ ‖ϑn‖X para n ≥ m,assim ‖ρm‖X ≤ lim inf ‖ϑn‖X, como BX e fechada na topologia da medida, temos que y ∈ X e‖y‖X ≤ lim inf ‖ϑn‖X. Pela Observacao 5.6, obtemos que o conjunto E = s : y(s) = ∞ temmedida zero,logo a serie

∑∞k=1 |yk+1(s)− yk(s)| converge em s ∈ S \E, assim para s ∈ S \E a serie∑∞

k=1(yk+1(s) − yk(s)) e convergente. Definamos uma funcao x por

x(s) =

y1(s) +

∑∞k=1(yk+1(s) − yk(s)) se s ∈ S \E,

0 se s ∈ E.

Note que |x| ≤ y, portanto, x ∈ X. Observe que

|x(s) − ym(s)| ≤∞∑

k=m

|yk+1(s) − yk(s)|, se s ∈ S \E,

logo,

‖x − ym‖ ≤

∞∑k=m

‖yk+1 − yk‖ → 0, se m→ ∞.

Por outro lado,

‖x − xn‖ ≤ ‖x − ym‖ + ‖xn − ym‖ → 0,

se m→ ∞ e se n→ ∞. Isto mostra que (X, ‖ · ‖), isto e, (X, d) e completo, portanto (X, ‖ · ‖X) eum espaco quase-Banach.

Definicao 5.8 (Dual de Kothe) Seja X um espaco de Kothe. Definimos X∗, o Dual de Kothe deX, como o espaco de funcoes mensuraveis x∗ tais que

‖x∗‖X∗ = supx∈BX

∫S|x x∗| dµ

existe.

50

A funcao ‖ · ‖X∗ define uma norma em X∗. Observe que X∗ pode ser visto como subespaco deX′, identificando o elemento x∗ ∈ X∗ pelo funcional linear y(x) =

∫S

x x∗ dµ. De fato,

‖y‖X′ = supx∈BX

|y(x)|

= supx∈BX

∣∣∣∣ ∫S

x x∗ dµ∣∣∣∣

= supx∈BX

∫S|x x∗| dµ

= ‖x∗‖X∗ .

Exemplo 5.9 Se 1 ≤ p < ∞, temos que L∗p(µ) = Lq(µ), onde1p

+1q

= 1.

Existem espacos X, tais que X∗ , X′, por exemplo, L∗∞(µ) = L1(µ).

Como e de esperar, X∗ e um espaco de Kothe sempre que X seja um espaco de Kothe. Aproposicao abaixo prova esse fato.

Proposicao 5.10 Se X e um espaco de Kothe, entao X∗ e um espaco de Kothe.

Demonstracao. Provemos que BX∗ e fechada na topologia da convergencia em medida. Defato, seja (x∗n)n uma sequencia de BX∗ que converge em medida para x∗. Como µ e uma medidaσ-finita, entao encontramos uma subsequencia de (x∗n)n que converge q.s. para x∗, denotamosessa subsequencia como (x∗n)n.Assumiremos que |(x∗n)n| e uma sequencia crescente que convergeq.s. para x∗ (basta tomar a sequencia y∗n = inf

k≥n|x∗k |). Seja x ∈ BX qualquer, observe que |x∗n||x| e

uma sequencia crescente que converge q.s. para |x∗||x|, com

supn

∫|x∗n||x| dµ ≤ sup

n‖x∗n‖X∗ ≤ 1.

Pelo Teorema 2.59 temos que |x∗||x| ∈ L1 e |x∗n||x| converge para |x∗||x| em norma de L1, assim

∫|x∗||x| dµ = lim

n→∞

∫|x∗n||x| dµ

≤ supn‖x∗n‖X∗

≤ 1,

para todo x ∈ BX, concluindo que

51

supx∈BX

∫|x∗||x| dµ ≤ 1,

e assim x∗ ∈ BX∗ .Note que BX∗ contem um elemento positivo, pois existe uma funcao positiva h tal que ‖hx‖L1 ≤

‖x‖X para todo x ∈ X. Pela definicao de X∗, temos que h ∈ X∗, logo h/‖h‖X∗ ∈ BX∗ .E imediato ver que se |y| ≤ |x| com x ∈ X∗, entao y ∈ X∗ e ‖y‖X∗ ≤ ‖x‖X∗ . Com isso acaba a provadesta proposicao . Vejamos que X∗ e isometrico a um subespaco normante (ver Definicao 2.78 ) de X′.

Proposicao 5.11 X∗ e um e isometrico a um subespaco normante de X′.

Demonstracao. Como X e um espaco de Kothe, entao existe h positivo em L0, tal que paratodo x ∈ X, temos que hx ∈ L1 e ‖xh‖L1 ≤ ‖x‖X, isto e, X ⊆ L1(hd µ).Vejamos que BX e fechado em L1(hd µ). De fato, seja (xn)n sequencia em BX tal que xn −→ xem norma de L1(hd µ), isto e, ‖hxn − hx‖L1 −→ 0, portanto, existe uma subsequencia de (xn)n,que denotamos por (xn)n, tal que (xn)n converge q.s. para x, assim pela Proposicao 2.14 temosque (xn)n converge em medida relativa a x, logo x ∈ BX, pois BX e fechada na topologia daconvergencia em medida.Seja ‖x0‖X > 1 fixo. Agora, como BX e fechado em L1(h dµ), pelo teorema de separacao deHahn-Banach (Teorema 2.66), existe x∗ ∈

(L1(h dµ)

)′tal que

supy∈BX

|x∗(y)| = supy∈BX

Re(x∗(y)) ≤ 1

e |x∗(x0)| > 1. Porem, os funcionais x∗ em(L1(h dµ

)′sao representados por

x∗(y) =

∫yh−1u dµ

para alguma funcao u ∈ L∞(h−1 dµ), assim h−1u = x∗ ∈ X∗ e x∗ ∈ BX∗ . Lembre-se que nosqueremos demonstrar que

‖x‖X = supx∗∈BX∗

|x∗(x)|,

para isso, e suficiente provar que para ε > 0, existe x∗ ∈ BX∗ tal que

|x∗(x)| > ‖x‖X − ε. (5.1)

Se tomamos x0 = x‖x‖X−ε

, temos que ‖x0‖X > 1, logo existe x∗ ∈ BX∗ tal que x∗(x0) > 1, destefato, deduzimos a desigualdade (5.1).

Proposicao 5.12 Se X0 e X1 sao espacos de Kothe, entao

(X∗0)1−θ · (X∗1)θ ⊂ (X1−θ0 · Xθ

1)∗.

52

Demonstracao. Sejam x∗ ∈ (X∗0)1−θ · (X∗1)θ e x∗0 ∈ X∗0, x∗1 ∈ X∗1, tais que |x∗| = |x∗0|1−θ|x∗1|

θ.Seja x ∈ BX1−θ

0 ·Xθ1

arbitrario. Entao existem x0 ∈ X0 e x1 ∈ X1, tais que |x| = |x0|1−θ|x1|

θ e‖x0‖

1−θX0‖x1‖

θX1≤ 1. Como x∗0 ∈ X∗0 e x∗1 ∈ X∗1, entao |x∗0||x0|, |x∗1||x1| ∈ L1, com∫

|x∗0||x0| dµ ≤ ‖x∗0‖X∗0 e∫|x∗1||x1| dµ ≤ ‖x∗1‖X∗1 .

Agora pelos fatos de (|x∗0||x0|)1−θ ∈ L1/(1−θ), (|x∗1||x1|)θ ∈ L1/θ e pela desigualdade de Holdertemos que

∫|x||x∗| dµ =

∫(|x1||x∗1|)

θ · (|x∗0||x0|)1−θ dµ

≤( ∫|x∗1||x1| dµ

)θ·( ∫|x∗0||x0| dµ

)1−θ

≤ ‖x∗1‖θX∗1· ‖x∗0‖

1−θX∗0· ‖x1‖

θX1· ‖x0‖

1−θX0

≤ ‖x∗1‖θX∗1· ‖x∗0‖

1−θX∗0,

para todo x ∈ BX, portanto, ‖x∗‖(X1−θ0 ·Xθ

1)∗ ≤ ‖x∗1‖θX∗1· ‖x∗0‖

1−θX∗0

para todo x∗0 ∈ X∗0 e x∗1 ∈ X∗1, tais que|x∗| = |x∗0|

1−θ|x∗1|θ, assim

‖x∗‖(X1−θ0 ·Xθ

1)∗ ≤ ‖x∗‖(X∗0)1−θ·(X∗1)θ .

Isto prova que

(X∗0)1−θ · (X∗1)θ ⊂ (X1−θ0 · Xθ

1)∗.

Lema 5.13 Seja X um espaco de Kothe e 0 < θ < 1. Entao o espaco θ-potencia X(θ) (verDefinicao 2.41) satisfaz a seguintes propriedades:

• A bola fechada unitaria em X(θ) e fechada na topologia da convergencia q.s.

• Existe um h positivo em L0 tal que

‖hx‖L1 ≤ ‖x‖X(θ) ,

para todo x ∈ X(θ).

53

Demonstracao. Para provar a primeira parte tomemos uma sequencia (zn)n em BX(θ) tal queconverge q.s. para z. Imediatamente obtemos que |zn|

1/θ −→ |z|1/θ q.s., isto implica que |zn|1/θ

converge em medida relativa para |z|1/θ. Como |zn|1/θ e uma sequencia na bola unitaria de X, nos

concluimos pelo fato de X ser um espaco de Kothe, que z1/θ ∈ X e assim z ∈ X(θ).

Provaremos agora a segunda parte. De fato, seja z ∈ X(θ). Como X e um espaco de Kothe, entaoexiste h > 0 tal que

‖hx‖L1 ≤ ‖x‖X para todo x ∈ X,

em particular ∥∥∥∥h|z|1/θ∥∥∥∥

L1≤

∥∥∥∥|z|1/θ∥∥∥∥X,

consequentemente, ∥∥∥∥h|z|1/θ∥∥∥∥

L1≤

∥∥∥∥|z|1/θ∥∥∥∥X,

portanto, ∥∥∥∥h|z|1/θ∥∥∥∥θ

L1≤ ‖z‖X(θ) ,

logo, ( ∫h|z|1/θ dµ

)θ≤ ‖z‖X(θ) .

Como S e σ-finita, entao existe uma sequencia de conjuntos mensuraveis disjuntos (S n)n talque 0 < µ(S k) < ∞ e S =

⋃k∈N

S k, portanto,∥∥∥∥h1S k |z|1/θ

∥∥∥∥L1≤

∥∥∥∥1S k |z|1/θ

∥∥∥∥X,

logo, ∥∥∥∥h1S k |z|1/θ

∥∥∥∥θL1≤

∥∥∥∥1S k |z|1/θ

∥∥∥∥θX,

consequentemente, ( ∫S k

h|z|1/θ dµ)θ≤ ‖z‖X(θ) ,

finalmente, (µ(S k) ·

1µ(S k)

∫S k

h|z|1/θ dµ)θ≤ ‖z‖X(θ) ,

e como 0 < θ < 1, a desigualdade de Jensen (ver Teorema 2.55) garante que

µ(S k)θ−1∫

S k

hθ|z| dµ ≤(µ(S k) ·

1µ(S k)

∫S k

h|z|1/θ dµ)θ,

54

escrevendo ck =1

µ(S k)θ−1 , obtemos que

‖h · 1S kz‖L1 ≤ ck‖z‖X(θ) .

Definindo

h(s) =1S k · h(s)

2k · ck, se s ∈ S k,

temos que

‖hz‖L1 =

∞∑k=1

12k · ck

‖h1S kz‖L1

≤

∞∑k=1

12k · ck

· ck‖z‖X(θ)

= ‖z‖X(θ) .

Proposicao 5.14 Se (X0, X1) e um par interpolados de espacos de Kothe, entao Xθ = X1−θ0 Xθ

1 eum espaco de Kothe para 0 < θ < 1.

Demonstracao. Vamos aprovar o teorema por partes:Passo 1. Primeiro, encontremos h ∈ L0 positivo tal que ‖hx‖L1 ≤ ‖x‖Xθ para todo x ∈ Xθ. Pelahipotese de X0 e X1 serem espacos de Kothe, existem h0, h1 ∈ L0 positivos tais que ‖h0x0‖L1 ≤

‖x0‖X0 para todo x0 ∈ X0 e ‖h1x1‖L1 ≤ ‖x‖X1 para todo x1 ∈ X1. Entao , para todo x0 e x1 tais que|x| = |x0|

1−θ|x1|θ e pela desigualdade de Holder, temos que

‖x0‖1−θX0‖x1‖

θX1≥ ‖h0x0‖

1−θL1‖h1x1‖

θL1

=

( ∫ (|h0x0|

1−θ)1/(1−θ)

dµ)1−θ ( ∫ (

|h1x1|θ)1/θ

dµ)θ

≥

∫|h0x0|

1−θ|h1x1|θ dµ

= ‖h1−θ0 hθ1x‖L1 .

Se h = h1−θ0 hθ1, nos concluimos que ‖hx‖L1 ≤ ‖x‖Xθ para todo x ∈ Xθ.

55

Passo 2. A bola unitaria BXθ contem um elemento positivo. De fato, como X0 e X1 sao espacosde Kothe, entao existem elementos positivos x0 e x1 em BX0 e BX1 , respectivamente. Definindo|x| = |x0|

1−θ|x1|θ, temos que |x| e um elemento positivo de BXθ .

Passo 3. Afirmamos que

se |y| ≤ |x|, com x ∈ Xθ, entao y ∈ Xθ e ‖y‖Xθ ≤ ‖x‖Xθ .

De fato, sejam x0 e x1 tais que |x| = |x0|1−θ|x1|

θ. Agora(|y||x1|

−θ)|x1|

θ ≤ |x0|1−θ|x1|

θ,

o que implica |y0| =(|y||x1|

−θ)1/(1−θ)

≤ |x0|, assim y0 ∈ X0 e ‖y0‖X0 ≤ ‖x0‖X0 . Se escrevemos|y1| = |x1|, obtemos que |y| = |y0|

1−θ|y1|θ, isto e, y ∈ Xθ. E imediato ver que

‖y‖Xθ ≤ ‖y0‖1−θX0‖y1‖

θX1≤ ‖x0‖

1−θX0‖x1‖

θX1,

portanto, ‖y‖Xθ ≤ ‖x0‖1−θX0‖x1‖

θX1

para todo x0 e todo x1 tais que |x| = |x0|1−θ|x1|

θ, logo‖y‖Xθ ≤ ‖x‖Xθ .

Passo 4. Provaremos que BXθ e fechada em L0. Seja (xn)n uma sequencia em BXθ que convergeem medida para x. Vejamos que x ∈ BXθ . De fato, como (xn)n converge em medida para x, entao, existe uma subsequencia de (xn)n que converge q.s. para x, que denotamos por (xn)n. Existemsequencias (vn)n e (wn)n nao negativas em X0 e X1, respectivamente, tais que ‖vn‖

1−θX0

= 1 e

‖wn‖θX1≤ 1 +

12n com |xn| = v1−θ

n wθn. Seja X(θ)

1 o espaco θ-potencia de espaco X1 (ver Subsecao

2.3.1). Lembre-se que o espaco X(θ)1 e definido por

X(θ)1 = x ∈ L0 : |x|1/θ ∈ X1

e normado por

‖x‖X(θ)1

=∥∥∥∥|x|1/θ∥∥∥∥θ

X1.

Se denotamos wn = wθn, temos que wn ∈ X(θ)

1 e ‖wn‖X(θ)1

= ‖wn‖θX1, portanto ‖wn‖X(θ)

1≤ 1 +

12n .

Doravante, dividimos a prova do Passo 4. para facilitar sua compreensao.

Passo 4.A. Sejam (vn)n e (wn)n do Passo 4. Demonstraremos que existem subsequencias(w(n,n))n e (v(n,n))n, de (wn)n e (vn)n, respectivamente, com |x| = w(n,n)v(n,n) e elementos w ≥ 0e v ≥ 0 em BX(θ)

1e BX(1−θ)

0, respectivamente, tais que para toda subsequencia (gnk)k de (w(n,n))n

1n

n∑k=1

gnk

q.s.−→ w

56

e toda para toda subsequencia ( fnk)k de (v(n,n))n

1n

n∑k=1

fnk

q.s.−→ v.

De fato, o espaco S pode-se escrever como S =⋃k∈N

S k, onde S k ⊆ S k+1 e µ(S k) < ∞ para

todo k ∈ N (lembre-se que µ e σ-finita). Pelo Lema 5.13, item 2 e pelo fato de ser (wn)n umasequencia limitada em X(θ)

1 , obtemos que (hwn)n e uma sequencia limitada em L1(S , µ), portanto,limitada em L1(S 1, µ), assim, pelo teorema de Komlos (ver Teorema 2.57), encontramos umasubsequencia (w(1,n))n de (wn)n tal que para qualquer subsequencia (gn)n de (w(1,n))n, a sequencia(hgn)n e Cesaro-convergente para algum g1 ∈ L1(S 1, µ) em S 1, isto e,

1n

n∑k=1

hgkq.s.−→ g1,

se n→ ∞.Similarmente (hw(1,n))n e limitada em L1(S 2, µ), usando novamente o teorema de Komlos, en-contramos uma subsequencia (w(2,n))n de (w(1,n))n tal que para qualquer subsequencia (gn)n de(w(2,n))n, a sequencia (hgn)n e Cesaro-convergente para algum g2 ∈ L1(S 2, µ) em S 2,isto e,

1n

n∑k=1

hgkq.s.−→ g2,

se n→ ∞.Observe que g2 = g1 em S 1, pois S 1 ⊆ S 2. Usando inducao, encontramos para j ∈ N fixo, umasubsequencia (w( j,n))n de (w( j−1,n))n, portanto de (wn)n, e g j ∈ L1(S j, µ), com g j = g j−1 em S j−1,tal que para toda subsequencia (gn)n de (w( j,n))n a sequencia (hgn)n e Cesaro-convergente para g j

em S 1, isto e,

1n

n∑k=1

hgkq.s.−→ g j,

se n→ ∞.Assumamos sem perda de generalidade que w( j+1,n) = w( j,n) para todo n ≤ j + 1. Definamos umafuncao g em S como g(s) := g j(s) se s ∈ S j. Ela esta bem definida, pois se s ∈ S j ∩ S j+1, entaog j(s) = g j+1(s). Tambem, g assim definida esta em L0. Agora tomando a subsequencia diagonal(w(n,n))n, obtemos uma subsequencia de (w( j,n))n para j ∈ N tal que para qualquer subsequencia(gn)n de (w(n,n))n, obtemos que

1n

n∑k=1

hgkq.s.−→ g

em S . Demonstraremos agora que gh−1 ∈ X(θ)1 . De fato, seja Gn =

1n

∑nk=1 gk

57

‖Gn‖X(θ)1≤

1n

n∑k=1

‖gk‖X(θ)1

≤1n

n∑k=1

(1 +12k )

≤ 1 +1n.

Fixemos j ∈ N. Entao ‖Gn‖X(θ)1≤ 1 +

1j

sempre que n ≥ j. Se definimos a subsequencia

Gn = G j+n, de (Gn)n, temos que ‖Gn‖X(θ)1≤ 1 +

1j

para todo n ∈ N. Tambem obtemos que

Gnq.s.−→ h−1g, e por BX(θ)

1ser fechada na topologia da convergencia q.s. (ver Lema 5.13, item 1),

concluimos que h−1g ∈ X(θ)1 e

‖h−1g‖X(θ)1≤ 1 +

1j

para j natural arbitrario, logo ‖h−1g‖X(θ)1≤ 1. Denotemos por w = h−1g ≥ 0. Resumindo, existe

uma subsequencia (w(n,n))n de (wn)n e um elemento w ≥ 0 em BX(θ)1

tal que para toda subsequencia(gnk)k de (w(n,n))n, temos que

1n

n∑k=1

gnk

q.s.−→ w.

Usando o mesmo argumento, encontramos uma subsequencia (v(n,n))n de (vn)n e um elementov ≥ 0 em BX(1−θ)

0tal que para toda subsequencia ( fnk)k de (v(n,n))n

1n

n∑k=1

fnk

q.s.−→ v

com |x| = w(n,n)v(n,n).

Passo 4.B. Vejamos que x ∈ BXθ . De fato, Como |x| = w(n,n)v(n,n),

1n

n∑k=1

w(k,k)q.s.−→ w

e1n

n∑k=1

v(k,k)q.s.−→ v,

58

a Proposicao 2.77 implica que |x| ≤ wv. Afirmamos que existe w ∈ X(θ)1 tal que |x| = wv. De

fato, pela desigualdade|x|v≤ w e pelo fato de ser X(θ)

1 um espaco de Banach reticulado, temos

que|x|v∈ X(θ)

1 e ∥∥∥∥ |x|v ∥∥∥∥X(1/θ)

1

≤ ‖w‖X(1/θ)1≤ 1.

Nos demonstramos que existem w ∈ X(θ)1 e v ∈ X(1−θ)

1 tais que |x| = wv, com w ∈ BX(θ)1

ev ∈ BX(1−θ)

0. Se escrevemos w1/θ = u1 e v1/(1−θ) = u0, temos que ui ∈ BXi para i = 0, 1 e

|x| = u1−θ0 uθ1,

daquı x ∈ BXθ .

Proposicao 5.15 Se X e um espaco de Kothe p-convexo, entao o espaco X(p), que denotamospor Xp, e um espaco de Kothe.

Demonstracao. Vamos dividir a prova em partes:

Passo 1. Xp e um espaco normado com ‖ · ‖Xp . De fato,

0 = ‖x‖Xp =∥∥∥∥|x| 1p ∥∥∥∥p

X⇔ |x| = 0⇔ x = 0.

Para λ escalar,temos que

‖λx‖Xp =∥∥∥∥|λx|

1p

∥∥∥∥p

X= |λ|

∥∥∥∥|x| 1p ∥∥∥∥p

X= |λ|‖x‖Xp .

Vamos provar a desigualdade triangular. De fato, como X e um espaco p-convexo, segue-se∥∥∥∥(|x0|p + |y0|

p)1/p∥∥∥∥

X≤

(‖x0‖

pX + ‖y0‖

pX

)1/p(5.2)

para todo x0, y0 ∈ X. Se x, y ∈ Xp, entao |x|1/p, |y|1/p ∈ X, substituindo x0, y0 respectivamentepor |x|1/p, |y|1/p em (5.2), obtemos que

∥∥∥∥(|x| + |y|)1/p∥∥∥∥

X≤

(∥∥∥∥|x|1/p∥∥∥∥p

X+

∥∥∥∥|y|1/p∥∥∥∥p

X

)1/p

(5.3)

Por outro lado, |x+y|1/p ≤ (|x|+ |y|)1/p e por X ser um espaco de Kothe, deduzimos∥∥∥∥|x+y|1/p

∥∥∥∥X≤∥∥∥∥(|x| + |y|)1/p

∥∥∥∥X, desta desigualdade e (5.3), segue-se que

59

∥∥∥∥|x + y|1/p∥∥∥∥

X≤

(∥∥∥∥|x|1/p∥∥∥∥p

X+

∥∥∥∥|y|1/p∥∥∥∥p

X

)1/p

(5.4)

e assim‖x + y‖Xp ≤ ‖x‖Xp + ‖y‖Xp .

Passo 2. A bola unitaria BXp e fechada em L0. De fato, seja (xn)n uma sequencia em BXp queconverge en medida para x. Note que |xn|

1/p converge em medida para |x|1/p. Como (|xn|1/p)n e

uma sequencia em BX, segue-se que |x|1/p ∈ BX, assim x ∈ BXp .

Passo 3. Demonstraremos que existe h positivo tal que

‖hx‖L1 ≤ ‖x‖Xp

para todo x ∈ Xp. De fato, por X ser um espaco de Kothe, existe h positiva tal que

‖hy‖L1 ≤ ‖y‖X

para todo y ∈ X. Suponha x ∈ Xp tal que ‖x‖Xp = 1. Entao |x|1/p ∈ X e segue-se que∥∥∥∥h|x|1/p∥∥∥∥

L1≤ 1,

isto implica que existe um conjunto A, com µ(A) = 0, tal que

h(s) |x(s)|1/p ≤ 1

para todo s ∈ S/A, portantohp(s) |x(s)| ≤ 1,

se s ∈ S/A. Agora, por µ ser uma medida σ-finita, escrevemos S = ∪k∈N

S k, onde 0 < µ(S k) < ∞e (S k)k e uma sequencia de conjuntos disjuntos. Note que

‖hpx1S k‖L1 ≤ µ(S k).

Definindo

h(s) =hp(s)

2k · µ(S k), se s ∈ S k,

obtemos que

‖xh‖L1 =

∞∑k=1

∫S k

|x(s)| h(s) dµ

=

∞∑k=1

∥∥∥∥x ·hp · 1S k

2k · µ(S k)

∥∥∥∥L1

≤ 1.

60

Agora para x ∈ Xp, com x , 0, temos que∥∥∥∥ x‖x‖Xp

· h∥∥∥∥

L1≤ 1,

assim ‖xh‖L1 ≤ ‖x‖Xp .

Passo 4. Verifiquemos a condicao da definicao de espaco de Kothe. De fato, suponhamos|x(s)| ≤ |y(s)| para quase todo s ∈ S com x mensuravel e y ∈ Xp. Observe que |x(s)|1/p ≤ |y(s)|1/p

para quase todo s ∈ S , onde |y|1/p ∈ X, pelo fato de X ser um espaco de Kothe, temos que|x|1/p ∈ X e ∥∥∥∥|x|1/p

∥∥∥∥p

X≤

∥∥∥∥|y|1/p∥∥∥∥p

X

isto mostra x ∈ Xp e ‖x‖Xp ≤ ‖y‖Xp .

61

Capıtulo 6O indicador de um espaco de funcoesg-convexo

Neste capıtulo introduzimos o conceito de indicador de um espaco de funcoes g-convexo eprovamos algumas das suas propriedades.

Definicao 6.1 (Semi-ideal) Um subconjunto T do cone L+1 e chamado de semi-ideal, se T e

um cone e verifica que

se 0 ≤ f ≤ g, com g ∈ T , implica que f ∈ T .

Alem disso, se T contem um elemento estritamente positivo, entao T e chamado semi-idealestrito.

