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Clculo NumricoClculo NumricoTeoria dos Erros
Prof. Wellington Passos de [email protected]
Programag
1. Conceitos Bsicosa) Representao de nmeros
b) Converso de nmeros)
c) Aritmtica de ponto flutuante
2. Errosa) Erros absolutos e relativosa) Erros absolutos e relativos
b) Erros de arredondamento e truncamento
c) Anlise de erros
Clculo NumricoClculo NumricoTeoria dos Erros Conceitos Bsicos
Prof. Wellington Passos de [email protected]
Representao de nmerosp
Sistema Decimal (10) 10 dgitos disponveis [0,1,2, ... ,9]
Posio indica potncia positiva de 10
5432 = 5x103 + 4x102 + 3x101 + 2x100
Sistema Binrio (2) 2 bits disponveis [0,1] 2 bits disponveis [0,1]
Posio indica potncia positiva de 23 2 1 0 1011 na base 2 = 1x23 + 0x22 + 1x21 + 1x20
8+0+2+1 = 11 na base decimal
Representao de nmerosp
Frmula Geral )( )1(0 Base
: ,
jik ,...,,)...( 0121 aaaaa jj )1(0 ka
Logo, a decomposio polinomial do nmero d d)( dada por:
0121 aaaaa jj,)...( 0121 aaaaa jj
E l D d
0121 ... aaaaa jjjj10 Exemplo: Dado , temos que:
0123 1091041081066849 10
Representao de nmerosp
Representao Nmeros Fracionrios Base Decimal (10)
Posio da parte inteira indica potncia positiva de 10 Potncia negativa de 10 para parte fracionria 54,32 = 5x101 + 4x100 + 3x10-1 + 2x10-2
Base Binria (2) Posio da parte inteira indica potncia positiva de 2 Potncia negativa de 2 para parte fracionria 10,11 na base 2 = 1x21 + 0x20 + 1x2-1 + 1x2-2
2+0+1/2+1/4 = 2,75 na base decimal
Outros sistemas de numerao
Maior interesse em decimal (10) Nossa anatomia e cultura Binrio (2) uso nos computadores
Outros Sistemas Octal (8), {0,1,2, ... , 7} Hexadecimal (16), {0,1,2, ... , 9, A,B,C,D,E,F} Dodecimal (relgio, calendrio)
Alguns sistemas numricosg
Converso de nmeros - inteiros
Binrio para decimal J visto (1011)2 = 1x23 + 0x22 + 1x21 + 1x20 = (11)10
Inteiro decimal para binrio Diviso inteira (do quociente) sucessiva por 2, at que
este seja = 0 ou 1 Binrio = composio do ltimo quociente (Bit Mais
Significativo BMS) com os restos das divises (primeiro resto bit menos significativo bms)resto bit menos significativo bms)
E i l M t Si ifi t Bit MSB l t i ifi t bitEm ingls, Most Significant Bit MSB e least significat bit lsb, respectivamente.
Converso de nmeros - inteiros
Exemplo: Converter 30 decimal para binrio
Binrio = BMS ... bms = 1 1 1 1 01 1 1 1 0 = 1x24 + 1x23 + 1x22 + 1x21 + 0x20 =
16 + 8 + 4 + 2 + 0 = 30 decimal
Converso de inteiros entre sistemas
Procedimentos Bsicos Decimal Binrio - Divises sucessivas pela base do
sistema para o qual se deseja converter o nmero Binrio Decimal - Decomposio polinomial do nmero
a ser convertido
Converso de inteiros entre sistemas
Converso de frao
Base 2 para Base 10 J visto (Decomposio Polinomial) (10,101)2 = 1x21 + 0x20 + 1x2-1 + 0x2-2 + 1x2-3 =
= 2 + 0 + 1/2 + 0 + 1/8 = (2,625)10
Converso de frao
Base 10 para Base 2 Deve-se multiplicar parte fracionria por 2 at que parte
fracionria do resultado seja 0 (zero)X,XXX
Bits da parte fracionria do nmero binrio so obtidos d t i t i d lti li ddas partes inteiras geradas aps as multiplicaes do nmero fracionrio na base 10
