03 a Sistemas Discretos - materias.fi.uba.armaterias.fi.uba.ar/7609/material/Clase 02/03 a Sistemas Discretos.pdf · toria de impulsos modulados por los elementos de la secuencia,

03 a Sistemas Discretos.doc 1

1. Discretización 1. Discretización ___________________________________________________ 1

1.1. Historia _____________________________________________________________________________________________________________ 2

1.2. Futuro ______________________________________________________________________________________________________________ 3

1.3. Características del Control Digital _______________________________________________________________________________________ 4

1.4. Sistema Discreto _____________________________________________________________________________________________________ 5

1.5. Ecuaciones en Diferencias _____________________________________________________________________________________________ 6

1.6. Transformada de Laplace de una Secuencia ______________________________________________________________________________ 7

1.7. Transformada en Z ___________________________________________________________________________________________________ 9

1.8. Operador Desplazamiento ____________________________________________________________________________________________ 11

1.9. Algunas Funciones de Transferencia ___________________________________________________________________________________ 13

1.10. Relación de Polos y Ceros Continuos y Dicretos ________________________________________________________________________ 17

1.11. Discretización Aproximada __________________________________________________________________________________________ 19

1.12. Aproximación Basada en la Función de Transferencia ____________________________________________________________________ 19 1.1.1. Aproximación de Tustin ________________________________________________________________________________________________________ 20

1.13. Elección del Período de Muestreo _____________________________________________________________________________________ 24

1.14. Referencias _______________________________________________________________________________________________________ 27


1.1. Historia • 1950: Período Inicial. Primeras computadoras de procesos. Grandes. Gran con-

sumo. Poca fiabilidad.

• 1956: Texaco: 26 caudales, 72 temperaturas y 3 composiciones. Suma en 1 ms, multiplicación en 20 ms. TMEF ó MTBF 50 a 100 hs solo para la cpu. No existen modelos en tiempo real. Escasos sensores. Rechazo a las nuevas tecnologías.

• 1962: Imperial Chemical Industries (Inglaterra): 224 entradas, 129 válvulas. Control Digital Directo (CDD o DDC). Suma 0,1 ms, multiplicación en 1 ms. TMEF 1000 hs. Se reemplazan tableros de instrumentos por teclado y pantallas. Fácil reconfiguración.

• 1965: Minicomputadoras. Circuitos integrados. Reducción de costos y tamaños. Más rápidos y fiables. Suma 0,002 ms, multiplicación 0,007ms. TMEF 20000 hs. Aplicable a proyectos pequeños. Crecen las aplicaciones de 5000 a 50000 en 5 años. Costo medio (1975) 10000 dólares. Costo del proyecto a 100000 dólares.

• 1975: Microcomputadoras. Costo medio de 500 dólares. Consumo despreciable. Control dedicado. Desarrollo de la teoría de control.

• 1980: PLC. Secuenciamiento Lógico. Control Distribuido.


1.2. Futuro Se prevén avances en:

• Conocimiento del proceso: Lentos pero constantes. Recolección de datos.

• Técnicas de medición: Sensores inteligentes. Incorporan computadores a bor-do.

• Tecnología de computadores: El más importante. VLSI. Comunicaciones. Pre-sentación de la información. Nuevos lenguajes. Arquitectura.

• Teoría de control: Identificación de sistemas. Algoritmos de control. Optimiza-ción. Control adaptativo. Control inteligente. Sistemas multivariables.

Pero no se podrá despegar el futuro de esta temática del avance de los computa-

dores digitales.


1.3. Características del Control Digital • No existe límite en la complejidad del algoritmo.

• Facilidad de ajuste y cambio.

• Exactitud y estabilidad en el cálculo.

• Uso del computador con otros fines (alarmas, archivo de datos, administración, etc.).

• Costo vs. número de lazos.

• Tendencia al control distribuido o jerárquico.

