02_Erros

Clculo NumricoClculo NumricoTeoria dos Erros

Prof. Wellington Passos de [email protected]

Programag

1. Conceitos Bsicosa) Representao de nmeros

b) Converso de nmeros)

c) Aritmtica de ponto flutuante

2. Errosa) Erros absolutos e relativosa) Erros absolutos e relativos

b) Erros de arredondamento e truncamento

c) Anlise de erros

Clculo NumricoClculo NumricoTeoria dos Erros Conceitos Bsicos


Representao de nmerosp

Sistema Decimal (10) 10 dgitos disponveis [0,1,2, ... ,9]

Posio indica potncia positiva de 10

5432 = 5x103 + 4x102 + 3x101 + 2x100

Sistema Binrio (2) 2 bits disponveis [0,1] 2 bits disponveis [0,1]

Posio indica potncia positiva de 23 2 1 0 1011 na base 2 = 1x23 + 0x22 + 1x21 + 1x20

8+0+2+1 = 11 na base decimal


Frmula Geral )( )1(0 Base

: ,

jik ,...,,)...( 0121 aaaaa jj )1(0 ka

Logo, a decomposio polinomial do nmero d d)( dada por:

0121 aaaaa jj,)...( 0121 aaaaa jj

E l D d

0121 ... aaaaa jjjj10 Exemplo: Dado , temos que:

0123 1091041081066849 10


Representao Nmeros Fracionrios Base Decimal (10)

Posio da parte inteira indica potncia positiva de 10 Potncia negativa de 10 para parte fracionria 54,32 = 5x101 + 4x100 + 3x10-1 + 2x10-2

Base Binria (2) Posio da parte inteira indica potncia positiva de 2 Potncia negativa de 2 para parte fracionria 10,11 na base 2 = 1x21 + 0x20 + 1x2-1 + 1x2-2

2+0+1/2+1/4 = 2,75 na base decimal

Outros sistemas de numerao

Maior interesse em decimal (10) Nossa anatomia e cultura Binrio (2) uso nos computadores

Outros Sistemas Octal (8), {0,1,2, ... , 7} Hexadecimal (16), {0,1,2, ... , 9, A,B,C,D,E,F} Dodecimal (relgio, calendrio)

Alguns sistemas numricosg

Converso de nmeros - inteiros

Binrio para decimal J visto (1011)2 = 1x23 + 0x22 + 1x21 + 1x20 = (11)10

Inteiro decimal para binrio Diviso inteira (do quociente) sucessiva por 2, at que

este seja = 0 ou 1 Binrio = composio do ltimo quociente (Bit Mais

Significativo BMS) com os restos das divises (primeiro resto bit menos significativo bms)resto bit menos significativo bms)

E i l M t Si ifi t Bit MSB l t i ifi t bitEm ingls, Most Significant Bit MSB e least significat bit lsb, respectivamente.

Converso de nmeros - inteiros

Exemplo: Converter 30 decimal para binrio

Binrio = BMS ... bms = 1 1 1 1 01 1 1 1 0 = 1x24 + 1x23 + 1x22 + 1x21 + 0x20 =

16 + 8 + 4 + 2 + 0 = 30 decimal

Converso de inteiros entre sistemas

Procedimentos Bsicos Decimal Binrio - Divises sucessivas pela base do

sistema para o qual se deseja converter o nmero Binrio Decimal - Decomposio polinomial do nmero

a ser convertido

Converso de inteiros entre sistemas

Converso de frao

Base 2 para Base 10 J visto (Decomposio Polinomial) (10,101)2 = 1x21 + 0x20 + 1x2-1 + 0x2-2 + 1x2-3 =

= 2 + 0 + 1/2 + 0 + 1/8 = (2,625)10

Converso de frao

Base 10 para Base 2 Deve-se multiplicar parte fracionria por 2 at que parte

fracionria do resultado seja 0 (zero)X,XXX

Bits da parte fracionria do nmero binrio so obtidos d t i t i d lti li ddas partes inteiras geradas aps as multiplicaes do nmero fracionrio na base 10