X XXXX,XXX
Bit i di t t di it d l P t i t i d Bit imediatamente direita da vrgula = Parte inteira da primeira multiplicao
No h inverso na ordem dos bits encontrados
Converso de frao
Exemplo: converter 0,625 decimal para binrio
0,625 x 2 = 1,25, logo a primeira casa fracionria 1; nova frao (resto) 0 25 (agregamos o bit 1 aonova frao (resto) 0,25 (agregamos o bit 1 ao
nmero na base 2)
0,25 x 2 = 0,5 segunda casa 0; nova frao (resto) 0,5 (pois j agregamos o bit 0 ao
numero na base 2)
0 5 x 2 = 1 0 terceira casa 1;0,5 x 2 = 1,0 terceira casa 1; nova frao (resto) 0,0 (pois j agregamos o bit 1 ao
numero na base 2)numero na base 2)
Resultado: 0,62510 = 0,1012
Converso partes inteira e fracionria jjuntas
Para converter um nmero com parte inteira e parte fracionria, fazer a converso de cada parte,
d tseparadamente
Converso partes inteira e fracionria jjuntas
(8,375)10 = ( ? )2
Exerccios
Transforme em binrio: 5 8 5,8
Resposta: 5,8 = 101,11001100... , uma dzima. 11 6 11,6
Resposta: 11,6 = 1011,10011001100... a vrgula foi deslocada uma casa para a direita,
pois 11,6 = 2 x 5,8
Aritmtica de ponto flutuantep
Representao pode variar (flutuar) a posio da l j t d t i d bvrgula, ajustando potncia da base. 54,32 = 54,32 x 100 = 5,432 x 101 = 0,5432 x 102 =
5432 0 x 10-25432,0 x 10 2
Forma normalizada utiliza um nico dgito antes da Forma normalizada utiliza um nico dgito antes da vrgula ( 0 ), e garante o que primeiro dgito depois da vrgula seja diferente de 0vrgula seja diferente de 0 Exemplo: 0,5432 x 101
Aritmtica de ponto flutuantep
No sistema binrio: 11010 = 11,010 x 23 = 0,11010 x 25 = 0,0011010 x 27
No caso dos nmeros serem armazenados em um computador, os expoentes sero tambm gravados na base doisbase dois Como 310 = 112, 510=1012 e 710=1112 11 010 x (2)11 0 11010 x (2)101 0 0011010 x (2)111 11,010 x (2)11 = 0,11010 x (2)101 = 0,0011010 x (2)111
Na representao normalizada h apenas um dgitoNa representao normalizada, h apenas um dgito antes da vrgula ( 0 ) Exemplo: 0 11010 x (2)101 Exemplo: 0,11010 x (2)
Aritmtica de ponto flutuantep
Algumas definies No nmero 0,11010 x (2)101 , tomado como referncia:
0,11010 = significando (ou mantissa) 101 = expoente
Observaes A base binria no precisa ser explicitada (o computador
usa sempre a mesma)
O 0 antes da vrgula, na representao normalizada se esta for adotada, tambm pode ficar implcito, economizando um bit (bit escondido)economizando um bit ( bit escondido ).
Representao aritmtica de ponto fl dflutuante no computador
eddd )(onde:
tddd )...(. 21 a base em que o computador opera; o nmero de dgitos na mantissa
t
o expoente (inteiro com sinal);01 d,,...,1),1(0 tjd j
e
Representao aritmtica de ponto fl dflutuante no computador
O nmero de bits disponveis para representar os nmeros no computador no infinito
O padro IEEE 754 para ponto (vrgula) flutuante a representao mais com m para nmeros reais emrepresentao mais comum para nmeros reais em computadores de hoje, incluindo PC's compatveis com Intel Macintosh e a maioria das plataformas Unix/LinuxIntel, Macintosh, e a maioria das plataformas Unix/Linux.
