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Aula 01
Limites, limites laterais, limites infinitos, assíntota vertical e
propriedades do limite
Exemplo 3
Suponha uma placa de alumínio quadrada,
que quando aquecida, expande
uniformemente de acordo com a animação
a seguir .
Aquecedor
Exemplo 3
x
2A x x
Se é o comprimento do lado do quadrado,logo a área da placa é calculada por
.
x
2A x x A x
Evidentemente , quando mais o valor de se aproxima de mais o valor da área
se aproxima a , isto é,29,0m A x
x3,0m
x 3,0m A x 29,0m
Exemplo 3
Expressamos isto dizendo que quando se aproxima de , se aproxima de comoum limite. Simbolicamente escrevemos:
3x
2x 9
2
3lim 9x
x
Exemplo 3
Onde a notação“ ” indica tende a e“ ” significa o limite de.
3x x 3lim
??Questionamento??
Será que, à medida que se aproxima deum número real , então ficacada vez mais próxima de algum número real ?
xp x p f x
Lfy
x
L
px
f x
Se a resposta for afirmativa, dizemos quelimite de ,quando tende para , é igual a .
f x x pL
??Questionamento??
Se é uma função e é um ponto de acumulação do domínio da aplicação, entende-se a notação
Limite de Função
f p
limx p
f x L
f x Lx p
f x x pL f x L
px
como o limite de quando tende é, isto é, se aproxima do número
quando tende a , isto é,
Limite de Funções
fy
x
L
px
f x
limx p
f x L
Limite de Funções
fy
x
L
px
f x
f p
limx p
f x L
fy
x
L
px
f x
f p
Olimitenãoexiste
f x
f pLimite de Funções
Investigação
Qual o possível resultado para o seguinte
limite , sendo a função
constante e um ponto qualquer do
domínio.
limx p
f x
f x K
p
Solução
Em primeiro lugar, vamos visualizar a
a representação geométrica do gráfico da
função constante , supondo que o
valor de seja positivo.K
Representação Geométrica
f
y
xpx
K
Conclusão
Observe que para todo valor de próximode , teremos .
px
xp f x K
Sendo assim podemos concluir que
lim limx p x p
f x K K
Formalizando
Se é uma função constante
definida por , então
para todo .
limx p
f x K
f x K
:f
p
Investigação
Qual o possível resultado para o seguinte
limite , sendo a função
identidade e um ponto qualquer do seu
domínio.
limx p
f x
f x x
p
Solução
Em primeiro lugar, vamos a visualizar a
representação geométrica do gráfico
da função identidade.
Idéia da Representação Geométrica
fy
x
f p p
px
f x
x p f x f p
x
f x
x p f x f p
Formalizando
Se é a função identidade
, então
para todo .
limx p
f x f p p
f x x
:f
p
Atividade
Considere tal que .
Determine .
:f 2 6f x x
1
limx
f x
No processo investigativo vamos construir
uma tabela com valores menores e maiores
que . 1p
Tabelax 2 6f x x
1
0,90,990,9990,9999
1,00011,0011,011,1
7,87,987,9987,9998
8,00028,0028,028,2
1
18
1 1
lim lim 2 6 8x x
f x x
f
y
x
x
f x6
2
10
1
8
Representação Geométrica
1 1
lim lim 2 6 8x x
f x x
Formalizando
Se definida por é a
função polinomial do 1º grau, então
para todo sendo e .
limx p
f x f p ap b
f x ax b :f
p a b
fy
x
x
f xb
0x
0f x
p
ap b
Representação Geométrica
limx p
ax b ap b
Limite da Função Polinomial
Se definida por
é a função polinomial de grau n, então
para todo sendo para todo
01
limn
kkx p k
f x f p a a p
20 1 2
nnf x a a x a x a x
:f
p ia
0,1,...,i n e 0.na
Exemplos
0
1) lim 4 3 4.0 3 3x
x
2 2
12) lim 3 1 1 3 5
xx x
3 23 2
13) lim 3 1 1 3 1 1 3 3
xx x
4 2 4 2
04) lim 3 0 0 3 3
xx x
y
0
Limite no Infinito
1 ,f x xx
x
0x
0x
x
f x
x 1 0x
f x
y
0
Limite no Infinito
1 ,f x xx
x
0x
0x
x x 1 0x
y
0
Limite Infinito
1 ,f x xx
x
0x
0x
x
f x
0x 1x
y
0
Limite Infinito
1 ,f x xx
x
0x
0x
x
f x
0x 1x
Limite Infinito
,f x x x y
0 x
a
a
x
f x
x
f x
Limite Infinito
,f x x x y
0 x
a
a
x
f x
x
f x
Formalizando
Se definida por , então:
) lim 0x
i f x
1f xx
:f
) lim 0x
ii f x
0
) limx
iii f x
0
) limx
iv f x
Formalizando
) lim ,n
xi x n
) lim , 2 ,comn
xii x n p p
) lim , 2 1,comn
xiii x n p p
1) lim 0,nxiv n
x
1) lim 0,nxv n
x
Atividade
Determine caso exista os limites abaixo:
21) lim 1x
x
22) lim 3x
x x
33) lim 2x
x x
44) lim2x x
2
335) lim
2 2x
x xx x
4
236) lim2x
x xx x
4
4 237) lim2x
x xx x
4 2
4 238) lim2x
x xx x
Atividade
Determine caso exista os limites abaixo:
3
21) lim3x x
3
22) lim3x x
3
23) lim3x x
24
44) lim16x
xx
24
46) lim16x
xx
24
45) lim16x
xx
