09 08 23 Obstaculos Epistemologicos a Aprendizagem Do Conceito de Funcao

8/18/2019 09 08 23 Obstaculos Epistemologicos a Aprendizagem Do Conceito de Funcao

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Título: OBSTÁCULOS EPISTEMOLÓGICOS À APRENDIZAGEM DO

CONCEITO DE FUNÇÃO

Área Temática: Educação em Ciências Naturais e Matemática

Autor: JOSÉ ANÁLIO DE OLIVEIRA TRINDADE (1)

Instituição: Universidade Federal de Santa Catarina - Pós-Graduação em

Educação do Centro de Ciências da Educação

Introdução: a aprendizagem do conceito de função

O conceito de função é considerado um dos mais importantes de toda

Matemática, não só pelo seu papel central e unificador nesta área do

conhecimento, como também pela sua aplicação a outros ramos do

conhecimento humano. Neste sentido, seu aprendizado é um dos objetivos

mais importantes a ser alcançado na Educação Matemática dos estudantes.

Dada a importância dos alunos atingirem o entendimento do conceito de

função, é necessário conhecer como se processa sua aprendizagem, identificar

e analisar os principais problemas com os quais os alunos se deparam ao

estudar funções e detectar quais as principais dificuldades e obstáculos à

aprendizagem desse conceito.

O conceito de função é um bom exemplo do processo lento e gradual do

desenvolvimento de certas idéias matemáticas. Este conceito levou séculos

para chegar de noções vagas e inexatas até às formas nas quais o

apresentamos hoje aos nossos alunos, baseado na idéia elementar de par

ordenado e no estabelecimento de relações entre conjuntos. As definições de

função mais utilizadas no ensino atual e nos livros didáticos, são as definiçõesde Dirichlet (1837) e de Bourbaki (1939), que na maioria, são fundidas numa só

definição, conhecida como definição de Dirichlet-Bourbaki. Esta definição,

extremamente abstrata, de função, só foi aceita pela comunidade matemática

na segunda metade do século XX e levou, pelo menos, 300 anos para

amadurecer.

Para a maioria dos professores de Matemática de segundo grau e para

os autores dos livros didáticos adotados, o conceito de função é tido como umconceito simples, não havendo muitos obstáculos ou dificuldades à sua


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aprendizagem conforme os resultados de investigação de Mendes (1994) e

Schwarz (1995). Mas a situação é bem outra, o conceito de função é um

conceito difícil de ser assimilado, conforme veremos ao longo deste artigo.

Com o movimento da Matemática Moderna, o ensino de funções foi

impregnado pelo formalismo bourbakiano, o que acabou por negligenciar as

razões que, realmente, determinaram o surgimento do conceito de função, a

saber: a necessidade de analisar fenômenos; descrever regularidades;

interpretar interdependências e generalizar (Caraça, 1975). O formal “par

ordenado”, definição de função de Bourbaki, é uma definição, extremamente

abstrata, especialmente como uma primeira introdução para estudantes pré-

universitários, conforme assinalam muitos pesquisadores em Educação

Matemática (Sfard, 1992).

As pesquisas realizadas sobre o processo ensino-aprendizagem de

funções em diversos países, entre eles França, Inglaterra, Israel, Polônia e

Estados Unidos como as pesquisas de Freudenthal (1973), Janvier (1978),

Bergeron & Herscovics (1992), Herscovics (1992, 1989), Vinner (1989), Even

(1990), apontam que a aprendizagem de funções é um processo evolutivo,

lento e gradual devido a sua complexidade. Muitas são as dificuldades

apresentadas pelos estudantes de 1º e 2º graus no aprendizado de funções,

entre elas: a) a inabilidade de construir associações entre as diferentes

representações de funções: fórmulas, gráficos, diagramas, tabelas, expressão

verbal das relações; b) diferenciar entre gráficos de funções contínuas e

discretas; c) reconhecer funções não lineares; d) compreender o conceito de

variável; e) ser capaz de perceber que uma mesma função pode ser

representada por duas fórmulas que se diferenciam apenas pelos nomes de

suas varáveis; f) interpretar gráficos; g) manipular símbolos relativos a funções,tais como: f(x), x→y, cos(x+t), etc. Estes são alguns dos problemas levantados,