O padro (ou norma) IEEE 754 define dois formatos O padro (ou norma) IEEE 754 define dois formatos bsicos para os nmeros em ponto flutuante: O formato ou preciso simples, com 32 bits; e, O formato ou preciso simples, com 32 bits; e, O duplo com 64 bits
Padro IEEE 754 para floatsp
Sinal Expoente( / ) SignificandoSinal Expoente(+/-) SignificandoSimples (32bits) 1 [bit31] 8 [bits30-23] 23 [bits22-00]Dupla (64 bits) 1 [bit63] 11 [bits62-52] 52 [bits51-00]
Sinal: 0 = + e 1 = -
Combinaes: Sinal + Expoente + Mantissa
Limitaes na representao de floats p
A quantidade finita de bits na representao pode i li i timplicar nos seguintes erros:
T t A d d t Truncamento ou Arredondamento
O fl Overflow
Underflow
Limitaes na representao de floats p
Exemplo: Mquina no seguinte sistema:
Logo o formato dos nmeros nesse sistema:
.5,5;3;10 etLogo o formato dos nmeros nesse sistema:
55090100 eddddd eMenor valor representado em mdulo:
5,5,0,90,10.0 1321 eddddd jMenor valor representado em mdulo:
65 1010100.0 mMaior valor representado em mdulo:
5 9990010999.0 5 M
Limitaes na representao de floats p
Situaes possveis:
a) . 31023589.089.235 x Nmero contm 5 dgitos na mantissa
Possveis Solues:3 Truncamento:
Arredondamento:
310235.0 310236.0
Assunto do prximo tpico
Limitaes na representao de floats p
Situaes possveis:7103450b) . 710345.0 x
Expoente no pode ser representado na mquina pois menor que o mnimo (-5)
E d d fl Erro de underflow
9108750c) . 910875.0 x Expoente no pode ser representado na mquina pois
maior que o mximo (5)E d fl Erro de overflow
Limitaes na representao de floats p
Considere ]4,4[;3;10 etx arredondamento truncamento
1.25
10 053
110125.0 110125.0 2101000210101010.053
-253.15
210100.0 210101.0 310253.0 310253.0
2.71828
0 000002 U d fl E t < 4
110272.0 110271.0 0.000002 Underflow Expoente+4
Exerccios
Considere uma mquina com sistema de representao d d fi id b 10 i d 4 d itde nmeros definido por: base 10, preciso de 4 dgitos na mantissa e expoente no intervalo: [-6; 6]. Pede-se:
a) Qual o menor e o maior nmero em mduloa) Qual o menor e o maior nmero em mdulo representado nesta mquina?Menor: 0 1000x10-6 = 10-7 Maior: 0 9999x106 = 999900Menor: 0.1000x10 6 = 10 7, Maior: 0.9999x106 = 999900
b) Como ser representado o nmero 189,27 nesta mquina se for usado o arredondamento? E se for usado omquina se for usado o arredondamento? E se for usado o truncamento?Trunc.: 0.1892x103, Arred.: 0.1893x103,
c) Se a = 2578 e b = 0,6 qual o resultado de a + b se for usado o arredondamento? E se for usado o truncamento?Trunc.: 0.2578x104, Arred.: 0.2579x104
Clculo NumricoClculo NumricoTeoria dos Erros Erros
Prof. Wellington Passos de [email protected]
Erros - Tiposp
Preciso Absoluto Relativo
Representao Arredondamento Truncamento
Erro Absoluto
Diferena entre o valor exato de um nmero e o seu( )valor aproximado (em mdulo)
|x|xEA |x|xEAx
Erro Absoluto - Consideraes
EAx s poder ser determinado se x for conhecido tid
com exatido
N ti t t b lh li it t Na prtica, costuma-se trabalhar com um limitante superior para o erro, ao invs do prprio erro ( |E | < sendo o limitante)< , sendo o limitante)
Ex: Para (3,14; 3,15)
Erro Absoluto - Consideraes
Ex.: Sejam a = 3876,373 e e = 1,373Considerando-se a parte inteira de a como o erro absoluto ser:
t i t i d b l t
0,373aaEAa e a parte inteira de e, , o erro absoluto ser:
0 373eeEA 0,373eeEAe
Erro Absoluto - Consideraes
Obviamente, o resultado do erro absoluto o mesmo d inos dois casos
P d t di t t d Podemos ento dizer que a e e esto representados com a mesma preciso? No pois o peso da apro imao em e maior do q e No, pois o peso da aproximao em e maior do que
em a
Erro absoluto no suficiente para descrever a preciso de um clculode um clculo
Erro Relativo
Razo entre o erro absoluto e o valor aproximado do nmero considerado (em md lo)nmero considerado (em mdulo)
EA|x|xER x|x||x|
ERx
Erro Relativo - Consideraes
O erro relativo pode, entretanto, traduzir perfeitamente t f t i
este fato, pois:
0 373 4a 100,0000963876
0,373ER
10 105,3730,373ERe 0 05,3731e
ERx x 100 = Erro Percentual
Erro Relativo - Consideraes
Ex. : Clculo do erro relativo na representao dos 2112 9 5 3 d |EA| 0 1
nmeros = 2112,9 e = 5,3, sendo |EA| < 0,1
5107,49,2112
1,0 a
aaERa
10 ee 02,03,51,0
eERe
Concluso: a representado com maior preciso do que e
Erros de Arredondamento
Ex. Clculo de utilizando uma calculadora digital2
Valor apresentado: 1,4142136Valor real: 1,41421356...
