Funções de mais de uma variável

1- Revisão de funções com uma variável :

Vimos função de uma única variável onde a cada elemento x tínhamos um y tal que

y =f (x)

Exemplo

f : IR

x x ,

ou f(x) = x

neste exemplo temos que para cada x atribuído , vamos ter um f(x) = x

por exemplo se x=2 encontraremos um y = 8.

Exemplos de funções em IR

a) f(x) = xb) f(x) = 2x + 3c) f(x) = -2x + 3d) f(x) = -4x – 3e) f(x) = 10

f) f(x) = + 3 x +2

g) f(x) = - 5 x - 6

h) f( x) =

i) f(x)

j) f(x) =

k)

l) f ( x) =

Domínio e conjunto imagem

Nos exemplos acima temos como domínio e imagem , respectivamente os conjunto s

1

Domínio : para todos os casos é IR desde o item a ao item i

No item j

D = { x £ IR I x ≠2 }

No item k D = { x £ IR I x ≥ 4 }

No item l D = { x £ IR I x > 4 }

Conjunto Imagem

Em todos os casos desde o item a ao item d é IR

No item e , a imagem é { 10 }

No item f , a imagem é { y Є IR I y 0,25}

No item g , a imagem é { y Є IR I y 0,25}

No item h , a imagem é {y Є IR I y 0}

No item i é imagem é IR

No item j , a imagem é {y Є IR I y }, precisa calcular esse y

No item k , a imagem é {y Є IR I y 0}

No item l , a imagem é {y Є IR I y 16 e y - 16} , precisa calcular

Funções de mais de uma variável .

Vejamos estes exemplos

1- A área total de uma pessoa depende do seu peso e da sua altura.2- O volume de uma piramide, depende das dimensóes da base e também da altura3- A pressão de um gás depende do volume e da temperatura 4- A pressão atmosferica de um planeta depende da aceleração da gravidade e da

altitude5- O preço de venda de um produto depende do material, do custo do trabalho e

despesas gerais.6- O custo da construção de uma casa depende : área construida, acabamento , local .

Nestes exemplos podemos ver que temos mais de uma variável que influencia na função.

Da mesma forma que denotamos um ponto em IR por um numero x, denotaremos por para um par de valores ( x,y), para um terna ordenada, ênupla de números reais .

2

Uma função de n variáveis é um conjunto de pares ordenados ( P,w), onde w é um número real e P é um ponto do espaço n- dimensional. O conjunto de todos os valores de P é chamado domínio e os valores que w pode assumir, é chamado imagem da função .

Exemplos de funções em :

a) Z= x ,b) Z= x + y + 4c) Z=

Domínio Nos casos a e b , podemos atribuir qualquer valor para x e y, portanto o domínio é ( x,y) Є

No caso c, se observarmos bem notaremos que x ou y ,não podem por exemplo ser 5. Se somarmos , x , esta soma não pode ser mais que 16, portanto

D = { (x,y) £ I x ≤ 16 }

d ) f(x,y) = x + y , esta função associa a cada par de números reais , a soma do cubo de um deles com o quadrado do outro

Por exemplo f(2,3) = 17

Aqui o domínio é IR , Quando não for especificado o domínio , supõe-se que é o mais amplo de IR

e) f(x) = , D ={ f(x,y) IR x }

Conjunto imagem

Observando o caso a , notamos que z, não pode ser negativo ou seja I=

No caso b , z pode assumir qualquer valor ou seja I = IR

No caso c o conjunto imagem será { z £ R I z £ [0,4] }

No caso d , o conjunto imagem é o próprio IR

No caso e , o conjunto imagem é o próprio

Gráfico e curvas de níveis de Funções de duas variáveis

3

Veremos somente alguns exemplos , supondo duas variáveis

a)z=2b)x=3c)y=1d)y=x

a) f: IR

f(x,y) =2z

y

x

a) f: IR

f(y,z) =3

z

y

x

4

b) f: IR

f(x,z) =3

z

y

x

a)f: IR y=x

f(x,z) = x

z

y

x

5

Funções mais complexas

A- Exemplo 1 : função f(x,y)=100- x

F(x,y)=100

f(x,y) = 51

f(x,y) = 75

f( x, y) =0

6

Se cortássemos o parabolóide em fatias , cada fatia é uma curva de nível

Tracemos as curvas de níveis para z= 0, z=51 z=75 e z=100

Para z = 0 temos 100- x = 0 e x , é uma circunferência de raio igual a 10

Para z = 51, temos x , circunferência de raio igual 7

Para z = 75, x circunferência de raio igual a 5

Para z = 100 , x , temos uma circunferência de raio igual a zero , ou seja um ponto .