X XXXX,XXX

Bit i di t t di it d l P t i t i d Bit imediatamente direita da vrgula = Parte inteira da primeira multiplicao

No h inverso na ordem dos bits encontrados

Converso de frao

Exemplo: converter 0,625 decimal para binrio

0,625 x 2 = 1,25, logo a primeira casa fracionria 1; nova frao (resto) 0 25 (agregamos o bit 1 aonova frao (resto) 0,25 (agregamos o bit 1 ao

nmero na base 2)

0,25 x 2 = 0,5 segunda casa 0; nova frao (resto) 0,5 (pois j agregamos o bit 0 ao

numero na base 2)

0 5 x 2 = 1 0 terceira casa 1;0,5 x 2 = 1,0 terceira casa 1; nova frao (resto) 0,0 (pois j agregamos o bit 1 ao

numero na base 2)numero na base 2)

Resultado: 0,62510 = 0,1012

Converso partes inteira e fracionria jjuntas

Para converter um nmero com parte inteira e parte fracionria, fazer a converso de cada parte,

d tseparadamente

Converso partes inteira e fracionria jjuntas

(8,375)10 = ( ? )2

Exerccios

Transforme em binrio: 5 8 5,8

Resposta: 5,8 = 101,11001100... , uma dzima. 11 6 11,6

Resposta: 11,6 = 1011,10011001100... a vrgula foi deslocada uma casa para a direita,

pois 11,6 = 2 x 5,8

Aritmtica de ponto flutuantep

Representao pode variar (flutuar) a posio da l j t d t i d bvrgula, ajustando potncia da base. 54,32 = 54,32 x 100 = 5,432 x 101 = 0,5432 x 102 =

5432 0 x 10-25432,0 x 10 2

Forma normalizada utiliza um nico dgito antes da Forma normalizada utiliza um nico dgito antes da vrgula ( 0 ), e garante o que primeiro dgito depois da vrgula seja diferente de 0vrgula seja diferente de 0 Exemplo: 0,5432 x 101


No sistema binrio: 11010 = 11,010 x 23 = 0,11010 x 25 = 0,0011010 x 27

No caso dos nmeros serem armazenados em um computador, os expoentes sero tambm gravados na base doisbase dois Como 310 = 112, 510=1012 e 710=1112 11 010 x (2)11 0 11010 x (2)101 0 0011010 x (2)111 11,010 x (2)11 = 0,11010 x (2)101 = 0,0011010 x (2)111

Na representao normalizada h apenas um dgitoNa representao normalizada, h apenas um dgito antes da vrgula ( 0 ) Exemplo: 0 11010 x (2)101 Exemplo: 0,11010 x (2)


Algumas definies No nmero 0,11010 x (2)101 , tomado como referncia:

0,11010 = significando (ou mantissa) 101 = expoente

Observaes A base binria no precisa ser explicitada (o computador

usa sempre a mesma)

O 0 antes da vrgula, na representao normalizada se esta for adotada, tambm pode ficar implcito, economizando um bit (bit escondido)economizando um bit ( bit escondido ).

Representao aritmtica de ponto fl dflutuante no computador

eddd )(onde:

tddd )...(. 21 a base em que o computador opera; o nmero de dgitos na mantissa

t

o expoente (inteiro com sinal);01 d,,...,1),1(0 tjd j

e

Representao aritmtica de ponto fl dflutuante no computador

O nmero de bits disponveis para representar os nmeros no computador no infinito

O padro IEEE 754 para ponto (vrgula) flutuante a representao mais com m para nmeros reais emrepresentao mais comum para nmeros reais em computadores de hoje, incluindo PC's compatveis com Intel Macintosh e a maioria das plataformas Unix/LinuxIntel, Macintosh, e a maioria das plataformas Unix/Linux.