Inexistncia de forma de representao de nmeros irracionais com uma quantidade finita de algarismos Apresentao de uma aproximao do nmero pela
calculadora Erro de Arredondamento
Erros de Truncamento
Descarte dos dgitos finais de uma representao exata li it d t l fl t tpor limitaes de representao em vrgula flutuante
E R t t d d lEx.: Representao truncada de em vrgulaflutuante com 7 dgitos
2
Valor apresentado: 1,4142135Valor real: 1,41421356...
Representao aritmtica de ponto fl d l b dflutuante no computador Relembrando...
eddd )(onde:
tddd )...(. 21 a base em que o computador opera; o nmero de dgitos na mantissa
t
o expoente (inteiro com sinal);01 d,,...,1),1(0 tjd j
e
Erros de Arredondamento e Truncamento
Erros de Truncamento e Arredondamento em um sistema de aritmtica de ponto flutuante:
Em um sistema que opera em ponto flutuante de t dgitos na base 10, e seja x:
x = fx x 10e + gx x 10e-t (0,1 fx 1 e 0,1 gx 1)
Para t = 4, e = 3 e x = 234,57:x = 0 2345 x 103 + 0 7 x 10-1
Para t = 5, e = 4 e x = 1234,568x = 0 12345 x 104 + 0 68 x 10-1x = 0,2345 x 103 + 0,7 x 10 1
fx = 0,2345gx = 0,7
x = 0,12345 x 104 + 0,68 x 10 1fx = 0,12345gx = 0,68gx , gx ,
Erros - Truncamento
No truncamento, gx x 10e-t desprezado e
ee
x 10fx texex 10g10fx e
xte
xe
xx f10gfxxEA 1010
, visto que |gx| < 1tete
xx 1010gEA q |gx|
tetete 101010EA 1te
te
e
te
ex
texx
x 10101010
100,110
10f10g
xEA
ER 10,1
pois 0,1 o menor valor possvel para fx
Erros Arredondamento
No arredondamento simtrico (forma mais utilizada):
1, se (gx desprezado)
ex 10f
x21gx 1
, se (soma 1 ao ltimo
teex 1010f 21gx
dgito de fx)
Erros - Arredondamento
1Se , ento:21gx
ex
tex
exx f10gfxxEA 1010
, visto que |gx| < 1/2tete
xx 102110gEA
1ttetete
xx 10110100,510gEA
ER 2/1
2
1teee
x
xxx 10210100,110fx
ER 1100,1
Erros Arredondamento
Se , ento:21gx 2
teetee 1010f1010fEA tetetete 101101g1010gEA
teextexexx 1010f10g10fxxEA
e
xxx 102101g1010gEA
e
te
tee
tex
x 10f101/2
1010f101/2EAER
e
xtee
x 10f1010fx
tete 1101/2101/2
1teex 1021
10101/2
100,1101/2ER 1100,1
Arredondamento e Truncamento
Erros de Truncamento e Arredondamento em um sistema de aritmtica de ponto flutuante: Sistema operando em ponto flutuante - Base 10
Erro de Truncamento
te10EA 1t10ER e Erro de Arredondamento
x 10EA x 10ER
11 e 1tx 102
1ER tex 1021EA
Arredondamento gera erros menores, mas aumenta o tempo de execuo uso do Truncamento
Anlise de Erros
Sistema de aritmtica de ponto flutuante de 4 dgitos, preciso duplapreciso dupla Ex.: Seja x = 0,937 x104 e y = 0,1272 x102.