7

z

x

f(x,y)=75

f(x,y) = 0

f(x,y) =51

Veja exemplos de funções de duas variáveis, z = f(x,y) em http://www.mat.puc-rio.br

Exempo 2

f(x,y) = x , sendo f(x,y) = z, quando z=0 , temos a origem ( um ponto)

z =1, circunferência de raio 1, aumentando-se z, a circunferência aumenta

Exemplo 3

A função z= f(x,y) = 6 – 2x -3y., esta equação pode ser escrita como 2x + 3y + z = 6

Para fazermos o gráfico ,fazemos o seguinte :

a) x = 0, y = 0 b) x = 0, z = 0 c) y = 0, y = 0

8

Superfícies de níveis para funções de 3 variáveis

f(x,y,z) =

a função f(x,y) = x ² + y², é circunferência, cujo raio é dado por

f(x,y,z)= x²+y²+z², é uma esfera cujo raio é dado por

Podemos estender as definições acima para funções em IR

Por exemplo a função em IR definida por f(x x = 2 x

Exercícios

1- Considere a seguinte função : f(x,y) =

Calcule a)f(1,0) b)( f(2,3) c) f(5,-3) d) f(a,a)

e) ( f(x + f ) f(2,3) – f(1,2) 2- Uma loja vende dois produtos x e y, o primeiro a R$ 500,00 e o segundo a

R$ 600,00 a unidade

a) Qual a expressão da receita de vendas?

9

b) Qual o valor da receita para a venda de 10 unidades de x e 15 de y ?c) Represente graficamente os pontos x e y para a receita de R$ 3000,00

3) A distancia de um ponto ( x,y) à origem é dada pela função D (x,y)= . O valor de D do ponto (3,4) é D(3,4)= = 5

Limites e continuidade em dimensões maiores

Se os valores de uma função real f(x,y) estão próximos de um numero real fixado L para todos os pontos ( x,y) suficientes próximos do ponto (x ), mas não iguais a (x ), dizemos que

L é o limite de f quando se aproxima de (x ), . Em símbolos escrevemos

f(x,y) = L . è parecido com o limite com uma variável , porém aqui estamos

trabalhando com duas variáveis, o que complica. Enquanto trabalhamos com uma variável , x se aproxima de x , ( x,y) se aproxima de (x ), , em qualquer direção .Podemos pensar em distancias no plano ou em diferença de coordenadas.

Como no caso de limite com uma variável pode se demonstrar que :

Propriedades dos limites de funções de duas variáveis

As regras a seguir são válidas se L,M,K são números reais e

10

x = x

y = y

f(x,y) = L e f(x,y) = M

1-Regra da soma [f(x,y) + g(x,y)] = L + M

2- Regra da diferença [f(x,y) - g(x,y)] = L – M

3-Regra do produto [f(x,y). g(x,y)] = L . M

4- Regra a multiplicação por uma constante k.f(x,y)= k.L

5-Regra do quociente =

Exemplos

a) =

b) = =5

c) = Lembra disso ?