e que estão relacionados aos alunos. Por outro lado, ao ensinar funções,

muitos professores não fazem um “jogo de quadros” (2) de maneira adequada,

não propiciam a “dialética ferramenta-objeto” (3). Os obstáculos

epistemológicos e didáticos não são levados em consideração e parece que o

aluno não participa da construção deste conceito. Para Leonor Leal (1990),

uma das principais causas das dificuldades de aprendizagem do conceito defunção é a falta de uma preparação dos alunos para a construção deste


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conceito, ao longo dos primeiros sete anos de escolaridade. A questão

pedagógica é como vencer a todas estas dificuldades em classe.

Muitos desses aspectos relacionados às dificuldades dos alunos na

aprendizagem de funções podem ser compreendidos na perspectiva dos

obstáculos epistemológicos, que a seguir abordaremos.

A partir da perspectiva epistemológica bachelardiana, consideraremos

os obstáculos epistemológicos relativos à apropriação do conceito de função,

que na literatura de pesquisa sobre a aprendizagem deste conceito têm se

mostrado de fundamental importância no processo de formação dos saberes

dos educandos, e na elaboração de modelos de intervenção didática para o

processo ensino-aprendizagem de funções.

Obstáculos epistemológicos à aprendizagem

A noção de “obstáculo epistemológico” foi introduzida e analisada pelo

filósofo da Ciência e epistemólogo Gaston Bachelard em seu livro La formation

de L’esprit scientifique , como sendo “retardos e perturbações que se incrustam

no próprio ato de conhecer, (...) uma resistência do pensamento ao

pensamento” (Bachelard, apud Japiassú, 1976, p. 171).

A noção de obstáculo epistemológico abrange tanto aspectos do

desenvolvimento histórico do pensamento científico como da prática

educacional (Bachelard, 1983). Ao estudar o conceito de obstáculo

epistemológico no âmbito da história da ciência, Bachelard percebeu que

alguns conhecimentos chegam mesmo a impedir o progresso do saber.

Na prática educacional, os obstáculos epistemológicos se propõem

como “obstáculos pedagógicos” , são barreiras à apropriação do conhecimentocientífico, uma vez que obstruem a atividade racional do aluno. Bachelard

critica o desconhecimento ou o não-reconhecimento, pelos professores, da

existência desses obstáculos para a formação do pensamento científico, já que

os mesmos não podem ser negligenciados na vida educativa.

Brousseau (1976) foi o primeiro a transferir para a Matemática a noção

de obstáculo epistemológico de Bachelard (1938), assinalando que um

obstáculo se caracteriza por um conhecimento, uma concepção, e não por umadificuldade ou uma falta de conhecimento, que produz respostas adaptadas


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num certo contexto e, fora dele, produz respostas falsas. Assim, cada

conhecimento é suscetível de ser um obstáculo à aquisição de novos

conhecimentos. Os obstáculos se manifestam pela incompreensão de certos

problemas ou pela impossibilidade de resolvê-los com eficácia, ou pelos erros

que, para serem superados, deveriam conduzir ao estabelecimento de um novo

conhecimento.

A superação dos obstáculos pressupõe uma “psicanálise dos erros

iniciais” - “erros epistemológicos”- que são concepções que os educandos têm

acerca de uma idéia, de uma informação ou do objeto de estudo.

Várias pesquisas em didática da Matemática (Brousseau, 1976;

Vergnaud, 1988; Artigue, 1990; Sierpinska, 1985; Glaeser, 1981) e das

Ciências (Viennot, 1989; Johsua, 1989; Giordan, 1989) têm reconhecido a

importância pedagógica da noção de obstáculo epistemológico noprocesso de

formação dos saberes do estudante e na elaboração de modelos de

intervenção didática, visando suscitar a uma evolução desses conhecimentos.