Definicao 6.2 (Semi-ideal associado a um espaco de funcoes g-convexos) Seja X um espacode funcoes g-convexos. Para cada x ∈ X, consideremos o conjunto A = s ∈ S : |x(s)| > 1.Nos definimos TX como o semi-ideal de todos os f ∈ L+

1 tais que

•

supx∈BX

∫Af log |x| dµ < ∞, (6.1)

• e existe x ∈ BX tal que ∫A

f | log |x|| dµ < ∞. (6.2)

Denotamos simplesmente por∫

f log+ |x| dµ a integral∫

Af log |x| dµ, onde A = s ∈ S :

|x(s)| > 1.

62

6.1 Propriedades dos indicadores

Definicao 6.3 (Indicador de um espaco de funcoes g-convexo) Para f ∈ TX definimos o in-dicador de X, por


∫Sf log |x| dµ. (6.3)

Observe que a definicao de TX implica que −ıΦX( f ) ∈ R para todo f ∈ TX.

Denotamos como L log L o subconjunto de L1 tal que f (1 + | log | f ||) ∈ L1.

6.1 Propriedades dos indicadoresProposicao 6.4 Se 1 ≤ p < ∞, entao TLp = (L log L)+ e

ΦLp( f ) =1p

∫S

f logf‖ f ‖L1

dµ.

Demonstracao. Suponhamos f ∈ (L log L)+, isto e, f (1 + | log | f ||) ∈ L1 e f > 0. Sem perdade generalidade podemos supor ‖ f ‖L1 = 1. Seja ‖x‖Lp ≤ 1. Entao

∫f log+ |x| dµ =

1p

∫A

f log |x|p dµ

=1p

∫A

f log f dµ +1p

∫A

f log|x|p

fdµ

≤1p

∫A

f log | f | dµ +1p

∫A|x|p dµ

≤1p

∫A

f | log | f || dµ +1p‖x‖p

Lp

≤1p

∫A

f | log | f || dµ +1p,

logo∫

f log+ |x| dµ < ∞, portanto, (6.1) e verdadeira. Para (6.2) basta tomar x = f 1/p. Nosmostramos que (L log L)+ ⊂ TLp .Reciprocamente, seja f ∈ TLp e suponha sem perda de generalidade que ‖ f ‖L1 = 1. Agora por(6.2), existe x ∈ BLP tal que f log |x| e integravel. Pela desigualdade de Jensen (ver Teorema2.55), temos que ∫

f log|x|p

fdµ ≤ log

∫|x|p dµ = log ‖x‖p

Lpdµ ≤ 0

63


e desta desigualdade concluimos∫f log |x|p dµ ≤

∫f log f dµ,

isto e ∫f log |x| dµ ≤

∫f log f 1/p dµ.

A integral da direita existe, pois (6.1) vale e em particular vale para f 1/p ∈ BLp . Logo

ΦLp( f ) =1p

∫S

f log f dµ.

Observe que ΦX e uma funcao homogenea, portanto, a igualdade vale para todo f , 0.

Observe que denotando Λ = ΦL1 , temos que ΦLp =1p

Λ.

Teorema 6.5 (Fatoracao de Lozanovskii) Seja X um espaco de Kothe e f ∈ L1(µ). Entaoexiste um unico par (x, x∗) em X × X∗, com x ≥ 0, ‖x‖X = 1, ‖x∗‖X∗ = ‖ f ‖L1 e supp(x) =

supp(x∗) = supp( f ) tal que f = x · x∗.

A prova deste teorema pode ser vista na referencia [25]. Por simplicidade, vamos dar uma provada fatoracao de Lozanovskii para espacos de Banach de sequencias (Ver secao 2.3.3).

Teorema 6.6 (Fatoracao de Lozavovskii para E.B.S) Sejam X um espaco de Banach desequencias e u ∈ l1, u ≥ 0 com ‖u‖l1 = 1. Entao existem x ∈ BX e x∗ ∈ BX∗ , x ≥ 0, x∗ ≥ 0tais que u = x · x∗. Os elementos x∗ e x sao unicos se assumirmos que xn = x∗n = 0 sempre queun = 0.

Demonstracao. Assumamos primeiro que u ∈ c00 fixo, onde c00 denota o espaco dassequencias de suporte finito. Escolhamos x ∈ BX, com x ≥ 0, tal que, maximize

∞∑n=1

un log |xn|,

escrevendo por conveniencia log 0 := 0. Note que tal x existe, pois a funcao

(x1, x2, . . . , xn) 7→∞∑

n=1

un log |xn|

definida em Rn atinge um maximo em BRn pelo fato de ser contınua. Se ξ ∈ BX com ξ ≥ 0,entao

64


∞∑n=1

un log(xn + t(ξn − xn)

)≤

∞∑n=1

un log xn

para todo 0 ≤ t ≤ 1, pois x + t(ξ − x) ∈ BX devido a que BX e convexa e pela forma como nosescolhemos x. Observe que se un > 0, entao xn > 0. Derivando a expressao

∞∑n=1

un log(xn + t(ξn − xn)

)(6.4)

em relacao a t obtemos ∑un,0

unξn − xn

xn + t(ξn − xn).

A expressao (6.4) tem um maximo em t = 0, portanto a derivada nesse ponto e nao positiva,isto e, ∑

un,0

unξn − xn

xn≤ 0. (6.5)

Definamos x∗n =un

xnse xn , 0 e zero nos outros casos. Da desigualdade (6.5), temos que

∞∑n=1

ξnx∗ ≤∞∑

n=1

un ≤ 1,

assim ‖x∗‖X∗ ≤ 1. Com isso, provamos a parte da existencia do teorema.Agora provaremos a unicidade do teorema. De fato, suponha que existam y ∈ BX e y∗ ∈ BX∗ taisque y ≥ 0, y∗ ≥ 0 e u = y · y∗. Pela convexidade das bolas obtemos que

x + y2∈ BX e

x∗ + y∗

2∈ BX∗

logo,

∞∑n=1

14

(xn + yn)(x∗n + y∗n) ≤∥∥∥∥ x∗n + y∗n

2

∥∥∥∥X∗≤ 1. (6.6)

Usando a desigualdade acima, os fatos u = x · x∗ = y · y∗ e∑n

k=1 un = 1, provamos que∞∑

n=1

(xny∗n + ynx∗n) ≤ 2,

sustituindo y∗n =un

yne x∗n =

un

xn, com xnyn , 0, e un , 0 na ultima desigualdade, obtemos que

∑xnyn,0

( x2nun + y2

nun

xnyn

)≤ 2,

65


logo, ∑xnyn,0

( x2nun + y2

nun

xnyn− 2un

)≤ 0,

portanto, ∑xnyn,0

un

( x2n + y2

n − 2xnyn

xnyn

)≤ 0,

consequentemente, ∑xnyn,0

un(xn − yn)2

xnyn≤ 0.

Da ultima desigualdade obtemos xn = yn. Logo x∗n = y∗n.

Agora suponhamos que u ∈ l1, com ‖u‖L1 = 1 e un = (u1, . . . , un, 0, 0, . . .) ∈ c00. Note que|uk

n| ≤ uk, para todo k ∈ N. Portanto ‖un‖l1 ≤ ‖u‖l1 = 1. Entao existem xn ∈ BX e x∗n ∈ BX∗ , comxn ≥ 0, x∗n ≥ 0, tais que

un

‖un‖l1= xn · x∗n,

onde un = ‖un‖l1 xn · x∗n. Se definirmos xn := ‖un‖l1 xn obteremos ‖xn‖X ≤ 1 e un = xn · x∗n. Como|x1

n| ≤ C1‖xn‖X ≤ C1 para todo n ∈ N (lembre-se que para todo k ∈ N, o funcional x 7−→ xk

e contınuo), entao existe uma subsequencia de (x1n)n tal que x1

n → y1 quando n → ∞, ondey1 ≥ 0. Por inducao demonstramos que existe uma subsequencia de (xn)n que denotaremos por(xn)n, tal que, xk

n → yk se n → ∞ para k ∈ N. Assim, xn converge pontualmente para y, logoy ∈ BX, pois X e um E.B.S. Da mesma forma, provamos que existe uma subsequencia de (x∗n)n,que denotaremos por (x∗n)n, que converge pontualmente para algum y ∈ BX∗ . Logo, un = xn · x∗nconverge pontualmente para y · y∗. Porem un converge em norma de l1 para u, logo u = y · y∗. Aunicidade pode ser provada de forma analoga ao caso u ∈ c00.

Observacao 6.7 Se f e uma funcao de valor real, entao x∗ e uma funcao de valor real.

O seguinte resultado relaciona os indicadores de um espaco e seu dual de Kothe.

Proposicao 6.8 Se X um espaco de Kothe, entao

ΦX( f ) + ΦX∗( f ) = Λ( f ) (6.7)

para todo f ∈ TX ∩TX∗

Demonstracao. Seja z ∈ BL1 . Pela fatoracao de Lozanovskii temos que existem x ∈ BX, y ∈

BX∗ nao negativos tais que|z|‖z‖

= xy. Logo

66


∫f log |z| dµ =

∫f log |xy| dµ +

∫f log ‖z‖ dµ

≤

∫f log |x| dµ +

∫f log |y| dµ

≤ ΦX( f ) + ΦX∗( f ),

portanto Λ( f ) ≤ ΦX( f ) + ΦX∗( f ).Reciprocamente, suponha x ∈ BX e y ∈ BX∗ . Pelo fato |xy| ∈ L1(µ), temos que∫

f log |x| dµ +

∫f log |y| dµ =

∫f log |xy| dµ

≤ Λ( f )

e entao vale a desigualdade inversa.

Se ‖ f ‖ = 1, entao escrevemos ΦX como ΦX( f ) =∫

f log |x| dµ, onde f = xy e a fatoracao deLozanovskii. De fato, para ξ ∈ BX∫

f log |ξ| dµ =

∫f log |ξy| dµ −

∫f log |y| dµ

≤ ΦL1( f ) −∫

f log |y| dµ

=

∫f log f dµ −

∫f log |y| dµ

=

∫f log |x| dµ.

Proposicao 6.9 Sejam X0, X1 espacos de Kothe e Xθ = X1−θ0 Xθ

1 um espaco interpolado com0 < θ < 1. Entao

ΦXθ( f ) = (1 − θ) ΦX0( f ) + θΦX1( f ) (6.8)

Demonstracao. Seja x ∈ BXθ . Existem x0 e x1 em BX0 e BX1 respectivamente, tais que|x| = |x0|

1−θ|x1|θ. Entao∫

f log |x| dµ =

∫f log |x0|

θ|x1|1−θ dµ

= (1 − θ)∫

f log |x0| dµ + θ

∫f log |x1| dµ

≤ (1 − θ) ΦX0( f ) + θΦX1( f ).

67


Com isso provamos que ΦXθ( f ) ≤ (1 − θ) ΦX0( f ) + θΦX1( f ). Supondo x0 em BX0 e x1 em BX1 ,temos que

(1 − θ)∫

f log |x0| dµ + θ

∫f log |x1| dµ =

∫f log |x0|

θ|x1|1−θ dµ

≤ ΦXθ( f ),

portanto, ΦXθ( f ) ≥ (1 − θ) ΦX0( f ) + θΦX1( f ).

Proposicao 6.10 Se X um espaco de Kothe p-convexo, entao ΦXp = pΦX.

Demonstracao. Note que se X e um espaco de Kothe p-convexo, entao Xp e um espaco deKothe. Portanto,

ΦXp( f ) = sup‖x‖Xp≤1

∫f log |x| dµ

= p sup‖x‖Xp≤1

∫f log |x|1/p dµ

= p sup‖|x|1/p‖X≤1

∫f log |x|1/p dµ

≤ p sup‖y‖X≤1

∫f log |y| dµ

= p ΦX( f ).

Mais ainda,

ΦX( f ) = sup‖x‖X≤1

∫f log |x| dµ

=1p

sup‖x‖X≤1

∫f log |x|p dµ

=1p

sup∥∥∥∥(|x|p)1/p

∥∥∥∥p

X≤1

∫f log |x|p dµ

68


=1p

sup∥∥∥∥|x|p∥∥∥∥Xp≤1

∫f log |x|p dµ

≤1p

sup‖y‖Xp≤1

∫f log |y| dµ

=1p

ΦXp( f ).

Logo ΦXp = pΦX.

Definicao 6.11 (Funcional semilinear) Seja T um semi-ideal de L+1 . Uma funcao Φ : T −→

C e chamada de funcional semilinear, se

1. Φ e homogeneo positivo, isto e, Φ(λ f ) = λΦ( f ) para todo λ ≥ 0.

2. Existe uma constante δ(Φ) > 0 tal que

|4Φ( f , g) | ≤ δ(Φ) · (‖ f ‖L1 + ‖g‖L1),

para todo f , g ∈ T , onde 4Φ( f , g) = Φ( f ) + Φ(g) − Φ( f + g).

3. Se f ∈ T e ( fn)n e uma sequencia de T tal que 0 ≤ fn ≤ f para todo n ∈ N, comlimn→∞‖ fn‖L1 = 0, entao lim

n→∞Φ( fn) = 0.

Vamos denotar como δ(Φ) a menor constante que verifica essa condicao .

Segue de forma imediata da definicao que se Φ,Ψ sao funcionais lineares e λ e um numero real,entao λΦ + Ψ e um funcional semilinear.

Observacao 6.12 Vamos denotar por

∆Φ

(f1, . . . , fn

)=

n∑k=1

Φ( fk) − Φ( n∑

k=1

fk

).

E imediato provar que se Φ, Ψ : T −→ R sao funcionais homogeneos e λ ∈ R, entao

∆Ψ+λΦ

(f1, . . . , fn

)= ∆Ψ

(f1, . . . , fn

)+ λ∆Φ

(f1, . . . , fn

).

Por inducao, prova-se que ∣∣∣∣∆Ψ

(f1, . . . , fn

)∣∣∣∣ ≤ (n − 1)δ(Φ)n∑

k=1

‖ fk‖L1 .

69


Definicao 6.13 (Funcional convexo e concavo ) Um funcional Φ : T −→ R homogeneopositivo sera chamado de convexo se, e somente se, ∆Φ( f , g) > 0. O funcional Φ sera chamadode concavo se, e somente se, ∆Φ( f , g) 6 0.

Note que a soma de funcionais convexos (respectivamente concavo) e convexa respectivamenteconcavo).

Definicao 6.14 (Funcional K-contınuo) Um funcional semilinear Φ : T −→ C e dito K-contınuo, se

limε→0

sup‖ f ‖L1≤1

sup‖g‖L1≤ε

|∆Φ( f , g)| = 0.

Teorema 6.15 Seja X um espaco de funcoes g-convexo. Entao ΦX e um funcional semilinear,K-contınuo e convexo. Se X e um espaco de Kothe, entao δ(ΦX) ≤ log 2.

Demonstracao. Demonstraremos o teorema por partes.

Passo 1. Afirmamos que ΦX e um funcional semilinear.

Passo 1.A. ΦX e homogeneo positivo. Imediato.

Passo 1.B. Provaremos que ΦX verifica 2. da definicao de funcional semilinear.Sejam f , g ∈ TX e ε > 0. Entao existem x e y ∈ BX tais que∫

f log |x| dµ ≥ ΦX( f ) −ε

2,

e ∫g log |y| dµ ≥ ΦX(g) −

ε

2.

Para 0 < τ < ∞, definamos

vτ = (1 + η(τ))−1 max (|x|, τ|y|),

onde η(τ) e o numero introduzido em Definicao 5.4. Note que vτ ∈ BX pois se A = s : |x(s)| ≥τ|y(s)| e B = s : |x(s)| < τ|y(s)|. Entao pelo fato supp(|x|1A) ∩ supp(τ|y|1B) = ∅, temos que

‖max (|x|, τ|y|)‖X = ‖ |x|1A + τ|y|1B ‖X

≤ 1 + η(τ).

Mas ainda,

70


ΦX( f + g) ≥∫

( f + g) log |vτ| dµ

=

∫f log |vτ| dµ +

∫g log |vτ| dµ

≥

∫f log(1 + η(τ))−1|x| dµ +

∫g log τ(1 + η(τ))−1|y| dµ

≥ ΦX( f ) + ΦX(g) − ε − ‖ f ‖L1 log (η(τ) + 1) − ‖g‖L1 log (η(τ) + 1) + ‖g‖L1 log τ,

para todo ε > 0, isto e,

∆ΦX ( f , g) ≤ (‖ f ‖L1 + ‖g‖L1) log (η(τ) + 1) − ‖g‖L1 log τ, (6.9)

para todo τ > 0 e todo f , g ∈ TX. Em particular, se τ = 1, temos que ΦX verifica 2. da definicaode funcional semilinear. No Passo 2. demostramos que 0 ≤ ∆ΦX ( f , g) para todo f , g ∈ TX.

Passo 1.C. Agora demonstremos que dados f ∈ TX e ( fn)n uma sequencia de TX tais que0 ≤ fn ≤ f para todo n ∈ N, com lim

n→∞‖ fn‖L1 = 0, temos que lim

n→∞ΦX( fn) = 0 (parte 3. da

definicao de funcional semilinear). De fato, definamos o espaco

F =

g ∈ L1 : ‖g‖F = sup

x∈BX

∫|g| log+ |x| dµ + ‖g‖L1 < ∞

.

Logo (F, ‖ · ‖F) e um espaco normado e verifica:

|h| ≤ |g| ⇒ ‖h‖F ≤ ‖g‖F . (6.10)

Mostraremos que F e um espaco com norma de ordem contınua (Ver Subsecao 2.3.2). PelaProposicao 2.45 basta verificar que dadas g ≥ 0 e uma sequencia de conjuntos mensuraveisdisjuntos (S n)n, temos que ‖g · 1S n‖F → 0, se n → ∞. Como L1 e um espaco com norma deordem contınua, segue-se que ‖g · 1S n‖L1 → 0. Portanto e suficiente verificar que

supx∈BX

∫|g · 1S n | log+ |x| dµ→ 0, se n→ ∞.

Suponha por contradicao que

supx∈BX

∫|g · 1S n | log+ |x| dµ9 0,

71


isto e, existe uma sequencia de conjuntos mensuraveis disjuntos (S n)n e ε > 0 tais que

supx∈BX

∫S n

g log+ |x| dµ > ε.

Portanto para cada n ∈ N, existe xn ∈ BX tal que

ε <

∫S n

g log+ |xn| dµ.

Vamos definir a sequencia yn = max(|x1|, |x2|, ..., |xn|). Agora, escolhendo ρ > 0 e β > 1oportunos obtemos que ‖yn‖X ≤ βn1/ρ. Isto e, β−1n−1/ρyn ∈ BX. Portanto,

ΦX(g) ≥∫

g log+ |β−1n−1/ρyn| dµ

=

∫g log+ |yn| dµ − ‖g‖L1

(log β +

1ρ

log n)

≥

n∑k=1

∫S k

g log+ |yn| dµ − ‖g‖L1

(log β +

1ρ

log n)

≥

n∑k=1

∫S k

g log+ |xk| dµ − ‖g‖L1

(log β +

1ρ

log n)

≥ nε − ‖g‖L1

(log β +

1ρ

log n),

para todo n ∈ N, o que contraria o fato de ser nε − ‖g‖L1

(log β +

1ρ

log n)

uma sequencia nao

limitada. Daqui concluimos que F e um espaco com norma de ordem contınua.Afirmamos que se ‖ · ‖F e uma norma de ordem contınua, entao ‖ fn‖F → 0. De fato, suponhapor contradicao que ‖ fn‖F 9 0, isto e, existe uma subsequencia de ( fn)n, que denotaremos por( f ′n)n, e ε > 0, tal que ‖ f ′n‖F > ε para todo n ∈ N. Agora, por hipotese ‖ f ′n‖L1 → 0. Portantoexiste uma subsequencia de ( f ′n)n, que denotamos por ( f ′′n )n, tal que f ′′n → 0 q.s. Se definirmosgn(s) = supk≥n f ′′k (s), temos que (gn)n e uma sequencia decrescente de F, com gn → 0 q.s. ef ′′n ≤ gn. Como ‖ · ‖F e uma norma de ordem contınua, obtemos que ‖gn‖F → 0. Usando aafirmacao (6.10), deduzimos que ‖ f ′′n ‖F → 0, o qual e absurdo. Portanto, ‖ fn‖F → 0, isto e,

supx∈BX

∫fn log+ |x| dµ→ 0,

e comoΦX( fn) ≤ sup

x∈BX

∫fn log+ |x| dµ,

72


temos quelim sup

n→∞ΦX( fn) ≤ 0.

Por outro lado, como f ∈ TX, entao existe x ∈ BX tal que f | log |x|| e integravel. Logofn| log |x|| ≤ f | log |x||.O Teorema da Convergencia Dominada implica que lim

n→∞

∫fn| log |x|| dµ =

0, isto e, limn→∞

∣∣∣∣ ∫ fn log |x| dµ∣∣∣∣ = 0. Como∫

fn log |x| dµ ≤ ΦX( fn),

temos quelim inf

n→∞ΦX( fn) ≥ 0.

Com isso, nos provamos que limn→∞

ΦX( fn) = 0. Note que ate o momento nos demonstramos queΦX e semilinear.

Passo 2. Provaremos que ΦX e convexo. De fato, seja x em BX. Logo

∫( f + g) log |x| dµ =

∫f log |x| dµ +

∫g log |x| dµ

≤ ΦX( f ) + ΦX(g),

portanto ∫( f + g) log |x| dµ ≤ ΦX( f ) + ΦX(g),

para todo x ∈ BX. Logo ∆ΦX ( f , g) ≥ 0 para todo f , g ∈ TX.

Passo 3. Provaremos que ΦX e K-contınuo. De fato, no Passo 1., nos provamos que ΦX

verifica

∆ΦX ( f , g) ≤ (‖ f ‖L1 + ‖g‖L1) log (η(τ) + 1) − ‖g‖L1 log τ.

(ver desigualdade (6.9)).

Supondo ‖ f ‖L1 ≤ 1 e ‖g‖L1 ≤ ε, obtemos que

0 ≤ sup‖ f ‖L1≤1

sup‖g‖L1≤ε

∆ΦX ( f , g) ≤ (1 + ε) log (η(τ) + 1) − ε log τ,

portanto0 ≤ lim

ε→0sup‖ f ‖L1≤1

sup‖g‖L1≤ε

∆ΦX ( f , g) ≤ log (η(τ) + 1),

73


se τ→ 0, obtemos quelimε→0

sup‖ f ‖L1≤1

sup‖g‖L1≤ε

∆ΦX ( f , g) = 0.

Passo 4. No caso em que X seja um espaco de Kothe, obtemos que η(τ) ≤ τ (ver Observacao5.5, parte 3.), logo da desigualdade

∆ΦX ( f , g) ≤ (‖ f ‖L1 + ‖g‖L1) log (η(τ) + 1) − ‖g‖L1 log τ,

para todo τ > 0 e todo f , g ∈ TX, demonstrada no Passo 1. (ver desigualdade (6.9) ) temos que

∆ΦX ( f , g) ≤ (‖ f ‖L1 + ‖g‖L1) log (τ + 1) − ‖g‖L1 log τ,

para todo f , g ∈ TX. Se τ = 1, entao

∆ΦX ( f , g) ≤ log 2 · (‖ f ‖L1 + ‖g‖L1)

para todo f , g ∈ TX, isto e, δ(ΦX) ≤ log 2.

Teorema 6.16 Seja T um semideal e Φ um funcional semilinear em T . Entao

• Para todo f ∈ T , Φ e limitado em [0, f ].

• Se fn ∈ [0, f ] e limn→∞‖ fn − g‖L1 = 0, entao

lim supn→∞

|Φ( fn) − Φ(g)| ≤ 2δ(Φ) · ‖ f ‖L1 .

• Se Φ e K-contınuo, entao Φ e contınuo em [0, f ] com a norma ‖ · ‖L1 .

Demonstracao.

• Sejam f ∈ T , Γ( f ) = sup|Φ(g)| : 0 ≤ g ≤ f

. Vejamos que Γ( f ) < ∞. Suponhamos

que Γ( f ) = ∞. Entao existe g ∈ [0, f ] tal que

|Φ(g)| > 3|Φ( f )| + δ(Φ) · ‖ f ‖L1 + 1.

Agora, pelo fato de Φ ser semilinear e denotando δ := δ(Φ), temos que

|Φ( f − g) + Φ(g) − Φ( f )| ≤ δ (‖ f − g‖L1 + ‖g‖L1) = δ ‖ f ‖L1 ,

o que implica|Φ(g)| − |Φ( f )| − δ ‖ f ‖L1 ≤ |Φ( f − g)|.

Note que

74


2|Φ( f )| + 1 = (3|Φ( f )| + δ ‖ f ‖L1 + 1) − |Φ( f )| − δ ‖ f ‖L1

< |Φ(g)| − |Φ( f )| − δ ‖ f ‖L1

≤ |Φ( f − g)|.

Resumindo, existe g ∈ [0, f ] tal que 2|Φ( f )| + 1 < |Φ( f − g)|.Seja f0 = f . Entao, pelo fato anterior, existe g0 ≥ 0, com g0 ≤ f0, tal que 2|Φ( f0)| + 1 <|Φ( f0 − g0)|. Se f1 = f0 − g0, obtemos f1 ≤ f0 e 2|Φ( f0)|+ 1 < |Φ( f1)|. Por inducao, encon-tramos uma sequencia decrescente de funcoes nao negativas em [0, f ], que denotaremospor ( fn)n, tal que 2|Φ( fn)| + 1 < |Φ( fn−1)|. Portanto verifica-se |Φ( fn)| > 2n|Φ( f )| + 2n + 1para todo n ∈ N e assim lim

n→∞|Φ( fn)| = ∞. Pelo fato de que ( fn)n e uma sequencia de

funcoes decrescente, temos que que existe uma funcao g ≥ 0 em [0, f ] tal que fn → gq.s., se n→ ∞. Pelo Teorema da Convergencia Monotona, obtemos que ‖ fn − g‖L1 −→ 0,se n → ∞. Mas ainda, pelas desigualdades 0 ≤ fn − g ≤ f − g e por Φ ser semilinear,temos que lim

n→∞Φ( fn − g) = 0. Agora,

|Φ( fn)| ≤ |Φ(g) + Φ( fn − g) − Φ( fn)| + |Φ( fn − g)| + |Φ(g)|

≤ δ ‖ fn‖L1 + |Φ( fn − g)| + |Φ(g)|

≤ δ ‖ f ‖L1 + |Φ( fn − g)| + |Φ(g)|.

Isto prova que (|Φ( fn)|)n e limitada, o qual e contraditorio.