C l l +Calcular x+y. Alinhamento dos pontos decimais antes da soma ( Alinhar
sempre para o maior expoente dentre os operadores )sempre para o maior expoente dentre os operadores )
x = 0,937 x 104 e y = 0,001272 x 104,
x+y = 0 937 x 104 + 0 001272 x 104x+y = 0,937 x 104 + 0,001272 x 104,
x+y = 0,938272 x 104
R lt d 4 d it Resultado com 4 dgitos
Arredondamento: x+y = 0,9383 x 104
T t 0 9382 104Truncamento: x+y = 0,9382 x 104
Anlise de Erros
Sistema de aritmtica de ponto flutuante de 4 dgitos, preciso duplapreciso dupla Ex. : Seja x = 0,937 x 104 e y = 0,1272 x102. Calcular x.y
x.y = (0,937 x 104) x (0,1272 x 102)
(0 937 0 1272) 106 0 1191864 106x.y = (0,937 x 0,1272) x 106 x.y = 0,1191864 x 106
R lt d 4 d it Resultado com 4 dgitos
Arredondamento: x.y = 0,1192 x 106
6Truncamento: x.y = 0,1191 x 106
Anlise de Erros
Consideraes Ainda que as parcelas ou fatores de uma operao
possam ser representados exatamente no sistema, no se pode esperar que o resultado armazenado seja exatopode esperar que o resultado armazenado seja exato.
x e y tinham representao exata mas os resultados x+y x e y tinham representao exata, mas os resultados x+ye x.y tiveram representao aproximada.
Durante as operaes aritmticas de um mtodo, os erros dos operandos produzem um erro no resultado dados operandos produzem um erro no resultado da operao Propagao ao longo do processop g g p
Anlise de Erros Propagaop g
Ex. : Sejam as operaes a seguir processadas em i 4 d it i ifi ti f duma mquina com 4 dgitos significativos e, fazendo-
se: a = 0,3491 x 104 e b = 0,2345 x 100.(b + a) a = b + (a a) ?(b + a) a = b + (a a) ?
(b + a) a = (0 2345 x100+0 3491x104) 0 3491x104 =(b + a) a = (0,2345 x100+0,3491x104) 0,3491x104 = (0,00002345 x104+0,3491x104) 0,3491x104
(0 34912345 104) 0 3491 104 ( d d t )(0,34912345 x104) 0,3491x104 (arredodamento)0,3491 x 104 0,3491 x104 = 0,0000
b + (a a) = 0,2345x100 + (0,3491 x 104 0,3491x104)=0 4 00,2345 x 100 +(0,0000 x 104)= 0,2345 x 100
Anlise de Erros Propagaop g
Os dois resultados so diferentes, quando no d ideveriam ser.
(b ) 0 0000 b ( ) 0 2345 100(b + a) a = 0,0000 e b + (a a) = 0,2345 x 100
Causa Arredondamento da adio (b + a), a qual tem 8 dgitos A mquina s armazena 4 dgitos (desprezando os
menos significativos)
Anlise de Erros Propagaop g
Resoluo numrica de um problema Importncia do conhecimento dos efeitos da propagao
de erros Determinao do erro final de uma operao Conhecimento da sensibilidade de um determinado
bl t d iproblema ou mtodo numrico
Anlise de Erros Propagaop g
Anlise dos Erros Absoluto e Relativo
Expresses para o determinao dos erros nas operaes aritmticasoperaes aritmticas
Erros presentes na representao das parcelas ou fatores, assim como no resultado da operao
Supondo um erro final arredondado sendo x e y tais que: Supondo um erro final arredondado, sendo x e y, tais que:
EAyyEAxx e yx EAy yEAxx e
Anlise de Erros Propagaop g
Adio Erro Absoluto
)EAy() EAx(yx yx )EA(EA)yx( yx
yx
EAEAEA
Erro Relativoyxyx EAEAEA
yx
EAyx
EAyxEAEA
yxEA
ER yxyxyxyx
yxyER
yxxER
yxy
yEA
yxx
xEAER yx
yxyx yxyxyxyyxx
Anlise de Erros Propagaop g
Subtrao Erro Absoluto
)EAy()EAx(yx yx )EA(EA)yx( yx
yx
EAEAEA
Erro Relativoyxyx EAEAEA
yx
EAyx
EAyxEAEA
yxEA
ER yxyxyxyx
yx
yERyx
xERyx
yy
EAyx
xx
EAER yxyx
yx yxyxyxyyxx
Anlise de Erros Propagaop g Multiplicao
Erro Absoluto Erro Absoluto
EAEAEAyEAxyxEAyEAxx.y muito pequeno
yxxyyx EAEAEAyEAxyxEAyEAxx.y EAyEAxyxEAyEAxx.y xyyx EAyEAxyxEAyEAxx.y
xyx.y EAyEAxEA Erro Relativo
yy
EAEAEAEAEAy
EAx
EAxyEAy
xyEAx
xyEAyEAx
xyEA
ER yxxyxyyxx.y .