O padro (ou norma) IEEE 754 define dois formatos O padro (ou norma) IEEE 754 define dois formatos bsicos para os nmeros em ponto flutuante: O formato ou preciso simples, com 32 bits; e, O formato ou preciso simples, com 32 bits; e, O duplo com 64 bits

Padro IEEE 754 para floatsp

Sinal Expoente( / ) SignificandoSinal Expoente(+/-) SignificandoSimples (32bits) 1 [bit31] 8 [bits30-23] 23 [bits22-00]Dupla (64 bits) 1 [bit63] 11 [bits62-52] 52 [bits51-00]

Sinal: 0 = + e 1 = -

Combinaes: Sinal + Expoente + Mantissa

Limitaes na representao de floats p

A quantidade finita de bits na representao pode i li i timplicar nos seguintes erros:

T t A d d t Truncamento ou Arredondamento

O fl Overflow

Underflow


Exemplo: Mquina no seguinte sistema:

Logo o formato dos nmeros nesse sistema:

.5,5;3;10 etLogo o formato dos nmeros nesse sistema:

55090100 eddddd eMenor valor representado em mdulo:

5,5,0,90,10.0 1321 eddddd jMenor valor representado em mdulo:

65 1010100.0 mMaior valor representado em mdulo:

5 9990010999.0 5 M


Situaes possveis:

a) . 31023589.089.235 x Nmero contm 5 dgitos na mantissa

Possveis Solues:3 Truncamento:

Arredondamento:

310235.0 310236.0

Assunto do prximo tpico


Situaes possveis:7103450b) . 710345.0 x

Expoente no pode ser representado na mquina pois menor que o mnimo (-5)

E d d fl Erro de underflow

9108750c) . 910875.0 x Expoente no pode ser representado na mquina pois

maior que o mximo (5)E d fl Erro de overflow


Considere ]4,4[;3;10 etx arredondamento truncamento

1.25

10 053

110125.0 110125.0 2101000210101010.053

-253.15

210100.0 210101.0 310253.0 310253.0

2.71828

0 000002 U d fl E t < 4

110272.0 110271.0 0.000002 Underflow Expoente+4

Exerccios

Considere uma mquina com sistema de representao d d fi id b 10 i d 4 d itde nmeros definido por: base 10, preciso de 4 dgitos na mantissa e expoente no intervalo: [-6; 6]. Pede-se:

a) Qual o menor e o maior nmero em mduloa) Qual o menor e o maior nmero em mdulo representado nesta mquina?Menor: 0 1000x10-6 = 10-7 Maior: 0 9999x106 = 999900Menor: 0.1000x10 6 = 10 7, Maior: 0.9999x106 = 999900

b) Como ser representado o nmero 189,27 nesta mquina se for usado o arredondamento? E se for usado omquina se for usado o arredondamento? E se for usado o truncamento?Trunc.: 0.1892x103, Arred.: 0.1893x103,

c) Se a = 2578 e b = 0,6 qual o resultado de a + b se for usado o arredondamento? E se for usado o truncamento?Trunc.: 0.2578x104, Arred.: 0.2579x104

Clculo NumricoClculo NumricoTeoria dos Erros Erros


Erros - Tiposp

Preciso Absoluto Relativo

Representao Arredondamento Truncamento

Erro Absoluto

Diferena entre o valor exato de um nmero e o seu( )valor aproximado (em mdulo)

|x|xEA |x|xEAx

Erro Absoluto - Consideraes

EAx s poder ser determinado se x for conhecido tid

com exatido

N ti t t b lh li it t Na prtica, costuma-se trabalhar com um limitante superior para o erro, ao invs do prprio erro ( |E | < sendo o limitante)< , sendo o limitante)

Ex: Para (3,14; 3,15)


Ex.: Sejam a = 3876,373 e e = 1,373Considerando-se a parte inteira de a como o erro absoluto ser:

t i t i d b l t

0,373aaEAa e a parte inteira de e, , o erro absoluto ser:

0 373eeEA 0,373eeEAe


Obviamente, o resultado do erro absoluto o mesmo d inos dois casos

P d t di t t d Podemos ento dizer que a e e esto representados com a mesma preciso? No pois o peso da apro imao em e maior do q e No, pois o peso da aproximao em e maior do que

em a

Erro absoluto no suficiente para descrever a preciso de um clculode um clculo

Erro Relativo

Razo entre o erro absoluto e o valor aproximado do nmero considerado (em md lo)nmero considerado (em mdulo)