Muitas são as interpretações e aproximações feitas a respeito dessa

idéia e das possíveis formas de intervenção para a sua superação. Na literatura

de pesquisa sobre obstáculos epistemológicos, a questão do tratamento

didático dos obstáculos é também muito discutida, não havendo uma

abordagem universal para tratá-los. A escolha das situações didáticas para o

seu enfrentamento vão depender do tipo e da resistência do obstáculo a ser

enfrentado. Uma das estratégias apontada pelos pesquisadores na literatura e

que permanece sendo utilizada para se lidar com os obstáculos é o conflito

sócio-cognitivo (Brousseau,1988).

Trindade (1996) argumenta que a dialogicidade tradutora (Delizoicov,

1991) pode se constituir numa dinâmica de trabalho para se lidar com osobstáculos visto que ela oferece a possibilidade de se promover tanto a catarse

quanto a psicanálise dos erros iniciais que Snyders, fundamentando-se em

Bachelard, propõe como meio de se superar os obstáculos epistemológicos.

Para esta superação é preciso, como salienta Delizoicov, problematizar esse

conhecimento já construído pelo aluno, estabelecer a dúvida, o conflito, aguçar

as contradições, localizar as limitações desse conhecimento quando

confrontado com o conhecimento científico, com a finalidade de propiciar umdistanciamento crítico do educando do seu conhecimento prevalente e enfim,


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propiciar a alternativa de apreensão do conhecimento científico. Várias são as

estratégias ou técnicas de ensino que podem ser empregadas para o

desenvolvimento desta dinâmica de trabalho fundamentada numa concepção

problematizadora e dialógica de educação, cabe ao educador escolher aquelas

que melhor se adeqüem ao assunto em estudo.

Sierpinska (1992) centra seu trabalho dentro dessa perspectiva teórica

dos obstáculos epistemológicos. A partir de uma análise epistemológica e

histórica do desenvolvimento do conceito de função e de seu trabalho com

estudantes na Polônia (Sierpinska, 1989), ela identifica a existência de

dezesseis obstáculos epistemológicos a serem vencidos pelos estudantes no

ensino de funções. Dessa análise, ela deduz ainda, dezenove ações para

superá-los e ir além deles, a essas ações ela dá o nome de “atos de

entendimento”. Sierpinska (1992) define ato de entendimento como um reforço

a uma nova forma de conhecer alguma coisa, uma ação a ser empreendida

para que essa nova forma de conhecer ganhe significado.

Segundo esta perspectiva, a aprendizagem ocorre nas grandes e

profundas mudanças cognitivas. Mudanças essas marcadas por atos de

entendimento cruciais para um dado conceito. Esses atos freqüentemente

consistem numa ruptura com uma certa forma de conhecer, em superar um

obstáculo, e não num suave desenvolvimento de velhas formas de conhecer

dentro de novas formas de conhecer (Sierpinska, 1992).

Na seqüência, explicitaremos alguns dos obstáculos epistemológicos

relativos a funções, seus atos de entendimento e sugestões de atuação

docente que podem contribuir para um ensino-aprendizagem de funções nessa

perspectiva. Em particular, analisaremos aqueles relativos à construção do

conceito de função pelos alunos de primeiro e segundo graus. A intenção não éesgotar o assunto, mas sim explorar situações, em muitos casos já efetivadas

na prática educativa, que possam contribuir para a apropriação do conceito de

função.

Embora todos os obstáculos epistemológicos relativos a funções

identificados por Sierpinska (1992) sejam importantes, para o contexto desse

trabalho, chamamos a atenção para aqueles que em nossa compreensão são

fundamentais para o desenvolvimento das noções primeiras do conceito defunção: Matemática não se refere a problemas práticos e somente relações


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descritíveis por fórmula analítica são dignas de receberem o nome de funções .

Nossa opção se justifica porque acreditamos que a apropriação do conceito de

função não se funda, à priori, sobre a aprendizagem da sua definição, mas

repousa essencialmente sobre o domínio de atividades que permitam aos

alunos desenvolverem e/ou adquirirem as noções ligadas a este conceito,

como de correspondência, variável, dependência, regularidade e

generalização, básicas para o aprendizado de funções e sobre o domínio dos

diferentes registros de representação de função.