yxx.y ERERER
Anlise de Erros Propagaop g
Diviso Prova em evidncia:y Erro Absoluto
1
1111
Prova em evidncia:y
y
EA1
1yEAx
EAyEAx
yx
y
x
y
x
yyy EAyy
yyEAyy
yEA
1
1y
1111
y yy
Simplificao::
EA
1
1yEAx
EAyEAx
yx
y
x
y
x...
yEA
yEA
yEA
1
yEA
1
13
y2
yy
y
(desprezam-se os termos de potncia >1)
y1yEAyy yy y
EAEA
yEA
yEA
yx
yEA
yEAx
yx yxyx 11
Anlise de Erros Propagaop g
Diviso Erro Absoluto
EAEAEAEA
yEA
yEA
yx
yEA
yEAx
yx yxyx 11
2yEAEA
yEA
yEAx
yx
yx yxx
2y
EAxEAxx
yyyyymuito pequeno
EAxEAy2
yx
yEAx
yEA
yx
yx 2 yxyx y
EAxEAyEA
/
Anlise de Erros Propagaop g
DivisoDiviso
Erro Relativo
xy
yEAxEAy
xyEA
xEA
ER 2yx
yxyx
x/y //
yxyx
yxyx
x/y EREREAEAER yy yx
Anlise de Erros - Propagaop g
Erro Relativo da Adio Soma dos erros relativos de d l d d l ti i d dcada parcela, ponderados pela participao de cada
parcela no total da soma.
yxyER
yxxERER yxyx
Erro Relativo da Subtrao Diferena entre os erros relativos do minuendo e do subtraendo ponderadosrelativos do minuendo e do subtraendo, ponderados pela participao de cada parcela no resultado da subtrao.
yERxERER yxyx yxyx yxyx
Anlise de Erros - Propagaop g
Erro Relativo da Multiplicao Soma dos erros l ti d f trelativos dos fatores.
ERERER yxx.y ERERER
Erro Relativo da Diviso Diferena entre os erros relativos do dividendo e do divisor
yxx/y ERERER
Anlise de Erros - Propagaop g
Nos erros anteriormente formulados, ainda id d d d tconsideramos o erro de arredondamento ou
truncamento no resultado final
A anlise completa da propagao do erro se faz considerando os erros nas parcelas ou fatores e noconsiderando os erros nas parcelas ou fatores e no resultado de cada operao efetuada
Anlise de Erros - Propagao
Ex.: Dada a soma x+y (x e y representados exatamente), f l l d ER( + )
p g
faa o clculo de ER(x+y)
AEA yx
EAx= EAy = 0,
RAyx
ER yxyx
RAER EAx EAy 0, EAx+y = 0
1t1
RAER yx 1t
yx 1021RAER
Como x e y so exatamente representados, ERx+y se resume ao Erro Relativo de Arredondamento (RA) no
lt d dresultado da soma.
Anlise de Erros - Propagaop g
Sistema de aritmtica de ponto flutuante de 4 dgitos, i d lpreciso dupla
E S j 0 937 104 0 1272 102 Ex.: Seja x = 0,937 x104, y = 0,1272 x102 e z = 0,231 x101, calcular x+y+z e ER(x+y+z), sabendo que x y e z esto exatamente representadosque x, y e z esto exatamente representados.