11

= =

Portanto = =

= = 0(0+0) = 0

Continuidade

Definição é a mesma que para funções de um única variável

Uma função f(x,y) é contínua no ponto ( x ) se :

1- f é definida em ( x )

2- f(x,y) existe

3- = f( x )

Uma função é dita continua quando é contínua em todos os seus pontos do domínio

Teste dos dois caminhos para a não existência de um limite

Se f(x,y) tem limites diferentes ao longo de dois caminhos diferentes quando (x,y) se aproxima

de ( x ), então , não existe

Teorema 1

São contínuas em todos os pontos de seu domínio as funções

a) polinomiais nas variáveis x e y

b) racionais nas variáveis x e y

12

Exemplos :

1) f(x,y) = x ( função polinomial)

2) f(x,y)=

Teorem 2

Se f(x,y) e g(x,y) são contínuas em ( x ), então serão também contínuas em ( x ), as funções

1) f(x,y) + g(x,y)

2) f(x,y) - g(x,y)

3) k f(x,y) , k

4) f(x,y) . g(x,y)

5)

6) a >0)

7) log f( x, y) , ( f(x >0)

8) cos f ( x, y)

9) sen f(x,y)

De acordo com os teoremas vistos , são contínuas em todos os pontos de seu domínio as funções

f(x,y)= x² + y²-2xy

f(x,y)=

f(x,y)= 2

f(x,y)= ln(x+y)

f(x,y)= sen ( x² + y)

f(x,y)= x²+ e

Determinar a continuidade por caminhos diferentes

1) Veja esse exemplo

f(x,y) = . Vamos tomar x= 0, f(0,y)=

se fizermos y= 0, analogamente teremos f(x,0)= , vamos pegar outro caminho y=x, f(x,x)

=1/2, portanto limites diferentes, a função não é continua em ( 0,0)

Exercícios sobre limites com duas variáveis - 20/09/2011

13

1-Calcule os limites

a)

b)

c)

d)

e) sec x .tg y

f) cos

g) e

h) ln

i)

j)

k)

l)

m) e

n) x

o) (3x

p) senx seny

q (sen

2-Limites de quociente

a)

x

b)

x

c)

x

f)

x

g) )

x+y

h)

i)

14

d)

x

e)

x

m

2 x-y

j)

k)

l)

n)

3-Limites com 3 variáveis

a) (

b) (

c ) (

d) (

e) (

f) (

g) (

4- Verifique se a função é contínua no ponto (3,4) : f(x,y) = 2x +3y

calcule também o limite quando (x,y) tende a (3,4)

5- f(x,y) ={ , verifique se é continua em (1,1)

6- Verifique se a função é continua em (0,0)

15

f(x,y) ={ ,

7-Verifique se a função é contínua em (2,7)

f(x,y) ={8)Verifique se a função é continua em ( 0,0)

f(x,y) ={

Em cada uma das funções seguintes , determine os pontos onde elas são contínuas

a) f(x,y) =xb) f(x,y)= log ( x² + y²)

c) f(x,y) =

d) f(x,y) = arc tg

e) f(x,y)= tg

f) f(x,y)= arc sen

g) f(x,y) = arc tg

h) f(x,y) = arc cos

16

Derivadas ParciaisA definição de derivada parcial de uma função de 2 variáveis é a mesma que a de funções de uma variável. A única diferença aqui é que , como se tem duas variáveis , uma delas deve ser mantida fixa enquanto se dá acréscimos para a outra.

No caso de uma variável tínhamos

Graficamente a derivada de uma função no ponto , podia ser entendida como sendo a

tangente à curva no ponto x= , o valor da derivada é dado por f’( )

Interpretação geométrica

Para as funções de duas variáveis temos :

Seja a função f(x,y), sua derivada em relação a x é

17

Um modo mais rápido de calcularmos uma derivada parcial é derivando a função em relação a x ,considerando y constante e depois derivando a função em relação a y , considerando x constante .

Notações :

A derivada parcial pode ser representada por

,

1. f(x, y) = 4x2 – 3xy; D1f(x, y) = ?, D2f(x, y) = ?2. f(x, y) = (x2 + y2)1/2; fx(x, y) = ?, fy(x, y) = ?

3. f(x, y) = (x – 3y)/(x2 – y); fy(x, y) = ?

O procedimento é o mesmo para derivadas parciais com mais de duas variaveis.

4. f(x, y, z) = x3y – 4xy2 + 3yz; D2f(x, y, z) = ?, D3f(x, y, z) = ?5. f(r, s, t, u, v) = rstu + rstv + rsuv + rtuv+ stuv;  ft (r, s, t, u, v) = ?