• Seja hn = max ( fn, g). Entao,

|Φ(hn) − Φ( fn) − Φ(hn − fn)| ≤ δ ‖hn‖L1 ≤ δ ‖ f ‖L1 .

Similarmente|Φ(hn) − Φ(g) − Φ(hn − g)| ≤ δ ‖ f ‖L1 .

Agora pela desigualdade triangular e as desigualdade anteriores, temos que

|Φ( fn) − Φ(g)| ≤ |Φ(hn − fn)| + |Φ(hn − g)| + 2δ ‖ f ‖L1 .

Observe que |hn(s)− fn(s)| ≤ |gn(s)− fn(s)| para todo s ∈ S , logo ‖hn− fn‖L1 ≤ ‖gn− fn‖L1 eentao ‖hn− fn‖L1 → 0. Similarmente provamos ‖hn−g‖L1 → 0.Agora como hn−g ≤ f −g,entao pela hipotese de Φ ser semilinear, obtemos que

limn→∞

Φ(hn − fn) = limn→∞

Φ(hn − g) = 0,

75


concluindo esta parte do teorema.

• Suponha que Φ seja K-contınuo, isto e,

limε→0

sup‖ f ‖L1≤1

sup‖g‖L1≤ε

|∆Φ( f , g)| = 0.

Seja g ∈ [0, f ] fixo e ( fn)n uma sequencia em [0, f ] tal que ‖ fn − g‖L1 → 0. Mostremosque lim

n→∞

(Φ( fn) − Φ(g)

)= 0. Assumamos primeiro que ‖ f ‖L1 ≤ 1, logo ‖ fn‖L1 ≤ 1. Seja

hn = max ( fn, g) como na parte anterior. Analogamente, como no item 2 do teorema,obtemos que ‖hn − fn‖L1 → 0. Para n ∈ N e εn = ‖hn − fn‖L1 , temos que

|∆Φ( fn, hn − fn)| ≤ sup‖F‖L1≤1

sup‖G‖L1≤εn

|∆Φ(F, G)|,

usando a hipoteses concluimos que

limn→∞|∆Φ( fn, hn − fn)| = 0.

Calculos similares demonstram que limn→∞|∆Φ(g, hn − g)| = 0. Usando a desigualdade tri-

angular, deduzimos que

|Φ( fn) − Φ(g)| ≤ |∆Φ( fn, hn − fn)| + |∆Φ(g, hn − g)|,

obtendo que limn→∞|Φ( fn) − Φ(g)| = 0.

Agora assumamos ‖ f ‖L1 > 1. Considerandof‖ f ‖L1

e aplicando o caso anterior, temos que

limn→∞

∣∣∣∣∣∣Φ( fn

‖ f ‖L1

)− Φ

( g‖ f ‖L1

)∣∣∣∣∣∣ = 0.

E como Φ e homogeneo positivo, obtemos que limn→∞|Φ( fn) − Φ(g)| = 0.

Teorema 6.17 Seja X um espaco de funcoes g-convexo e T um semi-ideal estrito, com T ⊆

TX. Entao x ∈ BX se, e somente se, f log+ |x| e integravel e∫f log |x| dµ ≤ ΦX( f ) para todo f ∈ T .

Demonstracao. A prova da ida e imediata pela definicao de TX.

76


Passo 1. Vamos provar a recıproca do teorema.

Passo 1.A. Vamos mostrar que e possıvel assumir, sem perda de generalidade, que T = TX.A ideia e provar que se o teorema e valido para TX, entao o teorema tambem e valido paratodo semi-ideal estrito T . De fato, suponha que a recıproca do teorema e valido para TX e quef log+ |x| e integravel para todo f ∈ T e∫

f log |x| dµ ≤ ΦX( f ) para todo f ∈ T .

Vamos demonstrar que x ∈ BX. Seja f ∈ TX. Como T e um semi-ideal estrito, entao existe umg positivo em T . Definamos uma sequencia de funcoes como fn = min(ng, f ). Observe que0 ≤ fn ≤ ng, onde ng ∈ T . Portanto ( fn)n e uma sequencia crescente de T , com fn → f q.s.Agora, seja A = s : |x(s)| > 1. Pelo fato que fn ∈ T , temos que 1A fn ∈ T . Logo∫

fn1A log |x| dµ ≤ ΦX( fn1A).

O Teorema da Convergencia Monotona implica que ‖ fn1A − f 1A‖L1 → 0, logo pelos Teoremas6.15 e 6.16, temos que ΦX( fn1A) → ΦX( f 1A), se n → ∞. Novamente, o Teorema da Con-vergencia Monotona implica∫

f log+ |x| dµ = limn→∞

∫fn1A log |x| dµ ≤ ΦX( f 1A),

e portanto∫

f log+ |x| e integravel para todo f ∈ TX. Agora, se∫

f log |x| dµ = −∞, entaoimediatamente

∫f log |x| dµ ≤ ΦX( f ). Assuma agora que f log |x| ∈ L1. Entao pelo teorema

Convergencia Dominada e os Teoremas 6.15,6.16, temos que

∫f log |x| dµ = lim

n→∞

∫fn log |x| dµ

≤ limn→∞

ΦX( fn)

= Φ( f ),

para todo f ∈ TX. Como a recıproca do teorema vale para TX, temos que x ∈ BX. Isto mostraque podemos assumir que T = TX.

Passo 2. Demonstraremos a recıproca do teorema para TX. Suponha que f log+ |x| e integravelpara todo f ∈ TX e ∫

f log |x| dµ ≤ ΦX( f ) para todo f ∈ TX.

77


Provemos que x ∈ BX.Assuma por contradicao que x < BX. Como X e um espaco de funcoes g-convexo, entao existeu estritamente positiva em BX. Agora, existe w estritamente positiva em L0 tal que∫

w(1 + | log |x|| + | log u|)2 dµ < ∞. (6.11)

Seja L2(w dµ) o espaco de Hilbert de todos os φ tais que

‖φ‖2w, 2 =

∫|φ|2w dµ < ∞.

Seja M = log |y| : y ∈ BX e V = L2(w dµ) ∩ M. De (6.11), obtemos que∫

w| log u|2 dµ < ∞.Logo V , ∅, pois log u ∈ V.Demonstraremos agora que V e convexo. Sejam log |y|, log |z| ∈ V e 0 ≤ t ≤ 1. Entao(1 − t) log |y| + t log |z| = log |y|1−t|z|t, como X e um espaco de funcoes g-convexo, temos que‖|y|1−t|z|t‖X ≤ ‖y‖1−t

X ‖z‖tX ≤ 1. Portanto (1 − t) log |y| + t log |z| ∈ V.

Agora Provemos que V e fechado em L2(w dµ). De fato, seja ( fn)n uma sequencia em V, ondefn = log |yn|, com yn ∈ BX e f ∈ L2(w dµ), tal que ‖ fn − f ‖w, 2 → 0, se n → ∞. Portanto,existe uma subsequencia de ( fn)n, que denotamos por ( fn)n, tal que log |yn| = fn → f q.s., istoe, |yn| → e f q.s., portanto, |yn| → e f em medida, como BX e fechada nesta convergencia, temosque e f ∈ BX, logo, f ∈ V. Observe que V verifica:

φ1 ∈ V, φ2 ∈ L2(w dµ) e φ2 ≤ φ1 ⇒ φ2 ∈ V. (6.12)

Como log |x| < V, o teorema de separacao de Hahn-Banach (ver Teorema 2.66) garante a ex-istencia de um numero real α e um funcional linear ϕ : L2(w dµ) −→ C tais que

Re(ϕ(log |x|)

)> α ≥ Re(ϕ(φ)),

para todo φ ∈ V. Agora existe G ∈ L2(w−1 dµ) tal que ϕ(φ) =∫

Gφ dµ para todo φ ∈ L2(w dµ).Se Re(G) = g, entao Re(ϕ(φ)) =

∫gφ dµ para todo φ ∈ V e Re(ϕ(log |x|)) =

∫g log |x| dµ, assim∫

g log |x| dµ > α ≥∫

gφ dµ

para todo φ ∈ V.

Passo 2.A. Demonstraremos que g ∈ TX. De fato,

Primeiro demonstraremos que g ≥ 0 q.s. Suponha por contradicao que o conjunto I = s :g(s) < 0 nao tem medida zero. Definamos para cada n ∈ N uma funcao em S por

λn(s) =

1/n, se s ∈ I1/2, se s ∈ S \I.

78


Observe que log λnu ≤ log u, portanto log λnu ∈ L2(w dµ) (lembre-se que log u ∈ V ), assimpela propriedade 6.12 que V verifica, obtemos que log λnu ∈ V, portanto

∫g log λnu dµ ≤ α

para todo n ∈ N. Agora

∫g log λnu dµ ≤ α ⇔

∫Ig log λnu dµ +

∫S \I

g log λnu dµ ≤ α

⇔ log1n

∫Ig dµ +

∫Ig log u dµ +

∫S \I

g logu2

dµ ≤ α,

para todo n ∈ N.

Os calculos acimas mostram que a sequencia nao negativa(

log1n

∫Ig dµ

)n

e limitada, o qual eabsurdo.

Afirmamos que g ∈ L1(µ). Observe que g = gw−1/2 · w1/2, onde gw−1/2 ∈ L2(µ) e w1/2 ∈ L2(µ)(isto e consequencia de (6.11)). A desigualdade de Holder prova que g ∈ L1(µ).

Agora verifiquemos que ∫g| log |u|| dµ < ∞

esupy∈BX

∫g log+ |y| < ∞

para qualquer y ∈ BX. De fato:Para demonstrar a primeira parte, lembre-se que g| log u| = gw−1/2 · (w1/2| log u|), onde gw−1/2 ew1/2| log u| pertencem a L2(µ). Logo g| log u| ∈ L1(µ) e∫

g| log u| dµ ≤ ‖g‖w−1, 2 · ‖ log u‖w, 2.

Para demonstrar a segunda parte, seja y ∈ BX e definamos

ym,τ = max(

min(|y|, m|x|), τ|u|),

para m ∈ N e τ > 0. Note que (η(τ) + 1)−1ym,τ ∈ BX, onde η(τ) e o numero definido na Definicao5.4 e

log(η(τ) + 1)−1ym,τ = log ym,τ − log(η(τ) + 1)) ∈ L2(w dµ),

poislog τu ≤ log ym,τ ≤ log max(m|x|, τu) = 1A · log m|x| + 1B · log τu,

79


ondeA = s : m|x(s)| ≥ τ|u(s)| e B = s : m|x(s)| < τu(s).

Resumindo temos que

log τu ≤ log ym,τ ≤ 1A · log m|x| + 1B · log τu,

onde log τu e 1A · log m|x| + 1B · log τu sao funcoes de L2(w dµ), (isto e deduzido de (6.11)).Portanto log ym,τ ∈ L2(w dµ). Logo, concluimos que log ym,τ − log(η(τ) + 1)) ∈ L2(w dµ). Istomostra que

log ym,τ(η(τ) + 1)−1 ∈ V.

Logo ∫g log ym,τ(η(τ) + 1)−1 dµ ≤ α,

que equivale a ∫g log ym,τ dµ ≤ α + ‖g‖1 log(η(τ) + 1).

Seja A = s : |y(s)| ≥ 1. Entao

∫A

g log ym, 1 dµ ≤ α + ‖g‖L1 log(η(1) + 1) −∫

S \Ag log ym, 1 dµ

≤ α + ‖g‖L1 log(η(1) + 1) −∫

S \Ag log |u| dµ

≤ α + ‖g‖L1 log(η(1) + 1) +

∫g| log u| dµ

≤ α + ‖g‖L1 log(η(1) + 1) + ‖g‖w−1, 2 · ‖ log u‖w, 2,

para todo m ∈ N. Se m→ ∞, entao pelo Teorema da Convergencia Monotona obtemos que∫g log+ |y| dµ ≤ α + ‖g‖L1 log(η(τ) + 1) + ‖g‖w−1, 2 · ‖ log u‖w, 2,

para y ∈ BX, consequentemente

supy∈BX

∫g log+ |y| < ∞.

Com isto, nos provamos que g ∈ TX.Agora, usando a hipoteses do teorema, temos que

∫g log |x| dµ ≤ ΦX(g), e como g verifica

α <∫

g log |x| dµ, segue-se que α < ΦX(g).

80


Agora para y ∈ BX, com calculos similares, pode-se demonstrar que∫g log

(max(|y|, τ|u|)(η(τ) + 1)−1

)dµ ≤ α,

isto e, ∫g log

(max(|y|, τ|u|)

)dµ ≤ α + ‖g‖L1 log(η(τ) + 1),

se τ→ 0, temos que ∫g log |y| dµ ≤ α, para todo y ∈ BX,

portanto, ΦX(g) ≤ α, o qual e absurdo. Consequentemente x ∈ BX.

Corolario 6.18 Sejam X, Y espacos de funcoes g-convexos e T um semi-ideal estrito contidoem TX ∩ TY . Entao ‖x‖X ≤ M‖x‖Y para todo x ∈ L0 se, e somente se, ΦX( f ) ≥ ΦY( f ) −(log M)‖ f ‖L1 para todo f ∈ T . Mais ainda, X e Y sao iguais com quase-normas equivalentesse, e somente se,

d(ΦX, ΦY) = sup‖ f ‖L1≤1

|ΦX( f ) − ΦY( f )| < ∞.

Demonstracao. Assumamos primeiro que ‖x‖X ≤ M‖x‖Y para todo x ∈ L0. Seja x ∈ BY .Portanto, |x|/M ∈ BX e

∫f log |x| dµ − (log M)‖ f ‖L1 =

∫f log

|x|M

dµ

≤ ΦX( f ),

para todo f ∈ T . Por x ser arbitrario em BY , temos que ΦX( f ) ≥ ΦY( f ) − (log M)‖ f ‖L1 paratodo f ∈ T .Reciprocamente, assumamos que ΦX( f ) ≥ ΦY( f ) − (log M)‖ f ‖L1 para todo f ∈ T .Seja x ∈ BY . Note que

∫f log |x| dµ − (log M)‖ f ‖L1 ≤ ΦY( f ) − (log M)‖ f ‖L1

≤ ΦX( f )

para todo f ∈ T . Isto equivale a∫f log

|x|M

dµ ≤ ΦX( f ) para todo f ∈ T .

Pelo Teorema 6.17, temos quexM∈ BX. Agora para todo x ∈ Y, obtemos que

xM‖x‖Y

∈ BX,

concluindo que ‖x‖X ≤ M‖x‖Y para todo x ∈ L0. Note que a outra do corolario e imediata.

81


Teorema 6.19 Seja T um semi-ideal estrito de L+1 (µ) e Φ um funcional semilinear real, K-

contınuo e convexo definido em T . Entao existe um unico espaco g-convexo X tal que T ⊆ TX

e Φ( f ) = ΦX( f ), para todo f ∈ T .

Demonstracao. Vamos demonstrar o teorema por partes:

Passo 1. Vamos definir o espaco X.Seja BX o subconjunto de L0 de todos os x tais que f log+ |x| ∈ L1 para todo f ∈ T e∫

f log |x| dµ ≤ Φ( f ) para todo f ∈ T .

Definamos uma funcao ‖ · ‖X : L0 7−→ [0, ∞] por

‖x‖X =

inf

α > 0 : α−1|x| ∈ BX

, seα−1|x| ∈ BX, para algum α > 0

∞, seα−1|x| < BX, para todo α > 0.

Observe que o conjunto BX verifica,

|y| ≤ |x|, x ∈ BX ⇒ y ∈ BX. (6.13)

Entao definimos X por X = x : ‖x‖X < ∞. Note que BX = x : ‖x‖X ≤ 1.

Passo 2. Provaremos que ‖λx‖X = |λ| · ‖x‖X para λ ∈ C. E imediato.

Passo 3. Demonstraremos que BX e fechado em L0.Seja (xn)n uma sequencia em BX que converge em medida para x. Entao , existe uma sub-sequencia de (xn)n, que denotamos por (xn)n, tal que |xn| → |x| q.s. Denotamos por A = supp(x).Pelo Corolario 2.62, existe uma sequencia crescente de subconjuntos de A mensuraveis, (An)n,com Ak ⊆ Ak+1, tais que µ(A/ ∪n An) = 0, e |xn| · |x−1| converge uniformemente para 1 em An.Isto e, para ε > 0 e k ∈ N, existe N ∈ N, tal que, para todo s ∈ Ak,∣∣∣∣|xn(s)| · |x−1(s)| − 1

∣∣∣∣ < ε se n ≥ N.

Deste fato deduzimos que

(1 − ε)|x| · 1Ak < |xn| · 1Ak se n ≥ N. (6.14)

Se n ≥ N e f ∈ T , temos que, f log+ |xn|1Ak ∈ L1. Isto e garantido pelo fato de xn ser umelemento de BX e pela propriedade (6.13). Agora por (6.14), obtemos que f log+ |x|1Ak ∈ L1.Consideremos f ∈ T arbitraria. Entao

82


∫f log |x|1Ak dµ ≤ − log(1 − ε) · ‖ f ‖L1 +

∫f log |xn|1Ak dµ

como |xn|1Ak ∈ BX, temos que∫f log |x|1Ak dµ ≤ − log(1 − ε) · ‖ f ‖L1 + Φ( f ).

Se ε → 0, obtemos que |x|1Ak ∈ BX para todo k ∈ N. Sejam G = s : |x(s)| > 1 e f ∈ T .Observe que 0 ≤ f · 1G log |x|1Ak ≤ f · 1G log |x|1Ak+1 para todo k ∈ N, pois Ak ⊆ Ak+1. Tambem

f · 1G log |x|1Ak → f · 1G log |x| q.s. em A,

poisf (s) · 1G(s) log |x(s)|1Ak(s)→ f (s) · 1G(s) log |x(s)|,

para todo s ∈ ∪nAn, com µ(A\ ∪n An) = 0. O Teorema da Convergecia Monotona e o fato|x|1Ak ∈ BX implicam que

∫f log+ |x| dµ =

∫A

f · 1G log |x| dµ,

= limk→∞

∫A

f · 1G log |x|1Ak dµ

= limk→∞

∫f · 1G log |x|1Ak dµ

≤ Φ( f · 1G).

Os calculos acima, mostram que∫

f log+ |x| dµ ∈ L1 para qualquer f ∈ T .

Agora vejamos que∫

f log |x| dµ ≤ Φ( f ), para todo f ∈ T . Como (xn)n converge para xem medida, entao existe uma subsequencia de (xn)n, que denotamos por (xn)n, tal que (xn)n

converge q.s. para x.Suponha primeiro que f log |x| ∈ L1. Seja yn = infk≥n |xk|. Esta sequencia e crescente eyn → |x| q.s., com yn ≤ |xn|. Tambem yn ≤ |x|, portanto f log yn ≤ f log |x|. Pelo Teoremada Convergencia Dominada, obtemos que

∫f log yn dµ →

∫f log |x| dµ, se n → ∞. Como

yn ∈ BX, pois yn ≤ |xn|, onde xn ∈ BX, temos que∫

f log yn dµ ≤ Φ( f ) para todo n ∈ N. Logo∫f log |x| dµ ≤ Φ( f ). Se

∫f log |x| dµ = −∞, trivialmente −∞ =

∫f log |x| dµ ≤ Φ( f ). Nos

provamos que x ∈ BX e portanto BX e fechado em L0.

Passo 4. Demonstraremos a parte 4. da Definicao 5.4.Seja 0 < τ < ∞ e x, y ∈ BX, com supp(x) ∩ supp(y) = ∅. Sejam Ax e Ay conjuntos mensuraveis,

83


tais que, Ax ∩Ay = ∅, supp(x) ⊆ Ax, supp(y) ⊆ Ay e Ax ∪Ay = S . Entao para para f ∈ T , temosque

∫f log max(|x|, τ|y|) dµ =

∫Ay

f log |x| dµ +

∫Ax

f log τ|y| dµ

≤ Φ( f · 1Ax) + Φ( f · 1Ay) + ‖ f · 1Ay‖L1 log τ

= Φ( f ) + ∆Φ( f · 1Ax , f · 1Ay) + ‖ f · 1Ay‖L1 log τ.

Sejaσ(ε) = sup

‖F‖L1≤1sup‖G‖L1≤ε

|∆Φ(F, G)|.

Entao

∫f log max(|x|, τ|y|) dµ = Φ( f ) + ∆Φ( f · 1Ax , f · 1Ay) + ‖ f · 1Ay‖L1 log τ

= Φ( f ) + ‖ f ‖L1 ·

(∆Φ

( f · 1Ax

‖ f ‖L1

,f · 1Ay

‖ f ‖L1

)+‖ f · 1Ay‖L1

‖ f ‖L1

log τ)

≤ Φ( f ) + ‖ f ‖L1 · (σ(α) + α log τ),

onde α =‖ f · 1Ay‖L1

‖ f ‖L1

. Definamos

σ∗(τ) = sup0≤β≤1

(σ(β) + β log τ).

Observe quelimτ→0

σ∗(τ) = −∞

e

∫f log max(|x|, τ|y|) dµ ≤ Φ( f ) + ‖ f ‖L1σ

∗(τ)⇔∫

f logmax(|x|, τ|y|)

eσ∗(τ) dµ ≤ Φ( f ),

para todo f ∈ T . Isto e,max(|x|, τ|y|)

eσ∗(τ) ∈ BX,

84


que equivale a ‖max(|x|, τ|y|)‖X ≤ eσ∗(τ).

Observe que‖x + τy‖X ≤ 1 + ‖max(|x|, τ|y|)‖X ≤ 1 + eσ

∗(τ),

isto e η(τ) ≤ eσ∗(τ), demonstrando que lim

τ→0η(τ) = 0 e ‖x + τy‖X ≤ 1 + η(τ).

Passo 5. Este passo esta dividido em tres partes:

Passo 5.A Demonstremos que se f ∈ T e α e um numero real tal que α < Φ( f ), entao existex ∈ BX tal que

α <

∫f log |x| dµ.

Passo 5.B. Demonstremos que dado f ∈ T existe x ∈ BX tal que∫f | log |x| | dµ < ∞.

Passo 5.C. O conjunto BX tem um elemento positivo.

AGora Provaremos o Passo 5.Passo 5.A. Suponha que f ∈ T e t ∈ R. Definamos um espaco vetorial por

Y =⋃n∈N

n[− f , f ].

Seja Kt o subconjunto de Y de todos os g ≥ 0 tais que Φ(g) ≤ t. Por Φ ser convexo, temos queKt e convexo. Note que Y pode ser munido da norma de L1(µ) e que para cada n ∈ N, o conjuntoKt ∩ n[− f , f ] e fechado em (Y, ‖ · ‖L1), isto e garantido pelo Teorema 6.16. Agora definamosuma norma em Y por ‖g‖Y = ess sup |g(s)| f (s)−1 e seja Y∗ o predual de (Y, ‖ · ‖Y) (ver Definicao2.79) isto e, o conjunto de todas as funcoes mensuraveis h, com supp(h) ⊆ supp( f ) tais que‖h‖Y∗ =

∫f |h| dµ < ∞. Pela definicao de predual, temos que (Y, ‖ · ‖Y) Y ′∗. O isomorfismo

(Y, ‖ · ‖Y) −→ Y ′∗ esta dado por g 7−→ ϕg, onde, ϕg(h) =∫

gh dµ, para todo h ∈ Y∗. Daquiobtemos que Y pode ser munido da topologia w?.Vejamos que Kt ⊂ Y e w?-fechado em Y. Primeiro mostremos que Kt ∩ n[− f , f ] e w?-fechadoem Y. De fato, se Kt ∩ n[− f , f ] e vazio, entao Kt ∩ n[− f , f ] e trivialmente w?-fechado em Y.

Assumamos que Kt∩n[− f , f ] e nao vazio e que ϕgβw?

→ ϕg, onde gβ e uma rede em Kt∩n[− f , f ],isto equivale a dizer que

∫gβh dµ→

∫gh dµ para todo h ∈ Y∗. Assumamos por contradicao que

g < Kt ∩ n[− f , f ]. Como o conjunto Kt ∩ n[− f , f ] e fechado em (Y, ‖ · ‖L1), entao existe umfuncional linear contınuo Υ : (Y, ‖ · ‖L1) −→ R e a ∈ R tais que

Υ(g) < a < Υ(z) para todo z ∈ Kt ∩ n[− f , f ]. (6.15)

85


Note que o funcional Υ pode ser estendido, pelo teorema de Hahn-Banach, por um funcional emL1(µ) de igual norma a Υ, portanto, existe h ∈ L∞ tal que Υ(ρ) =

∫ρh dµ para todo ρ ∈ L1(µ).

Portanto, a desigualdade (6.1) transforma-se em∫gh dµ < a <

∫zh dµ para todo z ∈ Kt ∩ n[− f , f ],

(podemos considerar supp(h) ⊆ supp( f ) e desta forma h ∈ Y∗), em particular, para gβ, obtemosque

∫gh dµ < a <

∫gβh dµ o qual e absurdo. Em conclusao , g ∈ Kt ∩ n[− f , f ], portanto,

para todo n ∈ N o conjunto Kt ∩ n[− f , f ] e w?-fechado em Y. Agora pelo teorema de Banach-Dieudonne (ver Teorema 2.71), concluimos que Kt e w?-fechado em Y.Agora seja f ∈ T e α < Φ( f ) e escolhamos α0 tal que α < α0 < Φ( f ). Definamos umsubconjunto de Y × R por

C = (g, t) ∈ Y+ × R : Φ(g) ≤ t.