-

y(t)Computador Proceso

yk

u(t)CDA

CAD Sensor

rkuk


1.4. Sistema Discreto

SistemaDiscreto

{uk} {yk}

Sumador

{ } { }k

iki=1

= y u∑ [1.1]

Promediador

{ } ( )k-1 k k+1k1 = + + y u u u3

[1.2]


1.5. Ecuaciones en Diferencias t

T 0

1x (t) = (t) dtT

ω∫ [1.3]

k-1

T 0

k

T 0

T

1x (kT) = T (iT)T1x ((k +1)T) = T (iT)

TTx ((k +1)T) - x (kT) = (kT)T

ω

ω

ω

∑

∑ [1.4]

ecuación en diferencia:

T

Tx ((k +1)T) = x (kT) + (kT)T

ω [1.5]

en general k 1 k-1 n k-n 0 k 1 k-1 m k-m = + + + x a x a x b b bω ω ω+ + + [1.6]


1.6. Transformada de Laplace de una Secuencia Secuencia { }kx , muestreo de una señal continua, se puede escribir como una suma-toria de impulsos modulados por los elementos de la secuencia,

kTkk=0

x (t - kT)x δ∞

=∑ [1.7]

se define su transformada de Laplace como

( ) kTskTs

k=0

L s x e∞

−=∑ [1.8]

es periódica respecto de s con período 2 Tω π=

Todas las singularides se repiten.


1π/Τ

2π/Τ

3π/Τ


1.7. Transformada en Z Solo se define para secuencias

{ }( ) ( ) kk k

k=

Z x X z x z∞

−

−∞

= = ∑ [1.9]

donde z es una variable compleja. La Transformada en Z de la secuencia impulso es

{ } { }1,0,0,kδ = [1.10]

( ) 1z∆ = [1.11]

de una secuencia

{ } { }21, , ,kx a a= [1.12]

( ) ( )1 kk k

k= k=X z a z az

∞ ∞− −

−∞ −∞

= =∑ ∑ [1.13]

que converge para z a> y en cuyo caso la sumatoria resulta ( ) 1

11

X zaz−=

−


Propiedades Linealidad:

( ) ( ) ( )Z af bg aZ f bZ g+ = + [1.14]

Desplazamiento

( ) ( )d dZ q f z Z f− −= [1.15]

Valor Inicial

( ) ( )0

lim limkk zf Z f

→ →∞= [1.16]

Valor Final

( ) ( ) ( )1

1lim lim 1kk z

f z Z f−

→∞ →= − [1.17]

si ( ) ( )11 z Z f−− no tiene ningún polo fuera del círculo unidad.


1.8. Operador Desplazamiento

Es el equivalente discreto al operador diferencial dp dt=

La secuencia debe ir desde −∞ a +∞ El muestreo es 1T =

Operador Adelanto 1k kqf f += [1.18]

Operador Retardo

11k kq f f−−= [1.19]

Para análisis de estabilidad conviene Operador Adelanto Para causalidad, Retardo Las operaciones con ecuaciones en diferencias se reducen a operaciones algebrai-cas Es fácil confundirlo con la Transformada en Z así como se confunde s con p. No son exactamente iguales.


Es útil para manejar ecuaciones en diferencias grandes. Sea el sistema

1 1 0a a a b bk n k n n k k n n k

a b

y a y a y b u b u

n n+ + − ++ + + = + +

> [1.20]

( ) ( )1 11 0 1

a a b b

a b

n n n nn k n kq a q a y b q b q b u− −+ + + = + + + [1.21]

( )( )

11

10 1

a a

a

b b

b

n nn

n nn

A q q a q a

B q b q b q b

−

−

= + + +

= + + + [1.22]

( ) ( )k kA q y B q u= [1.23]

expresado en función del operador retardo 1 1 0a a b bk k n k n k d n k d ny a y a y b u b u− − − − −+ + + = + + [1.24]

con a bd n n= − exceso de polos. Polinomio recíproco

( ) ( )1* 111 a a a

a

n n nnA q a q a q q A q− −= + + + = [1.25]

[1.24] se puede escribir

( ) ( )* 1 * 1k k dA q y B q u− −

−= [1.26]


1.9. Algunas Funciones de Transferencia Equivalencia entre la función de transferencia continua y el sistema muestreado con bloqueador de orden cero

( ) ( )( )

S sG s

E s= ( ) ( )

( )1 2

21 2

S q b q bG qE q q a q a

+= =

+ + resp. impulsional ( )g t respuesta

al escalón

1 1 ( )tδ

1s

1T

q − 1

Time (sec.)

Am

plitu

de

Step Response

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4From: U(1)

To: Y

(1)

2

1s

( )( )

2

2

12 1T q

q+

− t

Time (sec.)

Am

plitu

de

Step Response

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5From: U(1)

To: Y

(1)

sTe− 1q− retardo

as a+

1 aT

aT

eq e

−

−

−−

aTe− Time (sec.)