A crença de que a Matemática não está preocupada com problemas

práticos é o primeiro obstáculo que nós e nossos alunos devemos vencer para

a construção do conceito de função (Sierpinska, 1992). Este é também, em

nossa opinião, o primeiro obstáculo que devemos vencer na construção de

muitos dos conceitos matemáticos, não só para a construção do conceito de

função. Pensar a Matemática como independente do universo físico e do

mundo da experiência, independente mesmo de todas as realizações possíveis

de um universo, é comportarmo-nos como Platão, que em sua República

negou a verdade desses fatos. É preciso superar, portanto, a perspectiva, de

que “a lógica, a matemática, no sentido mais estrito, são ciências formais:

ciências que se limitam exclusivamente a operar com símbolos - independem

das significações dos símbolos, e portanto da referência a qualquer matéria”

(Lorenzen, 1974, p. 98).

Para vencer esse obstáculo, especificamente no caso de funções,

Sierpinska (1992) coloca como condição necessária a observância de dois atos

de entendimento: a identificação de mudanças observadas em redor do mundo

como um problema prático para ser resolvido e a identificação de regularidades

nas relações entre mudanças como um meio de lidar com as mudanças. Estessão, segundo ela, os primeiros e mais fundamentais atos para entender função,

os quais estão, intimamente, ligados às razões que determinaram o surgimento

deste conceito, tais como: a necessidade de analisar fenômenos, descrever

regularidades, interpretar interdependências e generalizar (Caraça, 1975).

A determinação deste obstáculo epistemológico, tem algumas

implicações importantes para o ensino de funções. Entre elas, a de que antes

de introduzirmos a definição e exemplos de funções elementares, deveríamosdespertar nos alunos o interesse por variabilidade e pela busca de


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regularidades. Isto é, devemos resgatar no ensino desse tópico a concepção

de função como instrumento matemático necessário à análise de fenômenos

de variação. Trata-se de voltar e dar à função seus componentes de variação,

dependência e correspondência. Neste sentido, funções deveriam aparecer

primeiro como modelos de relações, como elas aparecem na história, como

ferramentas para descrição e previsão.

A crença, ainda hoje presente no ensino de funções, de que somente

relações que possam ser descritas por fórmulas analíticas merecem o nome de

função é um obstáculo relativo ao papel da álgebra na Matemática e reflete a

tendência dos matemáticos dos séculos XVII e XVIII, que ao adquirirem uma

vasta experiência em descrever relações no campo das expressões analíticas

tornaram estas expressões mais importantes que as próprias relações. Nessa

época, o encantamento com a álgebra e, conseqüentemente, com a expressão

analítica de função, levou a crença, ainda hoje presente no ensino de funções,

de que somente relações que possam ser descritas por fórmulas analíticas

merecem o nome de função. Além disso, às vezes, há uma confusão entre a

função e o instrumento analítico para descrever sua lei.

Assim, identificar funções com expressões analíticas é um obstáculo

histórico causado pelo foco de atenção na pesquisa de instrumentos para

descrever relações funcionais. E, da mesma forma que Sierpinska (1992), nós

encontramos na prática pedagógica formas degeneradas desse obstáculo em

nossos alunos. Conforme os resultados de investigação de Mendes (1994),

para a maioria dos alunos, uma situação dada representa uma função se ela

pode ser expressa por uma fórmula explícita, de preferência uma expressão

analítica. Para esses alunos, da mesma forma que para os matemáticos do

século XVIII, função se restringe, na verdade, a expressões analíticas.Várias são as formas de representar funções, as mais conhecidas e

utilizadas, pelo menos na escola, são tabelas, gráficos e fórmula analítica. A

consciência das limitações de cada uma das representações e o fato que elas

representam uma limitação e o mesmo conceito geral são condições

fundamentais de entendimento de funções (Sierpinska, 1992). A habilidade

para interpretar um gráfico ou tabela não é fácil de adquirir (cf. Janvier, 1978 e

Artigue, 1992). Igualmente, não é fácil estabelecer conexões entre asdiferentes representações de uma função e adquirir a habilidade de transitar


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entre estas representações (cf. Duval, 1988). Segundo Sierpinska (1992), é no

decurso do aprendizado dessas habilidades que os atos fundamentais de

entendimento deste conceito encontram condições favoráveis para ocorrer.