Similarmente, Y × R pode ser munido da topologia w?, isto e, Y × R (Y × R)′∗ (Y∗ × R)′,onde o isomorfismo esta dado por (g, t) 7−→ 〈ϕg, t〉, com, 〈ϕg, t〉(h, a) = ϕg(h) + at, para todo(h, a) ∈ Y∗ × R. Por Φ ser convexo, temos que C e um conjunto convexo. O fato de Kt serw?-fechado em Y para todo t ∈ R, implica que C e w?-fechado em Y ×R. Abusando da notacao, 〈ϕ f , α〉 < C, entao o Teorema 2.72 implica que existe (h0, a) ∈ Y∗ × R tal que

〈ϕ f , α〉(h0, a) < 〈ϕg, t〉(h0, a) para todo (g, t) ∈ C,

isto e,ϕ f (h) + αa < ϕg(h0) + ta para todo (g, t) ∈ C,

Observe que se (g, t) ∈ C, entao(gn,

tn

)∈ C para todo n ∈ N, deduzindo pela ultima desiguldade

que ϕ f (h0) + aα ≤ 0. Note tambem que se (g, t) ∈ C, entao (ng, nt) ∈ C para todo n ∈ N, assim0 ≤ ϕg(h0) + at para todo (g, t) ∈ C. Resumindo, demonstramos que

ϕ f (h0) + aα ≤ 0 (6.16)

e0 ≤ ϕg(h0) + at para todo (g, t) ∈ C. (6.17)

Se t → ∞ na desigualdade (6.17) obtemos que a ≥ 0. Agora demonstraremos que a > 0.Assumamos por contradicao que a = 0. Entao (6.16) e (6.17) transformam-se respectivamenteem ϕ f (h0) ≤ 0 e 0 ≤ ϕg(h0) para todo g ∈ Y+. Note que para qualquer ρ ∈ Y, encontramos n ∈ Ntal que −n f ≤ ρ ≤ n f , isto e, ρ + n f ∈ Y+. Agora ϕρ(h0) = ϕρ+n f (h0) − nϕ f (h0) ≥ 0 para todoρ ∈ Y e em consequencia temos que ϕρ(h0) = 0, para todo ρ ∈ Y. Isto mostra que (h0, a) = (0, 0)o qual e absurdo, portanto a > 0.Definamos um funcional linear contınuo β em Y por

β(g) =−ϕg(h0)

a=

∫g ·−h0

adµ. para todo g ∈ Y.

86


De (6.16) e (6.17), deduzimos respectivamente que α0 ≤ β( f ) e β(g) ≤ t para todo (g, t) ∈ C.Note que para g ∈ Y+ temos que (g, Φ(g) + ε) ∈ C para todo ε > 0, portanto, β(g) ≤ Φ(g) + εpara todo ε > 0, isto e, β(g) ≤ Φ(g) para todo g ∈ Y+. Ate o momento, provamos que existe umfuncional linear contınuo β : Y → R tal que α < α0 ≤ β( f ) e β(g) ≤ Φ(g) para todo g ∈ Y+, isto

e, α <∫

f h dµ e∫

gh dµ ≤ Φ(g) para todo g ∈ Y+, onde h =−h0

a.

Definamos uma funcao x de L0 por

x(s) =

eh(s) se s ∈ supp( f ),

0, se s < supp( f ).

Demonstremos que x ∈ BX. De fato, seja g ∈ T e denotemos A = s : h(s) > 0. Entao pelofato de min(g · 1A, n f ) ∈ Y+ e pelo Teorema 6.16, temos que

∫g log+ |x| dµ =

∫gh dµ

= limn→∞

∫A

min(g, n f )h dµ

≤ lim infn→∞

Φ(min(g · 1A, n f ))

= Φ(g · 1A)

logo g log+ |x| ∈ L1.Agora provaremos que

∫g log |x| dµ ≤ Φ(g). De fato, se supp(g) * supp( f ), entao existe

um conjunto de medida positiva E ⊂ supp(g), tal que x(s) = 0 para todo s ∈ E, portanto∫g log |x| dµ = −∞ e imediatamente demonstramos que

∫g log |x| dµ ≤ Φ(g).

Agora suponha que supp(g) ⊆ supp( f ). Vejamos que g log |x| ∈ L1 e∫

g log |x| dµ ≤ Φ(g). Defato, considere a sequencia gn = min(g, n f ). Note que gn → g · 1supp( f ) q.s. e g · 1supp( f ) = g pelofato supp(g) ⊆ supp( f ). Devido a que |hgn| ≤ n f |h| ∈ L1, temos pelo Teorema da ConvergenciaDominada que g log |x| ∈ L1 e ∫

g log |x| dµ =

∫supp(g)

gh dµ

= limn→∞

∫gnh dµ.

87


Agora segue da igualdade acima, o Teorema 6.16 e pelo fato de min(g, n f ) ∈ Y+, que∫g log |x| dµ ≤ lim inf

n→∞Φ(min(g, n f )),

= Φ(g)

isto mostra que x ∈ BX. Observe que∫

f log |x| dµ =∫

f h dµ > α, daqui mostramos que existex ∈ BX tal que α <

∫f log |x| dµ.

Passo 5.B. E imediato, pois∫

f | log |x| | dµ =∫

f |h| dµ < ∞.

Passo 5.C. Pelo fato de T ser um semi-ideal estrito, temos que existe f ∈ T , com f > 0.Portanto x(s) = eh(s) > 0 para todo s ∈ supp( f ) = S .

Os Passos 2,3,4 e 5.C. mostram que X e um espaco de funcoes g-convexo.

Passo 6. Vejamos que T ⊆ TX e

Φ( f ) = ΦX( f ) = supx∈BX

∫f log |x| dµ.

De fato, seja f ∈ T e x ∈ BX. Entao denotando por A = x : |x| > 1, segue do Teorema ??

∫f log+ |x| dµ =

∫1A f · log |x| dµ,

≤ Φ(1A · f )

≤ supg∈ [0, f ]

Φ(g),

logo supx∈BX

∫f log+ |x| dµ < ∞.

No Passo 5.B., nos demonstramos que dado f ∈ T , existe x ∈ BX tal que∫f∣∣∣∣ log |x|

∣∣∣∣ dµ =

∫f |h| dµ < ∞,

portanto f ∈ TX, e consequentemente T ⊆ TX.Agora no Passo 5.A. nos demostramos que dado α tal que α < Φ( f ) existe x ∈ BX tal queα <

∫f log |x| dµ ≤ Φ( f ), isto prova imediatamente que

Φ( f ) = ΦX( f ) = supx∈BX

∫f log |x| dµ.

88


Passo 7. Demonstraremos a unicidade do teorema. Sejam X e Y espacos g-convexos tais queΦ = ΦX = ΦY . Vejamos que X = Y.Seja x ∈ BX. Entao f log+ |x| ∈ L1 e

∫f log |x| dµ ≤ ΦX( f ) = ΦY( f ) para todo f ∈ T . Pelo

Teorema 6.17 temos que x ∈ BY . Logo BX ⊆ BY . Similarmente mostramos que BY ⊆ BX, eportanto BX = BY , concluindo que X = Y.

Teorema 6.20 Seja T um semi-ideal estrito e Φ : T −→ R um funcional semi-linear. Entaopara que exista um unico espaco de Kothe X, com T ⊆ TX e Φ( f ) = ΦX( f ) para f ∈ T , enecessario e suficiente que Φ e Λ − Φ sejam convexos.

Demonstracao. Se existe um espaco de Kothe X, tal que T ⊆ TX e Φ( f ) = ΦX( f ) paraf ∈ T , obtemos imediatamente que Φ e Λ−Φ sao convexos, pois no Teorema 6.15 mostramosque ΦX = Φ e Λ − Φ = Λ − ΦX = ΦX∗ sao convexos.Reciprocamente, suponha que Φ e Λ − Φ sao convexos. Isto implica que

0 ≤ ∆Φ( f , g) ≤ ∆Λ( f , g),

portanto,

0 ≤ sup‖ f ‖L1≤1

sup‖g‖L1≤ε

∆Φ( f , g) ≤ sup‖ f ‖L1≤1

sup‖g‖L1≤ε

|∆Λ( f , g)|,

como Λ e K- contınuo (ver Teorema 6.15), temos que

limε→0

sup‖ f ‖L1≤1

sup‖g‖L1≤ε

|∆Φ( f , g)| = 0.

Isto prova que que Φ e K-contınuo, portanto, Λ − Φ e tambem K-contınuo. O Teorema 6.19garante a existencia de dois espacos g-convexos X e Y tais que T ⊆ TX∩TY e Φ = ΦX, Λ−Φ =

ΦY em T . Demonstraremos que X e um espaco de Kothe. De fato, definamos o conjunto BX

como BX = C(BX) (Fecho na topologia em medida da envoltoria convexa da bola unitaria deX). Definamos agora uma funcao ‖ · ‖X : L0 7−→ [0, ∞] como

‖x‖X =

inf

α > 0 : α−1|x| ∈ BX

, seα−1|x| ∈ BX, para algum α > 0

∞, seα−1|x| < BX, para todo α > 0.

Definamos X = x : ‖x‖X < ∞. Demonstraremos que X e um espaco de Kothe e X = X.De fato, observe que ‖ · ‖X foi definido como o funcional de Minkowski em BX. Agora BX econvexo, balancado e absorvente, portanto ‖ · ‖X e uma semi-norma (ver Proposicao 2.75). SeD = x ∈ X : ‖x‖X ≤ 1, entao pelo fato de ser BX fechado na topologia em medida e pelaforma como definimos ‖ · ‖X, temos que BX = D. Com este fato nos mostramos que ‖x‖X = 0,implica x = 0. Logo, ‖ · ‖X e uma norma. E imediato ver que BX e fechado em L0. Note que BX

89


contem um elemento positivo, pois BX ⊆ BX, onde BX tem um elemento positivo. E imediatoverificar que se |y| ≤ |x|, com x ∈ X, entao y e ‖y‖X ≤ ‖x‖X. Por enquanto, nos provamos que X eum espaco de funcoes g-convexo. Para demonstrar que X e um espaco de Kothe, basta verificarque existe h > 0 tal que ‖hx‖L1 ≤ ‖x‖X para todo x ∈ X. Se BX · BY ⊆ BL1 e valido, entaoimediatamente X e um espaco de Kothe , pois escolhendo um elemento positivo h = y em BY

(isto e possıvel porque Y e um espaco de funcoes g-convexo), obtemos que

‖x · h‖L1 =∥∥∥∥ x‖x‖X

· h∥∥∥∥

L1· ‖x‖X ≤ 1 · ‖x‖X

para todo x ∈ X.Afirmamos que BX · BY ⊆ BL1 . Provaremos primeiro que BX · BY ⊆ BL1 . De fato, sejam x ∈BX e y ∈ BY . Entao para todo f ∈ T ⊆ TX ∩ TY temos que f log+ |x|, f log+ |y| ∈ L1, istosegue da definicao dos semi-ideais TX, TY . Pelas propriedades do logaritmo e pelo fato anteriormostramos que f log+ |xy| ∈ L1 para todo f ∈ T . Agora para f ∈ T temos que∫

f log |xy| dµ =

∫f log |x| dµ +

∫f log |y| dµ

≤ ΦX( f ) + ΦY( f )

= Λ( f ).

Resumindo temos que∫

f log+ |xy| ∈ L1 e∫

f log |xy| dµ ≤ Λ( f ) para todo f ∈ T . Entao oTeorema 6.17 garante que xy ∈ BL1 . Agora, vejamos que BX · BY ⊆ BL1 implica BX · BY ⊆ BL1 .De fato:Sejam x ∈ BX e y ∈ BY . Se x ∈ BX, entao temos que xy ∈ BL1 . Se x ∈ C(BX), entao x =

∑ni=1 λixi,

onde λi ≥ 0,∑n

i=1 λi = 1 e xi ∈ BX. Agora como xiy ∈ BX · BY temos que xiy ∈ BL1 , portantoxy ∈ BL1 .Se x ∈ C(X), entao existe uma sequencia (xn)n de elementos em C(BX), tais que, xn −→ xq.s.,isto implica que xny −→ xy q.s. Como y ∈ BX, temos que xny ∈ BL1 , portanto, xnyconverge em medida para xy. Pelo Teorema 2.63 obtemos que xy ∈ BL1 . Logo, concluimos queBX · BY ⊆ BL1 .

Demonstraremos que X = X, para isso basta provar que ΦX = ΦX, pois o Teorema 6.19 garantea unicidade dos espacos. De fato, devido que BX ⊆ BX temos que


∫f log |x| dµ ≤ sup

x∈BX

∫f log |x| dµ = ΦX( f ),

para todo f ∈ T ∩TX Logo, ΦX( f ) ≤ ΦX( f ) para todo f ∈ T ∩TX.Afirmamos que ΦX( f ) ≤ Λ( f ) − ΦY( f ) para todo f ∈ T ∩ TX. De fato, usando BX · BY ⊆ BL1 ,deduzimos que

90

6.2 Aproximacao de funcionais semilineares

∫f log |xy| dµ ≤ sup

z∈BL1

∫f log |z| dµ = Λ( f ),

para todo f ∈ T ∩TX, x ∈ BX e y ∈ BY . Isto equivale a∫f log |x| dµ +

∫f log |y| dµ ≤ Λ( f ),

para todo x ∈ BX e todo y ∈ BY , portanto ΦX( f ) ≤ Λ( f )−ΦY( f ) = ΦX( f ) para todo f ∈ T ∩TX.

Consequentemente, ΦX ≤ ΦX ≤ ΦX em T ∩TX, logo ΦX = ΦX, e portanto X = X.

6.2 Aproximacao de funcionais semilinearesNesta secao vamos aproximar funcionais semilineares por meio de funcoes indicadoras deespacos de Kothe.

Proposicao 6.21 Seja T um semi-ideal estrito contido em (L log L)+ e Φ um funcional semili-near em T . Suponha que para algum M e todo f1, . . . , fn ∈ T , temos que

−Mn∑

k=1

‖ fk‖L1 ≤ ∆Φ( f1, . . . , fn) ≤ ∆Λ( f1, . . . , fn) + Mn∑

k=1

‖ fk‖L1 .

Entao, existe um espaco de Kothe X tal que T ⊂ TX e

d(Φ, ΦX) = sup‖ f ‖L1≤1

|Φ( f ) − ΦX( f )| ≤ M + 4δ,

onde δ = δ(Φ).

Demonstracao.

Caso 1. Primeiro assumamos que S seja um conjunto finito e T = L+1 (S ).Definamos Φ : T →

R por Φ0( f ) = inf∑n

j=1 Φ( f j), o ınfimo e tomado no conjuntos dos f j tais que f =∑n

j=1 f j,com f j ≥ 0. O funcional Φ0 assim definido e convexo, pois se f =

∑fs e g =

∑gk, entao

Φ( f +g) ≤∑

k Φ( fk)+∑

Φ(gs), concluindo que Φ( f +g) ≤ Φ( f )+Φ(g).Note que se f =∑n

j=1 f j.Usando a hipoteses do teorema, provamos que

Φ( f ) − M‖ f ‖L1 = Φ( n∑

j=1

f j

)− M‖ f ‖L1

=

n∑j=1

Φ( f j) − ∆Φ

(f1, . . . , fn

)− M‖ f ‖L1

≤

n∑j=1

Φ( f j),

91


para todo f =∑n

j=1 f j. Portanto

Φ( f ) − M‖ f ‖L1 ≤ Φ0( f ) ≤ Φ( f ). (6.18)

Seja P = x ∈ L1(µ) : x(s) > 0, para todo s ∈ S . Por L1(µ) ser um espaco de dimensao finita,podemos munir a P da norma do maximo ‖ · ‖∞.Verifiquemos agora que existe uma constante K tal que

|Φ0( f )| ≤ K para todo f ∈ P, com ‖ f ‖∞ ≤ 1. (6.19)

De fato, escrevamos S = ∪nk=1Ak, onde os Ak sao disjuntos e µ(Ak) < ∞ (lembre-se que µ e

σ-finita e S e finito). Note que se f ∈ P, com ‖ f ‖∞ ≤ 1, entao f =∑n

k=1 ck · 1Ak , para alguns0 < ck ≤ 1. Agora pela desigualdade (6.18) e pela Observacao 6.12 segue-se que

|Φ0( f )| ≤

∣∣∣∣∣∣Φ0

( n∑k=1

ck · 1Ak

)− Φ

( m∑k=1

ck · 1Ak

)∣∣∣∣∣∣ +

∣∣∣∣∣∣Φ( n∑k=1

ck · 1Ak

)∣∣∣∣∣∣≤ M

n∑k=1

‖ck · 1Ak‖L1 +

∣∣∣∣∣∣Φ( n∑k=1

ck · 1Ak

)∣∣∣∣∣∣= M

n∑k=1

‖ck · 1Ak‖L1 +

∣∣∣∣∣∣ n∑k=1

ckΦ(1Ak) − ∆Φ

(c1 · 1A1 , . . . , cm · 1An

)∣∣∣∣∣∣≤ Mµ(S ) +

n∑k=1

|Φ(1Ak)| +∣∣∣∣∆Φ

(c1 · 1A1 , . . . , cm · 1An

)∣∣∣∣,≤ Mµ(S ) +

n∑k=1

|Φ(1Ak)| + (n − 1) δ(Φ)n∑

k=1

‖ck · 1Ak‖L1

≤ Mµ(S ) +

n∑k=1

|Φ(1Ak)| + (n − 1) δ(Φ) µ(S ).

Agora demonstraremos que Φ0 e contınua em (P, ‖ · ‖∞). De fato, seja fn → f , onde ( fn)n e f

pertence a P, reescrevendo,fn

f→ 1. Entao para ε > 0, existe N ∈ N, tal que

(1 − ε) f ≤ fn ≤ (1 + ε) f .

Agora, para s ∈ S e n ≥ N, temos por (6.19)

92


0 ≤ fn(s) − (1 − ε) f (s) ≤ 2ε f (s) ⇔ (1 − ε) f (s) ≤ fn(s) ≤ (1 + ε) f (s) ≤ 2ε‖ f ‖∞

⇒fn − (1 − ε) f

2ε‖ f ‖∞≤ 1

⇔

∥∥∥∥ fn − (1 − ε) f2ε‖ f ‖∞

∥∥∥∥∞≤ 1

⇒ |Φ0( fn − (1 − ε) f )| ≤ 2εK‖ f ‖∞.

Similarmente demonstramos que∣∣∣∣Φ0

((1 + ε) f − fn

)∣∣∣∣ ≤ 2ε‖ f ‖∞K

sempre que n ≥ N. Agora pelo fato de Φ0 ser convexo, temos que

Φ0( fn) − (1 − ε)Φ0( f ) = Φ0

(fn − (1 − ε) f + (1 − ε) f

)− Φ0

(f (1 − ε)

)≤ Φ0

(fn − (1 − ε) f

)≤ 2εK‖ f ‖∞,

portanto,Φ0( fn) ≤ (1 − ε) Φ0( f ) + 2εK‖ f ‖∞, se n ≥ N

Analogamente demonstramos que

(1 + ε) Φ0( f ) ≤ Φ0( fn) + 2εK ‖ f ‖∞, se n ≥ N.

Pelas ultimas desigualdade, concluimos que

|Φ0( f ) − Φ0( fn)| ≤ ε |Φ0( f )| + 2εK‖ f ‖∞ se n ≥ N.

Daqui, limn→∞

Φ( fn) = Φ( f ) e assim Φ e contınua em (P, ‖ · ‖∞), portanto, contınua em (P, ‖ · ‖L1)por L1(µ) ser de dimensao finita.Definamos o conjunto B0 de todas as funcoes x ∈ L0(µ), tais que∫

f log |x| dµ ≤ Φ0( f ), ∀ f ∈ P.

93


Vejamos que

Φ0( f ) = supx∈B0

∫f log |x| dµ.

Fixemos f ∈ P. Demonstraremos que existe um funcional linear β : L1(µ) −→ R tal queΦ0( f ) ≤ β( f ) e β(g) ≤ Φ0(g) para todo g ∈ P. De fato, seja W = λ f : λ > 0.Definamos uma funcao β : W −→ R por β(λ f ) = λΦ0( f ). Note que β(g) ≤ Φ0(g) para todog ∈ W.Definamos dois subconjuntos nao vazios de L1(µ) × R por

C = (g, t) ∈ P × R : Φ0(g) < t,

e,Γ = (g, β(g)) : g ∈ W.

Pelo fato de Φ0 ser contınua e convexa, temos que C e um subconjunto aberto e convexo deL1(µ)×R. E imediato verificar que Γ e um subconjunto convexo de L1(µ)×R. Da desigualdadeβ(g) ≤ Φ0(g) para todo g ∈ W, deduzimos que C e Γ sao conjuntos disjuntos. Entao C e Γ

verificam as hipoteses do teorema de Hahn-Banach geometrico (ver Teorema 2.65), portanto,existe um funcional linear ϕ : L1(µ) × R→ R tal que

ϕ(h, β(h)) < ϕ(g, τ), ∀ h ∈ W e ∀ (g, τ) ∈ C.

Escrevendo ϕ(x, t) = l(x) + at, para todo x ∈ L1(µ) e todo t ∈ R, onde l : L1(µ) −→ R e umfuncional linear e a ∈ R, temos

l(h) + aβ(h) < l(g) + aτ, ∀ h ∈ W e ∀ (g, τ) ∈ C,

isto e,λl( f ) + λaβ( f ) < l(g) + aτ, ∀ λ > 0 e ∀ (g, τ) ∈ C,

assim, l( f ) + aβ( f ) ≤ 0, portanto l(h) + aβ(h) ≤ 0 para todo h ∈ W. Note que se (g, τ) ∈ C, entao(ng, nτ) ∈ C para todo n ∈ N. Portanto 0 ≤ l(g) + aτ, ∀ (g, τ) ∈ C. Resumindo, demonstramosque

l(h) + aβ(h) ≤ 0, ∀ h ∈ W (6.20)

e0 ≤ l(g) + aτ, ∀ (g, τ) ∈ C. (6.21)

Se τ→ ∞ na desigualdade (6.21) obtemos que a ≥ 0. Demonstraremos que a > 0. Assumamospor contradicao que a = 0. Entao (6.20) e (6.21) transformam-se respectivamente em l(h) ≤ 0para todo h ∈ W e 0 ≤ l(g) para todo g ∈ P. Portanto l(g − h) ≥ 0 para todo g ∈ P e todoh ∈ W. Note que para x ∈ L1(µ), por Im(x) ser um conjunto finito, encontramos λ > 0 tal quex + λ f > 0, isto e, x + λ f ∈ P. Agora l(x) = l(x + λ f − λ f ) ≥ 0 para todo x ∈ L1(µ). Logo l = 0.

94


Isto mostra que ϕ = 0 o qual e absurdo. Consequentemente a > 0.Definamos um funcional linear β em L1(µ) por

β =−la.

De (6.20) e (6.21) deduzimos que β(h) ≤ β(h), para todo h ∈ W, em particular Φ0( f ) ≤ β( f ),e β(g) ≤ τ para todo (g, τ) ∈ C. Note que para g ∈ P, temos que (g, Φ0(g) + ε) ∈ C paratodo ε > 0. Portanto β(g) ≤ Φ0(g) + ε para todo ε > 0, isto e, β(g) ≤ Φ0(g) para todo g ∈ P.Consequentemente, existe um funcional linear β : L1(µ)→ R tal que

Φ0( f ) ≤ β( f ) e β(g) ≤ Φ0(g), ∀ g ∈ P. (6.22)

Provaremos que dado α tal que α < Φ0( f ), existe x0 ∈ B0 que verifica α <∫

f log |x0| dµ. Defato, pelo anterior existe um funcional linear β : L1(µ) → R que verifica (6.22). Nos podemosescrever o funcional β como β(g) =

∫gh dµ para todo g ∈ L1(µ) e para algum h ∈ L∞(µ). Se

x0 = eh, entao∫

g log |x0| dµ ≤ Φ0(g) para todo g ∈ P, isto e, x0 ∈ B0, e α < Φ0( f ) ≤ β( f ) =∫f log |x0| dµ. Logo,


∫f log |x| dµ.

Definamos agora Φ1( f ) = inf∑n

k=1

(Λ( fk) − Φ( fk)

), onde o ınfimo e tomado sobre os fk ≥ 0,

com f =∑n

k=1 fk. Por um argumento similar ao anterior provamos que

Λ( f ) − Φ( f ) − M‖ f ‖L1 ≤ Φ1( f ) ≤ Λ( f ) − Φ( f ), (6.23)

e se B1 e o conjunto de todas as funcoes x ∈ L0, tais que∫f log |x| dµ ≤ Φ1( f ) ∀ f ∈ P,

demonstramos novamente que


∫f log |x| dµ.

Provaremos que Φ1 + Φ2 ≤ Λ. De fato, sejam x ∈ B0 e y ∈ B1. Entao para f ∈ P, obtemos que

∫f log |x| dµ +

∫f log |y| dµ =

∫f log |x · y| dµ

≤ Λ( f ),

95


logo, pelo Teorema 6.17, obtemos que x ·y ∈ BL1 , concluindo que B0 ·B1 ⊆ BL1 . Seja BX = C(B1)a envoltoria convexa fechada na topologia q.s. de B1.Argumentando como na prova do Teorema6.20, demonstra-se que BX · B1 ⊆ BL1 . Definimos um espaco X, com uma funcao norma

‖x‖X =

inf

α > 0 : α−1x ∈ BX

, seα−1x ∈ BX, para algum α > 0

∞, seα−1x < BX, para todo α > 0.

No Teorema 6.20 demonstramos que o X assim definido e um espaco de Kothe. Usando o fatoBX · B1 ⊆ BL1 , provamos que

ΦX( f ) + Φ1( f ) ≤ Λ( f ), ∀ f ∈ P (6.24)

Agora das desigualdades (6.23) e (6.24), segue-se que

ΦX( f ) ≤ Φ( f ) + M‖ f ‖L1 , ∀ f ∈ P.

Como B0 ⊆ BX, entao Φ0( f ) ≤ ΦX( f ) para todo f ∈ P e pela desigualdade (6.18), demonstramosΦ( f ) − M‖ f ‖L1 ≤ ΦX( f ) para todo f ∈ P. Ate o momento Provamos que existe um espaco deKothe X, tal que

|ΦX( f ) − Φ( f )| ≤ M‖ f ‖L1 , ∀ f ∈ P.

Se f ≥ 0, existe uma sequencia decrescente em P, que denotamos por ( fn)n, tal que fn → f natopologia pontual. O teorema da convergencia monotona implica que ‖ fn‖L1 → 0, se n → ∞.Como Φ e semilinear, o Teorema 6.16 implica que

lim supn→∞

|Φ( fn) − Φ( f )| ≤ 2δ(Φ)‖ f ‖L1 ,

portanto

lim supn→∞

|ΦX( fn) − Φ( f )| ≤ lim supn→∞

|Φ( fn) − Φ( f )| + lim supn→∞

|ΦX( fn) − Φ( fn)|

≤ 2δ(Φ)‖ f ‖L1 + M‖ f ‖L1 ,

Consequentemente,

lim supn→∞

|ΦX( fn) − Φ( f )| ≤(M + 2δ(Φ)

)‖ f ‖L1 ∀ f ≥ 0.

Note que|ΦX( f ) − Φ( f )| ≤ |ΦX( f ) − ΦX( fn)| + |ΦX( fn) − Φ( f )|,

logo|ΦX( f ) − Φ( f )| ≤

(M + 2δ(Φ)

)‖ f ‖L1 ∀ f ≥ 0.