Am

plitu

de

Step Response

0 1 2 3 4 5 60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1From: U(1)

To: Y

(1)


( )a

s s a+ ( ) ( )

( )2

1 11 1

1

aT aT aT

aT aT

aT e q e aTea a

q e q e

− − −

− −

− + + − −

− + + ( )1 1 aTe

a−−

Time (sec.)

Am

plitu

de

Step Response

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10From: U(1)

To: Y

(1)

( ) ( )ab

s a s b+ +

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )2

1 1 1 1aT bT bT aT aT bT

a b TaT bT

b e a e a e e b e eq

b a b a

q e e q e

− − − − − −

− +− −

− − − − − −+

− − − + +

( )bT aTab be aeb a

− −−−

Time (sec.)

Am

plitu

de

Step Response

0 1 2 3 4 5 60

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5From: U(1)

To: Y

(1)

( ) ( )s c

s a s b+

+ +

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )2

1 1bT aTbT aT

a b T aT bT

a b TaT bT

c e c ee e c b c c ab a q e e e

b a ab b a b a a b

q e e q e

− −− −

− + − −

− +− −

− −− + − − − + + +

− − −

− + +

( ) ( )( )1 bT aTb c e a c eb a

− −− − −−

Time (sec.)

Am

plitu

de

Step Response

0 5 10 15 20 25 30-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2From: U(1)

To: Y

(1)

20

2 20 02s

ωζω ω+ +

( ) ( )

( ) ( )( )

0

0 0

0

0

2 201 0 02

0

2 2 202 0 02

0

21 0

22

1 cos 1 sen 11

sen 1 cos 11

2 cos 1

T

T T

T

T

b e T T

b e e T T

a e T

a e

ζω

ζω ζω

ζω

ζω

ζωω ζ ω ζω ζ

ζω ω ζ ω ζω ζ

ω ζ

−

− −

−

−

= − − + −

−

= + − − − −

= − −

=

( )0 2002

sen 11

te tζωω ω ζζ

− −−

Time (sec.)

Am

plitu

de

Step Response

0 5 10 15 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4From: U(1)

To: Y

(1)


2 20 02

ss ζω ω+ +

( )

( )

0

0

0

21 02

0

2 1

21 0

22

1 sen 11

2 cos 1

T

T

T

b e T

b b

a e T

a e

ζω

ζω

ζω

ω ζω ζ

ω ζ

−

−

−

= −−

= −

= − −

=

( )0 2

02

21

1 sen 11

1tan

te tζω ω ζ φζ

ζφ

ζ

−

−

− − −−

−=

Time (sec.)

Am

plitu

de

Step Response

0 5 10 15 20-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7From: U(1)

To: Y

(1)


Significado de la Función de Transferencia: Ejemplo:

( ) ( )( )

21

Y sG s

U s s= =

+, 0,1T seg= , ( ) ( )0,1

0,1

2 1 0,19040,9048

k

k

eyG qu q e q

−

−

−= = =

− −

( )0,9048 0,1904k ky q u− =

1 0,9048 0,1904k k ky y u+ = +

k U Y 0 0 0 1 1 0 2 1 0,1904 3 1 0,3627 4 1 0,5185 5 1 0,6596 6 1 0,7872


1.10. Relación de Polos y Ceros Continuos y Dicretos

Tenemos una ( ) ( )( )

N sG s

D s= continua y una ( ) ( )

( )N z

G zD z

= discreta.

¿Existe relación entre los polos y los ceros de una y otra? La relación es

is Tiz e= [1.27]

Plano S Plano Z

ωN

−ωN

Plano S Plano Z

ωN

−ωN

Plano S Plano Z

π/Τ

−π/Τ

3π/Τ

−3π/Τ

la transformación es sTz e= .


Ejemplo 1.1. Sistema de Segundo Orden 20

2 20 02s s

ωζω ω+ +

[1.28]

los polos en Z son las raíces de 2

1 2 0z a z a+ + = [1.29]

con

( )0

0

21 0

22

2 cos 1T

T

a e T

a e

ζω

ζω

ω ζ−

−

= − −

= [1.30]

los polos varían con T


1.11. Discretización Aproximada Muchas veces ya existe un controlador analógico Se intenta reproducir su comportamiento Con un período de muestreo pequeño se puede solucionar.