Além de poderem ser representadas de várias formas, funções são aplicadas

em diversos contextos e termos distintos são usados para as mesmas coisas.

Mas, como salienta Sierpinska (1992), uma representação não é o mesmo que

a coisa representada, e em algum ponto uma síntese de todas essas diferentes

concepções tem que ser executada dentro de uma idéia geral de função a qual

una, assim, muitos domínios da Matemática, Física e de outras Ciências.

Nesse sentido, Sierpinska (1992) assinala a necessidade de se proceder a uma

discriminação entre as diferentes formas de representar funções e as próprias

funções e a uma síntese das diferentes formas de dar funções, representar

funções e falar sobre funções.

Implicações didático-pedagógicas na construção do conceito de função

A explicitação dos obstáculos epistemológicos e atos de entendimento

relativos a funções acima, tem algumas implicações didático-pedagógicas

importantes para a construção do conceito de função. Nosso objetivo nessa

seção é sugerir algumas atividades pedagógicas que possam contribuir na

superação dos obstáculos epistemológicos e na construção do conceito de

função pelos alunos de primeiro grau.

A análise epistemológica nos permitiu perceber que a introdução do

conceito de função como conjunto de pares ordenados e como caso particular

das relações, não parece ser a melhor opção tanto no campo didático como

epistemológico. Essa forma de introduzir o conceito de função torna-o semsignificado e de difícil compreensão para os alunos. Entendemos que a melhor

maneira para a introdução desse conceito parece ser a de mostrar a sua

importância e variedade de aplicações. O conceito de função deve aparecer

primeiro como modelo de relações observadas pelos alunos, como ferramenta

para descrição e previsão, tal como foi utilizado no seu processo histórico de

construção, intimamente, ligado à necessidade dos homens de registrar

regularidades observadas nos fenômenos e de generalizar as leis ou padrões.Nesse sentido, é preciso propor aos alunos atividades que favoreçam a


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construção com significado do conceito de função. Atividades que lhes

permitam desenvolver e/ou adquirir as noções de variável, dependência,

regularidade e generalização, básicas para o aprendizado de funções.

Atividades que despertem nos alunos o interesse por variabilidade e pela busca

de regularidades e que levem os alunos a explicarem mudanças, a

encontrarem regularidades entre mudanças, a perceberem mudanças e

relações entre elas como um problema digno de uma interpretação científica.

Atividades que possibilitem aos alunos aplicar o conhecimento de funções para

explicar fenômenos, sejam eles de sua vida diária, da Física ou das outras

Ciências. Trata-se, portanto de resgatar no ensino desse tópico a concepção

de função como instrumento matemático necessário à análise de fenômenos

de variação. O uso de funções como instrumento apropriado para modelar

relações entre grandezas físicas e outras grandezas é condição sine qua non

para que os alunos entendam o conceito de função (Sierpinska, 1992). Desse

modo, estaremos contribuindo para que os atos fundamentais de

entendimento, referentes ao obstáculo epistemológico de considerar que a

Matemática nada tem a ver com problemas práticos encontre condições

favoráveis para ocorrer.