EA|x|xER x|x||x|

ERx

Erro Relativo - Consideraes

O erro relativo pode, entretanto, traduzir perfeitamente t f t i

este fato, pois:

0 373 4a 100,0000963876

0,373ER

10 105,3730,373ERe 0 05,3731e

ERx x 100 = Erro Percentual

Erro Relativo - Consideraes

Ex. : Clculo do erro relativo na representao dos 2112 9 5 3 d |EA| 0 1

nmeros = 2112,9 e = 5,3, sendo |EA| < 0,1

5107,49,2112

1,0 a

aaERa

10 ee 02,03,51,0

eERe

Concluso: a representado com maior preciso do que e

Erros de Arredondamento

Ex. Clculo de utilizando uma calculadora digital2

Valor apresentado: 1,4142136Valor real: 1,41421356...

Inexistncia de forma de representao de nmeros irracionais com uma quantidade finita de algarismos Apresentao de uma aproximao do nmero pela

calculadora Erro de Arredondamento

Erros de Truncamento

Descarte dos dgitos finais de uma representao exata li it d t l fl t tpor limitaes de representao em vrgula flutuante

E R t t d d lEx.: Representao truncada de em vrgulaflutuante com 7 dgitos

2

Valor apresentado: 1,4142135Valor real: 1,41421356...

Representao aritmtica de ponto fl d l b dflutuante no computador Relembrando...

eddd )(onde:

tddd )...(. 21 a base em que o computador opera; o nmero de dgitos na mantissa

t

o expoente (inteiro com sinal);01 d,,...,1),1(0 tjd j

e

Erros de Arredondamento e Truncamento

Erros de Truncamento e Arredondamento em um sistema de aritmtica de ponto flutuante:

Em um sistema que opera em ponto flutuante de t dgitos na base 10, e seja x:

x = fx x 10e + gx x 10e-t (0,1 fx 1 e 0,1 gx 1)

Para t = 4, e = 3 e x = 234,57:x = 0 2345 x 103 + 0 7 x 10-1

Para t = 5, e = 4 e x = 1234,568x = 0 12345 x 104 + 0 68 x 10-1x = 0,2345 x 103 + 0,7 x 10 1

fx = 0,2345gx = 0,7

x = 0,12345 x 104 + 0,68 x 10 1fx = 0,12345gx = 0,68gx , gx ,

Erros - Truncamento

No truncamento, gx x 10e-t desprezado e

ee

x 10fx texex 10g10fx e

xte

xe

xx f10gfxxEA 1010

, visto que |gx| < 1tete

xx 1010gEA q |gx|

tetete 101010EA 1te

te

e

te

ex

texx

x 10101010

100,110

10f10g

xEA

ER 10,1

pois 0,1 o menor valor possvel para fx

Erros Arredondamento

No arredondamento simtrico (forma mais utilizada):

1, se (gx desprezado)

ex 10f

x21gx 1

, se (soma 1 ao ltimo

teex 1010f 21gx

dgito de fx)

Erros - Arredondamento

1Se , ento:21gx

ex

tex

exx f10gfxxEA 1010

, visto que |gx| < 1/2tete

xx 102110gEA

1ttetete

xx 10110100,510gEA

ER 2/1

2

1teee

x

xxx 10210100,110fx

ER 1100,1

Erros Arredondamento

Se , ento:21gx 2

teetee 1010f1010fEA tetetete 101101g1010gEA

teextexexx 1010f10g10fxxEA

e

xxx 102101g1010gEA

e

te

tee

tex

x 10f101/2

1010f101/2EAER

e

xtee

x 10f1010fx

tete 1101/2101/2

1teex 1021

10101/2

100,1101/2ER 1100,1

Arredondamento e Truncamento

Erros de Truncamento e Arredondamento em um sistema de aritmtica de ponto flutuante: Sistema operando em ponto flutuante - Base 10

Erro de Truncamento

te10EA 1t10ER e Erro de Arredondamento

x 10EA x 10ER

11 e 1tx 102

1ER tex 1021EA

Arredondamento gera erros menores, mas aumenta o tempo de execuo uso do Truncamento

Anlise de Erros

Sistema de aritmtica de ponto flutuante de 4 dgitos, preciso duplapreciso dupla Ex.: Seja x = 0,937 x104 e y = 0,1272 x102.