Soluo:Soluo:Alinhando as vrgulas decimais ( Alinhar sempre para o maior expoente dentre os operadores ) :para o maior expoente dentre os operadores ) :
x = 0,937000 x104x 0,937000 x10y = 0,001272 x104 ez = 0,000231 x104
Anlise de Erros - Propagaop g
Ex.: Seja x = 0,937 x104, y = 0,1272 x102 e 0 231 101 l l + + ER b dz = 0,231 x 101, calcular x+y+z e ER(x+y+z), sabendo
que x, y e z esto exatamente representados.
Soluo:A soma feita por partes: (x+y)+zA soma feita por partes: (x+y)+z
x+y = 0,937000 x104 + 0,001272 x104
x+y = 0 938272 x104 (arredondamento)x+y = 0,938272 x104 (arredondamento)x+y = 0,9383 x 104 = ss+z = 0 9383 x 104 + 0 000231 x 104s+z = 0,9383 x 10 + 0,000231 x 10s+z = 0,938531 x 104 (arredondamento)x+y+z = 0 9385 x 104x+y+z = 0,9385 x 10
Anlise de Erros - Propagaop g
Soluo:
s = x+y = ento s = x + y = 0,9383 x 104
Clculo do Erro Relativo:Clculo do Erro Relativo:
EAx=EAy=0, ER 0RAyERxERER
ERx+y=0syxs RAyxERyxERER
RAER ss RAER
RAERER zszyx
RAzs
zERzs
sERER zszyx
Anlise de Erros - Propagaop g
Soluo:
RAzs
zERzs
sERER zszyx
zyx
zszs
EAz=0, ERz=0RAzyxzER
zyxyxERER zszyx
RAzyx
yxERER szyx
y
1yxRA
RAyxRAER
1zyxRA
RAzyx
RAER szyx
Anlise de Erros - Propagaop g
Soluo:
1zyx
yxRARAzyx
yxRAER szyx
1t1011yxER 1tzyx 1021zyxyER
34
4
109385,0109383,0
10211ER zyx
3
,
3zyx 0,9998.10ER
Anlise de Erros - Propagaop g
Ex. : Supondo que u representado em um computador por que obtido por arredondamentocomputador por , que obtido por arredondamento. Obter os limites superiores para os erros relativos de
v = 2 e w = + v 2 e w + .
Anlise de Erros - Propagaop g
Ex. :
Soluo:
2uv 2RAERERER RARARA 2 RAERERER uu 22
1
RARARA 21
2 10212 tuER1t
u 10ER2u2
Anlise de Erros - Propagaop g
Ex. :
Soluo:
uuw uuw RA
uuuER
uuuERER uuw
uuuu RA
uuuRAERw
2 uu
RAuRAERw 2 RA2
11 10102122 ttw RAER
uw 2 RA2
1tvw 10ERER
2
Exerccio
Considere uma mquina cujo sistema de t d d fi id t 310representao de nmeros definido por . Tal mquina utiliza o arredondamento para os
dgitos na mantissa Os nmeros x = 8543 e y = 2477
et 3,10 ]5,5[e
dgitos na mantissa. Os nmeros x 8543 e y 2477 foram utilizados em algumas operaes nesta mquina. Assim, faa o que se pede:
a) Calcule os erros absolutos (EA) e erros relativos (ER) envolvidos no processo de utilizao da mquina para cada nmero x e y.
Resposta:444 10513,3100003,010854,0 xx EREAx xx344 10210,1100003,010248,0 yy EREAy
Exerccio
Considere uma mquina cujo sistema de t d d fi id t 310representao de nmeros definido por . Tal mquina utiliza o arredondamento para os
dgitos na mantissa Os nmeros x = 8543 e y = 2477
et 3,10 ]5,5[e
dgitos na mantissa. Os nmeros x 8543 e y 2477 foram utilizados em algumas operaes nesta mquina. Assim, faa o que se pede:
b) Aps a realizao das operaes x+y e x*y, foi percebido que uma das duas operaes resultava no erro relativo maior. Qual foi?
Resposta:
RAER 4104455 RAER 41061315Erro da multiplicao maior
RAER yx 10445,5 RAER yx 10613,15