Devemos propor aos alunos atividades em que eles tenham a

oportunidade de se familiarizarem com as diversas formas de representar

funções e de articulá-las de forma permanente, a fim de evitar que eles

identifiquem funções com apenas uma das suas representações, o que como

vimos, anteriormente, pode se constituir num obstáculo à aprendizagem do

conceito de função. Uma outra forma de representação de funções que deve

ser explorada com os alunos é a representação verbal (em linguagem corrente,

escrita ou oral). Os alunos devem ser estimulados a descreverem emlinguagem corrente a lei que rege um fenômeno e a apresentarem argumentos

que justifiquem a validade da lei para qualquer caso, para então representá-la

em linguagem algébrica ou geométrica. Eles devem ser levados a perceberem

e verbalizarem os objetos de mudanças, a dizerem não apenas como muda

mas o que muda. A utilização da linguagem oral e escrita auxilia a passagem

de uma forma de representação para a outra, e a explicitação das noções de

variável, dependência, regularidade e generalização. Essas noções devem sertrabalhadas ao mesmo tempo que as formas de representar funções. A


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articulação dessas diversas formas de representar funções e o emprego

constante da representação verbal para a identificação dos objetos de

mudança no estudo das mudanças são condições necessárias para que os

atos de entendimento relacionados ao obstáculo epistemológico de identificar

funções com apenas uma de suas representações ocorram.

No ensino atual de funções e nos livros didáticos em geral, funções são

identificadas com expressões analíticas, o que se constitui num obstáculo à

aprendizagem desse conceito. A apresentação do conceito de função é feita

através da sua forma analítica, a partir dela é construída a tabela

correspondente e com os dados da tabela é feita a representação gráfica no

plano cartesiano. Essa é a ordem usual de apresentação das diversas formas

de representar uma função.

É necessário reafirmar que não estamos sugerindo o abandono ao

estudo analítico das funções. Não se trata disso. Estamos negando a forma

tradicional em que as funções são apresentadas, quase que, exclusivamente,

na sua forma analítica, sem que os alunos compreendam o seu significado em

relação a situações reais. É obvio que o estudo analítico de funções continua a

ser importante, mas ele deve surgir com base em atividades, sistematicamente,

feitas a partir das representações numérica e gráfica. Dessa forma, a

expressão algébrica adquire significado próprio. Trata-se de primeiro

desenvolver o conceito intuitivo de função, para depois formalizá-lo.

As representações algébricas têm um papel essencial na construção do

conceito de função, elas não só produzem um resumo de um grande número

de dados, mas, mais importante que isso, elas conduzem a noção de uma

“regra” bem melhor do que as representações numéricas ou gráficas. Essa

regra é dada, em geral, sob a forma de uma equação que relaciona entre si asvariáveis que designam as grandezas concretas envolvidas no fenômeno

observado. As representações algébricas condensam muitas informações,

entre elas a regra e a idéia de dependência (Bergeron e Herscovics, 1982). É

preciso no entanto, que no estudo das representações algébricas de funções

essas informações sejam exploradas com os alunos e que sejam buscados

significados para os símbolos que compõem as representações. As fórmulas

da Geometria, da Física e das outras Ciências são bons exemplos derepresentações algébricas de funções onde essas e outras informações podem


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ser exploradas com significado. Essa exploração das noções de variável e de

dependência entre variáveis envolvidas numa equação poderia iniciar-se com

grande vantagem no trabalho de equações, na sexta série do primeiro grau,

onde apenas se destacam incógnitas e dados. Assim, estaremos contribuindo

para que os alunos percebam: que uma equação pode ser interpretada como

uma condição sobre uma incógnita ou como uma regra de acordo com a qual

algumas variáveis se relacionam; que existe uma diferença entre considerar

letras em equações e em funções; que esses são dois modos de pensamento

matemático diferentes: um em termos de quantidades conhecidas e

desconhecidas, o outro em termos de quantidades variáveis e constantes.

O estudo das representações gráficas de funções é, também, de

fundamental importância para o aprendizado desse conceito. Representações

gráficas são talvez a forma mais utilizada de representação de funções e a

maneira mais adequada para apresentar informações sobre linearidade,

intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos, taxa de

variação, regularidade, continuidade. A partir desses conceitos os alunos

podem fazer previsões, interpolar e extrapolar. Aprendendo gráficos, eles se

preparam para relacionar diversos tipos de funções.