C l l +Calcular x+y. Alinhamento dos pontos decimais antes da soma ( Alinhar

sempre para o maior expoente dentre os operadores )sempre para o maior expoente dentre os operadores )

x = 0,937 x 104 e y = 0,001272 x 104,

x+y = 0 937 x 104 + 0 001272 x 104x+y = 0,937 x 104 + 0,001272 x 104,

x+y = 0,938272 x 104

R lt d 4 d it Resultado com 4 dgitos

Arredondamento: x+y = 0,9383 x 104

T t 0 9382 104Truncamento: x+y = 0,9382 x 104

Anlise de Erros

Sistema de aritmtica de ponto flutuante de 4 dgitos, preciso duplapreciso dupla Ex. : Seja x = 0,937 x 104 e y = 0,1272 x102. Calcular x.y

x.y = (0,937 x 104) x (0,1272 x 102)

(0 937 0 1272) 106 0 1191864 106x.y = (0,937 x 0,1272) x 106 x.y = 0,1191864 x 106

R lt d 4 d it Resultado com 4 dgitos

Arredondamento: x.y = 0,1192 x 106

6Truncamento: x.y = 0,1191 x 106

Anlise de Erros

Consideraes Ainda que as parcelas ou fatores de uma operao

possam ser representados exatamente no sistema, no se pode esperar que o resultado armazenado seja exatopode esperar que o resultado armazenado seja exato.

x e y tinham representao exata mas os resultados x+y x e y tinham representao exata, mas os resultados x+ye x.y tiveram representao aproximada.

Durante as operaes aritmticas de um mtodo, os erros dos operandos produzem um erro no resultado dados operandos produzem um erro no resultado da operao Propagao ao longo do processop g g p

Anlise de Erros Propagaop g

Ex. : Sejam as operaes a seguir processadas em i 4 d it i ifi ti f duma mquina com 4 dgitos significativos e, fazendo-

se: a = 0,3491 x 104 e b = 0,2345 x 100.(b + a) a = b + (a a) ?(b + a) a = b + (a a) ?

(b + a) a = (0 2345 x100+0 3491x104) 0 3491x104 =(b + a) a = (0,2345 x100+0,3491x104) 0,3491x104 = (0,00002345 x104+0,3491x104) 0,3491x104

(0 34912345 104) 0 3491 104 ( d d t )(0,34912345 x104) 0,3491x104 (arredodamento)0,3491 x 104 0,3491 x104 = 0,0000

b + (a a) = 0,2345x100 + (0,3491 x 104 0,3491x104)=0 4 00,2345 x 100 +(0,0000 x 104)= 0,2345 x 100


Os dois resultados so diferentes, quando no d ideveriam ser.

(b ) 0 0000 b ( ) 0 2345 100(b + a) a = 0,0000 e b + (a a) = 0,2345 x 100

Causa Arredondamento da adio (b + a), a qual tem 8 dgitos A mquina s armazena 4 dgitos (desprezando os

menos significativos)


Resoluo numrica de um problema Importncia do conhecimento dos efeitos da propagao

de erros Determinao do erro final de uma operao Conhecimento da sensibilidade de um determinado

bl t d iproblema ou mtodo numrico


Anlise dos Erros Absoluto e Relativo

Expresses para o determinao dos erros nas operaes aritmticasoperaes aritmticas

Erros presentes na representao das parcelas ou fatores, assim como no resultado da operao

Supondo um erro final arredondado sendo x e y tais que: Supondo um erro final arredondado, sendo x e y, tais que:

EAyyEAxx e yx EAy yEAxx e


Adio Erro Absoluto

)EAy() EAx(yx yx )EA(EA)yx( yx

yx

EAEAEA

Erro Relativoyxyx EAEAEA

yx

EAyx

EAyxEAEA

yxEA

ER yxyxyxyx

yxyER

yxxER

yxy

yEA

yxx

xEAER yx

yxyx yxyxyxyyxx


Subtrao Erro Absoluto

)EAy()EAx(yx yx )EA(EA)yx( yx

yx

EAEAEA

Erro Relativoyxyx EAEAEA

yx

EAyx

EAyxEAEA

yxEA

ER yxyxyxyx

yx

yERyx

xERyx

yy

EAyx

xx

EAER yxyx

yx yxyxyxyyxx

Anlise de Erros Propagaop g Multiplicao

Erro Absoluto Erro Absoluto

EAEAEAyEAxyxEAyEAxx.y muito pequeno

yxxyyx EAEAEAyEAxyxEAyEAxx.y EAyEAxyxEAyEAxx.y xyyx EAyEAxyxEAyEAxx.y

xyx.y EAyEAxEA Erro Relativo

yy

EAEAEAEAEAy

EAx

EAxyEAy

xyEAx

xyEAyEAx

xyEA

ER yxxyxyyxx.y .

yxx.y ERERER


Diviso Prova em evidncia:y Erro Absoluto

1

1111

Prova em evidncia:y

y

EA1

1yEAx

EAyEAx

yx

y

x

y

x

yyy EAyy

yyEAyy

yEA

1

1y

1111

y yy

Simplificao::

EA

1

1yEAx

EAyEAx

yx

y

x

y

x...

yEA

yEA

yEA

1

yEA

1

13

y2

yy

y

(desprezam-se os termos de potncia >1)

y1yEAyy yy y

EAEA

yEA

yEA

yx

yEA

yEAx

yx yxyx 11


Diviso Erro Absoluto

EAEAEAEA

yEA

yEA

yx

yEA

yEAx

yx yxyx 11

2yEAEA

yEA

yEAx

yx

yx yxx

2y

EAxEAxx

yyyyymuito pequeno

EAxEAy2

yx

yEAx

yEA

yx

yx 2 yxyx y

EAxEAyEA

/


DivisoDiviso

Erro Relativo

xy

yEAxEAy

xyEA

xEA

ER 2yx

yxyx

x/y //

yxyx

yxyx

x/y EREREAEAER yy yx

Anlise de Erros - Propagaop g

Erro Relativo da Adio Soma dos erros relativos de d l d d l ti i d dcada parcela, ponderados pela participao de cada

parcela no total da soma.

yxyER

yxxERER yxyx

Erro Relativo da Subtrao Diferena entre os erros relativos do minuendo e do subtraendo ponderadosrelativos do minuendo e do subtraendo, ponderados pela participao de cada parcela no resultado da subtrao.

yERxERER yxyx yxyx yxyx


Erro Relativo da Multiplicao Soma dos erros l ti d f trelativos dos fatores.

ERERER yxx.y ERERER

Erro Relativo da Diviso Diferena entre os erros relativos do dividendo e do divisor

yxx/y ERERER


Nos erros anteriormente formulados, ainda id d d d tconsideramos o erro de arredondamento ou

truncamento no resultado final

A anlise completa da propagao do erro se faz considerando os erros nas parcelas ou fatores e noconsiderando os erros nas parcelas ou fatores e no resultado de cada operao efetuada

Anlise de Erros - Propagao

Ex.: Dada a soma x+y (x e y representados exatamente), f l l d ER( + )

p g

faa o clculo de ER(x+y)

AEA yx

EAx= EAy = 0,

RAyx

ER yxyx

RAER EAx EAy 0, EAx+y = 0

1t1

RAER yx 1t

yx 1021RAER

Como x e y so exatamente representados, ERx+y se resume ao Erro Relativo de Arredondamento (RA) no

lt d dresultado da soma.


Sistema de aritmtica de ponto flutuante de 4 dgitos, i d lpreciso dupla

E S j 0 937 104 0 1272 102 Ex.: Seja x = 0,937 x104, y = 0,1272 x102 e z = 0,231 x101, calcular x+y+z e ER(x+y+z), sabendo que x y e z esto exatamente representadosque x, y e z esto exatamente representados.