Verificar se a função z= ln ( xy) + x + y satisfaz a equação

x

18

Diferenciabilidade

Condição suficiente para diferenciabilidade

Seja ( , um ponto o domínio da função f(x,y). se f(x,y) possui derivadas parciais e

em um conjunto aberto A que contem ( ) e se essas derivadas parciais são continuas

em ( ), então f é diferenciável em ( ).

Exemplos

Verificar se as funções a seguir são diferenciáveis em I .

a) f(x,y) =

b) f(x,y) =

c) f(x,y) =

d) f(x,y)=

e) f(x,y)=

a) = 2x e =2y. Essas derivadas parciais são continuas em I , deduzimos que f é

diferenciável em I .

b) = = 6xy +

Essas derivadas parciais são continuas em I , deduzimos que f é diferenciável em I .

19

c) = =

Essas derivadas parciais são continuas em I , deduzimos que f é diferenciável em I .

d) = = . Essas derivadas são funções racionais, não

definidas na origem . são contínuas em I , para (x,y)

e) = = = Essas derivadas são contínuas em I

(x,y)

Exercicios

I-Calcular as derivadas parciais de 1ª ordem

1) f(x,y)=

2) f(x,y)= -

3) f(x,y)=

4) f(x,y)= -

5) f(x,y)=

6) f(x,y)=

7) f(x,y)=

8) f(x,y)=

20

9) g(x,y)= arc tg (y/x)

10) Z=sec( x²+y)11) Z= cosec(xy²)

12) Z=(x+y)

13) Z=4xy-

14) Z=

15) Z=

16) f(x,y)= - 3x²y³

17) f(x,y)=

18) f(x,y)= + xy

19) f(x,y)=

20) f(x,y)=xy – ln(xy)

21) f(x,y)=x²y+ 2

22) z=

23) f( = sen 3Φ.cos 2θ24) z=

II- Calcule as derivadas parciais de 1 ordem das funções abaixo

1) z

2)

3) - sen ( x²+y²)

4) z

5)

6)

21

7) y z

8) ln (x+y+z²)

9)

10)

III1- Verificar se as funções são diferenciáveis

a- f(x,y) = , na origem

b- f(x,y) = 2xyc- f(x,y)= 2 x²-y²d- f(x,y)= x+ye- identifique onde as funções são diferenciáveis

1- f(x,y)= x²y + x y²

2- z=

3- f(x,y) =sen

4- f(x,y)=

5- fx,y)= arc tg 2xy

2-Verificar se a função z = x³y² satisfaz a equação

3- Verificar se a função z =sen( x+y) satisfaz a equação

4- Sabendo-se que a diferencial total de uma função é dada por

dz = dx + , calcule a diferencial total nos casos

a) z= xy - x²b) z= sen² xyc) z= ln(x+xy²)d) z=sen²(x+y)

22

e) z=x

f) z=arc tg

6- Calcule a diferencial total nos pontos indicados

a)f(x,y) =

b) z= ln ( x² + y² ) P ( 1,1)

c)w=x. P(1,2,0)

d)w= P (2,1,1)

e) Aplicação da diferencial : O volume de um cilindro é dado por V = x²y, onde x é o raio

do cilindro e y é a altura, calcule o aumento de volume quando o raio varia de 3 para 3,1 e a altura varia de 21 para 21,5 .

f) Um terreno retangular tem lados estimado em 1200 m e 1800 m, com erro máximo de 10 m e 15 m respectivamente .Determine o erro máximo no cálculo da área do terreno .

Exercícios para entregar

30 exercícios.

Pag 14 :

Exercicios 1 - (c,e,k,n,q)

2 (a,b,j,n)

Pag 15

3 (a,b,c,d)

Pag 18

I (1,4,8,11,15,16,17,20,21,22)

II 1 (1,3,4,5,6,8)

23

2

3

Bibliografia : 1 ) Cálculo B – Mirian Buss Gonçalves e Diva Marilia Flemming

2) O calculo com geometria analítica – Louis Leithold- vol. 2

3) http://en.wikipedia.org

4) WWW.matematiques.com.br

5) http://www.colegioweb.com.br

24