96


Resumindo, existe um espaco de Kothe X, tal que

|ΦX( f ) − Φ( f )| ≤(M + 2δ(Φ)

)‖ f ‖L1 ,

para todo f ∈ L+1 (S ), onde S e finito.

Caso 2. Suponha que T seja um semi-ideal estrito de L+1 (S ), onde S nao e necessariamente

finito. Seja A = (A1, . . . , An) uma colecao finita de conjuntos mensuraveis disjuntos tais que1Ak ∈ T , para cada 1 ≤ k ≤ n. Consideremos EA =

∑nK=1 ck · 1Ak : ck ≥ 0. Demonstraremos

que existe um funcional semilinear convexo ΨA , definido em EA , tal que Λ − ΨA e convexo e

|ΨA ( f ) − Φ( f )| ≤(M + 2δ(Φ)

)‖ f ‖L1 ,

para todo f ∈ EA . De fato, seja S n = s1, . . . , sn e (S n, P(S n), ν) um espaco de medida ondeν(sk) = µ(Ak), para cada 1 ≤ k ≤ n. Definamos uma funcao π : EA −→ L+

1 (S n, ν) pondo

n∑k=1

ck · 1Ak 7−→

n∑k=1

ck · 1sk.

E imediato verificar que π satisfaz as seguintes propriedades:

• Se f , g ∈ EA e λ ≥ 0, entao π( f + λ · g) = π( f ) + λ · π(g).

• A funcao π e bijetora.

• ‖ f ‖L1(S , µ) = ‖π( f )‖L1(S n, ν).

• Se denotamos como ΛL1(S n, ν) = ΦL1(S n, ν), entao

Λ(π−1( f )) = ΛL1(S n, ν)( f ), para todo f ∈ L+1 (S n, ν).

Seja ΦEA= ΦEA

. Entao ΦEA π−1 : L+

1 (S n, ν) −→ C e um funcional semilinear sobreL+

1 (S n, ν). Mais ainda

∆ΦEAπ−1( f1, . . . , fn) =

n∑k=1

(ΦEA

π−1)( fk) − (ΦEA

π−1)( n∑

k=1

fk

)=

n∑k=1

ΦEA(π−1( fk)) − ΦEA

( n∑k=1

π−1( fk))

97


= ∆ΦEA

(π−1( f1), . . . , π−1( fn)

)≤ M

n∑k=1

‖π−1( fk)‖L1(S ) + ∆Λ

(π−1( f1), . . . , π−1( fn)

)= M

n∑k=1

‖ fk‖L+1 (S n, ν) + ∆ΛL1(S n , ν)

(f1, . . . , fn

),

para todo f1, . . . , fn ∈ L1(S n, ν). Similarmente se prova que

∆ΦEAπ−1( f1, . . . , fn) ≥ −M

n∑k=1

‖ fk‖L+1 (S n, ν).

para todo f1, . . . , fn ∈ L1(S n, ν).

Ate o momento, demonstramos que

−Mn∑

k=1

‖ fk‖L+1 (S n, ν) ≤ ∆ΦEA

π−1( f1, . . . , fn) ≤ Mn∑

k=1

‖ fk‖L+1 (S n, ν) + ∆ΛL1(S n , ν)

(f1, . . . , fn

),

para todo f1, . . . , fn ∈ L1(S n, ν). Portanto o funcional semilinear ΦEAπ−1 verifica as condicoes

do Caso 1., assim existe um espaco de Kothe X, tal que∣∣∣∣ΦX(g) − (ΦEA π−1)(g)

∣∣∣∣ ≤ (M + 2δ(Φ)

)‖g‖L1 ,

para todo g ∈ L+1 (S n, ν).

Seja g = π( f ), onde f ∈ EA , definimos ΨA por ΨA ( f ) = ΦX(π( f )). O funcional ΨA assimdefinido e um funcional semilinear convexo com Λ−ΨA convexo (lembre-se que ΦX e ΛL+

1 (S n, ν)−

ΦX sao convexos e π linear, portanto ΨA e Λ − ΨA sao convexos) tal que

|ΨA ( f ) − Φ( f )| ≤(M + 2δ(Φ)

)‖ f ‖L1 ,

para todo f ∈ EA .Caso 3. Seja U o cone das funcoes simples em T . Entao existe um funcional semilinearconvexo ΨU , definido em U , com Λ − ΨU convexo tal que

|ΨU ( f ) − Φ( f )| ≤(M + 2δ(Φ)

)‖ f ‖L1 ,

para todo f ∈ U .De fato, seja f ∈ U .Note que f ∈ EA para algum espaco EA . Representemosa particao A1, . . . , An, (S \ ∪n

k=1 Ak) de S por A = (A1, . . . , An). Seja P o conjunto de todas

98


as particoes de S . O espaco EA , onde A = (A1, . . . , An) e os Ak sao conjuntos mensuraveisdisjuntos, sera como no caso anterior, o conjunto das funcoes f ∈ U tais que f =

∑nk=1 ck · 1Ak ,

para constantes ck ≥ 0. Definamos uma relacao em P como: se A = (A1, . . . , An), A ′ =

(A′1, . . . , A′m) ∈P , entao A ′ A se, e somente se, A ′ e mais fina que A . O par (P , ) e um

conjunto direito. Portanto, para f ∈ U definimos uma rede Υ f : P −→ R por

Υ f (A ) =

Φ( f ), se f < EA

ΨA ( f ), se f ∈ EA .

Por Abuso de notacao, representamos a rede Υ f por (ΨA ( f ))A ∈P . Entao pelo caso Caso 2. epela forma como definimos (ΨA ( f ))A ∈P temos que

|ΨA ( f ) − Φ( f )| ≤(M + 2δ(Φ)

)‖ f ‖L1 ,

para todo A ∈ P , onde f ∈ U e fixo. A desigualdade acima mostra que (ΨA ( f ))A ∈P e umarede limitada, portanto, existe uma subrede convergente de (ΨA ( f ))A ∈P , logo o conjunto

D f =(ΨA ′( f ))A ′∈P subrede de (ΨA ( f ))A ∈P : (ΨA ′( f ))A ′∈P e convergente

e nao vazio. Consideremos a famılia indexada (D f ) f∈U . Pelo axioma da escolha, existe umafuncao e : U −→ ∪ f∈U D f tal que e( f ) ∈ D f . Denotemos e( f ) = (ΨA ′( f ))A ′∈P . Agora defi-namos um funcional semilinear ΨU : U −→ R pondo

ΨU ( f ) = limA ′

ΨA ′( f ).

Observe que ΨU assim definido verifica que

|ΨU ( f ) − Φ( f )| ≤(M + 2δ(Φ)

)‖ f ‖L1 ,

para todo f ∈ U . Sejam f , g ∈ U . Entao existem A ′,A ′′ ∈ P tais que f ∈ EA ′ e g ∈ EA ′′ .Se A ′′′ e uma colecao mais fina que A ′ e A ′′, entao f , g, f + g ∈ EA ′′′ . Como ΨA e convexopara todo A A ′′′, entao ΨA ( f + g) ≤ ΨA ( f ) + ΨA (g) para todo A A ′′′. PortantoΨU e uma funcao convexa. Similarmente se demonstra que Λ − ΨU e uma funcao convexa.Consequentemente existe um funcional semilinear convexo ΨU , definido em U , com Λ − ΨU

convexo tal que|ΨU ( f ) − Φ( f )| ≤

(M + 2δ(Φ)

)‖ f ‖L1 ,

para todo f ∈ U .

Caso 4. Demonstraremos que existe um funcional semilinear convexo Ψ, com Λ −Ψ convexo,definido em T tal que

|Ψ( f ) − Φ( f )| ≤(M + 2δ(Φ)

)‖ f ‖L1

99


para todo f ∈ T . De fato, seja f ∈ T . Como o conjunto das funcoes simples e denso em L1(µ),entao U ∩ [0, f ] e denso em [0, f ]. Vejamos que o funcional ΨU e uniformemente contınuoem U ∩ [0, f ]. Como Φ e semilinear, entao Φ e contınua em 0, quando Φ e restrito a [0, f ] (vercondicao 3. da definicao de funcional semilinear). Observe que

|ΨU (g)| ≤(M + 2δ(Φ)

)‖g‖L1 + |Φ(g)|,

para todo g ∈ U ∩ [0, f ].Sejam g, h ∈ [0, f ] e k = max(g, h). Entao pelo fato de Λ − ΨU ser convexo, temos que

|ΨU (g) − ΨU (h)| = |ΨU (g) + ΨU (k − g) − ΨU (k)|+|ΨU (h) + ΨU (k − h) − ΨU (k)| + |ΨU (k − h)| + |ΨU (k − g)|

= |∆ΨU(g, k − g)| + |∆ΨU

(h, k − h)| + |ΨU (k − h)| + |ΨU (k − g)|,

≤ |∆Λ(g, k − g)| + |∆Λ(h, k − h)| + |ΨU (k − h)| + |ΨU (k − g)|

≤ |∆Λ(g, k − g)| + |∆Λ(h, k − h)| +(M + 2δ(Φ)

)‖k − h‖L1 + |Φ(k − h)|

+(M + 2δ(Φ)

)‖k − g‖L1 + |Φ(k − g)|

= |∆Λ(g, k − g)| + |∆Λ(h, k − h)| + |Φ(k − h)| + |Φ(k − g)|

+(M + 2δ(Φ)

)‖h − g‖L1

Note que

|∆Λ(g, k − g)| = ‖g‖L1 ·

∣∣∣∣∣∣∆Λ

(g‖g‖L1

,k − g‖g‖L1

)∣∣∣∣∣∣≤ ‖ f ‖L1 · sup

‖F‖L1≤1sup

‖G‖L1≤‖k−g‖L1

|∆Λ(F, G)|,

logo|∆Λ(g, k − g)| ≤ ‖ f ‖L1 · φ(‖k − g‖L1),

ondeφ(λ) = sup

‖F‖L1≤1sup‖G‖L1≤λ

|∆Λ(F, G)|

e limλ→0

φ(λ) = 0, pois Λ e um funcional semilinear K-contınuo. Similarmente

100


|∆Λ(h, k − h)| ≤ ‖ f ‖L1 · φ0(‖h − g‖L1),

onde φ0 e uma funcao tal que limλ→0

φ0(λ) = 0. Isto prova que

|ΨU (g) − ΨU (h)| ≤ ‖ f ‖L1 · φ(‖k − g‖L1

)+ ‖ f ‖L1 · φ0

(‖h − g‖L1

)+

(M + 2δ(Φ)

)· ‖h − g‖L1 + |Φ(k − g)| + |Φ(k − h)|

Agora seja ε > 0 arbitrario. Entao , existe ζ > 0 tal que 0 < λ < ζ implica que

φ(λ) <ε

5‖ f ‖L1

,

φ0(λ) <ε

5‖ f ‖L1

,

e,|Φ(l)| <

ε

5, se ‖l‖L1 < ζ e l ∈ [0, f ].

Escolha 0 < ζ <ε

5(M + 2δ(Φ)

) .Se ‖h− g‖L1 < ζ, entao como |k− h|, |k− g| ≤ |g− h|, obtemos imediatamente que ‖k− h‖L1 , ‖k−g‖L1 ≤ ζ, portanto,

|ΨU (g) − ΨU (h)| ≤ε

5+ε

5+ε

5+ε

5+ε

5

= ε.

Resumindo, para cada ε > 0 existe ζ > 0 tal que

‖g − h‖L1 < ζ ⇒ |ΨU (g) − ΨU (h)| < ε.

Isto prova que ΨU e uniformemente contınua em U ∩ [0, f ]. Portanto, o Teorema 2.80 implicaque existe uma unica extensao uniformemente contınua de ΨU a [0, f ], que denotamos por ΨU .Definamos Ψ em T como

Ψ( f ) = limn→∞

ΨU ( fn), onde os fn ∈ [0, f ] e fn‖·‖L1−→ f .

O Teorema 2.80 garante que a funcao esta bem definida. Note que Ψ e Λ − Ψ sao funcionaissemilineares convexos em T , pois ΨU e Λ −ΨU sao funcionais semilineares convexos em U .

101


Seja ( fn)n uma sequencia de funcoes simples de T , tal que fn → f em norma ‖ · ‖L1 , com fn ≤ f .Portanto

|ΨU ( fn) − Φ( f )| ≤ |ΨU ( fn) − Φ( fn)| + |Φ( fn) − Φ( f )|

≤(M + 2δ(Φ)

)‖ fn‖L1 + 2δ(Φ)‖ f ‖L1 .

Se n→ ∞, obtemos que|Ψ( f ) − Φ( f )| ≤

(M + 4δ(Φ)

)‖ f ‖L1 ,

para todo f ∈ T , logo d(Φ, Ψ) ≤ M + 4δ(Φ). O Teorema 6.20 implica que existe um espaco deKothe tal que Ψ = ΦX. Logo d(Φ, ΦX) ≤ M + 4δ(Φ).

Teorema 6.22 Sejam S um conjunto e µ uma medida positiva definida em uma σ-algebra finitade S , que denotamos por Σ. Se φ : Σ −→ R e uma funcao que satisfaz

φ(A) + φ(B) − µ(A ∪ B) ≤ φ(A ∪ B) ≤ φ(A) + φ(B)

para todo A, B ∈ Σ disjuntos, entao existe uma medida com sinal ν em Σ tal que ν(A) ≤ φ(A)para todo A ∈ Σ e ν(S ) ≥ φ(S ) − 4µ(S ).

Demonstracao. Para A ∈ Σ, definamos um σ-algebra em A como ΣA = D ∈ Σ : D ⊆ A.Seja ΓA o conjunto de todas as medidas com sinal ρ, definidas em (A, ΣA), tais que ρ ≤ φ. Sejah : Σ −→ R definida por

h(A) =

µ(A)−1

(φ(A) − sup

ρ∈ΓA

ρ(A)), se µ(A) , 0

0, se µ(A) = 0.

Entao, para cada n ∈ N, existe νn ∈ ΓS , tal que supρ∈ΓS

ρ(S ) − 1/n ≤ νn(S ), que equivale a

φ(S ) − h(S ) µ(S ) − 1/n ≤ νn(S ), ∀ n ∈ N.

Observe que a sequencia (νn(A))n e limitada para todo A ∈ Σ, pois νn(A) ≤ φ(A) para todo n ∈ Ne

νn(A) = νn(S ) − νn(S \A)

≥ φ(S ) − h(S ) µ(S ) − 1/n − φ(S \A)

≥ φ(S ) − h(S ) µ(S ) − 1 − φ(S \A)

102


para todo n ∈ N. Como Σ e finito, entao existe uma subsequencia de (νn)n, que denotamos por(νn)n, tal que para todo A ∈ Σ a sequencia (νn(A))n converge. Se definimos uma medida comsinal como ν(A) = lim

n→∞ν(A), temos que ν(S ) ≥ φ(S ) − h(S ) µ(S ) e ν(A) ≤ φ(A) para todo A ∈ Σ.

Para terminar a prova, basta mostrar que γ = maxA∈Σ

h(A) ≤ 4, pois ν(S ) ≥ φ(S ) − γµ(S ) ≥φ(S ) − 4µ(S ). De fato, assuma que max

A∈Σh(A) = h(C), para algum C ∈ Σ.

Se µ(C) = 0, entao h(C) = 0, logo, trivialmente γ ≤ 4.Suponha µ(C) > 0. Entao, pela definicao de h, obtemos que para 0 < ε < µ(C), existe λ ∈ ΓC

tal queλ(C) ≥ φ(C) − ε − γµ(C) (6.25)

Verifiquemos que a afirmacao :

B ∈ ΣC, B , ∅ ⇒ λ(B) < φ(B) − 2µ(B)

e falsa. Assuma que seja verdadeira. Isto implica que λ + 2µ ∈ ΓC, e por (6.25) obtemos que

γ = h(C) ≤ µ(C)−1(φ(C) − λ(C) − 2µ(C)

)≤ µ(C)−1(ε + γµ(C) − 2µ(C)).

Isto e, γ ≤ µ(C)−1(ε + γµ(C) − 2µ(C)

), que equivale a dizer que 2µ(C) ≤ ε e que contradiz a

escolha de ε. Portanto, existe B ∈ ΣC com B , ∅, tal que λ(B) ≥ φ(B)−2µ(B). Isto e, o conjunto

Θ =D ∈ ΣC : λ(D) ≥ φ(D) − 2µ(D)

ordenado por inclusao e nao vazio e finito, portanto, possui um elemento maximal nao vazio,que denotamos por E. Observe que

λ(E) ≥ φ(E) − 2µ(E). (6.26)

Se C\E = ∅, entao C = E, logo por (6.26), temos a desigualdade 4 ≥ 2 ≥ µ(C)−1(φ(C)−λ(C)

)≥

h(C), e novamente estarıa provado o teorema.Suponha que C\E , ∅. Entao para todo A ∈ ΣC\E, obtemos que λ(E∪A) < φ(E∪A)−2µ(E∪A)(lembre-se que E e um elemento maximal de Θ ). Como E ∩ A = ∅, temos que λ(A ∪ E) =

λ(A) + λ(E). Usando (6.26) e a hipoteses do teorema, temos que

103


λ(A) < φ(A ∪ E) − 2µ(A ∪ E) − λ(E)

= φ(A ∪ E) − φ(E) − 2µ(A) −(λ(E) + 2µ(E) − φ(E)

)≤ φ(A ∪ E) − φ(E) − 2µ(A)

≤ φ(A) − 2µ(A).

Resumindo,

λ(A) < φ(A) − 2µ(A), para todo A ∈ ΣC\E. (6.27)

Agora definamos uma medida com sinal em (C, ΣC), que denotamos por λ0, como

λ0(B) = λ(B) + µ(B ∩C\E) − µ(B ∩ E).

Entao, pela desigualdade λ ≤ φ, por (6.27) e pela hipoteses do teorema, temos que

λ0(B) = λ(B) + µ(B ∩C\E) − µ(B ∩ E)

= λ((B ∩ E) ∪ (B ∩C\E)

)+ µ(B ∩C\E) − µ(B ∩ E)

= λ(B ∩ E) + λ(B ∩C\E) + µ(B ∩C\E) − µ(B ∩ E)

≤ φ(B ∩ E) + λ(B ∩C\E) + µ(B ∩C\E) − µ(B ∩ E)

< φ(B ∩ E) +(φ(B ∩C\E) − 2µ(B ∩C\E)

)+ µ(B ∩C\E) − µ(B ∩ E)

= φ(B ∩ E) + φ(B ∩C\E) − µ(B ∩C\E) − µ(B ∩ E)

= φ(B ∩ E) + φ(B ∩C\E) − µ(B)

≤ φ(B),

isto mostra que λ0 ∈ ΓC. Portanto,

γ = h(C) ≤ µ(C)−1(φ(C) − λ0(C)

),

104


assim λ0(C) ≤ φ(C) − γµ(C) e pela definicao de λ0, temos que λ0(C) = λ(C) + µ(C\E) − µ(E),portanto, λ(C) + µ(C\E)− µ(E) ≤ φ(C)− γµ(C), usando a equacao (6.25), segue-se que φ(C)−ε − γµ(C) + µ(C\E) − µ(E) ≤ φ(C) − γµ(C), que equivale a µ(C\E) − µ(E) ≤ ε, deduzindo que

µ(C) − ε2

≤ µ(E). (6.28)

Pela definicao de h, existe uma medida com sinal ϑ ∈ ΓC\E, tal que

ϑ(C\E) ≥ φ(C\E) − γµ(C\E) − ε. (6.29)

Definamos uma medida com sinal em (C, ΣC) por

ϑ0(B) = λ(B ∩ E) + ϑ(B ∩C\E) − µ(E).

Usando as desigualdades λ ≤ φ, ϑ ≤ φ e as hipoteses do teorema, temos que para todo B ∈ ΣC,

ϑ0(B) = λ(B ∩ E) + ϑ(B ∩C\E) − µ(E)

≤ φ(B ∩ E) + φ(B ∩C\E) − µ(B)

≤ φ(B),

portanto, ϑ0 ∈ ΓC. Note que ϑ0(C) = λ(E) + ϑ(C\E) − µ(C) (ver definicao de ϑ0). Agora

γ = h(C)

≤ µ(C)−1(φ(C) − ϑ0(C)

)= µ(C)−1

(φ(C) − λ(E) − ϑ(C\E) + µ(C)

).

Logo,

λ(E) + ϑ(C\E) − µ(C) ≤ φ(C) − γµ(C). (6.30)

Observe que de (6.29) e (6.26), deduzimos que

φ(C) − γµ(C) ≥ λ(E) + ϑ(C\E) − µ(C)

≥ λ(E) +(φ(C\E) − γµ(C\E) − ε

)− µ(C)

≥ φ(E) − 2µ(E) + φ(C\E) − γµ(C\E) − ε − µ(C),

105


pela hipoteses do teorema, temos que φ(C) ≤ φ(E) + φ(C\E), logo

φ(E) + φ(C\E) − γµ(C) ≥ φ(E) − 2µ(E) + φ(C\E) − γµ(C\E) − ε − µ(C),

que equivale a

(γ − 2)µ(E) ≤ µ(C) + ε,

e usando (6.28), obtemos que

(γ − 2) ≤2 (µ(C) + ε)µ(C) − ε

.

Se ε→ 0, concluimos que γ ≤ 4.

Lema 6.23 Seja σ > 1. Entao existem constantes C e C′ que dependem de σ tais que seT ⊂ (L log L)+ e um semi-ideal estrito e Φ : T → R e um funcional semilinear que satisfaz

∆Φ( f , g) ≤ α log 2(‖ f ‖L1 + ‖g‖L1)

para todo f , g ∈ T (respectivamente, para todo f , g ∈ T disjuntos). Entao para f =∑n

k=1 fk,temos que

∆Φ( f1, . . . , fn) ≤ α(σ

n∑k=1

‖ fk‖L1 log‖ f ‖L1

‖ fk‖L1

+ C‖ f ‖L1

)∆Φ( f1, . . . , fn) ≤ α

(2σ

n∑k=1

(log k) ‖ fk‖L1 + C′‖ f ‖L1

).

para todo f1, . . . , fn ∈ T (respectivamente, para todo f1, . . . , fn ∈ T disjuntos).

Demonstracao. Inicialmente, observe que se f1, . . . , fn ∈ T , entao as f1, . . . , fn sao naonegativas, portanto ‖ f ‖L1 =

∑nk=1 ‖ fk‖L1 .

Considere a funcao

h(a) = σ(a log

1a

+ (1 − a) log1

1 − a

)− log 2

definida para 0 < a < 1. Note que h e contınua, decrescente no intervalo [12 , 1] e h(1/2) =

(σ − 1) log 2 > 0, portanto, existe 0 < θ0 < 1 tal que h e positiva em [ 12 ,

12 (1 + θ0)], assim h

atinge um mınimo nesse intervalo, isto e, existe τ > 0, tal que

τ ≤ σ(a log

1a

+ (1 − a) log1

1 − a

)− log 2 (6.31)

para todo 12 ≤ a ≤ 1

2 (1 + θ0).Agora, como Φ verifica

∆Φ( f , g) ≤ α log 2(‖ f ‖L1 + ‖g‖L1)

106


para todo f , g ∈ T , usando inducao demonstraremos que

∆Φ( f1, . . . , fn) ≤ α(n − 1) log 2n∑

k=1

‖ fk‖L1

para todo f1, . . . , fn ∈ T .Assuma que f1, . . . , fn ∈ T , com

∑nk=1 ‖ fk‖L1 = 1. Entao a desigualdade acima mostra que

∆Φ( f1, . . . , fn) ≤ ασn∑

k=1

‖ fk‖L1 log1‖ fk‖L1

+ α(n − 1) log 2.

Logo, existe cn tal que

∆Φ( f1, . . . , fn) ≤ α(σ

n∑k=1


+ cn

). (6.32)

Escolha cn como o menor numero que verifica essa desigualdade.

Seja θ = max1≤k≤n‖ fk‖L1 . Vamos dar estimativas de ∆Φ( f1, . . . , fn) quando θ ≤ θ0 e θ ≥ θ0. De fato:

Suponha primeiro que θ ≤ θ0. Escolhamos para 1 ≤ k ≤ n, constantes ξk = ±1 tais que0 ≤

∑nk=1 ξk · ‖ fk‖L1 ≤ θ. Sejam A = k : ξk = 1 e B = k : ξk = −1. Consideremos

a =∑

k∈A ‖ fk‖L1 . Observe que 2a − 1 =∑n

k=1 ξk · ‖ fk‖L1 , logo 0 ≤ 2a − 1 ≤ θ ≤ θ0. Isto e,12 ≤ a ≤ 1

2 (1 + θ0).Sejam fA =

∑k∈A fk e fB =

∑k∈B fk. A hipotese do teorema implica que

∆Φ( fA, fB) ≤ α log 2. (6.33)

Seja ∆Φ( fk : k ∈ A) = ∆Φ

( n-termos︷︸︸︷ fk : k ∈ A, 0, . . . , 0

). Agora, pela desigualdade (6.32), temos que

∆Φ

( fk

a: k ∈ A

)≤ α

(σ∑k∈A

‖ fk‖L1

alog

a‖ fk‖L1

+ cn

),

que equivale a

∆Φ( fk : k ∈ A) ≤ α(σ∑k∈A

‖ fk‖L1 loga‖ fk‖L1

+ acn

)(6.34)

Similarmente obtemos que

∆Φ( fk : k ∈ B) ≤ α(σ∑k∈B

‖ fk‖L1 log1 − a‖ fk‖L1

+ (1 − a)cn

). (6.35)

Agora por (6.33), (6.34) e (6.35), temos que

107


∆Φ( f1, . . . , fn) = ∆Φ( fA, fB) + ∆Φ( fk : k ∈ A) + ∆Φ( fk : k ∈ B)

≤ α log 2 + α(σ∑k∈A


+ acn

)+α

(σ∑k∈B


+ (1 − a)cn

)

= α(

log 2 + σ∑k∈A


+ σ∑k∈B


+ cn

)Substituindo σ

∑k∈A ‖ fk‖L1 log

a‖ fk‖L1

por σ∑n

k=1 ‖ fk‖L1 loga‖ fk‖L1

−σ∑

k∈B ‖ fk‖L1 loga‖ fk‖L1

e pela

desigualdade (6.31) temos que

= α

(σ

n∑k=1


+ σ(a log a + (1 − a) log(1 − a)

)+ log 2 + cn

)

≤ α(σ

n∑k=1


− τ + cn

),

onde τ > 0. Resumindo,

∆Φ( f1, . . . , fn) ≤ α(σ

n∑k=1


− τ + cn

),

para todo f1, . . . , fn ∈ T , com∑n

k=1 ‖ fk‖L1 = 1 e θ ≤ θ0.Agora suponha que θ > θ0, e sem perda de generalidade assuma que θ = ‖ fn‖. Por calculossimilares dos anteriores deduzimos que

∆Φ( f1, . . . , fn) = ∆Φ

( n−1∑k=1

fk, fn

)+ ∆Φ( f1, . . . , fn−1, 0)

≤ α log 2(∥∥∥∥ n−1∑

k=1

fk

∥∥∥∥L1

+ ‖ fk‖L1

)+

(ασ

n−1∑k=1

‖ fk‖L1 log1 − θ‖ fk‖L1

+ αcn(1 − θ))

≤ α(σ

n∑k=1


+ cn(1 − θ0) + log 2).