Soluo:Soluo:Alinhando as vrgulas decimais ( Alinhar sempre para o maior expoente dentre os operadores ) :para o maior expoente dentre os operadores ) :

x = 0,937000 x104x 0,937000 x10y = 0,001272 x104 ez = 0,000231 x104


Ex.: Seja x = 0,937 x104, y = 0,1272 x102 e 0 231 101 l l + + ER b dz = 0,231 x 101, calcular x+y+z e ER(x+y+z), sabendo

que x, y e z esto exatamente representados.

Soluo:A soma feita por partes: (x+y)+zA soma feita por partes: (x+y)+z

x+y = 0,937000 x104 + 0,001272 x104

x+y = 0 938272 x104 (arredondamento)x+y = 0,938272 x104 (arredondamento)x+y = 0,9383 x 104 = ss+z = 0 9383 x 104 + 0 000231 x 104s+z = 0,9383 x 10 + 0,000231 x 10s+z = 0,938531 x 104 (arredondamento)x+y+z = 0 9385 x 104x+y+z = 0,9385 x 10


Soluo:

s = x+y = ento s = x + y = 0,9383 x 104

Clculo do Erro Relativo:Clculo do Erro Relativo:

EAx=EAy=0, ER 0RAyERxERER

ERx+y=0syxs RAyxERyxERER

RAER ss RAER

RAERER zszyx

RAzs

zERzs

sERER zszyx


Soluo:

RAzs

zERzs

sERER zszyx

zyx

zszs

EAz=0, ERz=0RAzyxzER

zyxyxERER zszyx

RAzyx

yxERER szyx

y

1yxRA

RAyxRAER

1zyxRA

RAzyx

RAER szyx


Soluo:

1zyx

yxRARAzyx

yxRAER szyx

1t1011yxER 1tzyx 1021zyxyER

34

4

109385,0109383,0

10211ER zyx

3

,

3zyx 0,9998.10ER


Ex. : Supondo que u representado em um computador por que obtido por arredondamentocomputador por , que obtido por arredondamento. Obter os limites superiores para os erros relativos de

v = 2 e w = + v 2 e w + .


Ex. :

Soluo:

2uv 2RAERERER RARARA 2 RAERERER uu 22

1

RARARA 21

2 10212 tuER1t

u 10ER2u2


Ex. :

Soluo:

uuw uuw RA

uuuER

uuuERER uuw

uuuu RA

uuuRAERw

2 uu

RAuRAERw 2 RA2

11 10102122 ttw RAER

uw 2 RA2

1tvw 10ERER

2

Exerccio

Considere uma mquina cujo sistema de t d d fi id t 310representao de nmeros definido por . Tal mquina utiliza o arredondamento para os

dgitos na mantissa Os nmeros x = 8543 e y = 2477

et 3,10 ]5,5[e

dgitos na mantissa. Os nmeros x 8543 e y 2477 foram utilizados em algumas operaes nesta mquina. Assim, faa o que se pede:

a) Calcule os erros absolutos (EA) e erros relativos (ER) envolvidos no processo de utilizao da mquina para cada nmero x e y.

Resposta:444 10513,3100003,010854,0 xx EREAx xx344 10210,1100003,010248,0 yy EREAy

Exerccio

Considere uma mquina cujo sistema de t d d fi id t 310representao de nmeros definido por . Tal mquina utiliza o arredondamento para os

dgitos na mantissa Os nmeros x = 8543 e y = 2477

et 3,10 ]5,5[e

dgitos na mantissa. Os nmeros x 8543 e y 2477 foram utilizados em algumas operaes nesta mquina. Assim, faa o que se pede:

b) Aps a realizao das operaes x+y e x*y, foi percebido que uma das duas operaes resultava no erro relativo maior. Qual foi?

Resposta:

RAER 4104455 RAER 41061315Erro da multiplicao maior

RAER yx 10445,5 RAER yx 10613,15

Documents

02_Erros