1.12. Aproximación Basada en la Función de Transferencia Se intenta aproximar ( )G s

Reloj

u(t)CDAAlgoritmoCAD

u(kt) y(kt) y(t)

text


1.1.1. Aproximación de Tustin aproximación de derivada como una diferencia en adelanto (método de Euler)

( ) ( ) ( ) ( )1dx t x t T x t qpx x tdt T T

+ − −= ≈ = [1.31]

como una diferencia hacia atrás

( ) ( ) ( ) ( )1dx t x t x t T qpx x tdt T qT

− − −= ≈ = [1.32]

en transformadas significa reemplazar 1zs

T−

= o 1zs

zT−

= [1.33]

que corresponden a un desarrollo en serie truncado Para el método de Euler

1sTz e sT= ≈ + [1.34]

para la diferencia hacia atrás


11

sTz esT

= ≈−

[1.35]

Otra aproximación: el método trapezoidal o método de Tustin

12

12

sT

sT

z e sT

+= ≈

− [1.36]

Se reemplaza directamente s por alguna de sus aproximaciones: Euler

1zsT−′ = [1.37]

diferencia hacia atrás 1zs

zT−′ = [1.38]

Tustin o bilineal 2 1

1zs

T z−′ =+

[1.39]


de este modo se obtiene

( ) ( )H z G s′= [1.40]

La figura muestra el mapeo del semiplano negativo de s

Plano Z

Diferencia en Adelanto Diferencia en Atraso Tustin


Ejemplo: Misma función de transferencia que antes,

( ) ( )( )

21

Y sG s

U s s= =

+

Esta función de transferencia viene de la ecuación diferencial,

( ) ( ) ( )2dy t

y t u tdt

= − +

Si reemplazamos la derivada por su aproximación,

( ) ( ) ( ) ( )12

y kT y kTy kT u kT

T+ −

= − + ( ) ( )( ) ( )1 1 2y kT y kT T Tu kT+ = − +

( )1 1 2k k ky T y Tu+ = − +

para 0,1T seg= ,

( ) 2 0,2(1 ) 0,9

k

k

y TG qu q T q

= = =− − −

, Comparar con ( ) ( )0,1

0,1

2 1 0,19040,9048

k

k

eyG qu q e q

−

−

−= = =

− −


1.13. Elección del Período de Muestreo Recordar: sistema muestreado es más deficiente que el continuo. La elección del período de muestreo depende: comportamiento requerido dinámica propia del sistema perturbaciones actuadores sensores cómo fue modelado Período de muestreo muy grande

Imposibilita la reconstrucción Mucho tiempo en lazo abierto

Período de Muestreo muy corto Incrementa la carga del computador Introduce errores numéricos


Si el sistema tiene retardo 1 14 8 dT t≈ − [1.41]

Una buena medida es expresar el muestreo en función del tiempo de crecimiento rT introduciendo

rr

TNT

= [1.42]

es el número de muestras en el tiempo de crecimiento. Para una senoide pura, de acuerdo al teorema de Shannon, 0,32rN ≈

Este es el límite inferior, pero la reconstrucción de Shannon es complicada Para un sistema de primer orden, el tiempo de crecimiento es la constante de tiem-po. Suena lógico elegir

2 4rN ≈ −

Para un sistema de segundo orden, el tiempo de crecimiento es

tan

0

1rT e

ϕϕ

ω= cosξ ϕ= [1.43]


También se elige 2 4rN ≈ −

Dependiendo del tipo de proceso Caudal 1seg Presión 5 seg Nivel 10 seg Temperatura 20 seg Otra forma de elegir el período de muestreo es:

10T τ=


1.14. Referencias 1. Åström, Karl J.: Computer Controlled Systems. Theory and Design, Prentice

Hall – 1997 2. Aracil Santonja, R.: Sistemas Discretos de Control, Universidad Politécnica de

Madrid – 1980 3. Isermann, R.: Digital Control Systems, Springer Verlag – 1981 4. Papoulis, A: Sistemas Digitales y Analógicos, Marcombo – 1978 5. Stephanopoulos, G: Chemical Process Control. Prentice-Hall – 1984. Caps. 26 a

30 6. Kuo, B: Discrete Data Control Systems, Prentice Hall – 1970 7. Tou, : Digital and Sampled Data Control Systems, Mac Graw Hill – 1959 8. Proakis, J.G. & Manolakis, D.G.: Tratamiento Digital de Señales: Principios,

Algoritmos y Aplicaciones, Traducción de Digital Signal Processing: Princi-ples, Algorithms and Applications, 3rd. edition, Prentice Hall, Englewood Cliffs, UK., 1998.

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