108


Resumindo,

∆Φ( f1, . . . , fn) ≤ α(σ

n∑k=1


+ cn(1 − θ0) + log 2),


k=1 ‖ fk‖L1 = 1 e θ > θ0.

Em Consequentemente, para todo f1, . . . , fn ∈ T , com∑n

k=1 ‖ fk‖L1 = 1, temos que

∆Φ( f1, . . . , fn) ≤ α(σ

n∑k=1


+ max(cn(1 − θ0) + log 2, cn − τ

)).

Entao pela forma como nos escolhemos cn (ver desigualdade (6.32)), deduzimos que

max(cn(1 − θ0) + log 2, cn − τ

)= cn(1 − θ0) + log 2,

assim cn ≤ cn(1− θ0) + log 2, portanto cn ≤log 2θ0, o que prova a primeira parte do teorema, isto e,

∆Φ( f1, . . . , fn) ≤ α(σ

n∑k=1


+log 2θ0

),


k=1 ‖ fk‖L1 = 1, onde C =log 2θ0

depende so de σ.

A segunda parte do teorema, e um resultado imediato do Lema 2.76. De fato, pela parte anterior,temos que

∆Φ( f1, . . . , fn) ≤ α(σ

n∑k=1


+ C),


k=1 ‖ fk‖L1 = 1, e C depende so de σ. Assumamos sem perda degeneralidade que ‖ f1‖L1 ≥ ‖ f2‖L1 ≥ . . . ≥ ‖ fn‖L1 . Se ξk = ‖ fk‖L1 e ε = 1, no Lema 2.76 temosque

n∑k=1


≤ 2n∑

k=1

(log k)‖ fk‖L1 + B2,

logo

∆Φ( f1, . . . , fn) ≤ α(2σ

n∑k=1

(log k)‖ fk‖L1 + C + B2

),


k=1 ‖ fk‖L1 = 1. Se C′ = C + B2, entao C′ depende so de σ. Istomostra a segunda parte do lema.

109


Lema 6.24 Dado ε > 0, existe uma constante β (que depende de ε ) tal que para todo semi-ideal T e Φ : T −→ R funcional semilinear, temos que

|∆Φ( f1, . . . , fn)| ≤ δ(Φ)(ε

n∑k=1

k ‖ fk‖L1 + β∥∥∥∥ n∑

k=1

fk

∥∥∥∥L1

).

Demonstracao. Seja ε > 0 dado. Como Φ e semilinear, temos que

∆Φ( f , g) ≤δ(Φ)log 2

· log 2(‖ f ‖L1 + ‖g‖L1).

Agora aplicando o Lema 6.23, com σ = 2 log 2 > 1 e α =δ(Φ)log 2

, temos que

∆Φ( f1, . . . , fn) ≤δ(Φ)log 2

(4 log 2

n∑k=1

(log k)‖ fk‖L1 + C′∥∥∥∥ n∑

k=1

fk

∥∥∥∥L1

), (6.36)

para todo f1, . . . , fn ∈ T , onde C′ e constante.Afirmamos que para ε > 0, existe un numero real γ(ε) tal que para todo k ∈ N, temos que

log k ≤ k · ε + γ(ε).

De fato, como limk→∞

log kk

= 0, entao existe Nε ∈ N, tal que

se k ≥ Nε ⇒ log k ≤ k · ε.

Basta definir γ(ε) =∑Nε

m=1 log m. Agora da desigualdade (6.36), deduzimos que

∆Φ( f1, . . . , fn) ≤ δ(Φ)(4

n∑k=1

(εk + γ(ε)

)‖ fk‖L1 + C′

∥∥∥∥ n∑k=1

fk

∥∥∥∥L1

)

= δ(Φ)( n∑

k=1

4εk‖ fk‖L1 +(C′ + 4γ(ε)

)∥∥∥∥ n∑k=1

fk

∥∥∥∥L1

),

o que prova o lema.

Lema 6.25 Dado ε > 0, existe uma constante C tal que se T e um semi-ideal de L+1 e Φ e

um funcional semilinear real definido em T que verifica para todo f , g ∈ T , com supp( f ) ∩supp(g) = ∅, temos que ∆Φ( f , g) ≥ 0, entao para todo f1, f2, . . . , fn ∈ T ,

∆Φ( f1, f2, . . . , fn) + δε∆Λ( f1, f2, . . . , fn) ≥ −Cδn∑

k=1

‖ fk‖L1 ,

onde δ = δ(Φ).

110


Demonstracao. Vamos provar o teorema para funcoes simples. Assuma que f1, f2, . . . , fn ∈

T sao funcoes simples e f = f1 + f2 + . . .+ fn com ‖ f ‖L1 = 1. Seja Σ0 o algebra finita gerada porf1, f2, . . . , fn (ver Definicao 2.7). Definamos uma funcao φ : Σ0 −→ R por φ(A) = Φ( f · 1A).Entao para A, B disjuntos temos

φ(A) + φ(B) − φ(A ∪ B) = Φ( f · 1A) + Φ( f · 1B) − Φ( f · 1A∪B)

= Φ( f · 1A) + Φ( f · 1B) − Φ( f · 1A + f · 1B)

≤ |∆Φ( f · 1A, f · 1B)|

≤ δ(‖ f · 1A‖L1 + ‖ f · 1B‖L1

)= δ

∫A∪B

f dµ

e pela hipoteses do teorema, temos que ∆Φ( f 1A, f 1B) ≥ 0, isto e, φ(A ∪ B) ≤ φ(A) + φ(B).Resumindo

φ(A) + φ(B) − δ∫

A∪Bf dµ ≤ φ(A ∪ B) ≤ φ(A) + φ(B).

Se µ0(C) =∫

Cδ f dµ, entao φ verifica as hipoteses do Teorema 6.22, logo existe uma medida

com sinal ν definida na algebra Σ0 tal que ν(A) ≤ φ(A) para todo A ∈ Σ0 e ν(S ) ≥ φ(S )−4µ0(S ) =

φ(S ) − 4δ = Φ( f ) − 4δ (lembre-se que nos assumimos que ‖ f ‖L1 = 1).Por outro lado, seja g uma funcao Σ0 mensuravel tal que supp(g) ⊆ supp( f ). Suponha que‖g‖L1 = 1 e definamos uma funcao h por

h(s) =

g(s)f (s)

, se f (s) , 0

0, se f (s) = 0

.

Considere os conjuntos Σ0 mensuraveis A0 = s : h(s) < 1 e Ak = s : 2k−1 ≤ h(s) < 2k parak > 0 natural. Como Σ0 e um algebra finita, temos que existe N ∈ N tal que Ak = ∅ para k > N.Entao pelo Lema 6.24 temos que

∆Φ

(g · 1A0 , g · 1A1 , . . . , , g · 1AN

)≤ δ

(ε log 2

N∑k=0

(k + 1)‖g · 1Ak‖L1 + C0

),

onde C0 depende de ε. Observe que

111


log 2N∑

k=0

(k + 1)‖g · 1Ak‖L1 = log 2∫

A0

g dµ + log 2N∑

k=1

(k + 1)∫

Ak

g dµ

= log 2∫

A0

g dµ +

N∑k=1

∫Ak

g(log 2k−1 + 2 log 2) dµ

≤ log 2∫

A0

g dµ +

N∑k=1

∫Ak

g log+ h dµ + 2 log 2N∑

k=1

∫Ak

g dµ

≤ log 2∫

A0

g dµ +

∫g log+ h dµ + 2 log 2

= log 2∫

A0

g dµ +

∫g log h dµ −

∫g log− h dµ + 2 log 2

= log 2∫

A0

g dµ +

∫g log h dµ +

∫A0

g logfg

dµ + 2 log 2

≤ log 2 +

∫g log h dµ +

∫A0

g ·fg

dµ + 2 log 2

≤ 3 log 2 +

∫g log h dµ + 1.

Portanto,

∆Φ

(g · 1A0 , g · 1A1 , . . . , g · 1AN

)≤ δ

(ε

∫g log h dµ + C1

), (6.37)

onde C1 = ε (3 log 2 + 1) + C0 (depende so de ε).Por outro lado, para cada k ∈ N, escrevemos

h · 1Ak = 2k∞∑j=1

2− j1Bk j ,

onde os Bk j sao conjuntos de Σ0 contidos em Ak. Seja m ∈ N. Pelo Lema 6.24 temos que

112


∆km = ∆Φ

(2−1 f 1Bk1 , 2−2 f 1Bk2 , . . . , 2−m f 1Bkm

)≤ δ

( m∑j=1

j 2− j‖ f 1Bk j‖L1 + C2

m∑j=1

2− j‖ f 1Bk j‖L1

)≤ δ

( m∑j=1

j 2− j‖ f 1Ak‖L1 + C2

m∑j=1

2− j‖ f 1Ak‖L1

)≤ δC3‖ f 1Ak‖L1 ,

onde C2 depende so de ε e C3 =∑∞

j=1 j2− j + C2∑∞

j=1 2− j depende de ε. Agora

Φ( m∑

j=1

2k− j f 1Bk j

)=

m∑j=1

Φ(2k− j f 1Bk j

)− ∆Φ

(2k−1 f 1Bk1 , 2k−2 f 1Bk2 , . . . , 2k−m f 1Bkm

)≥

m∑j=1

2k− jφ(Bk j) − 2kC3δ ‖ f 1Ak‖L1 .

Se s ∈ Ak, onde k ≥ 1, entao 2k−1 ≤ g(s)/ f (s) = h(s), portanto −‖ f 1Ak‖L1 ≥ −‖g1Ak‖L1 , entao

Φ( m∑

j=1

2k− j f 1Bk j

)≥

m∑j=1

2k− jν(Bk j) − 2C3δ ‖g1Ak‖L1 . (6.38)

Agora pela definicao de h, obtemos que g ·1Ak =∑∞

j=1 2k− j f 1Bk j e pelo Teorema 6.16, temos que

Φ( ∞∑

j=1

2k− j f 1Bk j

)= Φ(g · 1Ak).

O Teorema da Convergencia Dominada garante que

∞∑j=1

2k− jν(Bk j) =

∞∑j=1

∫2k− j1Bk j dν =

∫2k

∞∑j=1

2− j1Bk j dν =

∫Ak

h dν.

Se m→ ∞ na equacao (6.38), entao

Φ(g · 1Ak) ≥∫

Ak

h dν − 2C3δ

∫Ak

g dµ, se k ≥ 1. (6.39)

Similarmente, obtemos que

113


Φ(g · 1A0) ≥∫

A0

h dν − 2C3δ

∫A0

f dµ, (6.40)

somando as equacoes (6.39),(6.40), usando ‖ f ‖L1 = ‖g‖L1 = 1 e o fato de Ak : k ∈ N ser umacolecao de conjuntos disjuntos

N∑k=0

Φ(g · 1Ak) ≥N∑

k=0

∫Ak

h dν − 2C3δ

N∑k=1

∫Ak

g dµ −C3δ

∫A0

f dµ

≥

∫h dν − 2C3δ −C3δ

=

∫h dν − 3C3δ.

Note que pela desigualdade 6.37, temos que

Φ(g) = Φ( N∑

k=0

g · 1Ak

)=

N∑k=0

Φ(g · 1Ak) − ∆Φ

(g · 1A0 , g · 1A1 , . . . , g · 1AN

)≥

∫h dν − 3C3δ − δ

(ε

∫g log h dµ + C1

)=

∫h dν − δε

∫g log h dµ − δC4,

onde C4 e uma constante que depende so de ε, tendo assim o seguinte resultado:

Φ(g) ≥∫

h dν − δε∫

g log h dµ − δC4, (6.41)

onde g e uma funcao Σ0-mensuravel tal que ‖g‖L1 = 1. Aplicando o resultado (6.41) para g =

fk/‖ fk‖L1 , temos que

Φ( fk) ≥∫

fk

fdν − δε

∫g log

fk

f ‖ fk‖L1

dµ − δC4‖ fk‖L1 ,

somando sobre k

114


n∑k=1

Φ( fk) ≥n∑

k=1

∫fk

fdν − δε

n∑k=1

∫fk log

fk

f ‖ fk‖L1

dµ − δC4

n∑k=1

‖ fk‖L1

≥ ν(S ) − δε∆Λ( f1, . . . , fn) − δC4

≥ Φ( f ) − 4δ − δε∆Λ( f1, . . . , fn) − δC4

= Φ( n∑

k=1

fk

)− δε∆Λ( f1, . . . , fn) − δ(C4 + 4),

concluindo assim que∆Φ

(f1, . . . , fn

)+ δε∆Λ

(f1, . . . , fn

)≥ −Cδ,

onde C = C4 + 4 depende so de ε e f1, . . . , fn sao funcoes simples tais que f = f1 + f2 + . . .+ fn

e ‖ f ‖L1 = 1.Se f1, . . . , fn sao funcoes simples arbitrarias, entao definamos fk := fk

‖ f ‖L1,

assim

∆Φ

(f1, . . . , fn

)+ δε∆Λ

(f1, . . . , fn

)≥ −Cδ

n∑k=1

‖ fk‖L1 ,

para f1, . . . , fn funcoes simples arbitrarias.Se f1, . . . , fn sao funcoes arbitrarias em T , entao para cada fk, onde 1 ≤ k ≤ n, existe umasequencia de funcoes simples nao negativa e crescente ( fk,m)m, com fk,m ≤ fk para todo m ∈ N(portanto, fk,m ∈ T ) tal que ( fk,m)m converge q.s. para fk. Aplicando o caso anterior, obtemosque

∆Φ

(f1,m , . . . , fn,m

)+ δε∆Λ

(f1,m, . . . , fn,m

)≥ −Cδ

n∑k=1

‖ fk,m‖L1 , (6.42)

O Teorema da Convergencia Dominada implica que limm→∞‖ fk,m − fk‖L1 = 0. Note que

∆Φ

(f1,m , . . . , fn,m

)=

n∑k=1

Φ( fk,m) − Φ( n∑

k=1

fk,m

)=

n∑k=1

(Φ( fk,m) − Φ( fk)

)+

(Φ( n∑

k=1

fk

)− Φ

( n∑k=1

fk,m

))+ ∆Φ

(f1 , . . . , fn

)≤

n∑k=1

∣∣∣∣Φ( fk,m) − Φ( fk)∣∣∣∣ +

∣∣∣∣∣∣Φ( n∑k=1

fk

)− Φ

( n∑k=1

fk,m

)∣∣∣∣∣∣ + ∆Φ

(f1 , . . . , fn

),

115


pelo Teorema 6.16, temos que

lim supm→∞

∆Φ

(f1,m , . . . , fn,m

)≤ 2δ

n∑k=1

‖ fk‖L1 + 2δ∥∥∥∥ n∑

k=1

fk

∥∥∥∥L1

+ ∆Φ

(f1 , . . . , fn

).

Tomando lim supm→∞

na equacao (6.42), obtemos pela desigualdade acima e pelo fato de Λ ser

contınuo em [0, fk]

2δn∑

k=1

‖ fk‖L1 + 2δ∥∥∥∥ n∑

k=1

fk

∥∥∥∥L1

+ ∆Φ

(f1 , . . . , fn

)+ δε∆Λ

(f1, . . . , fn

)≥ −Cδ

n∑k=1

‖ fk‖L1 ,

logo

∆Φ

(f1 , . . . , fn

)+ δε∆Λ

(f1, . . . , fn

)+ ≥ −(C + 4)δ

n∑k=1

‖ fk‖L1 .

para todo f1, . . . , fn ∈ T arbitrarios.

Teorema 6.26 Dado ε > 0, existe uma constante C (que depende de ε) tal que para todosemi-ideal estrito T contido em (L log L)+ e todo funcional semilinear Φ : T −→ R, comδ(Φ) ≤ (1 − ε) log 2, temos que existe um espaco de Kothe X tal que

d(Φ, ΦX − ΦX∗) ≤ C.

Demonstracao. Seja 0 < ε < 1. Aplicando o Lema 6.23 para σ = 2−ε2(1−ε) > 1 e α = 1 − ε,

temos que existe uma constante C0, que depende de ε, tal que para todo semi-ideal estrito Tcontido em (L log L)+ e todo funcional semilinear Φ : T −→ R que satisfaz

∆Φ( f , g) ≤ (1 − ε) log 2 (‖ f ‖L1 + ‖g‖L1),

obtemos que

|∆Φ( f1, . . . , fn)| ≤ (1 −12ε)

n∑k=1


‖ fk‖L1

+ C0‖ f ‖L1 ,

para f1, . . . , fn ∈ T e f =∑n

k=1 fk.Se f1, . . . , fn ∈ T sao disjuntos e f =

∑nk=1 fk, entao

∆Λ( f1, . . . , fn) =

n∑k=1


‖ fk‖L1

,

portanto,

116


|∆Φ( f1, . . . , fn)| ≤(1 −

12ε)∆Λ( f1, . . . , fn) + C0‖ f ‖L1 , (6.43)

para f1, . . . , fn ∈ T disjuntos e f =∑n

k=1 fk.

Seja Ψ0 = Φ + (1 − 12ε)Λ. Para f1, . . . , fn ∈ T disjuntos, deduzimos pela desigualdade (6.43)

que

∆Ψ0( f1, . . . , fn) = ∆Φ( f1, . . . , fn) + (1 −12ε) ∆Λ( f1, . . . , fn)

≥ −(1 −

12ε)∆Λ( f1, . . . , fn) −C0

n∑k=1

‖ fk‖L1 +(1 −

12ε)∆Λ( f1, . . . , fn)

= −C0

n∑k=1

‖ fk‖L1 .

Definamos como Ψ( f ) = inf∑n

k=1 Ψ0( fk), onde o ınfimo e tomado no conjunto dos f1, . . . , fn ∈

T disjuntos tais que f =∑n

k=1 fk. Agora

Ψ0( f ) −C0‖ f ‖L1 =

n∑k=1

Ψ0( fk) − ∆Ψ0( f1, . . . , fn) −C0‖ f ‖L1

≤

n∑k=1

Ψ0( fk) + C0

n∑k=1

‖ fk‖L1 −C0‖ f ‖L1

=

n∑k=1

Ψ0( fk)

para todo f1, . . . , fn ∈ T disjuntos, com f =∑n

k=1 fk, logo Ψ0( f ) − C0‖ f ‖L1 ≤ Ψ( f ). Peladefinicao de Ψ, obtemos que Ψ( f ) ≤ Ψ0( f ), resumindo

0 ≤ Ψ0( f ) − Ψ( f ) ≤ C0‖ f ‖L1 .

Note que

117


|∆Ψ( f1, . . . , fn) − ∆Ψ0( f1, . . . , fn) | =

∣∣∣∣∣∣ n∑k=1

(Ψ0( fk) − Ψ( fk)

)+

(Ψ( f ) − Ψ0( f )

) ∣∣∣∣∣∣≤ C0

n∑k=1

‖ fk‖L1 + C0‖ f ‖L1

= 2C0

n∑k=1

‖ fk‖L1 ,

isto e,

|∆Ψ( f1, . . . , fn) − ∆Ψ0( f1, . . . , fn) | ≤ 2C0

n∑k=1

‖ fk‖L1 . (6.44)

Afirmamos que ∆Ψ( f , g) ≥ 0 para todo f , g ∈ T disjuntos. De fato, sejam f =∑

k fk eg =

∑gk, onde os fk sao disjuntos e os gs sao disjuntos. Como f , g sao disjuntos, temos que os

fk, gs sao disjuntos. Agora Ψ( f + g) ≤∑

k Φ( fk) +∑

s Φ( fs), assim Ψ( f + g) ≤ Ψ( f ) + Ψ(g), oque prova ∆Ψ( f , g) ≥ 0, sempre que f , g sejam disjuntas. Note que Ψ verifica as hipoteses doLema 6.25, portanto, para

ε

2δ(Ψ), existe C0 (que depende de ε) tal que

∆Ψ( f1, . . . , fn) + δ(Ψ) ·ε

2δ(Ψ)∆Λ( f1, . . . , fn) ≥ −C0 · δ(Ψ)

n∑k=1

‖ fk‖L1 ,

para todo f1, . . . , fn ∈ T , que equivale a

∆Ψ( f1, . . . , fn) ≥ −ε

2∆Λ( f1, . . . , fn) −C0

n∑k=1

‖ fk‖L1 ,

para todo f1, . . . , fn ∈ T , onde C0 := δ(Φ) · C0. Usando esta desigualdade e (6.44), demon-stramos que

∆Ψ0( f1, . . . , fn) ≥ −ε

2∆Λ( f1, . . . , fn) −C1

n∑k=1

‖ fk‖L1 ,

onde C1 depende de ε. Como Ψ0 = Φ +(1 −

12ε)Λ, temos que

∆Φ( f1, . . . , fn) ≥ −∆Λ( f1, . . . , fn) −C2

n∑k=1

‖ fk‖L1 ,

onde C2 depende de ε.Analogamente provamos para −Φ que

118


∆−Φ( f1, . . . , fn) ≥ −∆Λ( f1, . . . , fn) −C2

n∑k=1

‖ fk‖L1 .

Resumindo,

|∆Φ( f1, . . . , fn)| ≤ ∆Λ( f1, . . . , fn) + C2

n∑k=1

‖ fk‖L1 , (6.45)

para todo f1, . . . , fn ∈ T .

O funcional semilinear12

(Φ + Λ) satisfaz as condicoes da Proposicao 6.21, pois a desigualdade(6.45) equivale a

−12

C2

n∑k=1

‖ fk‖L1 ≤ ∆Φ+Λ2

( f1, . . . , fn) ≤ ∆Λ( f1, . . . , fn) +12

C2

n∑k=1

‖ fk‖L1

para todo f1, . . . , fn ∈ T . A Proposicao 6.21 implica que existe um espaco de Kothe X tal que

d(Φ + Λ

2, ΦX

)≤ C3,

onde C3 depende de ε, assim

C3 ≥ d(Φ + Λ

2, ΦX

)

= sup‖ f ‖L1≤1

∣∣∣∣∣∣Φ( f ) + Λ( f )2

− ΦX( f )

∣∣∣∣∣∣= sup

‖ f ‖L1≤1

∣∣∣∣∣∣Φ( f ) − ΦX( f ) + Λ( f ) − ΦX( f )2

∣∣∣∣∣∣=

12· sup‖ f ‖L1≤1

|Φ( f ) − ΦX( f ) + ΦX∗( f ) |

=12· d(Φ, ΦX − ΦX∗).

Portanto, existe C que depende de ε tal que d(Φ, ΦX − ΦX∗) ≤ C.

A prova do seguinte resultado e imediata pelo teorema acima.

119


Teorema 6.27 Dado ε > 0, existe uma constante C (que depende de ε) tal que para todo semi-ideal estrito T de L+

1 e todo funcional semilinear Φ : T −→ R, com δ(Φ) ≤ (1−ε) log 2, temosque existe um espaco de Kothe X tal que∣∣∣∣Φ( f ) −

(ΦX( f ) − ΦX∗( f )

) ∣∣∣∣ ≤ C‖ f ‖L1 ,

para todo f ∈ T .

120

Capıtulo 7Centralizadores em espacos de Kothe

Neste capıtulo vamos estudar um tipo de aplicacoes quase-lineares chamados de centralizadores.O objetivo deste capıtulo e caracterizar as auto-extensoes dos espacos de Kothe interpolados.

Definicao 7.1 (Centralizador) Seja X um Espacos de Kothe. Um centralizador em X e umafuncao Ω : X → L0 tal que

• Ω(αx) = αΩ(x) para todo x ∈ X e todo α ∈ C.

• Existe uma constante ρ(Ω) > 0 tal que

‖Ω(ux) − uΩ(x)‖X ≤ ρ(Ω) ‖u‖∞‖x‖X. (7.1)

para todo u ∈ L∞ e todo x ∈ X.

Vamos denotar como ρ(Ω) a menor constante que satisfaz essa condicao . O centralizador Ω edito Real se Ω(x) e uma funcao de valor real sempre que x seja uma funcao de valor real.

7.1 Propriedades dos centralizadoresProposicao 7.2 Seja Ω um centralizador definido em X com

‖Ω(ux) − uΩ(x)‖X ≤ ρ ‖u‖∞‖x‖X,

para todo x ∈ X e u ∈ L∞, onde ρ := ρ(Ω). Entao

‖Ω(x + y) −Ω(x) −Ω(y)‖X ≤ 3ρ (‖x‖X + ‖y‖X), (7.2)

ou seja, todo centralizador em X e uma funcao quase-linear em X.

121

7.1 Propriedades dos centralizadores

Demonstracao. Seja z = |x| + |y|. Definimos u =xz

e v =yz.

Note que |u(s)|, |v(s)| ≤ 1 para quase todo s ∈ S e tambem que |u(s) + v(s)| ≤ 1 para quase todos ∈ S , o que prova u, v, u + v ∈ L∞ e ‖u‖∞, ‖v‖∞, ‖u + v‖∞ ≤ 1. Escrevamos x = u z e y = v z,assim

Ω(x + y) −Ω(x) −Ω(y) = Ω((u + v) z

)−Ω(uz) −Ω(vz)

=

[Ω((u + v) z

)− (u + v) Ω(z)

]+

[u Ω(z) −Ω(uz)

]+

[v Ω(z) −Ω(vz)

],

onde cada termo acima esta em X e em consequentemente

‖Ω(x + y) −Ω(x) −Ω(y)‖X ≤

∥∥∥∥Ω((u + v) z

)− (u + v) Ω(z)

∥∥∥∥X

+ ‖uΩ(z) −Ω(uz)‖X+‖vΩ(z) −Ω(vz)‖X

≤ ρ ‖u + v‖∞‖z‖X + ρ ‖u‖∞‖z‖X + ρ ‖v‖∞‖z‖X

≤ 3ρ ‖z‖X

= 3ρ∥∥∥∥|x| + |y|∥∥∥∥

X

≤ 3ρ (‖x‖X + ‖y‖X).