Embora os gráficos estejam desde muito cedo, constantemente,

presentes na vida dos alunos. A primeira experiência sistematizada deles com

gráficos é no estudo de funções, no final do primeiro grau. Para a maioria deles

lidar com gráficos cartesianos não se constitui numa tarefa fácil, eles

encontram grandes dificuldades na construção e interpretação de gráficos. A

idéia de fazer corresponder pontos de um plano a pares de números não é

natural e precisa ser trabalhada com os alunos (Tinoco, 1995).

É fundamental propormos aos alunos atividades em que eles tenham aoportunidade de trabalhar não apenas com os gráficos das funções

padronizadas (y = ax; y = ax+b; y = ax 2 ; y = ax 3 e y = x/a ) que são estudadas

nas escolas, mas também com gráficos não padronizados, que não

correspondem a nenhuma expressão algébrica conhecida.

Além dos gráficos utilizados para representar funções matemáticas, é

importante também que os alunos trabalhem com outras formas de

representação gráfica, tais como os gráficos de setores, de barras, histogramase pirâmides, que representem situações que tenham significado para eles.


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Gráficos relacionados com assuntos da atualidade e/ou de outras disciplinas

são bons exemplos de situações a partir das quais poderia se iniciar já nas

primeiras séries do primeiro grau o trabalho de exploração de gráficos, com o

objetivo de familiarizar o aluno com a interpretação de gráficos e o conceito de

função.

Como foi sugerido, anteriormente, no trabalho com as representações

analíticas de funções, devemos também aqui, no estudo das representações

gráficas de funções, explorar as idéias de variável, dependência, regularidade e

generalização, essenciais à construção do conceito de função, ao mesmo

tempo em que os alunos se familiarizam com os diversos tipos de gráficos. A

exploração dessas idéias é de fundamental importância para a identificação

dos objetos de mudança e elas ficam cada vez mais claras à medida que os

alunos constroem e interpretam gráficos.

Como já mencionamos, a identificação de regularidades em situações

reais, em seqüências numéricas ou padrões geométricos é uma habilidade

essencial à construção do conceito de função. Nesse sentido, devemos incluir

também no estudo introdutório de funções, atividades com tabelas e

seqüências. As tabelas podem servir como um poderoso instrumento

pedagógico no estudo de seqüências funcionais, dando suporte à investigação

da dependência entre variáveis, à elaboração de hipóteses sobre o

comportamento de padrões numéricos e à sua interpretação gráfica e algébrica

(Meira, 1993).

Por meio da produção e interpretação de tabelas, os alunos podem

construir o conceito de função como uma série de operações aritméticas

realizáveis sobre quantidades dispostas horizontal e verticalmente na tabela.

Podem calcular imagens de números dados, números que têm dadas imagens,e até procurar encontrar a regra algébrica que determina a relação entre os

valores dados e as imagens desses valores. Atividades com tabelas são,

portanto de fundamental importância para o aprendizado de funções. É preciso,

no entanto, utilizá-las como material de apoio para a investigação de relações

entre quantidades e não, simplesmente, como um mero arquivo de

coordenadas a serem grafadas no plano Cartesiano (Meira, 1993).

Conforme mencionamos na seção anterior, várias são as estratégias outécnicas de ensino que podem ser empregadas para se lidar com os


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obstáculos, cabe ao educador escolher aquelas que melhor se adeqüem ao

assunto em estudo. No caso de funções, uma estratégia que pode ser utilizada

é, por exemplo, a combinação de situações-problema e modelagem

matemática (4) com o objetivo de levar o aluno a modelar uma situação-

problema por meio de funções elementares, resgatando conhecimentos do seu

cotidiano e da sua vida acadêmica. Essa estratégia já foi por nós utilizada em

projetos de formação continuada de professores de Ciências e Matemática e

na docência com alunos de primeiro grau (5). As situações-problema servem

não somente para introduzir e dar significado ao estudo de funções, mas,

principalmente, para motivar a aprendizagem e desencadear as discussões e

os questionamentos que levam à construção de conhecimentos. Além de

contribuírem para a construção do conceito de função elas podem possibilitar

aos alunos a oportunidade de compreender que a Matemática é um saber vivo

e dinâmico, coletivamente e historicamente construído.