Definicao 7.3 Dois centralizadores Ω, Ω′ em X sao limitadamente equivalentes, se Ω(x) −Ω′(x) ∈ X para todo x ∈ X e se existe uma constante C tal que

‖Ω(x) −Ω′(x)‖X ≤ C ‖x‖X

para todo x ∈ X.

Definicao 7.4 (Espaco derivado) O espaco derivado associado a um centralizador Ω : X −→L0, e definido por

dΩX = (x, y) ∈ X × L0 : Ω(x) − y ∈ X,

com a quase-norma ‖(x, y)‖dΩX = ‖x‖X + ‖Ω(x) − y‖X.

122


Observacao 7.5 Pela Proposicao 7.2, temos que todo centralizador Ω : X −→ L0 e umaaplicacao quase-linear, portanto, a Proposicao 3.9 garante que o espaco dΩX e uma somatorcida.Se Ω′ : X −→ L0 e um centralizador limitadamente equivalente a Ω, entao a Proposicao 3.13,garante que os espacos derivados dΩX e dΩ′X sao somas torcidas equivalentes.

Agora mostraremos que todo centralizador Real pode ser aproximado de uma certa maneira porum centralizador em L1.

Proposicao 7.6 Seja Ω um centralizador real em X tal que

‖Ω(ux) − uΩ(x)‖X ≤ ρ(Ω) ‖u‖∞‖x‖X,

para todo x ∈ X e u ∈ L∞. Entao existe um centralizador real Ω1 em L1 tal que

‖Ω1(y y∗) − y∗Ω(y) ‖L1 ≤ K ‖y‖X ‖y∗‖X∗ (7.3)

para todo y ∈ X e todo y∗ ∈ X∗, onde K = 4ρ(Ω). Alem disso, Ω1 e unico no seguinte sentido:se Ω1

0 e outro centralizador em L1 que satisfaz a desigualdade (7.3), entao Ω10 e Ω1 sao central-

izadores limitadamente equivalentes em L1.

Demonstracao. Denotemos por ρ := ρ(Ω). Suponha x1, x2 ∈ X e y1, y2 ∈ X∗ com f =

x1 · y1 = x2 · y2. Note que que F = |x1| + |x2| ∈ X. Definamos F−1 como

F−1(s) =

1

|x1(s)| + |x2(s)|se x1(s) , 0 ou x2(s) , 0,

0 se x1(s) = 0 e x2(s) = 0.

Observe que x1 F−1 ∈ L∞, com ‖x1 F−1‖∞ ≤ 1, assim

‖Ω(x1) − x1 F−1 Ω(F)‖X ≤ ρ ‖x1 F−1‖∞ ‖F‖X≤ ρ ‖F‖X.

O fato y1 ∈ X∗ implica que y1 (Ωx1 − x1 F−1 ΩF) ∈ L1 e

‖y1 (Ωx1 − x1 F−1 ΩF)‖L1 ≤ ‖y1‖X∗‖Ωx1 − x1 F−1 ΩF‖X

≤ ρ ‖y1‖X∗ ‖F‖X

≤ ρ ‖y1‖X∗(‖x1‖X + ‖x2‖X),

123


isto mostra que‖y1 Ωx1 − f F−1 ΩF ‖L1 ≤ ρ ‖y1‖X∗ (‖x1‖X + ‖x2‖X).

Similarmente para y2 ∈ X∗ obtemos que

‖y2 Ωx2 − f F−1 ΩF‖L1 ≤ ρ ‖y2‖X∗ (‖x1‖X + ‖x2‖X).

Somando as ultimas desigualdades e usando desigualdade triangular, segue-se que

‖y1 Ωx1 − y2 Ωx2 ‖L1 ≤ ρ (‖x1‖X + ‖x2‖X) (‖y1‖X∗ + ‖y2‖X∗) (7.4)

Suponha que x1, x2, y1, y2 sao nao nulos, portanto,

α =‖x1‖

1/2X ‖y2‖

1/2X∗

‖x2‖1/2X ‖y1‖

1/2X∗

> 0.

Substituindo x2 e y2 por α x2 e α−1 y2, em (7.4), respectivamente, deduzimos que

‖y1 Ωx1 − y2 Ωx2‖L1 ≤ ρ (‖x1‖1/2X ‖y1‖

1/2X∗ + ‖x2‖

1/2X ‖y2‖

1/2X∗ )2 (7.5)

para todo x1, x2 ∈ X e todo y1, y2 ∈ X∗ tais que f = x1 · y1 = x2 · y2.

Se f ∈ L1, entao pela fatoracao de Lozanovskii, existe um unicos par (x, x∗) ∈ X × X∗ tal quex ≥ 0, ‖x‖X = 1, ‖x∗‖X∗ = ‖ f ‖L1 , supp(x) = supp(x∗) = supp( f ) e f = x · x∗.Definamos Ω1 : L1 −→ L0 por Ω1( f ) = x∗Ω(x).Vejamos que Ω1 e um centralizador. De fato, note que Ω1 e homogenea.Afirmamos que ‖Ω1(u f ) − uΩ1( f )‖L1 ≤ 5ρ ‖u‖∞‖ f ‖L1 , para todo u ∈ L∞ e todo f ∈ L1. De fato,sejam u f = y · y∗ e f = x · x∗ as fatoracoes de Lozanovskii de u f e f , respectivamente. Observeque u f = y ·y∗ = (ux) · x∗. Pela desigualdade (7.5), com y1 = y∗, x1 = y, y2 = x∗, x2 = ux, temosque y∗Ω(y) − x∗Ω(ux) ∈ L1 e

‖y∗Ω(y) − x∗Ω(ux)‖L1 ≤ ρ (‖y‖1/2X ‖y∗‖

1/2X∗ + ‖ux‖1/2X ‖x

∗‖1/2X∗ )2

= ρ (‖u f ‖1/2L1+ ‖ux‖1/2X ‖ f ‖

1/2L1

)2

≤ ρ((‖u‖∞‖ f ‖L1)

1/2 + (‖u‖∞‖x‖X‖ f ‖L1)1/2

)2

= 4ρ‖u‖∞‖ f ‖L1 .

Mas ainda

124


Ω1(u f ) − uΩ1( f ) = y∗Ω(y) − ux∗Ω(x)

=(y∗Ω(y) − x∗Ω(ux)

)+

(x∗(Ω(ux) − uΩ(x))

)∈ L1

A desigualdade triangular implica

‖Ω1(u f ) − uΩ1( f )‖L1 ≤ ‖y∗Ω(y) − x∗Ω(ux)‖L1 + ‖x∗(Ω(ux) − uΩ(x))‖L1

≤ 4ρ‖u‖∞‖ f ‖L1 + ρ‖x∗‖X∗‖u‖∞‖x‖X

= 5ρ‖u‖∞‖ f ‖L1 .

Consequentemente, Ω1 e um centralizador sobre L1. Vejamos que Ω1 verifica a condicao (7.3).De fato, seja y · y∗ = x · x∗, onde x · x∗ e a fatoracao de Lozanovskii de y · y∗, isto e, ‖x‖X =

1, ‖x∗‖X∗ = ‖y · y∗‖L1 , x ≥ 0, supp(x) = supp(x∗) = supp(y · y∗). Se y1 = y∗, x1 = y, y2 = x∗ ex2 = x na desigualdade (7.5), obtemos que

‖y∗Ω(y) − x∗Ω(x)‖L1 ≤ ρ(Ω) (‖y‖1/2X ‖y∗‖

1/2X∗ + ‖x‖1/2X ‖x

∗‖1/2X∗ )2

≤ 4ρ(Ω) ‖y‖X ‖y∗‖X∗ ,

pela definicao de Ω1, concluimos que

‖Ω1(y y∗) − y∗Ω(y) ‖L1 ≤ 4ρ(Ω) ‖y‖X ‖y∗‖X∗

para todo y ∈ X e todo y∗ ∈ X∗.

Agora vejamos que se Ω10 e outro centralizador em L1 que satisfaz

‖Ω10(y · y?) − y∗Ω1

0(y)‖L1 ≤ K0‖y‖X‖y‖X∗

para todo y ∈ X e todo y∗ ∈ X∗ e alguma constante K0 > 0, entao Ω1 e limitadamente equivalentea Ω1

0. Seja f = x · x∗ ∈ L1 a fatoracao de Lozanovskii, isto e, ‖x‖X = 1, ‖x∗‖X∗ = ‖ f ‖L1 , x ≥0, supp(x) = supp(x∗) = supp( f ). Note que

125


‖Ω1( f ) −Ω10( f )‖L1 = ‖Ω1(x · x∗) −Ω1

0(x · x∗)‖L1

≤ ‖Ω1(x · x∗) − x∗Ω(x)‖L1 + ‖x∗Ω(x) −Ω10(x · x∗)‖L1

≤ (K + K0)‖x‖X ‖x∗‖X∗

= (K + K0)‖ f ‖L1 ,

ou seja, Ω1 e Ω10 sao centralizadores limitadamente equivalentes.

Observacao 7.7 O Teorema 7.6 mostra que se Ω e um centralizador tal que

‖Ω(ux) − uΩ(x)‖X ≤ ρ(Ω) ‖u‖∞‖x‖X,

para todo x ∈ X e u ∈ L∞, entao Ω1 verifica

‖uΩ1( f ) − Ω(u f ) ‖L1 ≤ 5ρ(Ω) ‖u‖∞ ‖ f ‖L1

para todo u ∈ L∞ e todo f ∈ L1.

Corolario 7.8 Se Ω e Ω0 sao centralizadores limitadamente equivalentes de X, entao Ω1 e Ω10

sao centralizadores limitadamente equivalentes de L1.

Demonstracao. Como Ω e Ω0 sao centralizadores limitadamente equivalentes de X, entaoexiste C > 0, tal que

‖Ω(x) −Ω0(x)‖X ≤ C‖x‖

para todo x ∈ X. Agora seja f = x · x∗ ∈ L1 a fatoracao de Lozanovskii, isto e, ‖x‖X = 1, ‖x∗‖X∗ =

‖ f ‖L1 , x ≥ 0, supp(x) = supp(x∗) = supp( f ). Entao

‖Ω1( f ) −Ω10( f )‖L1 = ‖Ω1(x · x∗) −Ω1

0(x · x∗)‖L1

≤ ‖Ω1(x · x∗) − x∗Ω(x)‖L1 + ‖x∗Ω(x) − x∗Ω0(x)‖L1

+‖x∗Ω0(x) −Ω10(x · x∗)‖L1

≤ 4ρ(Ω)‖x‖X‖x∗‖X∗ + C‖x‖X‖x∗‖X∗ + 4ρ(Ω0)‖x‖X‖x∗‖X∗

= C1‖x‖X‖x∗‖X∗

= C1‖ f ‖L1 ,

126

7.2 Auto-extensoes de espacos interpolados

onde C1 = 4ρ(Ω0) + 4ρ(Ω) + C.

Corolario 7.9 Se Ω e um centralizador tal que

‖Ω(ux) − uΩ(x)‖X ≤ ρ(Ω) ‖u‖∞‖x‖X,

para todo x ∈ X e u ∈ L∞, entao Ω1 verifica

‖Ω1( f + g) −Ω1( f ) −Ω1(g)‖L1 ≤ 15ρ(Ω) (‖ f ‖L1 + ‖g‖L1)

para todo f , g ∈ L1.

Demonstracao. E uma consequencia imediata da Observacao 7.7 e da Proposicao 7.2.

7.2 Auto-extensoes de espacos interpoladosSejam X0, X1 espacos de Kothe e X = Xθ = [X0, X1]θ. Definimos um espaco vetorial dXθ como

dXθ =(x, y) ∈ L0 × L0 : x = F(θ) = x, F′(θ) = y para algum F ∈ F

.

Lema 7.10 Existe F ∈ F com F(θ) = 0 e y = F′(θ) se, e somente se, y ∈ Xθ.

Demonstracao. O teorema de Riemman (ver Teorema 2.30) garante a existencia de umaunica aplicacao conforme ϕ : S −→ D tal que ϕ(θ) = 0 e β = ϕ′(θ) > 0, onde D e o discounitario complexo e S = z : 0 < Re(z) < 1Suponhamos primeiro que existe F ∈ F com F(θ) = 0 e y = F′(θ). Definamos H = ϕ−1F, istoimplica que H pertence a F , ‖H‖F = ‖F‖F e y = F′(θ) = βH(θ) ∈ Xθ.Recıprocamente suponhamos y ∈ Xθ. Por definicao de Xθ, temos que existe G ∈ F tal queG(θ) = x. Se definimos F := β−1 ϕG, obtemos uma funcao F que esta em F , que satisfazF(θ) = 0 e y = F′(θ). A proposicao seguinte fornece a dXθ de uma norma.

Proposicao 7.11 ‖ · ‖dXθ definida em dXθ como

‖(x, y)‖dXθ = inf ‖F‖F : x = F(θ), y = F′(θ) (7.6)

e uma norma.

Demonstracao. Suponha que (x, y) ∈ dXθ com ‖(x, y)‖dXθ = 0. Por definicao obtemos ‖x‖θ ≤‖(x, y)‖dXθ = 0 e assim x = 0. Existe F ∈ F tal que F(θ) = 0 e F′(θ) = y. Usando as notacoes

127


do Lema 7.10 obtemos que existe H ∈ F tal que F = ϕH e y = F′(θ) = βH(θ) ∈ Xθ. Agora

‖(0, y)‖dXθ = inf ‖F‖F : F(θ) = 0, y = F′(θ)= inf ‖ϕH‖F : y = βH(θ)= inf ‖H‖F : y β−1 = H(θ)= ‖y β−1‖θ

= β−1 ‖y‖θ,

portanto

‖(0, y)‖dXθ = β−1 ‖y‖θ. (7.7)

Neste caso y = 0, pois ‖(x, y)‖dXθ = 0.E claro que ‖α (x, y)‖dXθ = |α| ‖(x, y)‖dXθ para todo α complexo. Provaremos agora a desigual-dade triangular. Sejam (x, y), (w, z) ∈ dXθ e x = F(θ), y = F′(θ), w = G(θ), z = G′(θ)

‖(x, y) + (w, z)‖dXθ = ‖(x + w, y + z)‖dXθ

= inf ‖H‖F : H(θ) = x + w, y + z = H′(θ)≤ ‖F + G‖F≤ ‖F‖F + ‖G‖F .

Isto implica

‖(x, y) + (w, z)‖dXθ ≤ inf ‖F‖F : F(θ) = x, y = F′(θ) + ‖G‖F ,

para qualquer G, portanto

‖(x, y) + (w, z)‖dXθ ≤ ‖(x, y)‖dXθ + inf ‖G‖F : G(θ) = w, y = G′(θ) = z≤ ‖(x, y)‖dXθ + ‖(w, z)‖dXθ .

Teorema 7.12 O espaco dXθ e uma auto-extensao de Xθ.

Demonstracao. Basta provar que

0 → Xθ

i−→ dXθ

j−→ Xθ → 0 (7.8)

onde i(x) = (0, x) e j(x, y) = x, e uma sequencia exata curta. O Lema 7.10 garante que i estabem definida. Imediatamente obtemos que i e injetora, j e sobrejetora, i(Xθ) = ker ( j) e i, j saocontınuas, Assim dXθ e uma auto-extensao de Xθ.

128


Observacao 7.13 Considere a funcao δθ : F −→ Xθ definida por δθ(F) = F(θ). Note que δθe limitada e sobrejetora. Entao a Proposicao 2.54 garante que existe uma funcao homogeneaBθ : Xθ −→ F que verifica ‖Bθ(x)‖F ≤ C‖x‖Xθ , para todo x ∈ Xθ e algum C > 1, e δθBθ = idXθ .Consideremos a funcao homogenea δ′θ : F −→ L0 definida por δ′θ(F) = F′(θ) e Ω : Xθ −→

L0 dada como Ω = δ′θ Bθ. Note que Ω assim definida e tambem homogenea e Ω(x) =

F′(θ), onde F(θ) = x e ‖F‖F ≤ C‖x‖Xθ .

Proposicao 7.14 Sejam X0, X1 espacos de Kothe e Xθ = X = [X0, X1]θ e C > 1 constante.Definimos uma funcao Ω em X como

Ω(x) = F′(θ) onde F(θ) = x e ‖F‖F ≤ C‖x‖Xθ .

Entao Ω e um centralizador chamado Centralizador induzido por [X0, X1]θ.

Demonstracao. E imediato provar que Ω e homogenea. Seja u ∈ L∞ e Ω(x) = F′(θ), com‖F‖F ≤ C‖x‖Xθ . Entao uF ∈ F e ‖uF‖F ≤ ‖u‖∞‖F‖F . Seja G ∈ F com Ω(ux) = G′(θ) ondeG(θ) = ux e ‖G‖F ≤ C‖ux‖Xθ . Observe que

(G − uF)(θ) = 0 e Ω(ux) − uΩ(x) = (G − uF)′(θ).

Pelo Lema 7.10 (usando a notacao do lema 7.10) existem ϕ : S −→ D, β > 0 e H ∈ F , comG − uF = ϕH e (G − uF)′(θ) = βH(θ). Agora

‖Ω(ux) − uΩ(x)‖Xθ = ‖(G − uF)′(θ)‖Xθ= β ‖H(θ)‖Xθ≤ β ‖H‖F= β ‖G − uF‖F≤ β

(‖G‖F + ‖uF‖F

)≤ C β

(‖ux‖Xθ + C ‖u‖∞‖x‖θ

)≤ C(C + 1) β ‖u‖∞‖x‖Xθ .

Observacao 7.15 Se nos definimos outra funcao Ω1 como na Proposicao 7.14, isto e,

Ω1(x) = F′1(θ) onde F1(θ) = x e ‖F1‖F ≤ C1‖x‖Xθ ,

entao Ω1 e Ω sao limitadamente equivalentes, portanto dΩXθ e dΩ1 Xθ sao equivalente. De fato:

129


usando as notacoes do Lema 7.10, temos que F − F1 = ϕH, alem disso, Ω(x) − Ω1(x) =

(F − F1)′(θ) = βH(θ), logo

‖Ω(x) −Ω1(x)‖Xθ = ‖(F − F1)′(θ)‖Xθ= β ‖H(θ)‖Xθ≤ β ‖H‖F= β ‖ϕH‖F= β (‖F − F1‖F

≤ C‖x‖Xθ + C1‖x‖Xθ≤ β(C + C1) ‖x‖Xθ .

Resumindo, a definicao de dΩXθ e independente da escolha de Ω.

Proposicao 7.16 Sejam X0, X1 espacos de Kothe e X = [X0 X1]θ. Entao existem u0 ≥ 0 eu1 ≥ 0, respectivamente em X0 e X1 tais que |x| = u1−θ

0 uθ1 e ‖x‖Xθ = ‖u0‖X0 = ‖u1‖X1 . Umafatoracao deste tipo e chamada de optimal.

Demonstracao. Primeiro, assumamos que ‖x‖Xθ = 1. Escolhamos uma sequencia (xn)n emBXθ convengente em medida para x. Na prova da Proposicao 5.14 (Passo 4.) encontramosu0 ∈ BX0 e u1 ∈ BX1 , nao negativos, tais que |x| = |u0|

1−θ|u1|θ. Como ‖x‖Xθ = 1, temos que

‖u0‖X0 = ‖u1‖X1 = 1. Agora assuma que ‖x‖Xθ , 0. Entao existem w0 ∈ X0 e w1 ∈ X1 unitariosnao negativos tais que

|x|‖x‖Xθ

= |w0|1−θ|w1|

θ,

isto e, |x| = (‖x‖θ |w0|)1−θ (|w1| ‖x‖θ)θ. Se u0 = ‖x‖θ ·w0 e u0 = ‖x‖θ ·w1, entao u0 e u1 sao funcoesnao negativas em X0 e X1, respectivamente, que verificam |x| = u1−θ

0 uθ1 e ‖x‖Xθ = ‖u0‖X0 = ‖u1‖X1 .

Observacao 7.17 (Formula explıcita de centralizador induzido) A Observacao 7.15 e utilpara encontrar uma formula explıcita de Ω (centralizador induzido por [X0 X1] ). Se x ∈ Xθ e|x| = u1−θ

0 uθ1, onde u0 ∈ X0 e u1 ∈ X1, e uma fatoracao optimal para x, entao

Ω(x) = x (log u1 − log u0).

De fato:

escrevamos x(s) = |x(s)| · ζ(s), onde ζ e uma funcao de valor complexo tal que |ζ(s)| = 1 paratodo s ∈ S . Seja F(z) = u1−z

0 uz1 · ζ. Verifiquemos que F ∈ F . De fato, e imediato ver que

130


|u1−it0 uit

1 · ζ | = u0, daı resulta que F(it) ∈ X0. De maneira analoga obtemos |u1−(1+it)0 u1+it

1 · ζ | = u1.Portanto, F(1 + it) ∈ X1. Observe que

‖F‖F = max(sup

t‖F(it)‖X0 , sup

t‖F(1 + it)‖X1

)= max

(sup

t‖(u0)1−it(u1)it · ζ‖X0 , sup

t‖(u0)it(u1)1+it · ζ‖X1

)= max

(sup

t‖ |(u0)1−it(u1)it| ‖X0 , sup

t‖ |(u0)it(u1)1+it| ‖X1

)= max

(‖u0‖X0 , ‖u1‖X1

)= ‖xθ‖Xθ

Os calculos acima provam que ‖F‖F < ∞. Observe que F possui derivada F′(z) = F(z)(log u1−

log u0) e assim

Ω(x) = x (log u1 − log u0).

O teorema seguinte mostra que e possıvel identicar dΩXθ com dXθ, o que significa que dΩXθ

pode ser fornecido de uma norma equivalente a ‖ · ‖dΩXθ .

Teorema 7.18 Seja Ω o centralizador induzido em Xθ = [X0 X1]θ. O diagrama seguinte

0 // Xθi // dXθ

j // Xθ// 0

0 // Xθi′ // dΩXθ

T

OO

j′ // Xθ// 0

e comutativo, onde i, j e i′, j′ sao definidos como no Teorema 7.12 e a Observacao 3.10,respectivamente, e T (x, y) = (x, y).

Demonstracao. Primeiro mostraremos que T esta bem definido. Para provar que o diagramacomuta e suficiente mostrar que T e limitado ( ver Proposicao 2.69).Suponha (x, y) ∈ dΩXθ, isto e, x ∈ Xθ e y − Ω(x) ∈ Xθ. Seja Ω(x) = F′(θ) com F(θ) = x e‖F‖F ≤ C ‖x‖Xθ , onde C > 1. Existe G ∈ F tal que G(θ) = y − Ω(x) e ‖G‖F ≤ C‖y − Ω(x)‖Xθ .Seja ϕ e β > 0 como no Lema 7.10, definimos J = β−1 ϕG em F . Observe que J(θ) =

0, J′(θ) = y−Ω(x) e ‖J‖F ≤ β−1C ‖y−Ω(x)‖Xθ para algum K > 0.Agora y = (y−Ω(x))+Ω(x) =

(J + F)′(θ) e tambem (J + F)(θ) = x, onde J + F ∈ F , e assim provamos que (x, y) ∈ dXθ. Istoprova que T esta bem definido. Afirmamos que T e limitado. De fato:

131


‖(x, y)‖dXθ = inf ‖H‖F : H(θ) = x, H′(θ) = y≤ ‖F + J‖F≤ ‖F‖F + ‖J‖F≤ C ‖x‖Xθ + Cβ−1 ‖y −Ω(x)‖Xθ≤ max (C, Cβ−1)(‖x‖Xθ + ‖y −Ω(x)‖Xθ)= max (C, Cβ−1) ‖(x, y)‖dΩXθ .

isto mostra que dXθ = dΩXθ (a igualdade e um isomorfismo topologico).

Proposicao 7.19 Sejam X0 e X1 espaco de Kothe e X = [X0 X1]θ. Seja Ω o centralizador in-duzido por X0, X1 e θ. Se Ω1 e o centralizador em L1 definido na Proposicao 7.6, entao paraf ∈ L1, temos que

Ω1( f ) = f (log x1 − log x0),

onde | f | = x0 x∗0 = x1 x∗1 sao as fatoracoes de Losanovskii de f respecto X0 e X1.

Demonstracao. Assumamos que ‖ f ‖L1 = 1 e | f | = x x∗ e a fatoracao de Losanovskii de f emrelacao a X = [X0 X1]θ, isto e ‖x‖X = ‖x∗‖X∗ = 1, supp( f ) = supp(x) = supp(x∗), x ≥ 0.Em S = z : 0 < Re(z) < 1 definamos duas funcoes como G(z) = (x0)1−z(x1)z e H(z) =

(x∗0)1−z(x∗1)z. Vejamos que G(θ)H(θ) e a fatoracao de Lozanovskii de f . De fato, observe que

‖G(θ)‖X = ‖x1−θ0 xθ1‖X ≤ ‖x0‖

1−θX0‖x1‖

θX1≤ 1

e‖H(θ)‖X∗ = ‖(x∗0)1−θ(x∗1)θ‖X∗ ≤ ‖x∗0‖

1−θX∗0‖x∗1‖

θX∗1≤ 1,

pois lembre-se que (X∗0)1−θ(X∗1)θ ⊂ X∗ = (X1−θ0 Xθ

1)∗ (ver Proposicao 5.12). Note que G(θ)H(θ) =

| f | e1 = ‖ f ‖L1 = ‖G(θ)H(θ)‖L1 ≤ ‖G(θ)‖X‖H(θ)‖X∗ ≤ 1,

logo ‖G(θ)‖X = ‖H(θ)‖X∗ = 1. Note tambem que

supp(G(θ)) = supp(x0) ∩ supp(x1) = supp( f ).

Analogamente vemos que supp(H(θ)) = supp( f ). Como G(θ) ≥ 0, concluimos que G(θ)H(θ) =

| f | e a fatoracao de Lozanovskii de f , portanto, x1−θ0 xθ1 = G(θ) = x e H(θ) = x∗ pela unicidade

da fatoracao de Lozanovskii. Agora vamos demonstrar que a unica fatoracao optimal de |x| e|x| = x1−θ

0 xθ1. De fato, seja x = u1−θ0 uθ1 uma fatoracao optimal para x, isto e, ‖u0‖X0 = ‖u1‖X1 = 1.