Considerações Finais

No âmbito deste trabalho fizemos uma reflexão sobre a teoria dos

obstáculos epistemológicos e sua aplicação no processo de formação do

conceito de função. A partir de considerações epistemológicas bachelardianas

procuramos conhecer como se processa a apropriação do conceito de função.

Buscamos identificar e analisar alguns dos principais problemas com os quais

os alunos se deparam ao estudar funções e detectar quais as principais

dificuldades e obstáculos à aprendizagem desse conceito com o objetivo de

propor algumas possibilidades instrucionais que possam facilitar a construção

do conceito de função pelos alunos de primeiro e segundo graus, bem comosugerir atividades pedagógicas que possam, além de contribuir na superação

dos obstáculos epistemológicos, promover o raciocínio matemático nesse

domínio. A análise anterior nos permite romper com visões simplistas acerca

do ensino e da aprendizagem do conceito de função. Ela nos permite perceber

que melhor do que atribuir os problemas e dificuldades apresentados pelos

alunos no entendimento desse conceito à sua falta de habilidade, ou à sua falta

de pré-requisitos ou ao seu desestímulo, é o próprio conceito de função que semostra ser difícil. Isto implica numa mudança de ponto de vista para o ensino


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de funções afim de superar estas dificuldades. Neste sentido, é que

argumentamos da necessidade de se propor aos alunos atividades que lhes

permitam desenvolver e/ou adquirir as noções ligadas a este conceito, como de

correspondência, variável, dependência, regularidade e generalização, básicas

para o aprendizado de funções e o domínio dos diferentes registros de

representação de funções.

Esses são alguns dos aspectos relevantes das implicações didático-

pedagógicas da epistemologia bachelardiana para a construção do conceito de

função. Obviamente, não estamos aqui prescrevendo condições suficientes

para o aprendizado de funções, mas condições necessárias para a construção

desse conceito, tendo em vista as implicações didático-pedagógicas da análise

epistemológica. Não significa também, que a observância desses pontos

esgote a abordagem de todos os aspectos referentes ao conceito de função,

muitos outros relativos a construção desse conceito devem ser buscados e

investigados pelos professores para que os alunos possam desenvolver a base

para o aprendizado de funções. No entanto, o que discutimos acima se

constitui em uma contribuição para a construção das noções primeiras de

funções.

Notas

(1) Colégio de Aplicação – UFSC – Florianópolis – SC – [email protected] em Educação pela UFSC – Florianópolis – SC(2) Segundo Douady & Glorian (1989, p.389), um quadro é constituído deobjetos de um ramo da Matemática, de relações entre objetos, de suasformulações, eventualmente diversas e das imagens mentais que o sujeitoassocia a estes objetos e relações em um dado momento. Por exemplo: quadroalgébrico, quadro geométrico, quadro numérico, etc.

(3) Para Douady (1986/87), dialética ferrament-objeto é um processo cíclicoque organiza os respectivos papéis do docente e dos alunos, durante o qual osconceitos matemáticos têm o papel ora de ferramenta para resolver umproblema ora de objeto, tomando lugar dentro da construção de um certo saberorganizado.(4) Bassanezi (1994) define modelagem matemática como um processodinâmico que consiste “(...) na arte de transformar problemas da realidade emproblemas matemáticos e resolvê-los, interpretando suas soluções nalinguagem do mundo real” (Bassanezi, 1994, p. 61).(5) Detalhes deste projeto e da utilização desta estratégia com alunos desegundo grau encontram-se em: Aproximação entre a Ciência do aluno na sala

de aula da 1ª série do 2º grau e a Ciência dos cientistas: uma discussão,


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dissertação de mestrado, de Terezinha de Fátima Pinheiro, UFSC,Florianópolis, SC, 1996.

Referências bibliográficas

ARTIGUE, M. Epistémologie et didactique. In: Recherches en didactique des

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09 08 23 Obstaculos Epistemologicos a Aprendizagem Do Conceito de Funcao