Definamos outra funcao K em S por K(z) = u1−z0 uz

1. Observe que

|K(it)H(it)| = |u1−it0 uit

1(x∗0)1−it(x∗1)it|

= |u0||x∗0|,

132


logo ∫|K(it)H(it)| dµ =

∫|u0||x∗0| dµ ≤ ‖x

∗0‖X∗ = 1.

Analogamente mostramos que

|K(1 + it)H(1 + it)| = |u1||x∗1|.

Portanto∫|K(1+it)H(1+it)| dµ ≤ 1. Pelo Principio do Modulo Maximo, como

∫|G(θ)H(θ)| dµ =

1, onde θ pertence ao interior de S, temos que∫|K(z)H(z)| dµ = 1

para qualquer z ∈ S. Agora∣∣∣∣ ∫ K(z)H(z) dµ

∣∣∣∣ ≤ ∫|K(z)H(z)| dµ = 1 para qualquer z ∈ S, alem de∫

K(θ)H(θ) dµ = 1 temos∫

K(z)H(z) dµ = 1 para qualquer z ∈ S. Nos provamos que∫K(z)H(z) dµ =

∫|G(z)H(z)| dµ,

para z ∈ S, consequentemente∫Re (k(z)H(z)) dµ + i

∫Im (K(z)H(z)) dµ =

∫|K(z)H(z)| dµ.

Desta igualde obtemos que K(z)H(z) e sempre real nao negativo. Por outro lado

K(θ + it)H(θ + it) = |K(θ + it)H(θ + it)|= |u1−θ−it

0 uθ+it1 (x∗0)1−θ−it(x∗1)θ+it|

= |u1−θ0 uθ1(x∗0)1−θ(x∗1)θ|

= |x H(θ)|= |x||x∗|= | f |

para todo t ∈ R. Lembre-se que as funcoes K e H definidas acimas dependem tambem de s ∈ S(espaco polones). Para cada s ∈ S definamos gs : S → R como gs(z) = K(z)H(z) − | f |. Afuncao gs e holomorfa em S e qualquer elemento da forma θ + it e um zero de gs, portantoexiste uma sequencia de pontos distintos em S com ponto de acumulacao no interior de S ,tais que anulam a gs. Isto mostra que gs e nula em S, e assim K(z)H(z) = | f | para todo z ∈ S,isto e, u1−z

0 uz1(x∗0)1−z(x∗1)z = | f | para todo z ∈ S, em particular, para z = 0 e z = 1 (estendendo

continuamente a fronteira de S ), respectivamente, obtemos u0x∗0 = | f | e u1x∗1 = | f |, comoui, x∗i ≥ 0 para i = 0, 1, isto e , u0x∗0 = x0x∗0 e u1x∗1 = x1x∗1, assim ui(s) = xi(s) para i = 0, 1, se

133


s ∈ supp( f ). A Observacao 7.17, permite escrever Ω(x) = x(log u1− log u0) = x(log x1− log x0).Na Proposicao 7.6 definimos Ω1 pondo Ω1( f ) = x∗Ω(x), portanto Ω1( f ) = f (log x1 − log x0)sempre que ‖ f ‖L1 = 1. Quando ‖ f ‖L1 e diferente de 1 e positivo, o resultado e imediato pelo fatode Ω1 ser homogeneo.

Definicao 7.20 Seja Ω um centralizador em X. Definamos um conjunto e uma funcao, respec-tivamente, como

TΩ = f ∈ L+1 (µ) : Ω1( f ) ∈ L1(µ)

e ΦΩ : TΩ −→ R por

ΦΩ( f ) =

∫Ω1( f ) dµ,

onde Ω1 e o Centralizador em L1 definido na Proposicao 7.19.

A proposicao seguinte prova que TΩ e um ideal e que ΦΩ e semilinear.

Proposicao 7.21 TΩ e ΦΩ definidos acima sao, respectivamente, um ideal e uma aplicacaosemilinear.

Demonstracao. Vejamos primeiro que TΩ e um semi-ideal de L+1 . De fato, se f , g ∈ TΩ,

entao

|Ω1( f + g)| ≤ |Ω1( f + g) −Ω1( f ) −Ω1(g)| + |Ω1( f )| + |Ω1(g)|.

Como Ω1( f +g)−Ω1( f )−Ω1(g) ∈ L1 (ver Proposicao 7.2) e Ω1( f ), Ω1(g) pertence a L1 obtemosque Ω1( f + g) ∈ L1, que equivale a dizer f + g ∈ TΩ.

Assuma que 0 ≤ f ≤ g, com g ∈ TΩ, isto e Ω1(g) ∈ L1. Note quefg∈ L∞. Pelo fato de ser Ω1

um centralizador, temos que Ω1( f ) −fg

Ω1(g) ∈ L1, assim

Ω1( f ) =(Ω1( f ) −

fg

Ω1(g))

+fg

Ω1(g) ∈ L1.

Demonstraremos que ΦΩ e um funcional semilinear sobre TΩ. De fato, pelo Corolario 7.9 de-duzimos que

‖Ω1( f + g) −Ω1( f ) −Ω1(g)‖L1 ≤ 15ρ(Ω) (‖ f ‖L1 + ‖g‖L1),

portanto,

|ΦΩ( f + g) − ΦΩ( f ) − ΦΩ(g)| ≤ 15ρ(Ω) (‖ f ‖L1 + ‖g‖L1). (7.9)

O funcional ΦΩ e homogeneo devido a que Ω1 e homogeneo.

134


Seja 0 ≤ fn ≤ f , tal que f ∈ TΩ e limn→∞‖ fn‖L1 = 0. Demonstraremos que lim

n→∞ΦΩ( fn) = 0. De

fato, como limn→∞‖ fn‖L1 = 0, entao existe uma subsequencia de ( fn), que denotaremos por ( f (1))n,

tal que f (1)n → 0 q.s. Definamos gm = sup

k≥mf (1)k . Note que gm ∈ TΩ, 0 ≤ f (1)

n ≤ gm ≤ f se

n ≥ m e gm → 0 q.s., se m → ∞. Portanto, pelo Teorema da Convergencia Dominada, temosque lim

m→∞‖gm‖L1 = 0. Devido a que Ω1 e um centralizador em L1 e 0 ≤ f (1)

n · g−1m ≤ 1, se n ≥ m,

deduzimos que

‖Ω1( f (1)n ) − f (1)

n g−1m Ω1(gm)‖L1 ≤ 5ρ(Ω)‖gm‖L1 , se n ≥ m.

Como Ω(gm) ∈ L1,| f (1)

n g−1m Ω1(gm)| ≤ |Ω1(gm)|,

e| f (1)

n g−1m Ω1(gm)| → 0 q.s.,

obtemos pelo Teorema da Convergencia Dominada que

limn→∞‖ f (1)

n g−1m Ω1(gm)‖L1 = 0,

para m ∈ N fixo.Consequentemente, existe uma subsequencia ( f (1)

n )n de ( fn)n tal que

‖Ω1( f (1)n )‖L1 ≤ ‖Ω1( f (1)

n ) − f (1)n g−1

m Ω1(gm)‖L1 + ‖ f (1)n g−1

m Ω1(gm)‖L1

≤ 5ρ(Ω)‖gm‖L1 + ‖ f (1)n g−1

m Ω1(gm)‖L1 ,

se n ≥ m. Logo,lim sup

n→∞‖Ω1( f (1)

n )‖L1 ≤ 5ρ(Ω)‖gm‖L1 .

Alem disso, se m→ ∞, entaolim sup

n→∞‖Ω1( f (1)

n )‖L1 = 0.

Portantolimn→∞‖Ω1( f (1)

n )‖L1 = 0.

Ate o momento demonstramos que para toda sequencia ( fn)n tal que 0 ≤ fn ≤ f para todo n ∈ Ne lim

n→∞‖ fn‖L1 = 0, existe uma subsequencia ( f (1)

n )n de ( fn)n tal que

limn→∞‖Ω1( f (1)

n )‖L1 = 0.

Agora demonstraremos que se ( fn)n e uma sequencia tal que 0 ≤ fn ≤ f para todo n ∈ N elimn→∞‖ fn‖L1 = 0, entao

limn→∞‖Ω1( fn)‖L1 = 0.

135


De fato, assumamos por contradicao que existe uma subequencia de ( fn)n, que denotaremos por( f (1)

n )n, tal que

‖Ω1( f (1)n )‖L1 > ε, ∀ n ∈ N (7.10)

e para algum ε > 0. Note que ‖ f (1)n ‖L1 → 0, se n → 0. Portanto, exite uma subsequencia de

( f (1)n )n, que denotaremos por ( f (2)

n )n, tal que

limn→∞‖Ω1( f (2)

n )‖L1 = 0.

Isto contraria o fato (7.10). Consequentemente

limn→∞‖Ω1( fn)‖L1 = 0,

logo limn→∞

ΦΩ( fn) = 0 e segue que ΦΩ e uma aplicacao semilinear.

Proposicao 7.22 Sejam X1, X0 espacos de Kothe e X = [X0 X1]θ. Seja ΦΩ o funcional semili-near definido anteriormente. Entao para f ∈ TX0 ∩TX1 ∩TΩ temos que

ΦΩ = ΦX1 − ΦX0

Demonstracao. Na prova da Proposicao 6.8 provamos que se f = xy e a fatoracao deLosanovskii, onde x ∈ X e y ∈ X∗, entao∫

f log |x| dµ = sup‖z‖X≤1

∫f log |z| dµ.

Na Proposicao 7.19 demonstramos que Ω1( f ) = f (log x1 − log x0), onde | f | = x0x∗0 e | f | = x1x∗1sao as fatoracoes de Lozanovskii de | f | em X0 e X1, respectivamente. Integrando Ω1( f ), obtemosque

ΦΩ = ΦX1 − ΦX0 .

136

Capıtulo 8Teoremas de extrapolacao

Antes de comecar as provas dos teoremas, vamos fazer uma observacao

Observacao 8.1 Seja X um espaco de Kothe p-convexo e q-concavo, onde1p

+1q

= 1 e 1 <

p ≤ 2. Destas desigualdades deduzimos imediatamente que q ≥ 2. A Proposicao 2.39 garanteque X′ e um espaco p-convexo e q-concavo. Por X∗ ser isometrico a um subespaco de X′, temosque X∗ e p-convexo e q-concavo (ver Proposicao 2.40).

Teorema 8.2 (Pisier) [16, pag.498] Se X e um espaco de Kothe p-convexo e q-concavo, onde1p

+1q

= 1, entao paraθ

2=

1q

e 0 < θ < 1 existe um unico espaco de Kothe Y tal que

X = Lθ2 Y1−θ.

Demonstracao. Note que as desigualdades 1/p + 1/q = 1, θ/2 = 1/q e 0 < θ < 1, implicamque 1 < p ≤ 2.Como X e um espaco de Kothe p-convexo , entao Xp e um espaco de Kothe (ver Proposicao5.15 ). O Teorema 6.15 garante que ΦXp e Λ−ΦXp sao funcoes convexas e pela Proposicao 6.10

obtemos que ΦXp = p ΦX. Portanto Λ− p ΦX e uma funcao convexa, assim1p

Λ−ΦX e convexa.

Por X ser um espaco q-concavo , temos que X∗ e um espaco p-convexo , logo1p

Λ −ΦX∗ e uma

funcao convexa.Seja agora

Φ =1

1 − θΦX −

θ

2(1 − θ)Λ.

A funcao Φ e homogenea, pois ΦX e Λ sao homogeneas. Vejamos que Φ, assim definida e uma

funcao convexa. De fato, pelo fato de que1p

Λ − ΦX∗ e uma funcao convexa, temos que

137

∆ 1p Λ−ΦX∗

( f , g) ≥ 0 ⇔1p

∆Λ( f , g) − ∆ΦX∗ ( f , g) ≥ 0

⇔1p

∆Λ( f , g) − ∆Λ( f , g) + ∆ΦX ( f , g) ≥ 0

⇔ ∆ΦX ( f , g) −1q

∆Λ( f , g) ≥ 0

⇔ ∆ΦX ( f , g) −θ

2∆Λ( f , g) ≥ 0

⇔1

1 − θ∆ΦX ( f , g) −

θ

2(1 − θ)∆Λ( f , g) ≥ 0

⇔ ∆Φ( f , g) ≥ 0.

Demonstraremos similarmente que Λ − Φ e uma funcao convexa. De fato, similarmente, pelo

fato de que1p

Λ − ΦX e uma funcao convexa, temos que

∆ 1p Λ−ΦX

( f , g) ≥ 0 ⇔(1 −

1q

)∆Λ( f , g) − ∆ΦX ( f , g) ≥ 0

⇔(1 −

θ

2

)∆Λ( f , g) − ∆ΦX ( f , g) ≥ 0

⇔2 − θ

2∆Λ( f , g) − ∆ΦX ( f , g) ≥ 0

⇔2 − θ

2(1 − θ)∆Λ( f , g) −

11 − θ

∆ΦX ( f , g) ≥ 0

⇔ ∆Λ( f , g) −1

1 − θ∆ΦX ( f , g) +

θ

2(1 − θ)∆Λ( f , g) ≥ 0

⇔ ∆Λ( f , g) − ∆Φ( f , g) ≥ 0

⇔ ∆Λ−Φ( f , g) ≥ 0.

Portanto, existe um espaco de Kothe Y tal que ΦY = Φ (ver Teorema 6.20). Isto e,

138

ΦY =1

1 − θΦX −

θ

2(1 − θ)Λ ⇔ ΦX =

θ

2Λ + (1 − θ)ΦY

⇔ ΦX = ΦLθ2Y1−θ ,

e pela unicidade do Teorema 6.20 obtemos X = Lθ2Y1−θ.

Se Y0 e um espaco de Kothe que satisfaz X = Lθ2Y1−θ0 , entao

ΦY0 =1

1 − θΦX −

θ

2(1 − θ)Λ = ΦY .

Logo Y0 = Y1, o que prova a unicidade do teorema.

Teorema 8.3 Seja X um espaco de Kothe e 0 < θ < 1. Suponha que existem espacos de KotheX0, X1, Y0 e Y1 tais que X = [X0, X1]θ e X = [Y0, Y1]θ. Se Ω e Ω0 sao os centralizadoresinduzidos por [X0, X1]θ e [Y0, Y1]θ, respectivamente, e sao limitadamente equivalentes, entaoX0 = Y0 e X1 = Y1 (os espacos sao iguais como normas equivalentes).

Demonstracao. Pela Proposicao 7.22 temos que

ΦΩ = ΦX1 − ΦX0

eΦΩ0 = ΦY1 − ΦY0 .

Pela Proposicao 6.9, obtemos que

ΦX = (1 − θ)ΦX0 + θΦX1

eΦX = (1 − θ)ΦY0 + θΦY1 .

Agora

(1 − θ)(ΦΩ − ΦΩ0) = (1 − θ)ΦΩ − (1 − θ)ΦΩ0 + ΦX − ΦX.

Substituindo as equacoes acimas, temos

= (1 − θ)(ΦX1 − ΦX0) − (1 − θ)(ΦY1 − ΦY0) +(θΦX1 + (1 − θ)ΦX0

)−(θΦY1 + (1 − θ)ΦY0

)= ΦX1 − ΦY1 .

139

Como Ω e Ω0 sao limitadamente equivalentes, entao Ω1 e Ω10 sao limitadamente equivalentes

(ver Corolario 7.8), portanto

∣∣∣∣ΦΩ( f ) − ΦΩ0( f )∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ ∫ Ω1( f ) dµ −∫

Ω10( f ) dµ

∣∣∣∣≤ ‖Ω1( f ) −Ω1

0( f )‖L1

≤ C1‖ f ‖L1

para todo f ∈ TΩ ∩TΩ0 e para alguma constante C1 > 0.Em particular, se f ∈ T , com ‖ f ‖L1 ≤ 1, onde T e um semi-ideal estrito contido em TX0 ∩

TX1 ∩TY0 ∩TY1 ∩TΩ ∩TΩ0 , temos que

d(ΦX1 , ΦY1) = sup‖ f ‖L1≤1

|ΦY1( f ) − ΦX1( f )|

= (1 − θ) · sup‖ f ‖L1≤1

|ΦΩ( f ) − ΦΩ0( f )|

≤ (1 − θ)C1,

portanto o Corolario 6.18 garante que X1 e Y1 sao iguais com normas equivalentes. Analoga-mente se prova que X0 e Y0 sao iguais com normas equivalentes.

Teorema 8.4 Sejam X um espaco de Kothe p-convexo e q-concavo, onde1p

+1q

= 1, com

1 < p ≤ 2 e Ω um centralizador real em X com ρ(Ω) ≤ 1200q , entao existem espacos de Kothe

X0 e X1 tais que X = [X0, X1]1/2 e se Ω0 e o centralizador induzido em X. Entao existe umaconstante positiva tal que

‖Ω(x) −Ω0(x)‖X ≤ C‖x‖X

para todo x ∈ X, ou seja, Ω e Ω0 sao limitadamente equivalentes.

Demonstracao. Suponha que Ω e um centralizador real sobre X.Seja ΦΩ : TΩ −→ R definido por

ΦΩ( f ) =

∫Ω1( f ) dµ

como na Definicao 7.20. A desigualdade (7.9) e a hipoteses do teorema mostram que

140

|ΦΩ( f + g) − ΦΩ( f ) − ΦΩ(g)| ≤ 15ρ (‖ f ‖L1 + ‖g‖L1)

≤15

200q

(‖ f ‖L1 + ‖g‖L1

),

logo

|qΦΩ( f + g) − qΦΩ( f ) − qΦΩ(g)| ≤15

200

(‖ f ‖L1 + ‖g‖L1

)≤ (1 − ε) log 2 (‖ f ‖L1 + ‖g‖L1)

onde ε = 1−15

200 log 2. A funcao q ΦΩ e homogenea positiva e verifica as hipoteses do Teorema

6.27, portanto, existe um espaco de Kothe W e uma constante c1 > 0 tais que

|q ΦΩ( f ) − (ΦW( f ) − ΦW∗)( f )| ≤ c1‖ f ‖L1 .

Denotemos por

Φ0 = ΦX −12q

(ΦW − ΦW∗

)e Φ1 = ΦX +

12q

(ΦW − ΦW∗

).

Observe que Φ0 e Φ1 sao homogeneas positiva. Agora pelo fato de Λ−ΦW ser convexo, temosque

∆Φ0( f , g) = ∆ΦX ( f , g) −1

2q

(∆ΦW ( f , g) − ∆ΦW∗ ( f , g)

)= ∆ΦX ( f , g) −

12q

∆ΦW ( f , g) +1

2q∆ΦW∗ ( f , g)

≥ ∆ΦX ( f , g) −1q

∆ΦW ( f , g)

≥ ∆ΦX ( f , g) −1q

∆Λ( f , g).

141

Pelo fato de X ser um espaco p-convexo, obtemos que Λ − Φ(X∗)p e convexo.Logo

∆Φ0( f , g) ≥ ∆ΦX ( f , g) −1q

∆Λ( f , g)

= ∆ΦX−1q Λ( f , g)

= ∆ 1p Λ−ΦX∗

( f , g)

=1p

∆Λ−Φ(X∗)p ( f , g)

≥ 0,

isto mostra que Φ0 e um funcional convexo. Similarmente

∆Φ0( f , g) = ∆ΦX ( f , g) −1

2q

(∆ΦW ( f , g) − ∆ΦW∗ ( f , g)

)= ∆ΦX ( f , g) −

12q

∆ΦW ( f , g) +1

2q∆ΦW∗ ( f , g)

≤ ∆ΦX ( f , g) +1q

∆ΦW∗ ( f , g)

= ∆ΦX ( f , g) +(1 −

1p

)(∆Λ − ∆ΦW )( f , g)

≤ ∆ΦX ( f , g) +(1 −

1p

)∆Λ( f , g)

= ∆ΦX ( f , g) −1p

∆Λ( f , g) + ∆Λ( f , g)

≤ ∆Λ( f , g),

onde a ultima desigualdade e justificada pelo fato de ser X um espaco p-convexo . Isto provaque Φ0 − Λ e uma funcao convexa. De forma analoga demonstramos que Φ1 e Φ1 − Λ saoconvexos. O Teorema 6.20 implica que existem espacos de Kothe X0 e X1 tais que Φ0 = ΦX0 eΦ1 = ΦX1 , logo

ΦX0 + ΦX1 = 2ΦX,

142

isto e, X = [X0, X1]1/2 (Teorema 6.20), com isto demonstramos a primeira parte do teorema.Para demonstrar a segunda parte do teorema note que

ΦX1 − ΦX0 =1q

(ΦW − ΦW∗).

A Proposicao 7.22 implica que ΦΩ0 = ΦX1 − ΦX0 . Portanto,

|ΦΩ( f ) − ΦΩ0( f ) | =∣∣∣∣ΦΩ( f ) −

1q

(ΦW − ΦW∗)( f )∣∣∣∣

≤c1

q‖ f ‖L1

para todo f ∈ TΩ ∩TΩ0 .Sejam x ∈ X e y ∈ X∗ tais que xy ∈ TΩ ∩ TΩ0 . Por definicao, Ω1(xy),Ω1

0(xy) pertence a L1,portanto, y Ω1(x), y Ω1

0(x) sao integraveis. Agora para y ∈ X∗, temos que

∣∣∣∣ ∫ (Ω(x) −Ω0(x)

)y dµ

∣∣∣∣ ≤ ∣∣∣∣ ∫ y Ω(x) dµ −∫

Ω1(xy) dµ∣∣∣∣ +

∣∣∣∣ ∫ Ω1(xy) dµ −∫

Ω10(xy) dµ

∣∣∣∣+

∣∣∣∣ ∫ Ω10(xy) dµ −

∫y Ω0(x) dµ

∣∣∣∣= ‖y Ω(x) −Ω1(xy)‖L1 + |ΦΩ(xy) − ΦΩ0(xy)| + ‖Ω1

0(xy) − y Ω0(x)‖L1

≤ 5ρ ‖x‖X‖y‖X∗ +c1

q‖x‖X‖y‖X∗ + 5ρ0 ‖x‖X‖y‖X∗

≤ C ‖x‖X‖y‖X∗ .

por X∗ ser isometrico a um subespaco normando do dual usual de X, obtemos que

‖Ω(x) −Ω0(x)‖X ≤ C ‖x‖X

para todo x ∈ X.

143

Bibliografia

[1] A.P. Calderon, Intermediate spaces and interpolation, the complex method, Studia Math.24 (1964), 113-190.

[2] Alexander E. Litvak, The Extension of the Finite-Dimensional Version of Krivine’s The-orem to Quasi-Normed Spaces, Convex Geometric Analysis MSRI Publications vol.34(1998).

[3] Anton R. Schep, Products of Cesaro convergent sequences with applications to convexsolid sets and integral operators, Proc. Amer. Math. Soc., 137 (2009),579-584.

[4] Donald L. Cohn, Measure Theory , Birkhauser, Boston, USA (2013).

[5] D.H. Fremlin, Measure Theory Vol.II, Torres Fremlin, Colchester, England (2010).

[6] Georgi E. Shilov, Linear algebra, Dover Publications, Inc., New York (1977).

[7] J. Diestel and J.J. UHL, JR , Vector Measures, Mathematical Surveys and MonographsVol. 15, Amer. Math. Soc. (1977).

[8] J. Bergh, J. Lofstrom, Interpolation Spaces. An Introduction, Springer Verlag, Berlin(1976).

[9] J.M.F. Castillo and M. Gonzalez, Three-space Problems in Banach Space Theory, LectureNotes in Math. 1667, Springer, Berlin (1997).

[10] J. Komlos, A generalization of a problem of Steinhaus, Acta Math. Hungar. 18 (1967)217-229.

[11] J. Lindenstrauss, L. Tzafriri, Classical Banach Spaces I and II, Function Spaces,Springer, Berlin (1979).

[12] M. Fabian, P. Habala, P. Hajek, V. Montesinos Santalucıa, J. Pelant, V. Zizler, Func-tional Analysis and Infinite-Dimensional Geometry, Springer-Verlag, New York (2001).

144

BIBLIOGRAFIA

[13] G. Pisier, Some applications of the complex interpolation method to Banach lattice, Jour-nal d’Analyse Mathematique vol.5 (1979), 264-281.

[14] Micheal O Searcoıd, Metric Spaces, Springer Undergraduate Mathematics Series, London(2006).

[15] N.J Kalton, Analytic functions in non-locally convex spaces, Studia Math. 83 (1986),No.3, 275-303.

[16] N.J Kalton, Differentials of complex interpolation processes for Kothe function spaces,Trans. Amer. Math. Soc. 333 (1992), 479-529.

[17] N.J Kalton, Nonlinear commutators in interpolation theory, Mem. Amer. Math. Soc.No.385 (1988).

[18] N.J Kalton, Convexity, type and the three-space problem, Studia Math. 69 (1980), 57-96.

[19] N.J Kalton, N.T Peck, Twisted sums of sequence spaces and three space problem, Trans.Amer. Math. Soc. 255 (1979), 1-30.

[20] Peter Meyer-Nieberg, Banach Lattices, Universitext, Springer-Verlag, Berlin (1991)

[21] P. Sam Johnson, S. Balaji, On Linear Operators with Closed Range, Journal of AppliedMathematics and Bioinformatics (2011) vol.1, No.2, 175-182.

[22] Robert E. Megginson, An introduction to Banach space theory Springer-Verlag, NewYork Berlin Heidelberg (1998).

[23] Serge Lang, Complex analysis, Vol. 106 Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag,fourth edition, New York (1999).

[24] S. Okada,W.J. Ricker, E. A. Sanchez, Optimal Domain and Integral Extension of Oper-ators, Acting in Function Spaces , Oper. Theory Adv. Appl., vol. 180 Birkhauser, Basel(2008).

[25] T.A. Gillespie, Factorization in Banach function spaces,Indag. Math. 43 (1981), 287-300.

[26] Takashi Ito, On Banach spaces with unique isometric predual, Michigan Math. J.(1977)Vol.24, 321-324.

[27] W. Arendt,Charles J.K. Batty, M. Hieber,F. Neubrander Vector-valued Laplace Trans-forms and Cauchy Problems: Second Edition, Birkhauser, Natick, MA (2001)

[28] W. Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill (1970).

[29] W.B. Johnson, J. Lindenstrauss, Handbook of the Geometry of Banach spaces, Vol.2 eds,Elsevier, Amsterdam (2003), 1099-1130.

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